Tõestuse aluseks on funktsiooni piiri määramine. Võite kasutada teist meetodit, kasutades koosinus- ja siinusnurkade trigonomeetrilisi redutseerimisvalemeid. Väljendage ühte funktsiooni teise kaudu - koosinust läbi siinuse ja eristage siinust keeruka argumendiga.
Vaatleme valemi (Cos(x)) tuletamise esimest näidet"
Funktsiooni y = Cos(x) argumendile x anname tühiselt väikese juurdekasvu Δx. Argumendi x+Δx uue väärtusega saame funktsiooni Cos(x+Δx) uue väärtuse. Siis on funktsiooni Δу juurdekasv võrdne Cos(x+Δx)-Cos(x).
Funktsiooni juurdekasvu ja Δx suhe on järgmine: (Cos(x+Δx)-Cos(x))/Δx. Teostame saadud murru lugejas identsed teisendused. Tuletame meelde nurkade koosinuste erinevuse valemit, tulemuseks on korrutis -2Sin(Δx/2) korrutis Sin(x+Δx/2). Leiame selle korrutise osalise limiidi piiri Δx puhul, kuna Δx kipub olema null. On teada, et esimene (seda nimetatakse tähelepanuväärseks) piirväärtus lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) on võrdne 1-ga ja piir -Sin(x+Δx/2) on võrdne -Sin. (x) kusjuures Δx kipub olema null.
Paneme tulemuse kirja: tuletis (Cos(x))" võrdub - Sin(x).
Mõned inimesed eelistavad sama valemi tuletamiseks teist viisi
Trigonomeetria kursusest teame: Cos(x) on võrdne Sin(0,5·∏-x), samuti Sin(x) on võrdne Cos(0,5·∏-x). Seejärel eristame kompleksfunktsiooni - lisanurga siinust (koosinuse x asemel).
Saame korrutise Cos(0,5·∏-х)·(0,5·∏-х)", kuna siinuse x tuletis on võrdne koosinusega x. Liigume teise valemi juurde Sin(x) = Cos(0,5·∏ - x) asendades koosinuse siinusega, võtame arvesse, et (0,5·∏-x)" = -1. Nüüd saame -Sin(x).
Seega on leitud koosinuse tuletis, y" = -Sin(x) funktsiooni y = Cos(x) jaoks.
Sageli kasutatav näide, kus kasutatakse koosinuse tuletist. Funktsioon y = Cos 2 (x) on keeruline. Esmalt leiame astmefunktsiooni diferentsiaali astendajaga 2, see on 2 Cos(x), seejärel korrutame selle tuletisega (Cos(x))", mis on võrdne -Sin(x). Saame y" = -2 Cos(x) Sin(x). Kui rakendame valemit Sin(2 x), topeltnurga siinust, saame lõpptulemuse lihtsustatult
vastus y" = -Sin(2 x)
Hüperboolsed funktsioonid
Neid kasutatakse paljude tehniliste distsipliinide uurimisel: matemaatikas näiteks hõlbustavad integraalide, lahendite arvutamist Neid väljendatakse trigonomeetriliste funktsioonide kaudu imaginaarse argumendiga, näiteks hüperboolne koosinus ch(x) = Cos(i x ), kus i on imaginaarne ühik, hüperboolne siinus sh(x) = Sin(i x).
Hüperboolse koosinuse tuletis arvutatakse üsna lihtsalt.
Vaatleme funktsiooni y = (e x +e -x)/2, see on hüperboolne koosinus ch(x). Kasutame reeglit kahe avaldise summa tuletise leidmiseks, reeglit konstantteguri (Const) viimiseks tuletise märgist kaugemale. Teine liige 0,5 e -x on kompleksfunktsioon (selle tuletis on -0,5 e -x), 0,5 e x on esimene liige. (ch(x)) "=((e x +e - x)/2)" saab kirjutada erinevalt: (0,5 e x +0,5 e - x)" = 0,5 e x -0,5 e - x, kuna tuletis (e - x)" võrdub -1 korrutisega e - x. Tulemuseks on erinevus ja see on hüperboolne siinus sh(x).
Järeldus: (ch(x))" = sh (x).
Vaatame näidet, kuidas arvutada funktsiooni y = ch(x 3 +1) tuletist.
Kompleksargumendiga hüperboolse koosinuse järgi y" = sh(x 3 +1)·(x 3 +1)", kus (x 3 +1)" = 3 · x 2 +0.
Vastus: selle funktsiooni tuletis on 3 x 2 sh(x 3 +1).
Vaadeldavate funktsioonide y = ch(x) ja y = Cos(x) tuletised on toodud tabelina
Näidete lahendamisel pole vaja neid iga kord pakutud skeemi järgi eristada, piisab tuletise kasutamisest.
Näide. Eristage funktsioon y = Cos(x)+Cos 2 (-x)-Ch(5 x).
Seda on lihtne arvutada (kasutame tabeliandmeid), y" = -Sin(x)+Sin(2 x)-5 Sh(5 x).
Selles tunnis õpime rakendama valemeid ja eristamise reegleid.
Näited. Leia funktsioonide tuletised.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Reegli rakendamine I, valemid 4, 2 ja 1. Saame:
y’=7x6 +5x4-4x3 +3x2-2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Lahendame sarnaselt, kasutades samu valemeid ja valemit 3.
y’=3∙6x5-2=18x5-2.
Reegli rakendamine I, valemid 3, 5
Ja 6
Ja 1.
Reegli rakendamine IV, valemid 5
Ja 1
.
Viiendas näites reegli järgi I summa tuletis võrdub tuletiste summaga ja just leidsime 1. liikme tuletise (näide 4 ), seetõttu leiame tuletised 2 Ja 3 tingimused ja 1. jaoks summand saame kohe tulemuse kirjutada.
Teeme vahet 2 Ja 3 terminid valemi järgi 4
. Selleks teisendame nimetajates oleva kolmanda ja neljanda astme juured negatiivsete astendajatega astmeteks ja seejärel vastavalt 4
valem, leiame astmete tuletised.
Vaadake seda näidet ja tulemust. Kas sa said mustri kinni? Hästi. See tähendab, et meil on uus valem ja saame selle lisada oma tuletiste tabelisse.
Lahendame kuuenda näite ja tuletame teise valemi.
Kasutame reeglit IV ja valem 4
. Vähendame saadud murde.
Vaatame seda funktsiooni ja selle tuletist. Muidugi mõistate mustrit ja olete valmis valemit nimetama:
Õppige uusi valemeid!
Näited.
1. Leia argumendi juurdekasv ja funktsiooni y= juurdekasv x 2, kui argumendi algväärtus oli võrdne 4 ja uus - 4,01 .
Lahendus.
Uus argumendi väärtus x=x 0 +Δx. Asendame andmed: 4.01=4+Δх, siit ka argumendi juurdekasv Δх=4,01-4 = 0,01. Funktsiooni juurdekasv on definitsiooni järgi võrdne funktsiooni uue ja eelmiste väärtuste erinevusega, st. Δy=f (x 0 + Δx) - f (x 0). Kuna meil on funktsioon y=x2, See Δу=(x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 = (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 = 2x 0 · Δx+(Δx) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Vastus: argumentide juurdekasv Δх=0,01; funktsiooni juurdekasv Δу=0,0801.
Funktsiooni juurdekasvu võib leida erinevalt: Δy=y (x 0 + Δx) -y (x 0) = y (4,01) -y (4) = 4,01 2 - 4 2 = 16,0801-16 = 0,0801.
2. Leia funktsiooni graafiku puutuja kaldenurk y=f(x) punktis x 0, Kui f "(x 0) = 1.
Lahendus.
Tuletise väärtus puutepunktis x 0 ja on puutuja nurga puutuja väärtus (tuletise geomeetriline tähendus). Meil on: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, sest tg45° = 1.
Vastus: selle funktsiooni graafiku puutuja moodustab nurga Ox-telje positiivse suunaga 45°.
3. Tuletage funktsiooni tuletise valem y=xn.
Eristumine on funktsiooni tuletise leidmise toiming.
Tuletisi leidmisel kasutage valemeid, mis tuletati tuletise definitsiooni alusel, samamoodi nagu tuletasime tuletise astme valemi: (x n)" = nx n-1.
Need on valemid.
Tuletisinstrumentide tabel Verbaalsete sõnastuste hääldamisel on seda lihtsam meelde jätta:
1. Konstantse suuruse tuletis on null.
2. X algarvu on võrdne ühega.
3. Konstantteguri saab tuletise märgist välja võtta.
4. Astme tuletis on võrdne selle astme eksponendi korrutisega sama alusega astme võrra, kuid eksponent on ühe võrra väiksem.
5. Juure tuletis võrdub ühega, mis on jagatud kahe võrdse juurega.
6. Ühe jagatuna x-ga tuletis võrdub miinus üks jagatuna x-ga ruudus.
7. Siinuse tuletis on võrdne koosinusega.
8. Koosinuse tuletis on võrdne miinussiinusega.
9. Puutuja tuletis võrdub ühega, mis on jagatud koosinuse ruuduga.
10. Kootangensi tuletis on miinus üks jagatuna siinuse ruuduga.
Me õpetame diferentseerimisreeglid.
1.
Algebralise summa tuletis on võrdne terminite tuletiste algebralise summaga.
2. Korrutise tuletis on võrdne esimese ja teise teguri tuletise korrutisega pluss esimese teguri ja teise teguri tuletis.
3. Tuletis "y" jagatud "ve"-ga võrdub murdosaga, milles lugeja on "y algarvu korrutis "ve" miinus "y korrutatud ve-ga" ja nimetaja on "ve ruudus".
4. Valemi erijuhtum 3.
Õpime koos!
Lehekülg 1/1 1
Tuletisarvutus- üks olulisemaid tehteid diferentsiaalarvutuses. Allpool on tabel lihtsate funktsioonide tuletiste leidmiseks. Keerulisemate diferentseerimisreeglite kohta vaadake teisi õppetükke:- Eksponent- ja logaritmfunktsioonide tuletiste tabel
Lihtfunktsioonide tuletised
1. Arvu tuletis on nullс´ = 0
Näide:
5´ = 0
Selgitus:
Tuletis näitab kiirust, millega funktsiooni väärtus muutub selle argumendi muutumisel. Kuna arv ei muutu ühelgi tingimusel, on selle muutumise kiirus alati null.
2. Muutuja tuletis võrdne ühega
x´ = 1
Selgitus:
Argumendi (x) iga suurendamisega ühe võrra suureneb funktsiooni väärtus (arvutuse tulemus) sama palju. Seega on funktsiooni y = x väärtuse muutumise kiirus täpselt võrdne argumendi väärtuse muutumise kiirusega.
3. Muutuja ja teguri tuletis on võrdne selle teguriga
сx´ = с
Näide:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Selgitus:
Sel juhul muutub iga kord, kui funktsiooni argument ( X) selle väärtus (y) suureneb Koosüks kord. Seega on funktsiooni väärtuse muutumise kiirus argumendi muutumise kiiruse suhtes täpselt võrdne väärtusega Koos.
Kust see järeldub
(cx + b)" = c
see tähendab, et lineaarfunktsiooni y=kx+b diferentsiaal on võrdne sirge (k) kaldega.
4. Muutuja moodultuletis võrdne selle muutuja ja selle mooduli jagatisega
|x|"= x / |x| eeldusel, et x ≠ 0
Selgitus:
Kuna muutuja tuletis (vt valem 2) on võrdne ühega, erineb mooduli tuletis ainult selle poolest, et funktsiooni muutumise kiiruse väärtus muutub lähtepunkti ületamisel vastupidiseks (proovi joonistada graafik funktsiooni y = |x| ja vaadake ise. See on täpselt see väärtus ja tagastab avaldise x / |x|. Kui x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - üks. See tähendab, et muutuja x negatiivsete väärtuste korral väheneb funktsiooni väärtus iga argumendi suurenemisega täpselt sama väärtuse võrra ja positiivsete väärtuste korral see vastupidi suureneb, kuid täpselt sama väärtuse võrra. .
5. Muutuja tuletis astmest võrdne selle astme arvu ja muutuja korrutisega astmega, mida on vähendatud ühe võrra
(x c)"= cx c-1 tingimusel, et x c ja cx c-1 on defineeritud ja c ≠ 0
Näide:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Valemi meeldejätmiseks:
Liigutage muutuja astet tegurina allapoole ja seejärel vähendage astet ühe võrra. Näiteks x 2 puhul - need kaks olid x-st ees ja siis andis vähendatud võimsus (2-1 = 1) meile lihtsalt 2x. Sama juhtus ka x 3 puhul - “liigutame” kolmiku alla, vähendame seda ühe võrra ja kuubi asemel on ruut, see tähendab 3x 2. Natuke "ebateaduslik", kuid väga lihtne meelde jätta.
6.Murru tuletis 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Näide:
Kuna murdosa saab kujutada negatiivse astmeni tõstmisena
(1/x)" = (x -1)", siis saate rakendada tuletiste tabeli 5. reegli valemit
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Murru tuletis suvalise astme muutujaga nimetajas
(1/x c)" = - c / x c+1
Näide:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Juure tuletis(ruutjuure all oleva muutuja tuletis)
(√x)" = 1 / (2√x) või 1/2 x -1/2
Näide:
(√x)" = (x 1/2)" tähendab, et saate rakendada 5. reegli valemit
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Suvalise astme juure all oleva muutuja tuletis
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
Tuletise arvutamist leidub sageli ühtse riigieksami ülesannetes. Sellel lehel on tuletisinstrumentide leidmise valemite loend.
Eristamise reeglid
- (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Kompleksfunktsiooni tuletis. Kui y=F(u) ja u=u(x), siis funktsiooni y=f(x)=F(u(x)) nimetatakse x kompleksfunktsiooniks. Võrdne y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Implitsiitse funktsiooni tuletis. Funktsiooni y=f(x) nimetatakse kaudseks funktsiooniks, mis on defineeritud seosega F(x,y)=0, kui F(x,f(x))≡0.
- Pöördfunktsiooni tuletis. Kui g(f(x))=x, siis funktsiooni g(x) nimetatakse funktsiooni y=f(x) pöördfunktsiooniks.
- Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis. Olgu x ja y määratud muutuja t funktsioonidena: x=x(t), y=y(t). Nad ütlevad, et y=y(x) on parameetriliselt määratletud funktsioon vahemikus x∈ (a;b), kui sellel intervallil saab võrrandit x=x(t) väljendada kujul t=t(x) ja funktsiooni y=y(t(x))=y(x).
- Võimsuse eksponentsiaalfunktsiooni tuletis. Leitakse, võttes logaritmid loomuliku logaritmi alusele.
Esitatakse koosinuse - cos(x) tuletise valemi tõestus ja tuletus. Näited cos 2x, cos 3x, cos nx, koosinuse ruudu, kuubi ja astme n tuletiste arvutamise kohta. N-ndat järku koosinuse tuletise valem.
SisuVaata ka: Siinus ja koosinus - omadused, graafikud, valemid
Tuletis muutuja x suhtes x koosinusest on võrdne miinus x siinus:
(cos x)′ = - sin x.
Tõestus
Koosinuse tuletise valemi tuletamiseks kasutame tuletise määratlust:
.
Teisendame selle avaldise, et taandada see teadaolevateks matemaatilisteks seadusteks ja reegliteks. Selleks peame teadma nelja omadust.
1)
Trigonomeetrilised valemid. Vajame järgmist valemit:
(1)
;
2)
Siinusfunktsiooni pidevuse omadus:
(2)
;
3)
Esimese tähelepanuväärse piiri tähendus:
(3)
;
4)
Kahe funktsiooni korrutise piiri omadus:
Kui ja, siis
(4)
.
Rakendame neid seadusi oma piirini. Kõigepealt teisendame algebralise avaldise
.
Selleks rakendame valemit
(1)
;
Meie puhul
; . Siis
;
;
;
.
Teeme asendus. Kell , . Kasutame järjepidevuse omadust (2):
.
Teeme sama asendus ja rakendame esimest tähelepanuväärset piiri (3):
.
Kuna ülal arvutatud piirangud on olemas, rakendame omadust (4):
.
Nii saime koosinuse tuletise valemi.
Näited
Vaatame lihtsaid näiteid koosinust sisaldavate funktsioonide tuletiste leidmisest. Leiame järgmiste funktsioonide tuletised:
y = cos 2x; y = cos 3x; y = cos nx; y = sest 2x; y = sest 3x ja y = cos n x.
Näide 1
Leia tuletised cos 2x, sest 3x Ja cosnx.
Algsed funktsioonid on sarnase kujuga. Seetõttu leiame funktsiooni tuletise y = cosnx. Siis tuletisena cosnx, asenda n = 2 ja n = 3 . Ja seega saame valemid tuletisteks sest 2x Ja sest 3x .
Niisiis, leiame funktsiooni tuletise
y = cosnx
.
Kujutagem ette seda muutuja x funktsiooni kompleksfunktsioonina, mis koosneb kahest funktsioonist:
1)
2)
Siis on algfunktsioon kompleksne (liit)funktsioon, mis koosneb funktsioonidest ja :
.
Leiame funktsiooni tuletise muutuja x suhtes:
.
Leiame funktsiooni tuletise muutuja suhtes:
.
Kandideerime.
.
Asendame:
(P1) .
Nüüd asendame valemis (A1) ja:
;
.
;
;
.
Näide 2
Leia koosinuse ruudu, koosinuse ja koosinuse tuletised astmele n:
y = sest 2x; y = sest 3x; y = cos n x.
Selles näites on funktsioonidel ka sarnane välimus. Seetõttu leiame kõige üldisema funktsiooni tuletise - koosinuse astmele n:
y = cos n x.
Seejärel asendame n = 2 ja n = 3. Ja seega saame koosinuse ruudu ja koosinuse kuubiku tuletiste valemid.
Seega peame leidma funktsiooni tuletise
.
Kirjutame selle arusaadavamal kujul ümber:
.
Kujutleme seda funktsiooni keeruka funktsioonina, mis koosneb kahest funktsioonist:
1)
Funktsioonid olenevalt muutujast: ;
2)
Funktsioonid olenevalt muutujast: .
Siis on algfunktsioon keerukas funktsioon, mis koosneb kahest funktsioonist ja :
.
Leia funktsiooni tuletis muutuja x suhtes:
.
Leidke funktsiooni tuletis muutuja suhtes:
.
Rakendame keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglit.
.
Asendame:
(P2) .
Nüüd asendame ja:
;
.
;
;
.
Kõrgemat järku tuletisväärtpaberid
Pange tähele, et tuletis cos x esimest järku saab väljendada koosinuse kaudu järgmiselt:
.
Leiame teist järku tuletise, kasutades kompleksfunktsiooni tuletise valemit:
.
siin .
Pange tähele, et diferentseerimine cos x põhjustab selle argumendi suurenemise võrra . Siis on n-ndat järku tuletis järgmine vorm:
(5)
.
Seda valemit saab rangemalt tõestada matemaatilise induktsiooni meetodil. Siinuse n-nda tuletise tõestus on toodud leheküljel “Siinuse tuletis”. Koosinuse n-nda tuletise puhul on tõestus täpselt sama. Kõigis valemites peate lihtsalt asendama patu cos-iga.
Vaata ka: