Производни от по-висок порядък

В този урок ще научим как да намираме производни от по-високи порядъци, както и да напишем общата формула за „n-тата“ производна. В допълнение, формулата на Лайбниц за такава производна и, според масовото търсене, производни от по-висок порядък на неявна функция. Предлагам ви незабавно да направите мини-тест:

Ето функцията: и ето първата му производна:

В случай, че имате затруднения/объркване относно този пример, моля, започнете с двете основни статии от моя курс: Как да намерим производната?И Производна на сложна функция. След като усвоите елементарни производни, препоръчвам да прочетете урока Най-прости задачи с производни, на които се занимавахме, по-специално с втора производна.

Не е трудно дори да се досетите, че втората производна е производната на първата производна:

По принцип втората производна вече се счита за производна от по-висок ред.

По същия начин: третото производно е производното на второто производно:

Четвъртата производна е производната на 3-тата производна:

Пета производна: и е очевидно, че всички производни от по-високи разряди също ще бъдат равни на нула:

В допълнение към римската номерация в практиката често се използват следните обозначения:
, производната на “n-тия” ред се означава с . В този случай горният индекс трябва да бъде поставен в скоби– за разграничаване на производната от „у” по степен.

Понякога виждате нещо подобно: – съответно трета, четвърта, пета, ..., „n-та“ производни.

Напред без страх и съмнение:

Пример 1

Функцията е дадена. Намирам .

Решение: какво можете да кажете... - давайте напред за четвъртата производна :)

Вече не е обичайно да се поставят четири удара, така че преминаваме към цифрови индекси:

Отговор:

Добре, сега нека помислим върху този въпрос: какво да правим, ако условието изисква да се намери не 4-та, а например 20-та производна? Ако за производната 3-4-5-та (максимум 6-7-ми)порядък на величина, решението се формализира доста бързо, тогава няма да „стигаме“ до производни от по-високи порядъци много скоро. Всъщност не пишете 20 реда! В такава ситуация трябва да анализирате няколко открити производни, да видите модела и да създадете формула за „n-тата“ производна. И така, в пример № 1 е лесно да се разбере, че при всяко следващо диференциране ще „изскача“ допълнителна „тройка“ пред експонента, като на всяка стъпка степента на „тройката“ е равна на броя на производната, следователно:

Къде е произволно естествено число.

И наистина, ако , то се получава точно 1-ва производна: , ако – тогава 2-ри: и т.н. Така двадесетата производна се определя моментално: – и никакви „километрични листове“!

Загряваме сами:

Пример 2

Намерете функции. Напишете производната на реда

Решението и отговорът са в края на урока.

След ободряваща загрявка ще разгледаме по-сложни примери, в които ще разработим горния алгоритъм за решение. За тези, които успяха да се запознаят с урока Ограничение на последователността, ще бъде малко по-лесно:

Пример 3

Намиране на функция.

Решение: за да изясним ситуацията, нека намерим няколко производни:

Не бързаме да умножаваме получените числа! ;-)


Може би това е достатъчно. ...даже малко прекалих.

Следващата стъпка е най-добре да създадете формулата за „n-тата“ производна (ако условието не изисква това, тогава можете да минете с чернова). За да направим това, ние разглеждаме получените резултати и идентифицираме моделите, с които се получава всяка следваща производна.

Първо, те се редуват. Подравняването гарантира "мигаща светлина", и тъй като 1-вата производна е положителна, следният фактор ще влезе в общата формула: . Еквивалентен вариант също би свършил работа, но лично аз като оптимист обичам знака плюс =)

Второ, в числителя "навива" факториел, и „изостава“ от производното число с една единица:

И трето, силата на "две" в числителя се увеличава, което е равно на числото на производната. Същото може да се каже и за степента на знаменателя. Накрая:

За да проверим, нека заменим няколко стойности „en“, например и:

Страхотно, сега да направиш грешка е просто грях:

Отговор:

По-проста функция за самостоятелно решаване:

Пример 4

Намерете функции.

И още един интересен проблем:

Пример 5

Намерете функции.

Нека повторим процедурата още веднъж:

1) Първо намираме няколко производни. За улавяне на модели обикновено са достатъчни три или четири.

2) Тогава силно препоръчвам да направите (поне в чернова)„n-тата“ производна – тя гарантирано ще ви предпази от грешки. Но можете и без него, т.е. умствено преценете и веднага запишете, например, двадесетата или осмата производна. Освен това някои хора като цяло са в състояние да решават въпросните проблеми устно. Трябва обаче да запомните, че „бързите“ методи са изпълнени и е по-добре да сте в безопасност.

3) На последния етап проверяваме „n-тата“ производна - вземаме двойка „n-ти“ стойности (за предпочитане съседни) и извършваме заместването. И още по-надеждно е да проверите всички вече намерени производни. След това го заместваме в желаната стойност, например, или внимателно разресваме резултата.

Кратко решение на примери 4 и 5 в края на урока.

В някои задачи, за да избегнете проблеми, трябва да поработите малко върху функцията:

Пример 6

Решение: Изобщо не искам да диференцирам предложената функция, тъй като ще доведе до „лоша“ дроб, което значително ще усложни намирането на последващи производни.

В тази връзка е препоръчително да извършим предварителни трансформации: използваме формула за квадратна разликаИ свойство на логаритъм :

Това е съвсем друг въпрос:

И стари приятели:

Мисля, че всичко се гледа. Моля, обърнете внимание, че 2-рата дроб замества знака, но 1-вата дроб не. Конструираме производната на поръчката:

Контрол:

Е, в името на красотата, нека извадим факториела от скоби:

Отговор:

Интересна задача за самостоятелно решаване:

Пример 7

Запишете формулата за производна на реда за функцията

А сега за непоклатимата взаимна гаранция, на която дори италианската мафия би завидяла:

Пример 8

Функцията е дадена. намирам

Осемнадесетата производна в точката. Просто.

Решение: първо, очевидно, трябва да намерите . Отивам:

Започнахме със синуса и завършихме със синуса. Ясно е, че при по-нататъшно диференциране този цикъл ще продължи безкрайно дълго и възниква следният въпрос: кой е най-добрият начин да се „стигне“ до осемнадесетата производна?

„Аматьорският“ метод: бързо запишете номерата на следващите производни в колоната вдясно:

По този начин:

Но това работи, ако редът на производната не е твърде голям. Ако трябва да намерите, да речем, стотната производна, тогава трябва да използвате делимост на 4. Сто се дели на 4 без остатък и е лесно да се види, че такива числа се намират в долния ред, следователно: .

Между другото, 18-та производна също може да бъде определена от подобни съображения:
Вторият ред съдържа числа, които се делят на 4 с остатък 2.

Друг, по-академичен метод се основава на синусоидална периодичностИ формули за намаляване. Използваме готовата формула за "n-та" производна на синус , в което желаното число просто се замества. Например:
(формула за намаляване ) ;
(формула за намаляване )

В нашия случай:

(1) Тъй като синус е периодична функция с период, аргументът може безболезнено да се „отвинти“ на 4 периода (т.е.).

Производната на реда на произведението на две функции може да се намери с помощта на формулата:

В частност:

Няма нужда да помните нищо конкретно, защото колкото повече формули знаете, толкова по-малко разбирате. Много по-полезно е да се запознаете Бином на Нютон, тъй като формулата на Лайбниц е много, много подобна на нея. Е, тези късметлии, които ще получат производно от 7-ми или по-високи поръчки (което наистина е малко вероятно), ще бъде принуден да направи това. Когато обаче дойде редът комбинаторика– тогава все пак трябва =)

Нека намерим третата производна на функцията. Използваме формулата на Лайбниц:

В такъв случай: . Производните са лесни за рецитиране устно:

Сега внимателно и ВНИМАТЕЛНО извършете замяната и опростете резултата:

Отговор:

Подобна задача за самостоятелно решение:

Пример 11

Намерете функции

Ако в предишния пример решението „челно“ все още се състезаваше с формулата на Лайбниц, то тук ще бъде наистина неприятно. И още по-неприятно - в случай на производна от по-висок порядък:

Пример 12

Намерете производната на посочения ред

Решение: първата и важна забележка е, че вероятно не е нужно да решавате така =) =)

Да запишем функциите и да намерим производните им до 5-ти ред включително. Предполагам, че производните на дясната колона са станали устни за вас:

В лявата колона „живите“ производни бързо „свършиха“ и това е много добре - три термина във формулата на Лайбниц ще бъдат нулирани:

Нека отново се спра на дилемата, която се появи в статията за сложни производни: Трябва ли да опростя резултата? По принцип можете да го оставите така - така ще бъде още по-лесно за учителя да провери. Но може да изиска решението да бъде финализирано. От друга страна, опростяването по собствена инициатива е изпълнено с алгебрични грешки. Имаме обаче отговор, получен по „примитивен“ начин =) (виж линка в началото)и се надявам да е правилно:

Страхотно, всичко се нареди.

Отговор:

Честита задача за самостоятелно решение:

Пример 13

За функция:
а) намерете чрез директно диференциране;
б) намерете по формулата на Лайбниц;
в) изчислете.

Не, аз изобщо не съм садист - точка "а" тук е съвсем проста =)

Но сериозно, „директното“ решение чрез последователно диференциране също има „право на живот“ - в някои случаи неговата сложност е сравнима със сложността на прилагане на формулата на Лайбниц. Използвайте, ако сметнете за подходящо - това едва ли ще е причина за неизпълнение на задачата.

Кратко решение и отговор в края на урока.

За да повдигнете последния параграф, трябва да можете диференцират неявни функции:

Производни от по-висок порядък на функции, посочени имплицитно

Много от нас са прекарали дълги часове, дни и седмици от живота си в учене кръгове, параболи, хипербола– а понякога дори изглеждаше като истинско наказание. Така че нека си отмъстим и ги разграничим правилно!

Нека започнем с „училищната“ парабола в него канонична позиция:

Пример 14

Уравнението е дадено. Намирам .

Решение: Първата стъпка е позната:

Фактът, че функцията и нейната производна са изразени имплицитно, не променя същността на въпроса; втората производна е производната на първата производна:

Има обаче правила на играта: обикновено се изразяват производни от 2-ри и по-висок ред само чрез “X” и “Y”. Следователно заместваме : в получената 2-ра производна:

Третата производна е производната на втората производна:

По същия начин, нека заместим:

Отговор:

"Училищна" хипербола в канонична позиция– за самостоятелна работа:

Пример 15

Уравнението е дадено. Намирам .

Повтарям, че 2-рата производна и резултатът трябва да се изразяват само чрез “x”/“y”!

Кратко решение и отговор в края на урока.

След детските шеги, нека да разгледаме немската порнография, да разгледаме още примери за възрастни, от които ще научим друго важно решение:

Пример 16

Елипсасебе си.

Решение: нека намерим 1-вата производна:

Сега нека спрем и анализираме следващата точка: сега трябва да диференцираме дроба, което никак не е приятно. В този случай това, разбира се, е просто, но в проблемите на реалния живот такива подаръци са твърде малко и рядко се срещат. Има ли начин да се избегне намирането на тромавата производна? Съществува! Взимаме уравнението и използваме същата техника, както при намирането на 1-ва производна - „окачваме“ удари от двете страни:

Втората производна трябва да бъде изразена само чрез и , така че сега (точно сега)Удобно е да се отървете от 1-вата производна. За да направите това, заменете в полученото уравнение:

За да избегнем ненужни технически затруднения, нека умножим двете части по:

И едва на последния етап формулираме фракцията:

Сега разглеждаме оригиналното уравнение и забелязваме, че полученият резултат може да бъде опростен:

Отговор:

Как да намерим стойността на 2-ра производна във всяка точка (което, разбира се, принадлежи на елипсата), например, в точката ? Много лесно! Този мотив вече се среща в урока за нормално уравнение: трябва да замените втората производна в израза :

Разбира се, и в трите случая е възможно да получите изрично дефинирани функции и да ги диференцирате, но след това бъдете психически подготвени да работите с две функции, които съдържат корени. Според мен е по-удобно решението да се извърши по „имплицитен начин“.

Последен пример за самостоятелно решаване:

Пример 17

Намерете неявно посочена функция

Текстът на работата е публикуван без изображения и формули.
Пълната версия на произведението е достъпна в раздела "Работни файлове" в PDF формат

"Аз също, бином на Нютон!»

от романа "Майстора и Маргарита"

„Триъгълникът на Паскал е толкова прост, че дори десетгодишно дете може да го напише. В същото време тя крие неизчерпаеми съкровища и свързва различни аспекти на математиката, които на пръв поглед нямат нищо общо помежду си. Такива необичайни свойства ни позволяват да считаме триъгълника на Паскал за една от най-елегантните диаграми в цялата математика.

Мартин Гарднър.

Цел на работата:обобщават формули за съкратено умножение и показват приложението им при решаване на задачи.

Задачи:

1) изучаване и систематизиране на информация по този въпрос;

2) анализирайте примери за задачи, използващи бинома на Нютон и формули за сумата и разликата на степените.

Обекти на изследване:Бином на Нютон, формули за суми и разлики на степени.

Изследователски методи:

Работа с учебна и научно-популярна литература, Интернет ресурси.

Изчисления, сравнение, анализ, аналогия.

Уместност.Човек често трябва да се справя със задачи, при които трябва да преброи броя на всички възможни начини за поставяне на някои обекти или броя на всички възможни начини за извършване на някакво действие. Различните пътища или опции, които човек трябва да избере, водят до голямо разнообразие от комбинации. И цял клон на математиката, наречен комбинаторика, е зает да търси отговори на въпросите: колко комбинации има в даден случай?

Представители на много специалности трябва да се справят с комбинаторни величини: химик, биолог, дизайнер, диспечер и др. Повишеният интерес към комбинаториката напоследък се дължи на бързото развитие на кибернетиката и компютърните технологии.

Въведение

Когато искат да подчертаят, че събеседникът преувеличава сложността на проблемите, пред които е изправен, те казват: „Аз също харесвам бинома на Нютон!“ Казват, ето бинома на Нютон, сложен е, но какви проблеми имате! Дори онези хора, чиито интереси нямат нищо общо с математиката, са чували за бинома на Нютон.

Думата "бином" означава бином, т.е. сумата от два члена. Така наречените формули за съкратено умножение са известни от училищния курс:

( А+ б) 2 = а 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = а 3 +3а 2 b + 3ab 2 +б 3 .

Обобщение на тези формули е формула, наречена биномна формула на Нютон. Формули за разлагане на разлики на квадрати, суми и разлики на кубове също се използват в училище. Обобщават ли се в други степени? Да, има такива формули, те често се използват при решаване на различни задачи: доказване на делимост, намаляване на дроби, приблизителни изчисления.

Изучаването на обобщаващи формули развива дедуктивно-математическо мислене и общи мисловни способности.

РАЗДЕЛ 1. БИНОМНА ФОРМУЛА НА НЮТОН

Комбинации и техните свойства

Нека X е множество, състоящо се от n елемента. Всяко подмножество Y на множество X, съдържащо k елемента, се нарича комбинация от k елемента от n, с k ≤ n.

Броят на различните комбинации от k елемента от n се означава с C n k. Една от най-важните формули на комбинаториката е следната формула за числото C n k:

Може да се напише, след очевидни съкращения, както следва:

В частност,

Това е напълно в съответствие с факта, че в множеството X има само едно подмножество от 0 елемента - празното подмножество.

Числата C n k имат редица забележителни свойства.

Формулата е вярна: С n k = С n - k n , (3)

Значението на формула (3) е, че има съответствие едно към едно между множеството от всички k-членни подмножества на X и множеството от всички (n - k)-членни подмножества на X: за да се установи това съответствие, достатъчно е всяко k-членно подмножество на Y да сравни неговото допълнение в множеството X.

Правилната формула е С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Сумата от лявата страна изразява броя на всички подмножества на множеството X (C 0 n е броят на 0-членните подмножества, C 1 n е броят на едночленните подмножества и т.н.).

За всяко k, 1≤ k≤ n, равенството е вярно

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Това равенство се получава лесно с формула (1). Наистина,

1.2. Извеждане на биномната формула на Нютон

Разгледайте степените на бинома а +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1а+1b

n = 2,(а +b ) 2 = 1а 2 + 2аb +1 b 2

n = 3,(а +b ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 +1 b 3

n = 4,(а +b ) 4 = 1а 4 + 4а 3 b + 6а 2 b 2 +4аb 3 +1 b 4

n = 5,(а +b ) 5 = 1а 5 + 5а 4 b + 10а 3 b 2 + 10а 2 b 3 + 5аb 4 + 1 b 5

Нека отбележим следните модели:

Броят на членовете на получения полином е с едно по-голям от показателя на бинома;

Показателят на първия член намалява от n до 0, показателят на втория член нараства от 0 на n;

Степените на всички мономи са равни на степента на бинома в условието;

Всеки моном е произведение на първия и втория израз в различни степени и определено число - биномен коефициент;

Биномиалните коефициенти на равно разстояние от началото и края на разширението са равни.

Обобщение на тези формули е следната формула, наречена биномна формула на Нютон:

(а + b ) н = ° С 0 н а н b 0 + ° С 1 н а н -1 b + ° С 2 н а н -2 b 2 + ... + ° С н -1 н аб н -1 + ° С н н а 0 b н . (6)

В тази формула нможе да бъде всяко естествено число.

Нека изведем формула (6). Първо, нека запишем:

(а + b ) н = (а + b )(а + b ) ... (а + b ), (7)

където броят на скобите за умножаване е равен на н. От обичайното правило за умножаване на сума по сума следва, че израз (7) е равен на сумата от всички възможни произведения, които могат да бъдат съставени по следния начин: всеки член на първата от сумите a + bумножено по произволен член от втората сума a+b, до който и да е член на третата сума и т.н.

От горното става ясно, че терминът в израза за (а + b ) нсъответстват (едно към едно) на низове с дължина n, съставени от букви а и б.Сред термините ще има подобни термини; очевидно е, че такива членове съответстват на низове, съдържащи същия брой букви А. Но броят редове, съдържащи точно k пъти буквата А, е равно на C n k . Това означава, че сумата от всички членове, съдържащи буквата a с коефициент точно k пъти е равна на C n k а н - к b к . Тъй като k може да приема стойности 0, 1, 2, ..., n-1, n, тогава формулата (6) следва от нашите разсъждения. Обърнете внимание, че (6) може да се напише по-кратко: (8)

Въпреки че формула (6) е наречена след Нютон, всъщност тя е открита още преди Нютон (например Паскал я е знаел). Заслугата на Нютон се състои в това, че той намери обобщение на тази формула за случая на нецелочислени показатели. Това беше И. Нютон през 1664-1665 г. изведе формула, изразяваща степента на бином за произволни дробни и отрицателни показатели.

Числата C 0 n, C 1 n, ..., C n n, включени във формула (6), обикновено се наричат ​​биномни коефициенти, които се дефинират, както следва:

От формула (6) могат да се получат редица свойства на тези коефициенти. Например, ако приемем А=1, b = 1, получаваме:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,

тези. формула (4). Ако поставите А= 1, b = -1, тогава ще имаме:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

или C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Това означава, че сумата от коефициентите на четните членове на разширението е равна на сумата от коефициентите на нечетните членове на разширението; всеки от тях е равен на 2 n -1 .

Коефициентите на членовете, равноотдалечени от краищата на разширението, са равни. Тези свойства следват от връзката: C n k = C n n - k

Интересен частен случай

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

или по-кратко (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Теорема за полином

Теорема.

Доказателство.

За да получите моном след отваряне на скобите, трябва да изберете тези скоби, от които е взет, тези скоби, от които е взет и т.н. и тези скоби, от които е взето. Коефициентът на този моном след привеждане на подобни членове е равен на броя на начините, по които може да се направи такъв избор. Първата стъпка от последователността на изборите може да се извърши по начини, втората стъпка - в, третата - и т.н., та стъпка - по начини. Търсеният коефициент е равен на произведението

РАЗДЕЛ 2. Производни от по-висок порядък.

Концепцията за производни от по-висок порядък.

Нека функцията е диференцируема в някакъв интервал. Тогава неговата производна, най-общо казано, зависи от х, тоест е функция на х. Следователно във връзка с него отново може да се повдигне въпросът за съществуването на дериват.

Определение . Производната на първата производна се нарича производна от втори ред или втора производна и се обозначава със символа или, т.е

Определение . Производната на втората производна се нарича производна от трети ред или трета производна и се означава със символа или.

Определение . Производнан -та поръчкафункции се нарича първа производна на производната (н -1) ред на тази функция и се обозначава със символа или:

Определение . Наричат ​​се производни от порядък по-висок от първия по-високи производни.

Коментирайте. По същия начин можем да получим формулата н-та производна на функцията:

Втора производна на параметрично дефинирана функция

Ако функцията е дадена параметрично чрез уравнения, тогава за намиране на производната от втори ред е необходимо да се диференцира изразът за нейната първа производна като сложна функция на независимата променлива.

От тогава

и като се вземе предвид това,

Разбираме, т.е.

Третата производна може да се намери по подобен начин.

Диференциал на сбор, произведение и частно.

Тъй като диференциалът се получава от производната чрез умножаването му по диференциала на независимата променлива, тогава, познавайки производните на основните елементарни функции, както и правилата за намиране на производни, може да се стигне до подобни правила за намиране на диференциали.

1 0 . Диференциалът на константата е нула.

2 0 . Диференциалът на алгебрична сума на краен брой диференцируеми функции е равен на алгебричната сума на диференциалите на тези функции .

3 0 . Диференциалът на произведението на две диференцируеми функции е равен на сумата от произведенията на първата функция по диференциала на втората и на втората функция по диференциала на първата .

Последица. Постоянният множител може да бъде изваден от диференциалния знак.

2.3. Параметрично дефинирани функции, тяхното диференциране.

Определение . Казва се, че функцията е зададена параметрично, ако и двете променливи х И y се дефинират всяка поотделно като еднозначни функции на една и съща спомагателна променлива - параметърT :

КъдетоT варира в рамките на.

Коментирайте . Нека представим параметричните уравнения на окръжност и елипса.

а) Окръжност с център в началото и радиус rима параметрични уравнения:

б) Нека напишем параметричните уравнения за елипсата:

Чрез изключване на параметъра TОт параметричните уравнения на разглежданите линии може да се стигне до техните канонични уравнения.

Теорема . Ако функцията y от аргумент x е дадено параметрично чрез уравнения, където и са диференцируеми по отношение наT функции и след това.

2.4. Формула на Лайбниц

За намиране на производната нот порядъка на произведението на две функции, формулата на Лайбниц е от голямо практическо значение.

Позволявам uИ v- някои функции от променлива х, имащи производни от всякакъв ред и г = uv. Да изразим н-та производна чрез производни на функции uИ v .

Имаме последователно

Лесно се забелязва аналогията между изразите за втора и трета производна и разлагането на бинома на Нютон съответно на втора и трета степен, но вместо показатели има числа, които определят реда на производната, а самите функции могат да се разглеждат като „производни от нулев порядък“. Като вземем това предвид, получаваме формулата на Лайбниц:

Тази формула може да бъде доказана чрез математическа индукция.

РАЗДЕЛ 3. ПРИЛОЖЕНИЕ НА ФОРМУЛАТА НА ЛАЙБНИЦ.

За да изчислите производната от произволен ред от произведението на две функции, заобикаляйки последователното прилагане на формулата за изчисляване на производната на произведението на две функции, използвайте Формула на Лайбниц.

Използвайки тази формула, ще разгледаме примери за изчисляване на производната от n-ти ред на произведението на две функции.

Пример 1.

Намерете производната от втори ред на функция

Според дефиницията втората производна е първата производна на първата производна, т.е

Следователно, първо намираме производната от първи ред на дадената функция според правила за диференциранеи използване таблица с производни:

Сега нека намерим производната на производната от първи ред. Това ще бъде желаната производна от втори ред:

Отговор:

Пример 2.

Намерете производната от ти порядък на функция

Решение.

Ние последователно ще намерим производни на първия, втория, третия и т.н. редове на дадена функция, за да установим модел, който може да бъде обобщен за тата производна.

Намираме производната от първи ред като производна на частното:

Тук изразът се нарича факториел на число. Факториелът на число е равен на произведението на числа от едно до, т.е

Производната от втори ред е първата производна на първата производна, т.е

Производна от трети ред:

Четвърта производна:

Обърнете внимание на модела: в числителя има факториел на число, което е равно на реда на производната, а в знаменателя изразът на степен е с единица по-голям от реда на производната, т.е.

Отговор.

Пример 3.

Намерете стойността на третата производна на функцията в точка.

Решение.

Според таблица с производни от по-висок порядък, ние имаме:

В разглеждания пример, тоест получаваме

Обърнете внимание, че подобен резултат може да се получи чрез последователно намиране на производните.

В дадена точка третата производна е равна на:

Отговор:

Пример 4.

Намерете втората производна на функция

Решение.Първо, нека намерим първата производна:

За да намерим втората производна, диференцираме отново израза за първата производна:

Отговор:

Пример 5.

Намерете дали

Тъй като дадената функция е продукт на две функции, за намиране на производната от четвърти ред би било препоръчително да се приложи формулата на Лайбниц:

Нека намерим всички производни и изчислим коефициентите на членовете.

1) Нека изчислим коефициентите на членовете:

2) Намерете производните на функцията:

3) Намерете производните на функцията:

Отговор:

Пример 6.

Дадена е функцията y=x 2 cos3x. Намерете производната от трети ред.

Нека u=cos3x , v=x 2 . След това, използвайки формулата на Лайбниц, намираме:

Производните в този израз имат формата:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′=0.

Следователно третата производна на дадената функция е равна на

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Пример 7.

Намерете производнатан функция на реда y=x 2 cosx.

Нека използваме формулата на Лайбниц, като приемемu=cosx, v=x 2 . Тогава

Останалите членове на серията са равни на нула, тъй като(x2)(i)=0 за i>2.

Производно n ти ред на функцията косинус:

Следователно производната на нашата функция е равна на

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В училище се изучават и използват така наречените формули за съкратено умножение: квадрати и кубове на сбора и разликата на два израза и формули за разлагане на разликата на квадратите, сбора и разликата на кубовете на два израза. Обобщение на тези формули е формулата, наречена биномна формула на Нютон, и формулата за разлагане на сумата и разликата на степените. Тези формули често се използват при решаване на различни задачи: доказване на делимост, съкращаване на дроби, приблизителни изчисления. Разглеждат се интересни свойства на триъгълника на Паскал, които са тясно свързани с бинома на Нютон.

Работата систематизира информацията по темата, дава примери за задачи с използване на бином на Нютон и формули за сбор и разлика на степени. Работата може да се използва в работата на математически кръг, както и за самоподготовкатези, които се интересуват от математика.

СПИСЪК НА ИЗПОЛЗВАНИТЕ ИЗТОЧНИЦИ

1.Виленкин Н.Я. Комбинаторика.- изд. "Науката". - М., 1969

2. Николски С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра и началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование организации основни и напреднали нива - М.: Просвещение, 2014. - 431 с.

3. Решаване на задачи по статистика, комбинаторика и теория на вероятностите. 7-9 клас / автор - съставител V.N. Студенецкая. - изд. 2-ро, преработено, - Волгоград: Учител, 2009.

4. Савушкина И.А., Хугаев К.Д., Тишкин С.Б. Алгебрични уравнения по-високи степени/методическо ръководство за студенти от междууниверситетския подготвителен отдел. - Санкт Петербург, 2001.

5. Шаригин И.Ф. Избираема дисциплина по математика: Решаване на задачи. Учебник за 10 клас. гимназия. - М.: Образование, 1989.

6.Наука и живот, бином на Нютон и триъгълник на Паскал[Електронен ресурс]. - Режим на достъп: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Формулата на Лайбниц е дадена за n-ти изчисленияпроизводна на произведението на две функции. Доказателството му се дава по два начина. Разгледан е пример за изчисляване на производната от n-ти ред.

Съдържание

Вижте също: Производна на произведението на две функции

Формула на Лайбниц

Използвайки формулата на Лайбниц, можете да изчислите производната от n-ти ред на произведението на две функции. Изглежда така:
(1) ,
Където
- биномни коефициенти.

Биномните коефициенти са коефициентите на разширяване на бином по степени и:
.
Също така числото е броят на комбинациите от n до k.

Доказателство за формулата на Лайбниц

Приложимо формула за производната на произведението на две функции :
(2) .
Нека пренапишем формула (2) в следния вид:
.
Тоест считаме, че едната функция зависи от променливата x, а другата от променливата y. В края на изчислението приемаме. Тогава предишната формула може да се напише по следния начин:
(3) .
Тъй като производната е равна на сбора от членовете и всеки член е произведение на две функции, тогава за изчисляване на производни от по-високи порядки правило (3) може да се прилага последователно.

Тогава за производната от n-ти ред имаме:

.
Като се има предвид, че и , получаваме формулата на Лайбниц:
(1) .

Доказателство по индукция

Нека представим доказателство на формулата на Лайбниц с помощта на метода на математическата индукция.

Нека напишем отново формулата на Лайбниц:
(4) .
За n = 1 имаме:
.
Това е формулата за производната на произведението на две функции. Тя е справедлива.

Да приемем, че формула (4) е валидна за производна от n-ти ред. Нека докажем, че е валидно за производната n + 1 -та поръчка.

Нека разграничим (4):
;



.
Така открихме:
(5) .

Нека заместим в (5) и вземем предвид, че:

.
Това показва, че формула (4) има същия вид за производната n + 1 -та поръчка.

Така че формула (4) е валидна за n = 1 . От предположението, че е валидно за някакво число n = m следва, че е валидно за n = m + 1 .
Формулата на Лайбниц е доказана.

Пример

Изчислете n-та производна на функция
.

Нека приложим формулата на Лайбниц
(2) .
В нашия случай
;
.

от производна таблицание имаме:
.
Ние кандидатстваме свойства на тригонометричните функции :
.
Тогава
.
Това показва, че диференцирането на функцията синус води до нейното изместване с . Тогава
.

Намиране на производни на функцията.
;
;
;
, .

Тъй като за , тогава във формулата на Лайбниц само първите три членове са различни от нула. Намиране на биномни коефициенти.
;
.

Според формулата на Лайбниц имаме:

.

Вижте също:

Решаването на приложни задачи се свежда до изчисляване на интеграла, но не винаги е възможно това да се направи точно. Понякога е необходимо да се знае стойността на определен интеграл с определена степен на точност, например до хилядна.

Има проблеми, когато е необходимо да се намери приблизителната стойност на определен интеграл с необходимата точност, тогава се използва числено интегриране като метода на Симпосни, трапеци и правоъгълници. Не всички случаи ни позволяват да го изчислим с определена точност.

Тази статия разглежда приложението на формулата на Нютон-Лайбниц. Това е необходимо за точното изчисляване на определения интеграл. Ще дадем подробни примери, ще разгледаме промените на променливата в определения интеграл и ще намерим стойностите на определения интеграл при интегриране по части.

Формула на Нютон-Лайбниц

Определение 1

Когато функцията y = y (x) е непрекъсната от интервала [ a ; b ] и F (x) е една от първоизводните на функцията на този сегмент, тогава Формула на Нютон-Лайбницсчитан за справедлив. Нека го запишем така: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Тази формула се счита основната формула на интегралното смятане.

За да се получи доказателство на тази формула, е необходимо да се използва концепцията за интеграл с налична променлива горна граница.

Когато функцията y = f (x) е непрекъсната от интервала [ a ; b ], тогава стойността на аргумента x ∈ a; b , а интегралът има формата ∫ a x f (t) d t и се счита за функция на горната граница. Необходимо е да се вземе нотацията на функцията ще приеме формата ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , тя е непрекъсната и неравенство на формата ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) е валиден за него.

Нека фиксираме, че увеличението на функцията Φ (x) съответства на увеличението на аргумента ∆ x , необходимо е да използваме петото основно свойство на определения интеграл и получаваме

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

където стойност c ∈ x; x + ∆ x .

Нека фиксираме равенството във формата Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . По дефиниция на производната на функция е необходимо да отидем до границата като ∆ x → 0, тогава получаваме формула под формата Φ " (x) = f (x). Откриваме, че Φ (x) е една от първоизводните за функция от формата y = f (x), разположена на [a;b]. В противен случай изразът може да бъде написан

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, където стойността на C е постоянна.

Нека изчислим F (a), като използваме първото свойство на определения интеграл. Тогава разбираме това

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, следователно получаваме, че C = F (a). Резултатът е приложим при изчисляване на F (b) и получаваме:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), с други думи, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( а ) . Равенството се доказва чрез формулата на Нютон-Лайбниц ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Вземаме нарастването на функцията като F x a b = F (b) - F (a) . Използвайки нотацията, формулата на Нютон-Лайбниц приема формата ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

За прилагане на формулата е необходимо да се знае една от първоизводните y = F (x) на функцията под интегранд y = f (x) от отсечката [ a ; b ], изчислете нарастването на антипроизводната от този сегмент. Нека да разгледаме няколко примера за изчисления, използващи формулата на Нютон-Лайбниц.

Пример 1

Изчислете определения интеграл ∫ 1 3 x 2 d x с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

Решение

Считаме, че интегралната функция на формата y = x 2 е непрекъсната от интервала [ 1 ; 3 ], то той е интегрируем на този интервал. От таблицата на неопределените интеграли виждаме, че функцията y = x 2 има набор от антипроизводни за всички реални стойности на x, което означава x ∈ 1; 3 ще бъде записано като F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо е да вземем първоизводната с C = 0, тогава получаваме, че F (x) = x 3 3.

Използваме формулата на Нютон-Лайбниц и откриваме, че изчислението на определения интеграл приема формата ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Отговор:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Пример 2

Изчислете определения интеграл ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x с помощта на формулата на Нютон-Лайбниц.

Решение

Дадената функция е непрекъсната от интервала [ - 1 ; 2 ], което означава, че е интегрируем върху него. Необходимо е да се намери стойността на неопределения интеграл ∫ x · e x 2 + 1 d x, като се използва методът на подреждане под диференциалния знак, след което получаваме ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Следователно имаме набор от първоизводни на функцията y = x · e x 2 + 1, които са валидни за всички x, x ∈ - 1; 2.

Необходимо е да се вземе първоизводната при C = 0 и да се приложи формулата на Нютон-Лайбниц. Тогава получаваме израз на формата

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Отговор:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Пример 3

Изчислете интегралите ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Решение

Сегмент - 4; - 1 2 казва, че функцията под знака интеграл е непрекъсната, което означава, че е интегрируема. От тук намираме множеството от първоизводни на функцията y = 4 x 3 + 2 x 2. Разбираме това

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Необходимо е да вземем първоизводната F (x) = 2 x 2 - 2 x, след което, прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме интеграла, който изчисляваме:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Пристъпваме към изчисляването на втория интеграл.

От отсечката [ - 1 ; 1 ] имаме, че подинтегралната функция се счита за неограничена, тъй като lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогава следва, че е необходимо условие за интегрируемост от сегмента. Тогава F (x) = 2 x 2 - 2 x не е първоизводно за y = 4 x 3 + 2 x 2 от интервала [ - 1 ; 1 ], тъй като точка O принадлежи на отсечката, но не е включена в областта на дефиниране. Това означава, че има определен интеграл на Риман и Нютон-Лайбниц за функцията y = 4 x 3 + 2 x 2 от интервала [ - 1 ; 1 ] .

Отговор: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,има определен интеграл на Риман и Нютон-Лайбниц за функцията y = 4 x 3 + 2 x 2 от интервала [ - 1 ; 1 ] .

Преди да използвате формулата на Нютон-Лайбниц, трябва да знаете точно за съществуването на определен интеграл.

Промяна на променлива в определен интеграл

Когато функцията y = f (x) е дефинирана и непрекъсната от интервала [ a ; b], тогава наличният набор [a; b] се счита за обхват от стойности на функцията x = g (z), дефинирана на сегмента α; β със съществуващата непрекъсната производна, където g (α) = a и g β = b, от това получаваме, че ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Тази формула се използва, когато трябва да изчислите интеграла ∫ a b f (x) d x, където неопределеният интеграл има формата ∫ f (x) d x, изчисляваме с помощта на метода на заместване.

Пример 4

Изчислете определен интеграл от вида ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Решение

Функцията интегранд се счита за непрекъсната в интервала на интегриране, което означава, че съществува определен интеграл. Нека запишем, че 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Стойността x = 9 означава, че z = 2 9 - 9 = 9 = 3, а за x = 18 получаваме, че z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, тогава g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. При заместване на получените стойности във формулата ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z получаваме, че

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Според таблицата на неопределените интеграли имаме, че една от първоизводните на функцията 2 z 2 + 9 приема стойността 2 3 a r c t g z 3 . Тогава, когато прилагаме формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме това

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Намирането може да се направи без да се използва формулата ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Ако използваме метода на заместване, използваме интеграл от формата ∫ 1 x 2 x - 9 d x, тогава можем да стигнем до резултата ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

От тук ще извършим изчисления, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц и ще изчислим определения интеграл. Разбираме това

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

Резултатите бяха същите.

Отговор: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Интегриране по части при пресмятане на определен интеграл

Ако на отсечката [ a ; b ] функциите u (x) и v (x) са дефинирани и непрекъснати, тогава техните производни от първи ред v " (x) · u (x) са интегрируеми, следователно от този сегмент за интегрируемата функция u " (x) · v ( x) равенството ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x е вярно.

Формулата може да се използва тогава, необходимо е да се изчисли интегралът ∫ a b f (x) d x и ∫ f (x) d x трябваше да се търси чрез интегриране по части.

Пример 5

Изчислете определения интеграл ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Решение

Функцията x · sin x 3 + π 6 е интегрируема на интервала - π 2 ; 3 π 2, което означава, че е непрекъснато.

Нека u (x) = x, тогава d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x и d (u (x)) = u " (x) d x = d x, и v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . От формулата ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x получаваме, че

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Примерът може да се реши и по друг начин.

Намерете множеството от първоизводни на функцията x · sin x 3 + π 6, като използвате интегриране по части, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Отговор: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter