اگر مورب ها در زاویه قائمه همدیگر را قطع کنند، ... اشکال هندسی لوزی. قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند

دوره ویدیویی "Get a A" شامل تمام موضوعات لازم برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی واحد در ریاضیات با 60-65 امتیاز است. به طور کامل تمام وظایف 1-13 از آزمون دولتی یکپارچه پروفایل در ریاضیات. همچنین برای قبولی در آزمون پایه یکپارچه دولتی در ریاضیات مناسب است. اگر می خواهید در آزمون یکپارچه دولتی با 90-100 امتیاز قبول شوید، باید قسمت 1 را در 30 دقیقه و بدون اشتباه حل کنید!

دوره آمادگی برای آزمون یکپارچه دولتی برای پایه های 10-11 و همچنین برای معلمان. هر آنچه برای حل قسمت 1 آزمون دولتی واحد ریاضی (12 مسئله اول) و مسئله 13 (مثلثات) نیاز دارید. و این بیش از 70 امتیاز در آزمون یکپارچه دولتی است و نه یک دانش آموز 100 امتیازی و نه دانش آموز علوم انسانی نمی تواند بدون آنها باشد.

تمام تئوری لازم راه های سریعراه حل ها، دام ها و اسرار آزمون یکپارچه دولتی. تمام وظایف فعلی بخش 1 از بانک وظیفه FIPI تجزیه و تحلیل شده است. این دوره به طور کامل با الزامات آزمون یکپارچه دولتی 2018 مطابقت دارد.

این دوره شامل 5 موضوع بزرگ است که هر کدام 2.5 ساعت است. هر موضوع از ابتدا، ساده و واضح ارائه شده است.

صدها تکلیف یکپارچه آزمون دولتی. مسائل کلمه و نظریه احتمال. الگوریتم های ساده و آسان برای به خاطر سپردن برای حل مسائل. هندسه. تئوری، مواد مرجع، تجزیه و تحلیل انواع وظایف آزمون دولتی واحد. استریومتری. راه حل های حیله گر، برگه های تقلب مفید، توسعه تخیل فضایی. مثلثات از ابتدا تا مسئله 13. درک به جای انباشته کردن. توضیحات واضح مفاهیم پیچیده جبر. ریشه ها، توان ها و لگاریتم ها، تابع و مشتق. مبنایی برای حل مشکلات پیچیده قسمت 2 آزمون یکپارچه دولتی.

در میان انواع اشکال هندسی، چهارضلعی مانند لوزی به طور قابل توجهی خودنمایی می کند. حتی نام آن برای تعیین چهارگوش معمولی نیست. و اگرچه در هندسه بسیار کمتر از اشکال ساده مانند دایره، مثلث، مربع یا مستطیل یافت می شود، اما نمی توان آن را نادیده گرفت.

در زیر تعریف، خواص و ویژگی های لوزی آورده شده است.

تعریف

لوزی متوازی الاضلاع با اضلاع مساوی است. لوزی در صورتی مربع نامیده می شود که تمام زوایای آن قائمه باشند. اکثر یک نمونه درخشانالماس تصویر کت و شلوار الماس روی کارت بازی است. علاوه بر این، لوزی اغلب بر روی نشان های مختلف نشان داده می شد. نمونه ای از الماس در زندگی روزمره زمین بسکتبال است.

خواص

  1. اضلاع مقابل لوزی روی خطوط موازی قرار دارند و طول یکسانی دارند.
  2. تقاطع مورب های یک لوزی با زاویه 90 درجه در یک نقطه اتفاق می افتد که نقطه وسط آنها است.
  3. مورب های لوزی زاویه ای را که از آن سرچشمه گرفته اند نصف می کنند.
  4. بر اساس ویژگی های متوازی الاضلاع، می توانیم مجموع مربع های قطرها را استخراج کنیم. طبق فرمول، برابر است با ضلعی که به توان درجه دوم افزایش یافته و در چهار ضرب می شود.

نشانه ها

ما باید به وضوح درک کنیم که هر لوزی متوازی الاضلاع است، اما در عین حال، هر متوازی الاضلاع همه نشانگرهای یک لوزی را ندارد. برای تشخیص این دو شکل هندسی، باید ویژگی های یک لوزی را بدانید. ویژگی های این شکل هندسی به شرح زیر است:

  1. هر دو ضلع با راس مشترک با هم برابرند.
  2. قطرها با زاویه 90 درجه سانتیگراد قطع می شوند.
  3. حداقل یک مورب زوایایی را که از نقاط رأس آنها خارج می شود به نصف تقسیم می کند.

فرمول های مساحت

فرمول پایه:

  • S = (AC*BD)/2

بر اساس خواص متوازی الاضلاع:

  • S = (AB*H AB)

بر اساس اندازه زاویه بین دو ضلع مجاور لوزی:

  • S = AB2*sinα

اگر طول شعاع دایره ای را که در یک لوزی محاط شده است بدانیم:

  • S = 4r 2 /(sinα)، که در آن:
    • S - منطقه؛
    • AB، AC، BD - تعیین طرفین؛
    • H - ارتفاع؛
    • r - شعاع دایره؛
    • sinα - آلفای سینوسی.

محیط

برای محاسبه محیط یک لوزی، فقط باید طول هر یک از اضلاع آن را در چهار ضرب کنید.

ساخت نقشه

برخی از افراد در ساختن الگوی الماسی مشکل دارند. حتی اگر قبلاً فهمیده اید که لوزی چیست، همیشه مشخص نیست که چگونه نقاشی آن را به طور دقیق و مطابق با نسبت های لازم بسازید.

دو روش برای ساخت الگوی الماس وجود دارد:

  1. ابتدا یک مورب و سپس مورب دوم عمود بر آن بسازید و سپس انتهای قطعات جفت های مجاور اضلاع موازی لوزی را به هم وصل کنید.
  2. ابتدا یک طرف لوزی را کنار بگذارید، سپس یک قطعه به موازات طول آن بسازید و انتهای این قطعات را نیز به صورت جفت به صورت موازی به هم وصل کنید.

هنگام ساخت مراقب باشید - اگر در نقاشی طول تمام اضلاع لوزی را یکسان کنید، یک لوزی به دست نمی آورید، بلکه یک مربع خواهید داشت.

در شکل 1، $ABCD$ یک لوزی است، $A B=B C=C D=A D$. از آنجایی که لوزی متوازی الاضلاع است، تمام ویژگی های متوازی الاضلاع را دارد، اما ویژگی هایی نیز وجود دارد که فقط ذاتی یک لوزی است.

شما می توانید یک دایره را در هر لوزی قرار دهید. مرکز دایره ای که در یک لوزی محاط شده است، نقطه تلاقی قطرهای آن است. شعاع دایره برابر است با نصف ارتفاع لوزی $r=\frac(A H)(2)$ (شکل 1)

خواص لوزی

  1. قطرهای یک لوزی عمود بر هم هستند.
  2. قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند.

نشانه های الماس

  1. متوازی الاضلاع که قطرهای آن در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند لوزی است.
  2. متوازی الاضلاع که قطرهای آن نیمساز زوایای آن است لوزی است.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال

ورزش.قطرهای لوزی $ABCD$ 6 و 8 سانتی متر است ضلع لوزی را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 1). برای قطعیت، اجازه دهید $A C=6$cm، $B D=8$cm.با خاصیت لوزی، قطرهای آن در زوایای قائمه قطع می شوند. در نقطه تقاطع، مورب ها به نصف تقسیم می شوند (ویژگی متوازی الاضلاع، و لوزی حالت خاصی از متوازی الاضلاع است).

مثلث $A O B$ را در نظر بگیرید. مستطیل شکل است ($\angle O=90^(\circ)$)، $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm، $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ سانتی متر اجازه دهید قضیه فیثاغورث را برای این مثلث بنویسیم:

$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$

بیایید مقادیر پیدا شده $AO$ و $BO$ را جایگزین کنیم،

$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$

پاسخ.ضلع لوزی 5 سانتی متر است.

مثال

ورزش.در لوزی با ضلع 4 سانتی متر یکی از زوایا برابر 60$^(\circ)$ است. قطرهای لوزی را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 2).

اجازه دهید $\angle B=60^(\circ)$ برای قطعیت. سپس، با خاصیت لوزی، قطر $BD$ نیمساز زاویه $B$، $\زاویه A B O=\زاویه O B C=\frac(\ زاویه B)(2)=30^(\circ) است. $. $\Delta O B C$ را در نظر بگیرید، مستطیل شکل است ($\angle B O C=90^(\circ)$) زیرا مورب های یک لوزی در زاویه قائمه همدیگر را قطع می کنند. از آنجایی که $\angle O B C=30^(\circ)، O C=\frac(B C)(2)=2$ dm پایی است که در مقابل زاویه $30^(\circ)$ قرار دارد. با استفاده از قضیه فیثاغورث $B O$ را پیدا می کنیم:

$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$

$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$

$$B O=\sqrt(12)$$

$$B O=2 \sqrt(3)$$

قطرهای یک لوزی در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند، بنابراین

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)

پاسخ.$B D=4 \sqrt(3)$ dm، $A C=4$ dm

مثال

ورزش.در یک لوزی، زاویه تشکیل شده توسط یکی از مورب ها و ضلع لوزی برابر با $27^(\circ)$ است. زوایای لوزی را پیدا کنید.

راه حل.بیایید یک نقاشی بکشیم (شکل 3)

برای مشخص بودن، $\angle K L O=27^(\circ)$. قطرهای یک لوزی نیمساز زوایای آن هستند، بنابراین $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. از آنجایی که لوزی متوازی الاضلاع است، ویژگی های زیر برای آن اعمال می شود: مجموع زوایای مجاور یک ضلع برابر با $180^(\circ)$ و زوایای مقابل برابر هستند. از همین رو،

$\angle M=\ زاویه K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$

پاسخ.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$

$\angle M=\angle K=126^(\circ)$

با اضلاع مساوی لوزی با زاویه قائمه است مربع .

لوزی به عنوان نوعی متوازی الاضلاع در نظر گرفته می شود که دو ضلع مساوی مجاور آن یا با مورب های متقابل عمود بر هم هستند یا با مورب هایی که زاویه را به 2 قسمت مساوی تقسیم می کنند.

خواص لوزی.

1. لوزیمتوازی الاضلاع است، بنابراین اضلاع مقابل هم طول دارند و به صورت جفت موازی هستند، AB || سی دی، AD || آفتاب.

2. زاویه تقاطع مورب هالوزی مستقیم است (AC⊥ BD)و نقطه تقاطع به دو قسمت یکسان تقسیم می شود. یعنی مورب ها لوزی را به 4 مثلث مستطیلی تقسیم می کنند.

3. مورب های یک لوزینیمساز زوایای آن هستند (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBDو غیره. ).

4. مجموع مربع های مورببرابر است با مربع ضلع ضرب در چهار (برگرفته از هویت متوازی الاضلاع).

نشانه های الماس

متوازی الاضلاع آ ب پ تتنها در صورتی لوزی نامیده می شود که حداقل یکی از شرایط زیر وجود داشته باشد:

1. دو ضلع مجاور آن دارای طول یکسان هستند (یعنی تمام اضلاع یک لوزی مساوی هستند. AB=BC=CD=AD).

2. زاویه تقاطع قطرهای یک خط مستقیم ( A.C.⊥ BD).

3. 1 مورب زوایایی را که در آن قرار دارند به دو نیم تقسیم می کند.

ممکن است از قبل ندانیم که چهارضلعی متوازی الاضلاع است، اما می دانیم که همه اضلاع آن برابر هستند. پس این چهار ضلعی لوزی است.

تقارن لوزی.

لوزی متقارن استنسبت به تمام مورب های آن، اغلب در تزئینات و کف پارکت استفاده می شود.

محیط یک لوزی.

محیط یک شکل هندسی- طول کل مرزهای یک شکل هندسی تخت. محیط به اندازه طول است.

AB \سی دی موازی،\;BC \موازی AD

AB = CD، \; BC = AD

2. قطرهای لوزی عمود بر هم هستند.

AC\perp BD

اثبات

از آنجایی که لوزی متوازی الاضلاع است، قطرهای آن به نصف تقسیم می شوند.

این بدان معنی است که \ مثلث BOC = \مثلث DOC در سه ضلع (BO = OD، OC - مفصل، BC = CD). ما دریافت می کنیم که \ زاویه BOC = \ زاویه COD و آنها مجاور هستند.

فلش راست \ زاویه BOC = 90^(\circ)و \ زاویه COD = 90^(\circ) .

3. نقطه تقاطع مورب ها آنها را به نصف تقسیم می کند.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. قطرهای لوزی نیمساز زوایای آن هستند.

\ زاویه 1 = \ زاویه 2; \; \ زاویه 5 = \ زاویه 6;

\ زاویه 3 = \ زاویه 4; \; \ زاویه 7 = \ زاویه 8.

اثبات

با توجه به اینکه مورب ها توسط نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند و تمام اضلاع لوزی با یکدیگر برابر هستند، کل شکل توسط مورب ها به 4 مثلث مساوی تقسیم می شود:

\ مثلث BOC،\; \ مثلث BOA,\; \مثلث AOD،\; مثلث COD.

این بدان معنی است که BD، AC نیمساز هستند.

5. مورب ها از یک لوزی 4 مثلث قائم الزاویه تشکیل می دهند.

6. هر لوزی می تواند حاوی دایره ای باشد که مرکز آن در نقطه تلاقی قطرهایش قرار دارد.

7. مجموع مربع های مورب برابر است با مربع یکی از اضلاع لوزی ضرب در چهار

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

نشانه های الماس

1. متوازی الاضلاع با قطرهای عمود بر هم لوزی است.

\begin(موردها) AC \perp BD \\ ABCD \end (موارد)- متوازی الاضلاع، \Rightarrow ABCD - لوزی.

اثبات

ABCD متوازی الاضلاع \Rightarrow AO = CO است. BO = OD. همچنین بیان شده است که AC \perp BD \Rightarrow \مثلث AOB = \مثلث BOC = \مثلث COD = \مثلث AOD- روی 2 پا

معلوم می شود که AB = BC = CD = AD.

ثابت شده!

2. هنگامی که در متوازی الاضلاع حداقل یکی از مورب ها هر دو زاویه (که از آن می گذرد) را به نصف تقسیم کند، این شکل یک لوزی خواهد بود.

اثبات

در یک یادداشت:هر شکل (چهارضلعی) با قطرهای عمود بر هم لوزی نخواهد بود.

به عنوان مثال:

با وجود عمود بودن قطرها، این دیگر لوزی نیست.

برای تمایز، لازم به یادآوری است که ابتدا چهارضلعی باید متوازی الاضلاع باشد و داشته باشد