Définition statistique de la probabilité
Tâche 2. Le tireur tire un coup sur la cible. Estimez la probabilité qu’il atteigne la cible.
Solution. Dans cette expérience, deux issues sont possibles : soit le tireur touche la cible (événement UN), ou il a manqué (événement). Événements UN et sont incompatibles et forment un groupe complet. Cependant, dans le cas général, on ne sait pas si elles sont également possibles ou non. Par conséquent, dans ce cas, il est impossible d’utiliser la définition classique de la probabilité d’un événement aléatoire. Le problème peut être résolu en utilisant une détermination statistique de la probabilité d'un événement aléatoire.
Définition 1.12. Fréquence relative de l'événement UN est le rapport du nombre d'essais dans lesquels l'événement UN apparu, au nombre total de tests effectivement effectués.
Ainsi, la fréquence relative de l'événement UN peut être calculé à l'aide de la formule
Où k– nombre d’occurrences de l’événement UN, je– nombre total de tests.
Remarque 1.2. La principale différence est la fréquence relative d'un événement UN de sa probabilité classique est que la fréquence relative est toujours trouvée sur la base des résultats des tests. Pour calculer la probabilité classique, il n’est pas nécessaire d’expérimenter.
Des observations à long terme ont montré que si une série d'expériences est réalisée dans des conditions identiques, dans chacune desquelles le nombre de tests est suffisamment important, alors la fréquence relative révèle propriété de stabilité. Cette propriété est que dans différentes séries d'expériences, la fréquence relative W( UN) change peu (moins il y en a, plus on effectue de tests), fluctuant autour d'un certain nombre constant.
Comme probabilité statistique d'un événement prendre une fréquence relative ou un nombre proche.
Revenons à la tâche 2 sur le calcul de la probabilité d'un événement UN(le tireur atteindra la cible). Pour le résoudre, il est nécessaire d'effectuer plusieurs séries d'un nombre suffisamment important de tirs sur la cible dans les mêmes conditions. Cela vous permettra de calculer la fréquence relative et d'estimer la probabilité de l'événement. UN.
L'inconvénient de la définition statistique est l'ambiguïté de la probabilité statistique. Par exemple, si W( UN)»0,4, puis comme probabilité de l'événement UN vous pouvez accepter 0,4, 0,39 et 0,41.
Remarque 1.3. La définition statistique de la probabilité permet de pallier le deuxième inconvénient de la définition classique de la probabilité.
Qu'il y ait des personnages dans l'avion g Et g, et gÌ g(Fig. 1.1).
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Remarque 1.4. Au cas où g Et g– segments de droite, probabilité d’un événement UNégal au rapport des longueurs de ces segments. Si g Et g– des corps dans un espace tridimensionnel, puis la probabilité d'un événement UN trouvé comme le rapport des volumes de ces corps. Donc, dans le cas général Où mes est la métrique de l’espace considéré. Remarque 1.5. La définition géométrique de la probabilité s'applique aux essais avec un nombre infini de résultats. Exemple 1.13. Deux personnes ont convenu de se rencontrer à un certain endroit entre midi et 13 heures, et chaque personne qui vient à la réunion attend l'autre pendant 20 minutes, mais pas plus longtemps que jusqu'à 13 heures, après quoi elle part. Trouvez la probabilité de rencontrer ces personnes si chacune d’elles arrive à un moment aléatoire, non coordonné avec le moment d’arrivée de l’autre. Solution. Laissez l'événement UN- la réunion a eu lieu. Notons par X– l’heure d’arrivée de la première personne à la réunion, oui- l'heure d'arrivée de la deuxième personne. Alors l’ensemble de tous les résultats possibles de l’expérience est l’ensemble de toutes les paires ( X, oui), Où X, oui JE . Et l’ensemble des résultats favorables est déterminé par l’inégalité |X – oui| 20 £ (min). Ces deux ensembles sont infinis, la définition classique ne peut donc pas être utilisée pour calculer la probabilité. Utilisons la définition géométrique. En figue. 1.2 montre les ensembles de tous les résultats possibles (carré OKMT) et des résultats favorables (hexagone OSLMNR). En utilisant la définition 1.13, on obtient Somme et produit des événements. Théorèmes sur la probabilité de la somme et du produit des événements Définition 1.14.Somme des événements A Et B appeler un événement consistant en l'apparition d'au moins l'un d'entre eux. Désignation: UN + B. Définition 1.15.Le produit des événements A Et B appeler un événement consistant en l’apparition simultanée de ces événements dans la même expérience. Désignation: UN B. Exemple 1.14. Une carte est tirée au hasard dans un jeu de 36 cartes. Introduisons la notation suivante : UN– la carte retirée s'est avérée être une reine, B- a sorti une carte de la couleur pique. Trouver des probabilités d'événements UN + B Et UN B. Solution. Événement UN + B Cela se produira si la carte tirée est une couleur de pique ou une reine. Cela signifie que l'événement en question est favorisé par 13 résultats (l'une des 9 cartes de la couleur de pique, l'une des 3 dames de l'autre couleur) sur 36 possibles. En utilisant la définition classique de la probabilité d’un événement aléatoire, on obtient Événement UN B se produit si la carte tirée est composée de pique et d'une reine. Par conséquent, l'événement UN B un seul résultat de l'expérience (la Dame de Pique) sur 36 possibles est favorable. En tenant compte de la définition 1.11 on obtient Remarque 1.6. Les définitions de la somme et du produit des événements peuvent être étendues à n’importe quel nombre d’événements. Lors du calcul de la probabilité de la somme et du produit des événements, il est pratique d'utiliser les affirmations suivantes. Théorème 1.1. La probabilité de survenance de l'un des deux événements incompatibles, quel que soit celui-ci, est égale à la somme des probabilités de ces événements P( UN+B)=P( UN)+P( B). Corollaire 1.1. La probabilité d'apparition de l'un de plusieurs événements incompatibles par paires, quel que soit celui-ci, est égale à la somme des probabilités de ces événements P( UN 1 +UN 2 +…+Un)=P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un). Corollaire 1.2. Somme des probabilités d'événements incompatibles par paires UN 1 , UN 2 ,…, Un, formant un groupe complet, est égal à un P( UN 1)+P( UN 2)+…+P( Un)=1. Corollaire 1.3. Probabilité de l'événement inverse Un événement fortuit a été défini comme un événement qui, du fait de l'expérience, peut ou non se produire. Si, lors du calcul de la probabilité d'un événement, aucune autre restriction (à l'exception des conditions expérimentales) n'est imposée, alors une telle probabilité est dite inconditionnelle. Si d'autres conditions supplémentaires sont imposées, alors la probabilité de l'événement est dite conditionnelle. Définition 1.16.Probabilite conditionnelle P. B(UN) (ou P( UN|B)) est appelée la probabilité d'un événement UN, calculé en supposant que l'événement B est déjà arrivé. En utilisant le concept de probabilité conditionnelle, nous donnerons une définition de l'indépendance des événements différente de celle donnée précédemment. Définition 1.17. Événement A indépendant de l'événement B, s'il y a égalité Dans les questions pratiques, pour déterminer l'indépendance d'événements donnés, on se tourne rarement vers la vérification du respect des égalités (1.3) et (1.4) pour eux. Habituellement, des considérations intuitives basées sur l’expérience sont utilisées à cet effet. Définition 1.18. Plusieurs événements sont convoqués indépendant par paire, si tous les deux sont indépendants. Définition 1.19. Plusieurs événements sont convoqués collectivement indépendant, s'ils sont indépendants par paire et que chaque événement et tous les produits possibles des autres sont indépendants. Théorème 1.2. La probabilité de survenance conjointe de deux événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux et de la probabilité conditionnelle de l'autre, calculée en supposant que le premier événement s'est déjà produit. Selon le choix de la séquence d'événements, le théorème 1.2 peut s'écrire sous la forme P( UN B) = P( UN)P UN(B) P( UN B) = P( B)P B(UN). Corollaire 1.4. La probabilité d'occurrence conjointe de plusieurs événements est égale au produit de la probabilité de l'un d'eux et des probabilités conditionnelles de tous les autres, et la probabilité de chaque événement ultérieur est calculée en supposant que tous les événements précédents sont déjà apparus. Dans ce cas, l'ordre dans lequel se situent les événements peut être choisi de n'importe quelle manière. Exemple 1.15. Il y a 6 boules blanches et 3 boules noires dans l'urne. Une boule à la fois est tirée de l'urne jusqu'à ce que le noir apparaisse. Trouvez la probabilité qu'un quatrième tirage doive être effectué si les boules ne sont pas remises dans l'urne. Solution. Dans l'expérience considérée, un quatrième tirage doit être effectué si les trois premières boules s'avèrent blanches. Notons par Un je un événement qui se produit lorsque je Au -ème retrait, une boule blanche apparaîtra ( je= 1, 2, 3). La tâche consiste à trouver la probabilité d'un événement UN 1 UN 2 UN 3. Puisque les boules retirées ne sont pas restituées, les événements UN 1 , UN 2 et UN 3 sont dépendants (chaque précédent affecte la possibilité du suivant). Pour calculer la probabilité, nous utiliserons le corollaire 1.4 et la définition classique de la probabilité d'un événement aléatoire, à savoir Corollaire 1.5. La probabilité de survenance conjointe de deux événements indépendants est égale au produit de leurs probabilités P( UN B)=P( UN)P( B). Corollaire 1.6. La probabilité de survenance conjointe de plusieurs événements indépendants dans l'ensemble est égale au produit de leurs probabilités P( UN 1 UN 2 …Un)=P( UN 1)P( UN 2)…P( Un). Exemple 1.16. Résolvez le problème de l'exemple 1.15, en supposant qu'après chaque retrait, les boules sont remises dans l'urne. Solution. Comme précédemment (exemple 1.15), vous devez trouver P( UN 1 UN 2 UN 3). Cependant, les événements UN 1 , UN 2 et UN 3 sont collectivement indépendants, car La composition de l'urne est la même pour chaque prélèvement et, par conséquent, le résultat d'un seul test n'affecte pas les autres. Ainsi, pour calculer la probabilité, nous utiliserons le corollaire 1.6 et la définition 1.11 de la probabilité d'un événement aléatoire, à savoir P( UN 1 UN 2 UN 3)=P( UN 1)P( UN 2)P( UN 3)= = . Théorème 1.3. La probabilité de survenance d'au moins un des deux événements conjoints est égale à la somme des probabilités de ces événements sans la probabilité de leur survenance conjointe
Remarque 1.7. Lorsqu'on utilise la formule (1.5), il faut garder à l'esprit que les événements UN Et B peut être dépendant ou indépendant. Exemple 1.17. Deux tireurs ont tiré chacun un coup sur la cible. On sait que la probabilité d'atteindre la cible pour l'un des tireurs est de 0,6 et pour l'autre de 0,7. Trouver la probabilité que a) les deux tireurs touchent la cible (événement D); b) un seul des tireurs atteindra la cible (événement E); c) au moins un des tireurs atteint la cible (événement F). Solution. Introduisons la notation suivante : UN– le premier tireur a touché la cible, B– le deuxième tireur a touché la cible. Par condition P( UN) = 0,6 et P( B) = 0,7. Nous répondrons aux questions posées. a) Événement D se produira si l'événement se produit UN B. Depuis les événements UN Et B indépendant, alors en tenant compte du corollaire 1.5 on obtient P( D) = P( UN B) = P( UN)P( B) = 0,6×0,7 = 0,42. b) Événement E se produira si l'un des événements se produit UN ou B. Ces événements sont incompatibles et les événements UN() Et B() sont indépendants, donc d'après le théorème 1.1 et les corollaires 1.3 et 1.5 nous avons P( E) = P( UN+ B) = P( UN) + P( B) = P( UN)P() + P()P( B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. c) Événement F se produira si au moins un des événements se produit UN ou B. Ces événements sont conjoints. Par conséquent, d’après le théorème 1.3, nous avons P( F) = P( UN+B) = P( UN) + P( B) - P( UN B) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Notez que la probabilité d'un événement F aurait pu être calculé différemment. À savoir P( F) = P( UN+ B + UN B) = P( UN) + P( B) + P( UN B) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88. Formule de probabilité totale. Formules bayésiennes Laissez l'événement UN peut survenir sous réserve de la survenance d’un des événements incompatibles B 1 , B 2 ,…, Bn, formant un groupe complet. Puisqu’on ne sait pas à l’avance lequel de ces événements se produira, on les appelle hypothèses. Estimer la probabilité qu'un événement se produise UN Avant de mener l'expérience, vous pouvez utiliser l'énoncé suivant. Théorème 1.4. Probabilité de l'événement UN, qui ne peut se produire que si l'un des événements incompatibles se produit B 1 , B 2 ,…, Bn, formant un groupe complet, est égal à
La formule (1.6) s'appelle formules de probabilité totale. Exemple 1.18. Pour réussir l'examen, les étudiants devaient préparer 30 questions. Sur 25 étudiants, 10 ont préparé toutes les questions, 8 ont préparé 25 questions, 5 ont préparé 20 questions et 2 ont préparé 15 questions. Trouvez la probabilité qu'un élève appelé au hasard réponde à la question posée. Solution. Introduisons la notation suivante : UN– un événement consistant dans le fait qu’un étudiant appelé au hasard a répondu à la question posée, B 1 - un élève appelé au hasard connaît les réponses à toutes les questions, B 2 - un élève appelé au hasard connaît les réponses à 25 questions, B 3 - un élève appelé au hasard connaît les réponses à 20 questions et B 4 - un élève appelé au hasard connaît les réponses à 15 questions. Notez que les événements B 1 ,B 2 ,B 3 et B 4 sont incompatibles, forment un groupe complet, et l'événement UN peut survenir si l’un de ces événements se produit. Par conséquent, pour calculer la probabilité d’un événement UN vous pouvez utiliser la formule de probabilité totale (1.6) : Selon les conditions du problème, les probabilités des hypothèses sont connues P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = et probabilités conditionnelles (probabilités pour les élèves de chacun des quatre groupes de répondre à la question posée) 1, = , = , = . Ainsi, P( UN) = ×1 + × + × + × = . Supposons qu'un test ait été effectué, à la suite duquel un événement s'est produit UN, et lequel des événements B je (je =1, 2,…, n) s'est produit est inconnu du chercheur. Vous pouvez estimer les probabilités des hypothèses une fois que le résultat du test est connu en utilisant Formules bayésiennes
Ici P( UN) est calculé à l’aide de la formule de probabilité totale (1.6). Exemple 1.19. Dans une certaine usine, la machine I produit 40 % de la production totale et la machine II en produit 60 %. En moyenne, 9 unités produites sur 1 000 par la machine I sont défectueuses, et la machine II produit 4 unités défectueuses sur 500. Une certaine unité de production, sélectionnée au hasard dans la production quotidienne, s'avère défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il ait été produit sur la machine II ? Solution. Introduisons la notation suivante : UN– un événement consistant dans le fait qu’une unité de production, sélectionnée au hasard dans la production quotidienne, s’est révélée défectueuse, B je- une unité de produit sélectionnée au hasard est fabriquée par machine je(je= I, II). Événements B 1 et B 2 sont incohérents et forment un groupe complet, et l'événement UN ne peut survenir qu’à la suite de la survenance de l’un de ces événements. On sait que l'événement UN s'est produit (une unité de production sélectionnée au hasard s'est avérée défectueuse). Quel événement exactement ? B 1 ou B 2 dans ce cas, c'était inconnu, parce que on ne sait pas sur laquelle des deux machines le produit sélectionné a été fabriqué. Évaluer la probabilité d'une hypothèse B 2 peut être réalisé à l'aide de la formule de Bayes (1.7) : où la probabilité de sélectionner au hasard un produit défectueux est calculée à l'aide de la formule de probabilité totale (1.6) : Considérant que selon les conditions du problème P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Séquence de tests indépendants Dans les activités scientifiques et pratiques, il est constamment nécessaire de réaliser des tests répétés dans des conditions similaires. En règle générale, les résultats des tests précédents n'affectent en rien les tests suivants. Le type le plus simple de ces tests est très important, lorsque dans chacun des tests un événement UN peut apparaître avec la même probabilité, et cette probabilité reste la même, quels que soient les résultats des essais précédents ou ultérieurs. Ce type de test a été étudié pour la première fois par Jacob Bernoulli et est donc appelé Schémas de Bernoulli. Schéma de Bernoulli. Qu'il soit produit n des tests indépendants dans des conditions similaires (ou la même expérience est réalisée n fois), dans chacun desquels l'événement UN peut ou non apparaître. Dans ce cas, la probabilité qu'un événement se produise UN dans chaque essai est le même et égal p. Par conséquent, la probabilité que l’événement ne se produise pas UN dans chaque test individuel est également constant et égal q= 1 - p. La probabilité que, dans ces conditions, un événement UN deviendra réalité k fois (et ne se réalisera donc pas n – k fois) peut être trouvé par La formule de Bernoulli
Dans ce cas, l'ordre d'apparition de l'événement UN dans le spécifié n les tests peuvent être arbitraires. Exemple 1.20. La probabilité qu'un client ait besoin de chaussures de taille 41 est de 0,2. Trouvez la probabilité que sur les 5 premiers acheteurs, des chaussures de cette taille soient nécessaires à : a) un ; b) au moins un ; c) au moins trois ; d) plus d'un et moins de quatre. Solution. Dans cet exemple, la même expérience (choix de chaussures) est réalisée 5 fois, et la probabilité de l'événement est UN– des chaussures de taille 41 sont sélectionnées – constantes et égales à 0,2. De plus, le résultat de chaque test individuel n'affecte pas les autres expériences, car les acheteurs choisissent les chaussures indépendamment les unes des autres. Par conséquent, nous disposons d'une séquence de tests réalisés selon le schéma de Bernoulli, dans laquelle n = 5, p = 0,2, q= 0,8. Pour répondre aux questions posées, vous devez calculer les probabilités P 5 ( k). Utilisons la formule (1.8). a) P5 (1) = = 0,4096 ; b)P5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c)P5 ( k³ 3) = P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) = + + = =0,5792 ; d) P5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. L'utilisation de la formule de Bernoulli (1.32) pour de grandes valeurs de n et m pose de grandes difficultés, car elle est associée à des calculs fastidieux. Ainsi, avec n = 200, m = 116, p = 0,72, la formule de Bernoulli prend la forme P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84. Il est presque impossible de calculer le résultat. Le calcul de P p (t) pose également des difficultés pour de petites valeurs de p (q). Il est nécessaire de trouver des formules approximatives pour calculer P p (t), fournissant la précision nécessaire. De telles formules nous donnent des théorèmes limites ; ils contiennent des formules dites asymptotiques qui, pour des valeurs de test élevées, donnent une erreur relative arbitrairement petite. Considérons trois théorèmes limites contenant des formules asymptotiques pour calculer la probabilité binomiale P n (m) pour n. Théorème 1.5. Si le nombre d'essais augmente indéfiniment (n) et que la probabilité p d'occurrence de l'événement A dans chaque essai diminue indéfiniment (p), mais de telle manière que leur produit pr soit une valeur constante (pr = a = const), alors la probabilité P p (t) satisfait l'égalité limite L’expression (1.9) est appelée formule asymptotique de Poisson. De l'égalité limite (1.9) pour le grand n et le petit p découle la formule approximative de Poisson La formule (1.10) est utilisée lorsque la probabilité p = const de succès est extrêmement faible, c'est-à-dire le succès lui-même (la survenance de l'événement A) est un événement rare (par exemple, gagner une voiture avec un billet de loterie), mais le nombre d'essais n est grand, le nombre moyen de réussites pr = a insignifiant. La formule approximative (1.10) est généralement utilisée lorsque n est 50 et n est 10. La formule de Poisson trouve une application dans la théorie des files d'attente. Un flux d'événements est une séquence d'événements se produisant à des instants aléatoires (par exemple, un flux de visiteurs chez un coiffeur, un flux d'appels dans un central téléphonique, un flux de pannes d'éléments, un flux d'abonnés desservis, etc. ). Un flux d'événements qui a les propriétés de stationnarité, d'ordinaire et d'absence de conséquences est appelé le flux le plus simple (Poisson). La propriété de stationnarité signifie que la probabilité d’occurrence de k événements dans un segment temporel de longueur dépend uniquement de sa longueur (c’est-à-dire ne dépend pas de son origine). Par conséquent, le nombre moyen d'événements apparaissant par unité de temps, appelé intensité du flux, est une valeur constante : ( t) = . La propriété d’ordinaire signifie qu’un événement n’apparaît pas en groupes, mais un par un. En d’autres termes, la probabilité d’occurrence de plus d’un événement sur une courte période de temps t est négligeable par rapport à la probabilité d’occurrence d’un seul événement (par exemple, le flux de bateaux s’approchant de la jetée est ordinaire). La propriété d'absence de conséquences signifie que la probabilité que k événements apparaissent dans n'importe quel segment temporel de longueur ne dépend pas du nombre d'événements apparus dans tout autre segment qui ne le croise pas (ils disent : le « futur » d'un flux ne dépend pas dépendent du « passé », par exemple un flux de personnes, y compris dans le supermarché). Il peut être prouvé que la probabilité d'apparition de m événements du flux le plus simple pendant une durée t est déterminée par la formule de Poisson. Utilisez la formule de Bernoulli pour les grandes valeurs n assez difficile, parce que Dans ce cas, vous devez effectuer des opérations sur des nombres très grands. Vous pouvez simplifier les calculs en utilisant des tables factorielles ou en utilisant moyens techniques(calculatrice, ordinateur). Mais dans ce cas, les erreurs s’accumulent lors du processus de calcul. Par conséquent, le résultat final peut différer considérablement du vrai. Il est nécessaire d'utiliser proches associés (asymptotique) formules. Remarque 1.8. Fonction g(X) sont appelés approximation asymptotique de la fonction f(X), Si. Théorème 1.6. (Théorème local de Moivre-Laplace) Si la probabilité p survenance d'un événement UN dans chaque essai est constant et différent de 0 et 1, et que le nombre d'essais indépendants est suffisamment grand, alors la probabilité que l'événement UN apparaîtra dans n tests effectués selon le schéma de Bernoulli, exactement k fois, à peu près égales (plus c'est précis, plus n) Le graphique de la fonction ressemble à celui montré sur la Fig. 1.3. Veuillez noter que : a) la fonction φ(x) est paire, c'est-à-dire φ(-x) = φ(x) ; Pour la fonction j(X) des tableaux de valeurs ont été compilés pour X³ 0. Quand X< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(X) même. Théorème 1.7. (Théorème intégral de Moivre-Laplace) Si la probabilité p survenance d'un événement UN dans chaque essai est constante et différente de 0 et 1, alors la probabilité P n(k 1 , k 2) que l'événement UN apparaîtra dans n tests réalisés selon le schéma de Bernoulli, à partir de k 1 à k 2 fois, à peu près égal Ici z 1 et z 2 sont définis dans (1.14). Exemple 1.21. La germination des graines est estimée à une probabilité de 0,85. Trouvez la probabilité que sur 500 graines semées : a) 425 graines ; b) de 425 à 450 graines. Solution. Ici, comme dans l'exemple précédent, il y a une séquence de tests indépendants réalisés selon le schéma de Bernoulli (expérience - plantation d'une graine, événement UN- la graine a germé) : n = 500, p = 0,85, q= 0,15. Puisque le nombre de tests est important ( n> 100), nous utiliserons les formules asymptotiques (1.10) et (1.13) pour calculer les probabilités requises. b) "F(3,13)–F(0)"0,49. Si le nombre de tests n réalisée selon le schéma de Bernoulli est élevée, et la probabilité p survenance d'un événement UN dans chacun d'eux est petit ( p£ 0,1), alors la formule asymptotique de Laplace ne convient pas. Dans ce cas, utilisez formule de Poisson asymptotique
où l = n.p.. Exemple 1.22. Le magasin a reçu 1000 bouteilles eau minérale. La probabilité qu'une bouteille se brise pendant le transport est de 0,003. Trouvez la probabilité que le magasin reçoive des bouteilles cassées : a) exactement 2 ; b) moins de 2 ; c) au moins un. Solution. Dans ce problème, il y a une séquence de tests indépendants effectués selon le schéma de Bernoulli (expérience - vérification de l'intégrité d'une bouteille, événement UN– la bouteille s'est cassée) : n = 1000, p = 0,003, q= 0,997. Parce que le nombre de tests est important ( n> 100), et la probabilité p petit ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что je=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224 ; b) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199 ; c) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Les théorèmes local et intégral de Moivre – Laplace sont des conséquences du théorème plus général théorème central limite. De nombreuses variables aléatoires continues ont normale distribution. Cette circonstance est largement déterminée par le fait que la sommation d'un grand nombre de variables aléatoires avec des lois de distribution très différentes conduit à une distribution normale de cette somme. Théorème . Si une variable aléatoire est la somme d'un très grand nombre de variables aléatoires mutuellement indépendantes, dont l'influence de chacune sur la somme totale est négligeable, alors elle a une distribution proche de la normale . Le théorème central limite est d’une grande importance pratique. Supposons qu'un indicateur économique soit déterminé, par exemple la consommation d'électricité d'une ville pendant un an. Le montant de la consommation totale comprend la consommation d'énergie des consommateurs individuels, qui a des valeurs aléatoires avec des distributions différentes. Le théorème stipule que dans ce cas, quelle que soit la distribution des composants individuels, la distribution de la consommation résultante sera proche de la normale. |
Définition classique de la probabilité
Le concept principal de la théorie des probabilités est le concept d’événement aléatoire. Un événement aléatoire est généralement appelé un événement qui peut ou non se produire si certaines conditions sont remplies. Par exemple, toucher un certain objet ou manquer en tirant sur cet objet avec une arme donnée est un événement aléatoire.
Un événement est généralement qualifié de fiable s’il se produit définitivement à la suite du test. Il est d'usage de qualifier un événement d'impossible s'il ne peut pas se produire à la suite d'un test.
On dit que des événements aléatoires sont incohérents dans un essai donné si deux d’entre eux ne peuvent pas se produire simultanément.
Les événements aléatoires forment un groupe complet si lors de chaque essai l'un d'entre eux peut apparaître et aucun autre événement incompatible avec eux ne peut apparaître.
Considérons le groupe complet d'événements aléatoires incompatibles également possibles. Nous appellerons de tels événements des résultats. Une issue est généralement dite favorable à la survenance de l’événement A si la survenance de cet événement entraîne la survenance de l’événement A.
Définition géométrique de la probabilité
Imaginons un test aléatoire comme le fait de jeter un point au hasard dans une région géométrique G (sur une ligne droite, un plan ou un espace). Les résultats élémentaires sont des points individuels de G, tout événement est un sous-ensemble de cette zone, l'espace des résultats élémentaires de G. Nous pouvons supposer que tous les points de G sont « égaux » et alors la probabilité qu'un point tombe dans un non-sous-ensemble est proportionnel à sa mesure (longueur, aire, volume) et ne dépend pas de son emplacement et de sa forme.
Probabilité géométrique l'événement A est déterminé par la relation : , où m(G), m(A) sont des mesures géométriques (longueurs, aires ou volumes) de tout l'espace des résultats élémentaires et de l'événement A.
Exemple. Un cercle de rayon r() est lancé au hasard sur un plan tracé par des bandes parallèles de largeur 2d dont la distance entre les lignes médianes est égale à 2D. Trouvez la probabilité que le cercle coupe une certaine bande.
Solution. Comme résultat élémentaire de ce test, nous considérerons la distance X du centre du cercle jusqu'à la ligne médiane de la bande la plus proche du cercle. Alors tout l’espace des résultats élémentaires est un segment. L'intersection d'un cercle avec une bande se produira si son centre tombe dans la bande, ᴛ.ᴇ. , ou sera situé du bord de la bande à une distance inférieure au rayon ᴛ.ᴇ. .
Pour la probabilité souhaitée on obtient : .
5. La fréquence relative d'un événement est le rapport entre le nombre d'essais au cours desquels l'événement s'est produit et le nombre total d'essais réellement effectués. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, la fréquence relative A est déterminée par la formule :
(2)où m est le nombre d'occurrences de l'événement, n est le nombre total d'essais. En comparant la définition de la probabilité et de la fréquence relative, nous concluons : la définition de la probabilité n'exige pas que des tests soient effectués dans la réalité ; la détermination de la fréquence relative suppose que les tests ont été effectivement réalisés. En d’autres termes, la probabilité est calculée avant l’expérience et la fréquence relative est calculée après l’expérience.
Exemple 2. Sur 80 salariés sélectionnés au hasard, 3 personnes souffrent de troubles cardiaques graves. Fréquence relative des personnes souffrant de maladies cardiaques
La fréquence relative ou un nombre proche est considéré comme une probabilité statique.
DÉFINITION (par définition statistique de la probabilité). Le nombre vers lequel tend la fréquence relative stable est généralement appelé la probabilité statistique de cet événement.
6. Montant A+B deux événements A et B nomment l'événement consistant en l'occurrence de l'événement A, ou de l'événement B, ou de ces deux événements. Par exemple, si deux coups sont tirés avec une arme à feu et que A est un coup sûr au premier coup, B est un coup sûr au deuxième coup, alors A + B est un coup sûr au premier coup, ou au deuxième, ou aux deux. des coups de feu.
En particulier, si deux événements A et B sont incompatibles, alors A + B est un événement constitué par la survenance de l'un de ces événements, quel que soit celui-ci. La somme de plusieurs événements appeler un événement, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ consiste en la survenance d'au moins un de ces événements. Par exemple, l'événement A + B + C consiste en l'occurrence de l'un des événements suivants : A, B, C, A et B, A et C, B et C, A et B et C. Soit les événements A et B soit incompatible, et les probabilités de ces événements sont connues. Comment trouver la probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise ? La réponse à cette question est donnée par le théorème d’addition. Théorème. La probabilité de survenance de l'un des deux événements incompatibles, quel que soit celui-ci, est égale à la somme des probabilités de ces événements :
P (A + B) = P (A) + P (B).Preuve
Illustration. La probabilité d'apparition de l'un de plusieurs événements incompatibles par paires, quel que soit celui-ci, est égale à la somme des probabilités de ces événements :
P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
Définition géométrique de la probabilité - concept et types. Classement et caractéristiques de la catégorie « Détermination géométrique des probabilités » 2017, 2018.
Dans la pratique, il existe très souvent de tels tests dont le nombre de résultats possibles est infini. Parfois, dans de tels cas, vous pouvez utiliser la méthode de calcul des probabilités, dans laquelle le rôle principal est toujours joué par le concept d'égale possibilité de certains événements.... .
Un point est sélectionné au hasard dans un certain carré, quelle est la probabilité que ce point soit à l'intérieur de la région D, où SD est l'aire de la région D, S est l'aire de tout le carré. Dans le cas classique, il y avait une certaine probabilité nulle... .
Pour surmonter l'inconvénient de la définition classique de la probabilité, à savoir qu'elle n'est pas applicable aux tests avec un nombre infini de résultats, des probabilités géométriques sont introduites - les probabilités qu'un point tombe dans une région. Soit une figure plate g (segment ou corps)... .
Définition classique de la probabilité CONFÉRENCE 1. THÉORIES DE LA PROBABILITÉ. HISTOIRE. DÉFINITION CLASSIQUE DE LA PROBABILITÉ Khalafyan LIENS BIBLIOGRAPHIQUES 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Théorie... .[lire la suite] .
Cette définition est utilisée lorsqu'une expérience a un nombre incalculable de résultats également possibles. Dans ce cas, l'espace des événements élémentaires peut être représenté comme une certaine région G. Chaque point de cette région correspond à un événement élémentaire. Frapper... .
La définition géométrique de la probabilité est une extension du concept de probabilité classique au cas d'un ensemble indénombrable d'événements élémentaires. Dans le cas où il s'agit d'un ensemble indénombrable, la probabilité est déterminée non pas sur les événements élémentaires, mais sur leurs ensembles.... .
Définition classique de la probabilité PROBABILITÉ D'UN ÉVÉNEMENT ALÉATOIRE Interprétation ensembliste des opérations sur les événements Supposons qu'une expérience soit réalisée avec un résultat aléatoire. Un tas de &... .
La définition classique de la probabilité suppose que le nombre de résultats élémentaires est fini. En pratique, il existe des expériences pour lesquelles l’ensemble de ces résultats est infini.
Pour surmonter l'inconvénient de la définition classique de la probabilité, à savoir qu'elle n'est pas applicable aux essais avec un nombre infini de résultats, nous introduisons probabilités géométriques - les probabilités qu'un point tombe dans une zone.
L'aire à mettre au carré est spécifiée sur le plan, c'est-à-dire zone ayant une zone. Désignons cette zone par la lettre , et son aire . La zone contient la zone
(Fig. 1.1). Un point est lancé au hasard dans la zone. Nous supposerons qu'un point projeté peut tomber dans une partie de la région avec une probabilité proportionnelle à la superficie de cette partie et indépendante de sa forme et de son emplacement. Soit un coup d'un point lancé dans la région, alors la probabilité géométrique de cet événement est déterminée par la formule
. (1.5.1)
De même, le concept de probabilité géométrique est introduit lors du lancement d'un point dans une région spatiale G de volume VG, contenant la région g du volume Vg:
. (1.5.2)
Dans le cas général, la notion de probabilité géométrique est introduite comme suit. Notons la mesure d'une région (longueur, aire, volume) par mes g, et la mesure de la région G passe par mes G (mes- les trois premières lettres d'un mot français mesurer, que signifie mesurer); désignons par la lettre A l'événement « un point lancé frappe la région g, qui est contenue dans la région G". La probabilité qu'un point projeté dans la région G tombe dans la région g est déterminée par la formule
. (1.5.3)
Exemple 1. Un carré est inscrit dans un cercle (Figure 1.2). Un point est jeté au hasard dans le cercle. Quelle est la probabilité que le point tombe dans le carré ?
Solution.
Introduisons la notation suivante : R.- rayon du cercle, UN- côté du carré inscrit, UN- mettre un point dans un carré, S- aire d'un cercle, S 1 est l'aire du carré inscrit. Comme vous le savez, l'aire d'un cercle est . Le côté d'un carré inscrit passant par le rayon du cercle circonscrit est exprimé par la formule, donc l'aire du carré.
En posant , dans la formule (1.5.1), on trouve la probabilité souhaitée 
.
Exemple 2. Dans un carré (Fig. 1.3) avec des sommets aux points Ô(0, 0), À(0, 1), L( 1, 1), M(1, 0) point lancé au hasard Q(x, y). Trouvez la probabilité que les coordonnées de ce point satisfassent à l'inégalité > .
Solution.
Traçons une ligne droite, elle coupera le segment M.L.à ce point N( 1;
1/2). Cette droite coupe le plan en deux demi-plans : pour les coordonnées des points du premier d'entre eux (supérieur) l'inégalité y > x/2 sera satisfaite, pour le second (inférieur) - l'inégalité y< х/2.
Tous les points appartenant au carré OKLM et dont les coordonnées satisfont à l'inégalité y > x/2 sont situées dans le polygone OKLN. Ce polygone est constitué d'un rectangle CKLN et triangle OCN, sa zone S 1 =1/2 + 1/4 =3/4. Carré S carré OKLMégal à un : S= 1. Conformément à la formule (1.5.1), en prenant , , on trouve la probabilité souhaitée 
.
Exemple 3.(Problème de Buffon). Le plan est tracé par des lignes droites parallèles dont la distance est égale à UN. Un segment de longueur est lancé au hasard sur ce plan ll< UN). Quelle est la probabilité que le segment coupe au moins une des lignées de la famille ?
Solution.
Notons la distance entre l'extrémité supérieure du segment et la ligne la plus proche du bas par (Fig. 1.4). L'angle entre le segment de droite et
par un rayon parallèle aux lignes de la famille, dont le début coïncide avec l'extrémité supérieure du segment, noté . Évidemment, et. Pour qu'un segment coupe au moins une des lignes de la famille, il faut et suffisant que ou . On comprendra l'expression « un segment est jeté au hasard » comme suit : un point (x, y) est jeté au hasard sur un rectangle : , . Les points dont les coordonnées satisfont à l’inégalité forment la figure ombrée de la figure 1.5.
Aire de cette figure 
.
L'aire de tout le rectangle est .
En utilisant la formule (1.5.1), en prenant , , on trouve la probabilité souhaitée 
, où A est l'événement « le segment coupe au moins une ligne ».
Exemple 4. Un cube est inscrit dans une sphère. Un point est fixé au hasard dans le ballon. Trouvez la probabilité que le point tombe dans le cube.
Solution. Introduisons la notation suivante : événement A - « un point frappant le cube » ; R.- rayon de la balle, UN- arête d'un cube, V- le volume du ballon, V 1
- volume d'un cube inscrit.
Comme on le sait, . Depuis et , alors . Conformément à la formule (1.5.2), en prenant et , on obtient
Tâches
- Deux cercles concentriques sont tracés sur le plan dont les rayons sont respectivement de 6 et 12 cm. Quelle est la probabilité qu'un point lancé au hasard dans un grand cercle tombe dans l'anneau formé par les cercles indiqués ?
- Dans un cercle de rayon R. un triangle régulier est inscrit. Trouvez la probabilité qu'un point jeté dans ce cercle tombe dans le triangle donné.
- Dans un carré de sommets O ( 0, 0 ), K(0, 1), L(1, 1), M(1, 0) un point est lancé au hasard Q(x, y). Quelle est la probabilité que les coordonnées de ce point satisfassent à l’inégalité y > 2x ?
- Une pyramide triangulaire régulière est inscrite dans une boule. Un point est fixé au hasard dans le ballon. Trouvez la probabilité qu'un point tombe dans la pyramide.
- Longueur de la tige je divisé au hasard en trois parties. Quelle est la probabilité que ces pièces puissent être utilisées pour former un triangle ?
- Dans le plan, la région G est délimitée par une ellipse, et la région par cette ellipse et l'ellipse. Un point est lancé dans la zone. Quelle est la probabilité qu’un point tombe dans la région ?
- Dans un rectangle avec des sommets À(-2, 0),L(-2, 5), M(1, 5), N( 1, 0) un point est lancé. Quelle est la probabilité que ses coordonnées (x, y) satisfassent les inégalités ?
- Dans la région G délimitée par un ellipsoïde
, un point est fixé au hasard. Quelle est la probabilité que les coordonnées , , de ce point satisfassent à l'inégalité ? - Dans un rectangle Avec des sommets R(-2, 0), L(-2,9), M(4, 9), N( 4, 0) un point est lancé. Trouvez la probabilité que ses coordonnées satisfassent aux inégalités.
- La région est délimitée par un cercle, et la région est délimitée par ce cercle et la parabole. Un point est lancé dans la zone. Quelle est la probabilité qu'il se trouve dans la zone ?
IV. THÉORIE DES PROBABILITÉS ET MATHÉMATIQUES
STATISTIQUES
Matériel de référence et principes pour résoudre les problèmes
Définition classique de la probabilité
Par expérience ou expérience, nous comprendrons toute mise en œuvre d'un ensemble de certaines conditions, à la suite desquelles le phénomène qui nous intéresse se produira.
Exemple 1. Expérience σ : tir sur une cible. Événement A – atteindre la cible. L'événement B est un échec.
Exemple 2. Expérience σ : sélection de produits à partir d'un lot fini. Événement A – le produit est défectueux. Événement B – produit standard.
Un événement élémentaire (ou un résultat élémentaire) est tout résultat le plus simple, c'est-à-dire indivisible dans le cadre d'une expérience donnée, résultat d'une expérience. Nous appellerons l’ensemble de tous les résultats élémentaires espace d'événements élémentaires et noté par Ω. Autrement dit, l’ensemble des résultats expérimentaux forme l’espace des événements élémentaires si :
À la suite de l’expérience, l’un des résultats se produit nécessairement ;
L’apparition de l’un des résultats de l’expérience exclut l’apparition des autres ;
Dans le cadre de cette expérimentation, il est impossible de diviser le résultat élémentaire en composantes plus petites.
Écrivez-le comme ceci :
Ω =(w 1, w 2, …w n,…)=(w k, k=1…n, …).
Exemple 3. Expérience : lancer une pièce de monnaie 1 fois.
Ici Ω=(w g, w c), où w g est la perte des armoiries, w c est la perte du nombre.
Expérience : une pièce de monnaie est lancée 2 fois. Dans ce cas, l'espace des événements élémentaires Ω=(w g g, w g c, w c g, w c c).
L'expérience consiste à déterminer le nombre d'appels reçus au central téléphonique pendant le temps T. Ici Ω=(0,1,2.…n,…).
Tout ensemble de résultats élémentaires ou sous-ensemble arbitraire A Ω est appelé Événement aléatoire.
Soit Ω l'espace des événements élémentaires, S un sous-ensemble d'événements aléatoires satisfaisant les conditions suivantes :
L'ensemble S est fermé sous les opérations d'addition, de multiplication et de négation.
Certains événements E et événements impossibles appartiennent à S.
Parfois, ils en demandent davantage : pour toute séquence infinie d’événements 
Un sous-ensemble S satisfaisant ces conditions est appelé σ – algèbre .
Soit une fonction qui, pour chaque événement aléatoire de S correspond à un nombre de l'intervalle ; R : S → , et les axiomes suivants sont satisfaits :
,
P(E)=1, P(Ø)=0,
Pour toute séquence A 1,…A n… événements incompatibles par paires A i ÎS,
"je, j, і≠ј,
.
Une fonction P qui satisfait ces axiomes est appelée probabilité, et la valeur P(A) est appelée la probabilité de l'événement UN.
Définition. Trois objets (Ω, S, P), Où Ω – espace d'événements élémentaires, S– σ-algèbre, P – probabilité, appelée espace de probabilité.
La définition classique de la probabilité constitue un bon modèle mathématique des phénomènes aléatoires pour lesquels il existe un nombre fini n de résultats expérimentaux et tous les résultats sont également possibles. La définition classique de la probabilité suppose :
;
La probabilité de l'événement est égale
En d’autres termes, la probabilité d’un événement est égale au rapport du nombre d’événements élémentaires inclus dans , au nombre total d’événements élémentaires dans .
La formulation suivante de la définition classique de la probabilité est également généralement acceptée : la probabilité d'un événement est le rapport entre le nombre de résultats expérimentaux favorables à la survenance de l'événement et le nombre total de résultats expérimentaux également possibles.
Autrement dit, la probabilité d'un événement est définie comme .
Exemple 4. Quelle est la probabilité que les armoiries apparaissent au moins une fois en lançant deux fois une pièce de monnaie ?
Solution. L'espace des événements élémentaires également possibles d'une expérience donnée est constitué des événements suivants : Événement =(lors du lancement d'une pièce deux fois, les armoiries apparaîtront au moins une fois) se compose d'événements élémentaires incompatibles 
. Ainsi, .
Ainsi, 
.
Exemple 5. Quelle est la probabilité qu’un nombre à deux chiffres nommé au hasard soit divisible par onze sans reste ?
Solution. Puisqu’il y a 90 nombres à deux chiffres, le nombre de résultats également possibles de cette expérience est de . Parmi ces nombres, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sont divisibles par 11 sans reste. Ainsi, le nombre d'issues favorables à l'événement (un nombre à deux chiffres sera divisible par onze sans reste). La probabilité requise sera égale à 
.
Exemple 6. Quelle est la probabilité qu’il y ait 5 dimanches en septembre d’une année choisie au hasard ?
Solution. Septembre de chaque année compte 30 jours. Le nombre de dimanches en septembre dépend du jour de la semaine du 1er septembre. Le 1er septembre peut être n’importe quel jour de la semaine. Puisqu’il y a 7 jours dans une semaine, le nombre de tous les résultats possibles est . Si septembre commence un lundi, mardi, mercredi, jeudi ou vendredi, alors il y aura 4 dimanches. Si septembre commence un samedi ou un dimanche, alors il y aura 5 dimanches. Parmi 7 issues également possibles, 2 seront favorables à l'événement ( en septembre d'une année choisie au hasard, il y aura 5 dimanches), donc . Probabilité requise 
.
Exemple 7. Il y a cinq segments de longueur 3, 5, 6, 9 et 11 cm Déterminez la probabilité qu'un triangle puisse être construit à partir de trois segments pris au hasard (sur ces cinq).
Solution. Il y a également des résultats possibles de cette expérience : , , , , , , , , , .
Pour qu’un triangle soit construit à partir de trois segments, il faut que le plus grand segment soit inférieur à la somme des deux autres segments. Les résultats suivants satisfont à cette condition : , , , , . Le nombre de ces résultats. Ainsi,
.
Dans les cas où l’énumération directe de tous les résultats possibles devient fastidieuse, il est conseillé de recourir à la combinatoire.
Éléments de combinatoire
Soit un ensemble composé d'éléments. Il existe deux manières fondamentalement différentes de sélectionner des éléments dans un ensemble : sélectionner des éléments sans retour et sélectionner des éléments avec retour.
La première manière de sélectionner des éléments conduit aux notions de permutations, de placements et de combinaisons sans répétition ou simplement de permutations, de placements et de combinaisons ; la seconde - aux concepts de permutations, de placements et de combinaisons avec répétitions.
Réarrangement elements est tout ensemble ordonné de ces éléments. Chaque permutation contient des éléments. Les permutations ne diffèrent les unes des autres que par l'ordre dans lequel les éléments sont disposés. Le nombre de permutations différentes d'éléments est calculé par la formule
.
Hébergement d'éléments est tout ensemble ordonné de différents éléments sélectionnés dans la population totale d'éléments. Les emplacements diffèrent les uns des autres soit par l'ordre dans lequel les éléments sont disposés, soit par au moins un élément.
Le nombre de placements est calculé à l'aide de la formule 
.
Combinaison d'éléments est tout ensemble non ordonné d'éléments différents sélectionnés dans la population totale d'éléments. Les combinaisons diffèrent les unes des autres par au moins un élément.
Le nombre de combinaisons est calculé par la formule
.
Propriétés combinées :
Exemple 8. Qu'il y ait un ensemble 
de trois éléments. Alors tous les placements de deux éléments sur trois sont les suivants : Toutes les permutations de l'ensemble sont de la forme : et Toutes les combinaisons de deux éléments de l'ensemble sont les suivantes : 
Les placements et combinaisons avec répétitions diffèrent des placements et combinaisons sans répétitions uniquement en ce que ces connexions peuvent contenir des éléments répétitifs.
Le nombre de placements d'éléments avec répétitions est calculé par la formule.
Le nombre de combinaisons d'éléments avec répétitions est calculé par la formule 
.
Puisque tous les éléments de l'ensemble sont impliqués dans ce type de connexion, comme les permutations avec répétitions, la répétition des éléments doit être incrustée dans les éléments de l'ensemble. Ainsi, s'il contient des éléments du premier type, des éléments du deuxième type, ..., des éléments du ème type, alors le nombre de permutations avec répétitions est calculé par la formule 
.
Les deux règles suivantes peuvent être utiles pour résoudre des problèmes combinatoires :
Règle de somme : Si un objet peut être choisi de différentes manières, et qu'un objet peut être choisi de différentes manières, alors le choix « soit ou » peut être fait de différentes manières.
Règle du produit : Si un objet peut être sélectionné de manières, et qu'après chacun de ces choix, l'objet peut à son tour être sélectionné de manières, alors la sélection de " et " dans l'ordre spécifié peut être effectuée de manières.
Exemple 9. Supposons qu'il y ait des groupes d'éléments, et le -ème groupe est constitué de – éléments. Sélectionnons un élément de chaque groupe, puis le nombre total de façons dont un tel choix peut être fait en utilisant la règle du produit
. (1)
Si 
, alors nous pouvons supposer que la sélection est effectuée à partir du même groupe et que l'élément, après sélection, est à nouveau renvoyé dans le groupe. Alors .
Exemple 10. L’enseignant demande à chacun des trois élèves de penser à n’importe quel nombre compris entre 1 et 10. En supposant que le choix d’un nombre donné par chaque élève est également possible, déterminez la probabilité que l’un des trois ait le même nombre.
Solution. Tout d’abord, comptons le nombre total de résultats. Le premier élève choisit un numéro parmi 10, le deuxième et le troisième font de même, 
Selon la formule (1), le nombre total de voies sera égal à Comptons le nombre de résultats favorables. Pour ce faire, nous trouvons d'abord le nombre total de combinaisons de nombres conçus dans lesquelles il n'y a pas de correspondance. Le premier élève peut choisir l’un des 10 numéros, le deuxième l’un des 9 numéros et le troisième élève peut choisir l’un des 8 numéros restants. Par conséquent, le nombre total de combinaisons de nombres conçus dans lesquelles il n'y a pas de coïncidences, selon la formule (1), est égal à. Les cas restants (1000 – 720 = 280) sont caractérisés par la présence d'au moins une coïncidence. La probabilité requise est donc égale à 
Exemple 11. Toutes les lettres de l'alphabet russe sont transmises dans un ordre aléatoire sur la ligne de communication. Trouvez la probabilité qu’une séquence de lettres commençant par le mot « monde » apparaisse sur la bande.
Solution. L'alphabet russe contient 33 lettres. Puisque toutes les lettres sont transmises le long de la ligne de communication, le nombre de résultats également possibles de l'expérience 
. Parmi ces résultats, favorables à la survenance de l'événement (une séquence de lettres apparaîtra commençant par le mot « paix ») seront tous les résultats dans lesquels le mot « paix » apparaîtra dans les trois premières positions (un résultat correspond à un tel choix), et les postes restants seront pourvus de quelque manière que ce soit ( nombre de ces options). Selon la règle du produit, le nombre de résultats favorables 
.
Ainsi,
Exemple 12. Dans une urne contenant 3 boules, une boule est tirée au hasard trois fois et remplacée à chaque fois. Trouvez la probabilité que toutes les balles soient dans votre main.
Solution. Selon les conditions du problème, les boules sont renvoyées dans l'urne, nous avons donc un schéma de sélection des éléments avec retour.
Le nombre de tous les résultats possibles d'une expérience donnée est le nombre de placements de trois éléments par trois avec répétitions, c'est-à-dire
.
Événement favorable UN=( ) il y aura des résultats dans lesquels les éléments (balles) ne seront pas répétés. Le nombre de ces résultats est le nombre de placements de trois éléments sur trois, ou le nombre de permutations de trois éléments, c'est-à-dire 
. Puisque tous les résultats de l’expérience sont également possibles, alors
.
Exemple 13. Le contrôle technique vérifie 20 pièces prises au hasard sur un lot de 500 pièces. Le lot contient 15 pièces non standards. Quelle est la probabilité que parmi les pièces contrôlées, il y en ait exactement deux non standards ?
Solution. Puisque, selon les conditions du problème, 20 parties sur 500 sont extraites au hasard, alors toutes les options possibles pour extraire 20 parties sur 500 sont naturellement considérées comme également possibles et pour trouver la probabilité recherchée, utiliser le schéma classique (définition classique de probabilité).
L'ordre des pièces standard et non standard dans les 20 extraits n'a pas d'importance. Seul le nombre de pièces standards et non standards est important. Par conséquent, le nombre de toutes les manières possibles de procéder est égal à , c'est-à-dire .
L'événement = (parmi les pièces contrôlées, il y en aura exactement deux non standard) (les 18 restantes doivent donc être standards), correspondra à la (règle du produit) des résultats, c'est-à-dire 
. Ainsi,
.
Exemple 14. Un nombre à trois chiffres se compose comme suit : trois dés sont lancés : blanc, bleu et rouge ; Le nombre de points obtenus sur un dé blanc est le nombre de centaines, le nombre de points obtenus sur un dé bleu est le nombre de dizaines et le nombre de points obtenus sur un dé rouge est le nombre d'unités d'un dé à trois chiffres. nombre. Quelle est la probabilité que le nombre ainsi obtenu soit supérieur à 456 ?
Solution. Le nombre de tous les nombres pouvant être obtenus de cette manière, conformément à la règle du produit, sera égal à 
.
Comptons le nombre de résultats expérimentaux favorables à l'apparition de l'événement A. Des nombres supérieurs à 456 seront obtenus si le nombre de centaines est supérieur à 4, c'est-à-dire 5 ou 6, ou si le nombre de centaines est égal à 4, et le nombre de dizaines est supérieur à 5, c'est-à-dire 6. Soit le nombre de centaines sera égal à 5. De telles expériences auront lieu puisque le nombre de dizaines et d'unités peut varier arbitrairement de 1 à 6. Le même raisonnement est valable si le nombre de centaines est 6. Il y aura 6 expériences dans lesquelles les deux premiers chiffres sont 45. En utilisant les règles du produit et de la somme , trouvons le nombre de ces nombres 
. Puisque tous les résultats de l’expérience sont également possibles, la probabilité souhaitée 
.
Exemple 15. Trois stations de radio sont autorisées à fonctionner sur six fréquences différentes. Déterminez la probabilité qu'au moins deux stations de radio fonctionnent sur les mêmes fréquences si les fréquences sont choisies au hasard.
Solution. Le nombre de tous les résultats également possibles de l'expérience est le nombre de placements de six éléments (fréquences) sur trois avec répétitions, c'est-à-dire 
. Événement favorable UN=(au moins deux stations de radio fonctionneront sur les mêmes fréquences) il y aura des résultats dans lesquels les éléments (fréquences) seront répétés. Le nombre de ces résultats est la somme des résultats dans lesquels deux stations de radio fonctionnent sur la même fréquence – et trois stations de radio fonctionnent sur la même fréquence –. Le nombre de résultats dans lesquels deux des trois stations de radio peuvent fonctionner sur l'une des six fréquences est de . Le nombre de fréquences différentes est de 6. La troisième station radio peut fonctionner sur l'une des cinq fréquences « inoccupées ». Selon la règle du produit 
. Évidemment, le nombre de résultats (trois stations de radio fonctionneront sur la même fréquence) est de 6.
Ainsi, .
Ainsi, 
.
Définition géométrique de la probabilité
La définition géométrique généralise la définition classique de la probabilité au cas où l'espace des événements élémentaires est un sous-ensemble de l'espace.
Un autre schéma de description d'expériences aux résultats prédits de manière ambiguë, qui permet d'introduire tout simplement une caractéristique quantitative de la faisabilité d'un événement particulier, est le schéma des probabilités géométriques, qui, comme le schéma de cas discuté ci-dessus, exploite l'idée de équipossibilité des résultats de l'expérience. De la même manière que cela a été fait dans le diagramme de cas, une caractéristique quantitative de la faisabilité d’un événement – sa probabilité – est définie comme une valeur normalisée d’une manière ou d’une autre, proportionnelle au stock de résultats favorables à l’événement. Supposons que l'ensemble des résultats de l'expérience étudiée puisse être décrit comme un ensemble de points P d'un certain « continuum géométrique » - chaque résultat correspond à un certain point et chaque point correspond à un certain résultat. Le « continuum géométrique » Q peut être un segment de droite, un arc de courbe rectifiable sur un plan ou dans l'espace, un ensemble carré sur un plan (triangle, rectangle, cercle, ellipse, etc.) ou une partie de une surface au carré, un certain volume dans l'espace ( polyèdre - prisme, pyramide, boule, ellipsoïde, etc.) Un événement est tout sous-ensemble au carré d'un ensemble. Comme dans le schéma des cas, un événement est constitué de points et de convergences, cependant, aucun ensemble de résultats ne forme un événement, mais seulement un événement dont nous pouvons mesurer la mesure (longueur, superficie, volume). En supposant une probabilité égale de résultats, appelons la probabilité de l'événement A un nombre proportionnel à la mesure du sous-ensemble A de l'ensemble P : Probabilités géométriques Si 0 est un événement impossible dans une expérience donnée et que Q est fiable, alors nous mettons P(0) = O, = 1. La probabilité de tout événement A sera conclue entre zéro – la probabilité d’un événement impossible, et un – la probabilité d’un événement fiable4*. La condition de normalisation nous permet de trouver la constante k - le coefficient de proportionnalité qui précise la probabilité. Il s'avère être égal. Ainsi, dans le schéma des probabilités géométriques, la probabilité de tout événement est définie comme le rapport de la mesure du sous-ensemble A qui décrit l'événement à la mesure de l'ensemble il qui décrit l'expérience dans son ensemble. : Notons quelques propriétés de cette probabilité définie : La propriété découle évidemment du fait que l'ensemble, ce qui est contenu dans un autre ne peut être plus grand que ce dernier. Comme dans le schéma des cas, les événements du schéma des probabilités géométriques peuvent être unis, combinés et sur la base d'eux peuvent être construits les événements opposés - dans ce cas, d'une manière générale, on obtiendra des événements différents des événements originaux. La propriété suivante est très importante. 3. Si les événements sont incompatibles, c'est en particulier le principe de complémentarité qui s'applique : cette propriété, communément appelée règle d'addition des probabilités, découle évidemment de l'additivité de la mesure5*. En conclusion, notons que la probabilité qu'un résultat se produise dans le schéma des probabilités géométriques est toujours égale à zéro, tout comme la probabilité de tout événement décrit par un ensemble de points « maigre » est égale à zéro, c'est-à-dire un ensemble dont la mesure (longueur, aire, volume, respectivement) est nulle. Examinons quelques exemples pour illustrer le calcul des probabilités dans le schéma de probabilité géométrique. Exemple 1. L'expérience consiste à sélectionner aléatoirement un point du segment [a, 6|. Trouvez la probabilité qu'un point soit sélectionné se trouvant dans la moitié gauche du segment considéré. 4 Par définition, la probabilité de choisir un point parmi n'importe quel ensemble du segment )