Instructions
1. Pour deux jambes S = a * b/2, a, b – jambes,
La deuxième option de calcul de l'aire utilise les sinus d'angles connus au lieu de cotangentes. Dans cette version carré est égal au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les sinus de chacun des angles et divisé par le double sinus de ces angles : S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *péché(α + β)). Par exemple, pour le même triangle de côté connu de 15 cm, et adjacent à celui-ci coinsà 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centimètres carrés.
La version de calcul de l'aire d'un triangle implique des angles. L'aire sera égale au carré de la longueur du côté connu, multiplié par les tangentes de chacun des angles et divisé par le double de la somme des tangentes de ces angles : S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Par exemple, pour le triangle utilisé dans les étapes précédentes ayant un côté de 15 cm et adjacent coinsà 40° et 60°, le calcul de l'aire ressemblera à ceci : (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centimètres carrés.
Un triangle est le polygone le plus simple ayant trois sommets et trois côtés. Un triangle dont l’un des angles est droit est appelé triangle rectangle. Pour les triangles rectangles, toutes les formules des triangles généraux sont applicables. Cependant, ils peuvent être modifiés en tenant compte des propriétés d'un angle droit.
Instructions
Base pour trouver une zone Triangleà travers la base comme suit : S = 1/2 * b * h, où b est le côté Triangle, et h – Triangle. Hauteur Triangle est une perpendiculaire tirée du sommet Triangleà la ligne contenant le contraire. Pour rectangulaire Triangle la hauteur k b coïncide avec la jambe a. De cette façon, vous obtiendrez la formule pour calculer la superficie Triangle avec angle : S = 1/2 * a * b.
Considérer. Soit un rectangulaire a = 3, b = 4. Alors S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Calculer carré le même Triangle, mais maintenant un seul côté est connu, b = 4. Et l'angle α, tan α = 3/4 est également connu. Ensuite, à partir de l'expression de la fonction trigonométrique tangente α, exprimez la jambe a : tg α = a/b => a = b * tan α. Remplacez cette valeur dans la formule pour calculer l'aire d'un rectangle Triangle et on obtient : S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Considérons comme un cas particulier le calcul de l'aire d'un rectangle isocèle Triangle. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux. Dans le cas d'un rectangle Triangle il s'avère que a = b. Notez le théorème de Pythagore pour ce cas : c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Ensuite, remplacez cette valeur dans la formule de calcul de l'aire comme suit : S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
Si les rayons du cercle inscrit r et du cercle circonscrit R sont connus, alors carré rectangulaire Triangle est calculé par la formule S = r^2 + 2 * r * R. Soit le rayon du cercle inscrit dans le triangle r = 1, le rayon du cercle circonscrit Triangle cercle R = 5/2. Alors S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
Vidéo sur le sujet
Conseil utile
Le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle est égal à la moitié de l'hypoténuse : R = c / 2. Le rayon d'un cercle inscrit dans un triangle rectangle se trouve par la formule r = (a + b – c) / 2.
C'est l'une des figures géométriques les plus simples, dans laquelle trois segments reliant deux à deux trois points limitent une partie du plan. La connaissance de certains paramètres d'un triangle (longueurs des côtés, angles, rayons d'un cercle inscrit ou circonscrit, hauteur, etc.) dans diverses combinaisons permet de calculer l'aire de cette section limitée du plan.
Instructions
Si les longueurs des deux côtés d'un triangle (A et B) et la grandeur de leur angle (γ) sont connues, alors l'aire (S) du triangle sera égale à la moitié du produit des longueurs des côtés et de la sinus de l'angle connu : S=A∗B∗sin(γ)/2.
Si les longueurs des trois côtés (A, B et C) d'un triangle arbitraire sont connues, alors pour calculer son aire (S), il est plus pratique d'introduire une variable supplémentaire - le demi-périmètre (p). Cette variable est calculée en demi la somme des longueurs de tous les côtés : p=(A+B+C)/2. L'utilisation de cette variable peut être définie comme la racine carrée du produit du demi-périmètre sur cette variable et la longueur des côtés : S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Si, en plus des longueurs de tous les côtés (A, B et C), la longueur du rayon (R) d'un cercle circonscrit à proximité d'un triangle arbitraire est également connue, alors vous pouvez vous passer d'un demi-périmètre - l'aire (S) sera égal au rapport du produit des longueurs de tous les côtés par le quadruple rayon du cercle : S=A ∗B∗C/(4∗R).
Si les valeurs de tous les angles d'un triangle (α, β et γ) et la longueur d'un de ses côtés (A) sont connues, alors l'aire (S) sera égale au rapport du produit du carré de la longueur du côté connu par les sinus de deux angles qui lui sont adjacents au double sinus de l'angle opposé : S = A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).
Si les valeurs de tous les angles d'un triangle arbitraire (α, β et γ) et le rayon (R) du cercle circonscrit sont connus, alors l'aire (S) sera égale à deux fois le carré du rayon et le sinus de tous les angles : S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
Vidéo sur le sujet
Trouver le volume d'un triangle est vraiment une tâche non triviale. Le fait est qu'un triangle est une figure à deux dimensions, c'est-à-dire il se trouve entièrement dans un seul plan, ce qui signifie qu'il n'a tout simplement pas de volume. Bien sûr, on ne trouve pas quelque chose qui n’existe pas. Mais n'abandonnons pas ! Nous pouvons accepter l'hypothèse suivante : le volume d'une figure bidimensionnelle est son aire. Nous chercherons l'aire du triangle.
Tu auras besoin de
- feuille de papier, crayon, règle, calculatrice
Instructions
Dessinez sur une feuille de papier à l’aide d’une règle et d’un crayon. En examinant attentivement le triangle, vous pouvez vous assurer qu'il n'y a vraiment pas de triangle, puisqu'il est dessiné sur un plan. Étiquetez les côtés du triangle : un côté est le côté "a", l'autre côté "b" et le troisième côté "c". Étiquetez les sommets du triangle avec les lettres « A », « B » et « C ».
Mesurez n'importe quel côté du triangle avec une règle et notez le résultat. Après cela, restituez une perpendiculaire au côté mesuré à partir du sommet opposé, une telle perpendiculaire sera la hauteur du triangle. Dans le cas représenté sur la figure, la perpendiculaire "h" est restituée du côté "c" à partir du sommet "A". Mesurez la hauteur obtenue avec une règle et notez le résultat de la mesure.
Il peut être difficile pour vous de rétablir la perpendiculaire exacte. Dans ce cas, vous devez utiliser une formule différente. Mesurez tous les côtés du triangle avec une règle. Après cela, calculez le demi-périmètre du triangle « p » en additionnant les longueurs des côtés résultantes et en divisant leur somme par deux. Ayant à votre disposition la valeur du demi-périmètre, vous pouvez utiliser la formule de Héron. Pour ce faire, vous devez prendre la racine carrée de ce qui suit : p(p-a)(p-b)(p-c).
Vous avez obtenu l'aire requise du triangle. Le problème de trouver le volume d’un triangle n’a pas été résolu, mais comme mentionné ci-dessus, le volume ne l’est pas. Vous pouvez trouver un volume qui est essentiellement un triangle dans le monde tridimensionnel. Si nous imaginons que notre triangle d'origine est devenu une pyramide tridimensionnelle, alors le volume d'une telle pyramide sera le produit de la longueur de sa base par l'aire du triangle que nous avons obtenu.
note
Plus vous mesurez avec soin, plus vos calculs seront précis.
Sources:
- Calculateur «Tout pour tout» - un portail pour les valeurs de référence
- volume du triangle
Le triangle est l’une des formes géométriques les plus courantes, avec laquelle on se familiarise à l’école primaire. Chaque élève est confronté à la question de savoir comment trouver l'aire d'un triangle dans les cours de géométrie. Alors, quelles caractéristiques de la recherche de l'aire d'une figure donnée peuvent être identifiées ? Dans cet article, nous examinerons les formules de base nécessaires pour accomplir une telle tâche et analyserons également les types de triangles.
Types de triangles
Vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de manières complètement différentes, car en géométrie, il existe plus d'un type de figure contenant trois angles. Ces types comprennent :
- Obtus.
- Équilatéral (correct).
- Triangle rectangle.
- Isocèle.
Examinons de plus près chacun des types de triangles existants.
Cette figure géométrique est considérée comme la plus courante lors de la résolution de problèmes géométriques. Lorsqu'il est nécessaire de dessiner un triangle arbitraire, cette option vient à la rescousse.
Dans un triangle aigu, comme son nom l’indique, tous les angles sont aigus et totalisent 180°.
Ce type de triangle est également très courant, mais un peu moins courant qu'un triangle aigu. Par exemple, lors de la résolution de triangles (c'est-à-dire que plusieurs de ses côtés et angles sont connus et que vous devez trouver les éléments restants), vous devez parfois déterminer si l'angle est obtus ou non. Le cosinus est un nombre négatif.
B, la valeur d'un des angles dépasse 90°, donc les deux angles restants peuvent prendre de petites valeurs (par exemple 15° voire 3°).
Pour trouver l'aire d'un triangle de ce type, vous devez connaître quelques nuances, dont nous parlerons plus tard.
Triangles réguliers et isocèles
Un polygone régulier est une figure qui comprend n angles et dont les côtés et les angles sont tous égaux. C'est ce qu'est un triangle régulier. Puisque la somme de tous les angles d’un triangle est de 180°, alors chacun des trois angles vaut 60°.
Un triangle régulier, en raison de sa propriété, est aussi appelé figure équilatérale.
Il convient également de noter qu'un seul cercle peut être inscrit dans un triangle régulier, qu'un seul cercle peut être décrit autour de lui et que leurs centres sont situés au même point.
En plus du type équilatéral, on peut également distinguer un triangle isocèle, qui en est légèrement différent. Dans un tel triangle, deux côtés et deux angles sont égaux l'un à l'autre, et le troisième côté (auquel sont adjacents les angles égaux) est la base.
La figure montre un triangle isocèle DEF dont les angles D et F sont égaux et DF est la base.
Triangle rectangle
Un triangle rectangle est ainsi nommé car l’un de ses angles est droit, c’est-à-dire égal à 90°. Les deux autres angles totalisent 90°.
Le plus grand côté d’un tel triangle, opposé à l’angle de 90°, est l’hypoténuse, tandis que les deux autres côtés sont les jambes. Pour ce type de triangle, le théorème de Pythagore s'applique :
La somme des carrés des longueurs des jambes est égale au carré de la longueur de l'hypoténuse.
La figure montre un triangle rectangle BAC avec l'hypoténuse AC et les pattes AB et BC.
Pour trouver l'aire d'un triangle à angle droit, vous devez connaître les valeurs numériques de ses pattes.
Passons aux formules pour trouver l'aire d'une figure donnée.
Formules de base pour trouver une zone
En géométrie, il existe deux formules qui conviennent pour trouver l'aire de la plupart des types de triangles, à savoir pour les triangles aigus, obtus, réguliers et isocèles. Regardons chacun d'eux.
Par côté et en hauteur
Cette formule est universelle pour trouver l'aire de la figure que nous considérons. Pour ce faire, il suffit de connaître la longueur du côté et la longueur de la hauteur qui y est dessinée. La formule elle-même (la moitié du produit de la base et de la hauteur) est la suivante :
où A est le côté d’un triangle donné et H est la hauteur du triangle.
Par exemple, pour trouver l'aire d'un triangle aigu ACB, vous devez multiplier son côté AB par la hauteur CD et diviser la valeur obtenue par deux.
Cependant, il n’est pas toujours facile de trouver l’aire d’un triangle de cette façon. Par exemple, pour utiliser cette formule pour un triangle obtus, vous devez prolonger l'un de ses côtés et ensuite seulement lui tracer une altitude.
En pratique, cette formule est utilisée plus souvent que d’autres.
Des deux côtés et coin
Cette formule, comme la précédente, convient à la plupart des triangles et, dans sa signification, est une conséquence de la formule pour trouver l'aire par côté et par hauteur d'un triangle. Autrement dit, la formule en question peut être facilement dérivée de la précédente. Sa formulation ressemble à ceci :
S = ½*sinO*A*B,
où A et B sont les côtés du triangle et O est l'angle entre les côtés A et B.
Rappelons que le sinus d'un angle peut être visualisé dans un tableau spécial nommé d'après l'éminent mathématicien soviétique V. M. Bradis.
Passons maintenant à d'autres formules qui ne conviennent qu'à des types de triangles exceptionnels.
Aire d'un triangle rectangle
En plus de la formule universelle, qui inclut la nécessité de trouver l'altitude dans un triangle, l'aire d'un triangle contenant un angle droit peut être trouvée à partir de ses jambes.
Ainsi, l'aire d'un triangle contenant un angle droit est la moitié du produit de ses pattes, soit :
où a et b sont les jambes d'un triangle rectangle.
Triangle régulier
Ce type de figure géométrique est différent en ce que son aire peut être trouvée avec la valeur indiquée d'un seul de ses côtés (puisque tous les côtés d'un triangle régulier sont égaux). Ainsi, face à la tâche de « trouver l'aire d'un triangle lorsque les côtés sont égaux », vous devez utiliser la formule suivante :
S = UNE 2 *√3 / 4,
où A est le côté du triangle équilatéral.
La formule du héron
La dernière option pour trouver l'aire d'un triangle est la formule de Heron. Pour l'utiliser, vous devez connaître les longueurs des trois côtés de la figure. La formule de Heron ressemble à ceci :
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
où a, b et c sont les côtés d'un triangle donné.
Parfois, le problème est posé : « l’aire d’un triangle régulier consiste à trouver la longueur de son côté ». Dans ce cas, il faut utiliser la formule que l'on connaît déjà pour trouver l'aire d'un triangle régulier et en déduire la valeur du côté (ou de son carré) :
UNE 2 = 4S / √3.
Tâches d'examen
Il existe de nombreuses formules dans les problèmes GIA en mathématiques. De plus, il est souvent nécessaire de trouver l'aire d'un triangle sur du papier quadrillé.
Dans ce cas, il est plus pratique de tracer la hauteur sur l'un des côtés de la figure, de déterminer sa longueur à partir des cellules et d'utiliser la formule universelle pour trouver l'aire :
Ainsi, après avoir étudié les formules présentées dans l'article, vous n'aurez aucun problème à trouver l'aire d'un triangle de quelque nature que ce soit.
Vous pouvez trouver sur Internet plus de 10 formules pour calculer l'aire d'un triangle. Beaucoup d'entre elles sont utilisées dans des problèmes avec des côtés et des angles connus du triangle. Cependant, il existe un certain nombre d'exemples complexes où, selon les conditions de mission, un seul côté et les angles d'un triangle sont connus, ou le rayon d'un cercle circonscrit ou inscrit et une autre caractéristique. Dans de tels cas, une formule simple ne peut pas être appliquée.
Les formules données ci-dessous vous permettront de résoudre 95 % des problèmes dans lesquels vous devez trouver l'aire d'un triangle.
Passons à l'examen des formules d'espace commun.
Considérons le triangle montré dans la figure ci-dessous
Dans la figure et ci-dessous dans les formules, les désignations classiques de toutes ses caractéristiques sont introduites.
a,b,c – côtés du triangle,
R – rayon du cercle circonscrit,
r – rayon du cercle inscrit,
h[b],h[a],h[c] – hauteurs tracées conformément aux côtés a,b,c.
alpha, bêta, hamma – angles proches des sommets.
Formules de base pour l'aire d'un triangle
1. L'aire est égale à la moitié du produit du côté du triangle et de la hauteur abaissée de ce côté. Dans le langage des formules, cette définition peut s'écrire ainsi
Ainsi, si le côté et la hauteur sont connus, alors chaque élève trouvera l'aire.
À propos, de cette formule, on peut déduire une relation utile entre les hauteurs
2. Si l'on tient compte du fait que la hauteur d'un triangle passant par le côté adjacent est exprimée par la dépendance
Ensuite la première formule d'aire est suivie des secondes du même type
Regardez attentivement les formules : elles sont faciles à retenir, car le travail implique deux côtés et l'angle qui les sépare. Si nous désignons correctement les côtés et les angles du triangle (comme dans la figure ci-dessus), nous obtiendrons deux côtés a,b et l'angle est relié au troisième Avec (hamma).
3. Pour les angles d'un triangle, la relation est vraie
La dépendance vous permet d'utiliser les formules suivantes pour l'aire d'un triangle dans les calculs :
Les exemples de cette dépendance sont extrêmement rares, mais il ne faut pas oublier qu'une telle formule existe.
4. Si le côté et deux angles adjacents sont connus, alors l'aire est trouvée par la formule
5. La formule pour l'aire en termes de côté et de cotangente des angles adjacents est la suivante
En réorganisant les index, vous pouvez obtenir des dépendances pour d'autres parties.
6. La formule d'aire ci-dessous est utilisée dans les problèmes lorsque les sommets d'un triangle sont spécifiés sur le plan par des coordonnées. Dans ce cas, l'aire est égale à la moitié du déterminant pris modulo.
7. La formule du héron utilisé dans les exemples avec des côtés connus d'un triangle.
Trouvez d’abord le demi-périmètre du triangle
Et puis déterminez la superficie en utilisant la formule
ou
Il est assez souvent utilisé dans le code des programmes de calculatrice.
8. Si toutes les hauteurs du triangle sont connues, alors l'aire est déterminée par la formule
Il est difficile de calculer sur une calculatrice, mais dans les packages MathCad, Mathematica et Maple, la zone est le « temps deux ».
9. Les formules suivantes utilisent les rayons connus des cercles inscrits et circonscrits. 
En particulier, si le rayon et les côtés du triangle, ou son périmètre, sont connus, alors l'aire est calculée selon la formule
10. Dans les exemples où les côtés et le rayon ou le diamètre du cercle circonscrit sont donnés, l'aire est trouvée à l'aide de la formule
11. La formule suivante détermine l'aire d'un triangle en termes de côté et d'angles du triangle.
Et enfin - cas particuliers :
Aire d'un triangle rectangle avec les jambes a et b égales à la moitié de leur produit
Formule pour l'aire d'un triangle équilatéral (régulier)=
= un quart du produit du carré du côté par la racine de trois.
Notion de zone
La notion d'aire de toute figure géométrique, notamment d'un triangle, sera associée à une figure telle qu'un carré. Pour l'aire unitaire de toute figure géométrique, nous prendrons l'aire d'un carré dont le côté est égal à un. Pour être complet, rappelons deux propriétés fondamentales de la notion d'aires de figures géométriques.
Propriété 1 : Si les figures géométriques sont égales, alors leurs aires sont également égales.
Propriété 2 : Toute figure peut être divisée en plusieurs figures. De plus, l'aire de la figure originale est égale à la somme des aires de toutes ses figures constitutives.
Regardons un exemple.
Exemple 1
Évidemment, l'un des côtés du triangle est une diagonale d'un rectangle dont un côté a une longueur de 5$ (puisqu'il y a des cellules de 5$) et l'autre est de 6$ (puisqu'il y a des cellules de 6$). Par conséquent, l'aire de ce triangle sera égale à la moitié d'un tel rectangle. L'aire du rectangle est
Alors l'aire du triangle est égale à
Réponse : 15$.
Ensuite, nous examinerons plusieurs méthodes pour trouver les aires des triangles, à savoir en utilisant la hauteur et la base, en utilisant la formule de Heron et l'aire d'un triangle équilatéral.
Comment trouver l'aire d'un triangle en utilisant sa hauteur et sa base
Théorème 1
L'aire d'un triangle peut être trouvée comme la moitié du produit de la longueur d'un côté et de la hauteur de ce côté.
Mathématiquement, ça ressemble à ça
$S=\frac(1)(2)αh$
où $a$ est la longueur du côté, $h$ est la hauteur qui y est dessinée.
Preuve.
Considérons un triangle $ABC$ dans lequel $AC=α$. La hauteur $BH$ est tracée de ce côté, ce qui est égal à $h$. Construisons-le jusqu'au carré $AXYC$ comme dans la figure 2.
L'aire du rectangle $AXBH$ est $h\cdot AH$, et l'aire du rectangle $HBYC$ est $h\cdot HC$. Alors
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Par conséquent, l'aire requise du triangle, par la propriété 2, est égale à
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Le théorème a été prouvé.
Exemple 2
Trouvez l'aire du triangle dans la figure ci-dessous si la cellule a une aire égale à un
La base de ce triangle est égale à 9$ (puisque 9$ sont des carrés de 9$). La hauteur est également de 9$. Alors, d'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Réponse : 40,5$.
La formule du héron
Théorème 2
Si on nous donne trois côtés d'un triangle $α$, $β$ et $γ$, alors son aire peut être trouvée comme suit
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
ici $ρ$ signifie le demi-périmètre de ce triangle.
Preuve.
Considérons la figure suivante :
D'après le théorème de Pythagore, à partir du triangle $ABH$ on obtient
A partir du triangle $CBH$, d'après le théorème de Pythagore, on a
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
De ces deux relations on obtient l'égalité
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Puisque $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, alors $α+β+γ=2ρ$, ce qui signifie
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
D'après le théorème 1, on obtient
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pour déterminer l'aire d'un triangle, vous pouvez utiliser différentes formules. De toutes les méthodes, la plus simple et la plus fréquemment utilisée consiste à multiplier la hauteur par la longueur de la base puis à diviser le résultat par deux. Cependant, cette méthode est loin d’être la seule. Ci-dessous, vous pouvez lire comment trouver l'aire d'un triangle à l'aide de différentes formules.
Séparément, nous examinerons les moyens de calculer l'aire de types spécifiques de triangles - rectangulaires, isocèles et équilatéraux. Nous accompagnons chaque formule d'une courte explication qui vous aidera à comprendre son essence.
Méthodes universelles pour trouver l'aire d'un triangle
Les formules ci-dessous utilisent une notation spéciale. Nous allons décrypter chacun d'eux :
- a, b, c – les longueurs des trois côtés de la figure que nous considérons ;
- r est le rayon du cercle pouvant être inscrit dans notre triangle ;
- R est le rayon du cercle qui peut être décrit autour de lui ;
- α est la grandeur de l'angle formé par les côtés b et c ;
- β est la grandeur de l'angle entre a et c ;
- γ est la grandeur de l'angle formé par les côtés a et b ;
- h est la hauteur de notre triangle, abaissé de l'angle α au côté a ;
- p – la moitié de la somme des côtés a, b et c.
Il est logiquement clair pourquoi vous pouvez trouver l'aire d'un triangle de cette manière. Le triangle peut facilement être complété en un parallélogramme, dans lequel un côté du triangle fera office de diagonale. L'aire d'un parallélogramme se trouve en multipliant la longueur d'un de ses côtés par la valeur de la hauteur qui y est dessinée. La diagonale divise ce parallélogramme conditionnel en 2 triangles identiques. Il est donc bien évident que l'aire de notre triangle d'origine doit être égale à la moitié de l'aire de ce parallélogramme auxiliaire.
S=½ a b sin γ
Selon cette formule, l'aire d'un triangle se trouve en multipliant les longueurs de ses deux côtés, c'est-à-dire a et b, par le sinus de l'angle qu'ils forment. Cette formule dérive logiquement de la précédente. Si l'on abaisse la hauteur de l'angle β au côté b, alors, selon les propriétés d'un triangle rectangle, lorsque l'on multiplie la longueur du côté a par le sinus de l'angle γ, on obtient la hauteur du triangle, c'est-à-dire h .
L'aire de la figure en question se trouve en multipliant la moitié du rayon du cercle qui peut y être inscrit par son périmètre. Autrement dit, on trouve le produit du demi-périmètre et du rayon du cercle mentionné.
S = a b c/4R
Selon cette formule, la valeur dont nous avons besoin peut être trouvée en divisant le produit des côtés de la figure par 4 rayons du cercle décrit autour d'elle.
Ces formules sont universelles, car elles permettent de déterminer l'aire de n'importe quel triangle (scalène, isocèle, équilatéral, rectangulaire). Cela peut être fait à l'aide de calculs plus complexes, sur lesquels nous ne nous attarderons pas en détail.
Aires de triangles avec des propriétés spécifiques
Comment trouver l'aire d'un triangle rectangle ? La particularité de cette figure est que ses deux côtés sont simultanément ses hauteurs. Si a et b sont des jambes et que c devient l'hypoténuse, alors nous trouvons l'aire comme ceci :
Comment trouver l'aire d'un triangle isocèle ? Il a deux côtés de longueur a et un côté de longueur b. Par conséquent, son aire peut être déterminée en divisant par 2 le produit du carré du côté a par le sinus de l'angle γ.
Comment trouver l'aire d'un triangle équilatéral ? Dans celui-ci, la longueur de tous les côtés est égale à a et la grandeur de tous les angles est α. Sa hauteur est égale à la moitié du produit de la longueur du côté a et de la racine carrée de 3. Pour trouver l'aire d'un triangle régulier, il faut multiplier le carré du côté a par la racine carrée de 3 et diviser par 4.