A „Get A” videótanfolyam tartalmazza az összes olyan témát, amely a matematika egységes államvizsga sikeres letételéhez szükséges 60-65 ponttal. Teljesen a Profil egységes államvizsga matematika 1-13. Matematika egységes államvizsga alapvizsga letételére is alkalmas. Ha 90-100 ponttal szeretnél letenni az egységes államvizsgát, akkor az 1. részt 30 perc alatt és hiba nélkül kell megoldanod!
Egységes államvizsgára felkészítő tanfolyam 10-11. évfolyam, valamint pedagógusok számára. Minden, ami az egységes államvizsga 1. részének matematikából (az első 12 feladat) és a 13. feladat (trigonometria) megoldásához szükséges. Ez pedig több mint 70 pont az egységes államvizsgán, és ezek nélkül sem egy 100 pontos, sem egy bölcsész nem megy.
Minden szükséges elmélet. Gyors módszerek az egységes államvizsga megoldásai, buktatói és titkai. A FIPI Feladatbank 1. részének minden aktuális feladatát elemezték. A tanfolyam teljes mértékben megfelel az Egységes Államvizsga 2018 követelményeinek.
A tanfolyam 5 nagy témát tartalmaz, egyenként 2,5 órás. Minden témát a semmiből adunk, egyszerűen és világosan.
Több száz egységes államvizsga-feladat. Szöveges feladatok és valószínűségszámítás. Egyszerű és könnyen megjegyezhető algoritmusok a problémák megoldására. Geometria. Elmélet, referenciaanyag, az egységes államvizsga-feladatok minden típusának elemzése. Sztereometria. Trükkös megoldások, hasznos csalólapok, térbeli fantázia fejlesztése. Trigonometria a semmiből a feladatig 13. Megértés a zsúfoltság helyett. Komplex fogalmak világos magyarázata. Algebra. Gyökök, hatványok és logaritmusok, függvény és derivált. Az egységes államvizsga 2. részében szereplő összetett problémák megoldásának alapja.
A geometriai formák sokfélesége közül észrevehetően kiemelkedik egy négyszög, például egy rombusz. Még maga a neve sem jellemző a négyszögek megjelölésére. És bár a geometriában sokkal ritkábban található meg, mint az olyan egyszerű alakzatok, mint a kör, háromszög, négyzet vagy téglalap, ezt sem lehet figyelmen kívül hagyni.
Az alábbiakban a rombuszok meghatározása, tulajdonságai és jellemzői olvashatók.
Meghatározás
A rombusz egyenlő oldalú paralelogramma. A rombuszt négyzetnek nevezzük, ha minden szöge derékszög. A legtöbb ragyogó példa A gyémánt a gyémánt öltöny képe egy játékkártyán. Ezenkívül a rombuszt gyakran ábrázolták különféle címereken. A mindennapi életben a gyémánt példája a kosárlabdapálya.
Tulajdonságok
- A rombusz szemközti oldalai párhuzamos vonalakon fekszenek, és azonos hosszúságúak.
- A rombusz átlóinak metszéspontja egy pontban 90°-os szöget zár be, ami a felezőpontjuk.
- A rombusz átlói felezik azt a szöget, amelyből származnak.
- A paralelogramma tulajdonságai alapján levezethetjük az átlók négyzeteinek összegét. A képlet szerint egyenlő a másodfokú hatványra emelt és néggyel megszorzott oldallal.
Jelek
Világosan meg kell értenünk, hogy minden rombusz paralelogramma, ugyanakkor nem minden paralelogramma rendelkezik a rombusz összes mutatójával. E két geometriai alakzat megkülönböztetéséhez ismernie kell a rombusz jellemzőit. Ennek a geometriai alakzatnak a következő jellemzői:
- Bármely két közös csúcsú oldal egyenlő.
- Az átlók 90°C-os szögben metszik egymást.
- Legalább egy átló kettéosztja azokat a szögeket, amelyek csúcspontjaiból kilép.
Területi képletek
Alapképlet:
- S = (AC*BD)/2
A paralelogramma tulajdonságai alapján:
- S = (AB*H AB)
A rombusz két szomszédos oldala közötti szög nagysága alapján:
- S = AB2*sinα
Ha ismerjük a rombuszba írt kör sugarának hosszát:
- S = 4r 2 /(sinα), ahol:
- S - terület;
- AB, AC, BD - oldalak kijelölése;
- H - magasság;
- r - a kör sugara;
- sinα - szinusz alfa.
Kerület
A rombusz kerületének kiszámításához csak meg kell szoroznia bármelyik oldalának hosszát néggyel.
A rajz felépítése
Vannak, akiknek nehézséget okoz a gyémántminta megalkotása. Még ha már kitalálta, mi a rombusz, nem mindig világos, hogyan kell pontosan és a szükséges arányoknak megfelelően elkészíteni a rajzát.
Kétféleképpen lehet gyémántmintát készíteni:
- Először készítsen egy átlót, majd egy másik, rá merőleges átlót, majd kösse össze a rombusz párhuzamos oldalpárjainak szegmenseinek végeit.
- Először tegyük félre a rombusz egyik oldalát, majd készítsünk vele párhuzamosan egy egyenlő hosszúságú szakaszt, és kössük össze ezeknek a szakaszoknak a végeit is párosan párhuzamosan.
Legyen óvatos az építésnél - ha a rajzon a rombusz minden oldalának hosszát azonosra állítja, akkor nem rombuszt kap, hanem négyzetet.
Az 1. ábrán $ABCD$ egy rombusz, $A B=B C=C D=A D$. Mivel a rombusz paralelogramma, ezért rendelkezik a paralelogramma összes tulajdonságával, de vannak olyan tulajdonságok is, amelyek csak a rombuszra jellemzőek.
Bármely rombuszba beleilleszthet egy kört. A rombuszba írt kör középpontja az átlók metszéspontja. A kör sugara megegyezik a $r=\frac(A H)(2)$ rombusz magasságának felével (1. ábra)
A rombusz tulajdonságai
- A rombusz átlói merőlegesek;
- A rombusz átlói a szögfelezők.
A gyémánt jelei
- Az a paralelogramma, amelynek átlói derékszögben metszik egymást, rombusz;
- Az a paralelogramma, amelynek átlói szögfelezői, rombusz.
Példák problémamegoldásra
Példa
Gyakorlat. Az $ABCD$ rombusz átlói 6 és 8 cm. Határozzuk meg a rombusz oldalát!
Megoldás. Készítsünk rajzot (1. ábra). Legyen a határozottság kedvéért $A C=6$ cm, $B D=8$ cm Egy rombusz tulajdonsága szerint átlói derékszögben metszik egymást. A metszéspontban az átlókat kettéosztjuk (a paralelogramma tulajdonsága, a rombusz pedig a paralelogramma speciális esete).
Tekintsük a $A O B$ háromszöget. Ez téglalap alakú ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Írjuk fel erre a háromszögre a Pitagorasz-tételt:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Helyettesítsük be a $AO$ és a $BO$ talált értékeit,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Válasz. Egy rombusz oldala 5 cm.
Példa
Gyakorlat. Egy 4 cm-es oldalú rombuszban az egyik szög egyenlő $60^(\circ)$. Keresse meg a rombusz átlóit!
Megoldás. Készítsünk rajzot (2. ábra).
Legyen $\angle B=60^(\circ)$ a határozottság érdekében. Ekkor egy rombusz tulajdonsága alapján az $BD$ átló a $B$ szög felezője, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Tekintsük $\Delta O B C$, ez téglalap alakú ($\angle B O C=90^(\circ)$), mert egy rombusz átlói derékszögben metszik egymást. Mivel $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm a $30^(\circ)$ szöggel szemben fekvő láb. A Pitagorasz-tétel segítségével $B O$-t találunk:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
A rombusz átlóit a metszéspontban kettéosztjuk, tehát
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Válasz.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Példa
Gyakorlat. Egy rombuszban az egyik átló és a rombusz oldala által bezárt szög $27^(\circ)$. Keresse meg a rombusz szögeit!
Megoldás. Készítsünk rajzot (3. ábra)
Pontosabban $\angle K L O=27^(\circ)$. A rombusz átlói a szögfelezők, így $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Mivel a rombusz paralelogramma, a következő tulajdonságok érvényesek rá: az egyik oldallal szomszédos szögek összege $180^(\circ)$ és a szemközti szögek egyenlőek. Ezért,
$\angle M=\angle K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Válasz.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$
$\angle M=\angle K=126^(\circ)$
egyenlő oldalakkal. Egy derékszögű rombusz az négyzet .
A rombusz egyfajta paralelogramma, amelynek két szomszédos egyenlő oldala van egymásra merőleges átlókkal, vagy olyan átlókkal, amelyek a szöget 2 egyenlő részre osztják.
A rombusz tulajdonságai.
1. Rombusz paralelogramma, tehát a szemközti oldalak azonos hosszúságúak és páronként párhuzamosak, AB || CD, AD || Nap.
2. Az átlók metszésszöge rombusz egyenes (AC⊥ BD)és a metszéspontot két azonos részre osztjuk. Vagyis az átlók 4 téglalap alakú háromszögre osztják a rombuszt.
3. Rombusz átlói szögeinek felezői (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD stb. ).
4. Az átlók négyzeteinek összege egyenlő az oldal négyzetével szorozva néggyel (a paralelogramma azonosságából származtatva).
A gyémánt jelei.
Paralelogramma ABCD csak akkor nevezzük rombusznak, ha a feltételek közül legalább egy teljesül:
1. A két szomszédos oldala azonos hosszúságú (vagyis a rombusz minden oldala egyenlő, AB=BC=CD=AD).
2. Egy egyenes átlóinak metszésszöge ( A.C.⊥ BD).
3. Az átlók közül 1 kettéosztja az azt tartalmazó szögeket.
Lehet, hogy nem tudjuk előre, hogy a négyszög paralelogramma, de tudjuk, hogy minden oldala egyenlő. Tehát ez a négyszög rombusz.
Rombusz szimmetriája.
A rombusz szimmetrikus minden átlójához képest gyakran használják díszekben és parkettában.
Rombusz kerülete.
Geometriai alakzat kerülete- egy sík geometriai alakzat határainak teljes hossza. A kerület mérete megegyezik a hosszával.
AB \parallel CD,\;BC \parallel AD
AB = CD,\;BC = AD
2. A rombusz átlói merőlegesek.
AC\perp BD
Bizonyíték
Mivel a rombusz paralelogramma, átlói ketté vannak osztva.
Ez azt jelenti, hogy \háromszög BOC = \háromszög DOC három oldalon (BO = OD, OC - csatlakozás, BC = CD). Azt kapjuk, hogy \angle BOC = \angle COD, és szomszédosak.
\jobbra nyíl \szög BOC = 90^(\circ)és \angle COD = 90^(\circ) .
3. Az átlók metszéspontja kettéosztja őket.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. A rombusz átlói a szögfelezők.
\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;
\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.
Bizonyíték
Tekintettel arra, hogy az átlókat kettéosztja a metszéspont, és a rombusz minden oldala egyenlő egymással, az egész ábrát az átlók 4 egyenlő háromszögre osztják:
\háromszög BOC,\; \háromszög BOA,\; \háromszög AOD,\; \háromszög COD.
Ez azt jelenti, hogy BD, AC felezők.
5. Az átlók 4 derékszögű háromszöget alkotnak egy rombuszból.
6. Bármely rombusz tartalmazhat olyan kört, amelynek középpontja az átlók metszéspontjában van.
7. Az átlók négyzeteinek összege egyenlő a rombusz egyik oldalának négyzetével megszorozva néggyel
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
A gyémánt jelei
1. A merőleges átlójú paralelogramma rombusz.
\begin(esetek) AC \perp BD \\ ABCD \end(esetek)- paralelogramma, \Jobbra ABCD - rombusz.
Bizonyíték
Az ABCD egy paralelogramma \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Az is szerepel, hogy AC \perp BD \Jobbra \háromszög AOB = \háromszög BOC = \triangle COD = \háromszög AOD- 2 lábon.
Kiderül, hogy AB = BC = CD = AD.
Igazolt!
2. Ha egy paralelogrammában legalább az egyik átló mindkét szöget (amelyen áthalad) kettéosztja, akkor ez az ábra rombusz lesz.
Bizonyíték
Megjegyzés: nem minden merőleges átlójú alak (négyszög) lesz rombusz.
Például:
Ez már nem rombusz, az átlók merőlegessége ellenére.
A megkülönböztetéshez érdemes megjegyezni, hogy először a négyszögnek paralelogrammának kell lennie, és rendelkeznie kell