Magasabb rendek származékai

Ebben a leckében megtanuljuk, hogyan találhatunk magasabb rendű származékokat, valamint megírjuk az „n-edik” származék általános képletét. Ezenkívül figyelembe kell venni egy ilyen származékra vonatkozó Leibniz-képletet, és általános igény szerint a magasabb rendű származékokat. implicit függvény. Azt javaslom, hogy azonnal végezzen egy minitesztet:

Itt van a funkció: és itt az első származéka:

Ha bármilyen nehézsége/félreértése van ezzel a példával kapcsolatban, kérjük, kezdje tanfolyamom két alapvető cikkével: Hogyan lehet megtalálni a származékot?És Összetett függvény származéka. Az elemi származékok elsajátítása után javaslom, hogy olvassa el a leckét A deriválttal kapcsolatos legegyszerűbb problémák, amellyel különösen foglalkoztunk második származéka.

Még azt sem nehéz kitalálni, hogy a második derivált az 1. derivált származéka:

Elvileg a második származékot már magasabb rendű származéknak tekintjük.

Hasonlóan: a harmadik derivált a 2. derivált származéka:

A negyedik derivált a 3. derivált származéka:

Ötödik származék: , és nyilvánvaló, hogy minden magasabb rendű derivált is egyenlő lesz nullával:

A római számozás mellett a gyakorlatban gyakran használják a következő elnevezéseket:
, míg az „n-edik” sorrend deriváltját jelöli. Ebben az esetben a felső indexet zárójelbe kell tenni.- megkülönböztetni a származékot az "y"-től a fokozatban.

Néha van egy ilyen bejegyzés: - harmadik, negyedik, ötödik, ..., "n-edik" származékok, ill.

Előre félelem és kétség nélkül:

1. példa

Adott egy függvény. Megtalálja .

Megoldás: mit mondhatsz... - előre a negyedik származékért :)

Ma már nem szokás négy vonást tenni, ezért áttérünk a numerikus indexekre:

Válasz:

Oké, most gondoljuk át ezt a kérdést: mi a teendő, ha a feltétel szerint nem a 4., hanem például a 20. származékot kell keresni? Ha a 3-4-5 (maximum, 6-7.) sorrendben elég gyorsan összeáll a megoldás, akkor „ráérünk” a magasabb rendek származékaira, ó, milyen nem hamar. Ne írj le, sőt, 20 sort! Ilyen helyzetben több talált származékot kell elemeznie, meg kell tekintenie a mintát, és össze kell állítania az „n-edik” derivált képletét. Így az 1. példában könnyen érthető, hogy minden további megkülönböztetésnél egy további „hármas” „ugrik ki” a kitevő elé, és a „hármas” mértéke bármely lépésben megegyezik a kitevő számával. a származék, tehát:

Hol van egy tetszőleges természetes szám.

És valóban, ha , akkor pontosan az 1. deriváltot kapjuk: , ha - akkor 2.: stb. Így a huszadik derivált azonnal meghatározásra kerül: - és nincs "kilométerlap"!

Saját bemelegítés:

2. példa

Funkciók keresése. Írja le a sorrendi deriváltot

Megoldás és válasz a lecke végén.

Egy élénkítő bemelegítés után bonyolultabb példákat veszünk figyelembe, amelyekben kidolgozzuk a fenti megoldási algoritmust. Azoknak, akik elolvasták a leckét Sorozatkorlát, kicsit könnyebb lesz:

3. példa

Funkció keresése.

Megoldás: a helyzet tisztázására több származékot találunk:

Nem sietünk a kapott számok szorzásával! ;-)


Talán elég. ... Még egy kicsit túlzásba is.

A következő lépésben a legjobb az "n-edik" derivált képletét felírni (amint a feltétel ezt nem igényli, akkor tervezettel meg lehet boldogulni). Ehhez megvizsgáljuk a kapott eredményeket, és azonosítjuk azokat a mintákat, amelyekkel minden következő származékot kapunk.

Először aláírják. Az interleaving biztosítja "villogó", és mivel az 1. derivált pozitív, a következő tényező kerül be az általános képletbe: . Egy ezzel egyenértékű lehetőség is megteszi, de személy szerint optimistaként szeretem a plusz jelet =)

Másodszor, a "szelek" számlálóban faktoriális, és egy egységgel „lemarad” a derivált számától:

Harmadszor pedig a „kettő” hatványa nő a számlálóban, ami megegyezik a derivált számával. Ugyanez mondható el a nevező mértékéről is. Végül:

Ellenőrzési célból helyettesítsünk be néhány értéket az "en" értékkel, és:

Remek, most hibázni csak bűn:

Válasz:

Egy egyszerűbb funkció a barkácsoló megoldáshoz:

4. példa

Funkciók keresése.

És egy trükkösebb probléma:

5. példa

Funkciók keresése.

Ismételjük meg az eljárást még egyszer:

1) Először több származékot találunk. Három vagy négy általában elég a minták elkapásához.

2) Akkor erősen ajánlom az összeállítást (legalábbis tervezetben)"n-edik" származék - garantáltan véd a hibáktól. De meg lehet nélkülözni, pl. fejben becsülje meg és azonnal írja le például a huszadik vagy nyolcadik származékot. Sőt, egyesek általában szóban is képesek megoldani a szóban forgó problémákat. Emlékeztetni kell azonban arra, hogy a „gyors” módszerek tele vannak, és jobb, ha biztonságosan játszunk.

3) Az utolsó szakaszban ellenőrizzük az „n-edik” származékot - veszünk egy „en” értékpárt (jobb, mint a szomszédosak), és végrehajtjuk a helyettesítést. És még megbízhatóbb, ha ellenőrizzük az összes korábban talált származékot. Ezután helyettesítjük a kívánt értékkel, például vagy, és óvatosan fésüljük meg az eredményt.

A 4. és 5. példa rövid megoldása az óra végén.

Egyes feladatoknál a problémák elkerülése érdekében egy kis varázslatot kell végeznie a funkcióval:

6. példa

Megoldás: Egyáltalán nem szeretném megkülönböztetni a javasolt függvényt, mivel „rossz” törtnek bizonyul, ami nagyon megnehezíti a későbbi származékok megtalálását.

Ezzel kapcsolatban célszerű előzetes átalakításokat végezni: használjuk négyzetek különbségi képleteÉs logaritmus tulajdonság :

Egészen más dolog:

És régi barátok:

Szerintem mindent megnéznek. Vegye figyelembe, hogy a 2. tört előjeles, de az 1. nem. Megalkotjuk a sorrendi deriváltot:

Ellenőrzés:

Nos, a szépség kedvéért zárójelből kivesszük a faktoriálist:

Válasz:

Érdekes feladat önálló megoldáshoz:

7. példa

Írja fel a függvény sorrendi derivált képletét!

És most a megingathatatlan kölcsönös felelősségről, amelyet még az olasz maffia is irigyelni fog:

8. példa

Adott egy függvény. megtalálja

A tizennyolcadik derivált a pontban. Éppen.

Megoldás: először nyilvánvalóan meg kell találnia a . Megy:

A szinuszból indultak ki, és eljutottak a szinuszba. Nyilvánvaló, hogy további differenciálással ez a ciklus a végtelenségig folytatódik, és felmerül a következő kérdés: hogyan lehet a legjobban „eljutni” a tizennyolcadik deriváltig?

Az „amatőr” módszer: gyorsan felírjuk a következő származékok számát a jobb oldalon az oszlopba:

És így:

De működik, ha a derivált sorrendje nem túl nagy. Ha meg kell találni mondjuk a századik deriváltot, akkor használd az oszthatóságot 4-gyel. A száz osztható 4-gyel maradék nélkül, és könnyen belátható, hogy ilyen számok az alsó sorban találhatók, ezért: .

Egyébként a 18. derivált is hasonló megfontolások alapján határozható meg:
A második sor olyan számokat tartalmaz, amelyek oszthatók 4-gyel, a maradék 2-vel.

Egy másik, akadémikusabb módszer arra épül szinusz periodicitásÉs redukciós képletek. A szinusz kész "n-edik" származékát használjuk , amelybe egyszerűen behelyettesítjük a kívánt számot. Például:
(redukciós képlet ) ;
(redukciós képlet )

A mi esetünkben:

(1) Mivel a szinusz egy periodikus függvény egy ponttal, ezért az argumentum fájdalommentesen „lecsavarható” 4 periódusban (azaz).

Két függvény szorzatának sorrendi deriváltja a következő képlettel kereshető:

Különösen:

Nem kell különösebben emlékeznie semmire, mert minél több képletet ismer, annál kevésbé érti. Sokkal jobb tudni Newton binomiális, hiszen Leibniz képlete nagyon-nagyon hasonlít rá. Nos, azok a szerencsések, akik megkapják a 7. vagy magasabb rendek származékát (ami nagyon valószínűtlen) kénytelen lesz megtenni. Amikor azonban eljön az ideje kombinatorika- még muszáj =)

Keressük meg a függvény harmadik deriváltját. A Leibniz-képletet használjuk:

Ebben az esetben: . A származékokra könnyű szóban kattintani:

Most óvatosan és ÓVATOSAN hajtjuk végre a helyettesítést, és egyszerűsítjük az eredményt:

Válasz:

Hasonló feladat önálló megoldáshoz:

11. példa

Funkciók keresése

Ha az előző példában a "homlokra" megoldás még versenyzett a Leibniz-képlettel, akkor itt már igazán kellemetlen lesz. És még kellemetlenebb - magasabb rendű származék esetén:

12. példa

Keresse meg a megadott sorrend deriváltját

Megoldás: az első és lényeges megjegyzés - így dönteni valószínűleg nem kell =) =)

Írjuk fel a függvényeket, és keressük meg a származékaikat az 5. rendig bezárólag. Feltételezem, hogy a jobb oldali oszlop származékai szóbelivé váltak az Ön számára:

A bal oldali oszlopban az „élő” származékok gyorsan „végezték”, és ez nagyon jó - a Leibniz-képletben három tag lesz nullázva:

Újra kitérek a cikkben megjelent dilemmára összetett származékok: az eredmény egyszerűsítése érdekében? Elvileg így is hagyhatod - a tanárnak még könnyebb lesz ellenőrizni. De előfordulhat, hogy eszébe kell juttatnia a döntést. Másrészt a saját kezdeményezésű egyszerűsítés tele van algebrai hibákkal. Van azonban egy "elsődleges" módon kapott válasz =) (lásd a linket az elején)és remélem igaz:

Remek, minden sikerült.

Válasz:

Boldog feladat az önálló megoldáshoz:

13. példa

A funkcióhoz:
a) közvetlen megkülönböztetéssel találni;
b) megtalálni a Leibniz-formulával;
c) kiszámítani.

Nem, egyáltalán nem vagyok szadista – itt az "a" pont elég egyszerű =)

De komolyra fordítva a szót, az egymást követő differenciálással „közvetlen” megoldásnak is megvan az „élethez való joga” – bizonyos esetekben összetettsége összevethető a Leibniz-formula alkalmazásának bonyolultságával. Használja úgy, ahogy jónak látja – ez valószínűleg nem ad okot arra, hogy ne vesszük figyelembe a feladatot.

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

Az utolsó bekezdés emeléséhez tudnia kell az implicit függvények megkülönböztetése:

Implicit függvények magasabb rendű deriváltjai

Sokan életünk hosszú órákat, napokat és heteket töltöttünk tanulással körökben, parabola, túlzás– és néha valóságos büntetésnek is tűnt. Vegyünk tehát bosszút, és különböztessük meg őket megfelelően!

Kezdjük az „iskola” parabolával kanonikus álláspont:

14. példa

Adott egy egyenlet. Megtalálja .

Megoldás: az első lépés ismerős:

Az a tény, hogy a függvény és deriváltja implicit módon van kifejezve, nem változtat a dolog lényegén, a második derivált az 1. derivált deriváltja:

Vannak azonban játékszabályok: általában a 2. és magasabb rendű származékokat fejezik ki csak az "x" és az "y" révén. Ezért behelyettesítjük a kapott 2. deriváltba:

A harmadik derivált a 2. derivált származéka:

Hasonlóképpen helyettesítsük:

Válasz:

"Iskola" hiperbola be kanonikus álláspont- önálló munkára:

15. példa

Adott egy egyenlet. Megtalálja .

Ismétlem, hogy a 2. deriváltot és az eredményt csak "x" / "y"-n keresztül szabad kifejezni!

Rövid megoldás és válasz a lecke végén.

A gyerekcsínytevések után nézzük a német pornográfiát @ fia, lássunk még felnőtt példákat, amiből egy másik fontos megoldást tanulunk:

16. példa

Ellipszis saját maga.

Megoldás: keresse meg az 1. derivált:

És most álljunk meg, és elemezzük a következő pillanatot: most meg kell különböztetni a törtet, ami egyáltalán nem biztató. Ebben az esetben persze egyszerű, de a való életben felmerülő problémákban csak pár ilyen ajándék van. Van mód arra, hogy elkerüljük a nehézkes származék megtalálását? Létezik! Felvesszük az egyenletet, és ugyanazt a technikát alkalmazzuk, mint az 1. derivált megtalálásakor - mindkét részre vonásokat „akasztunk”:

A második származékot csak és -on keresztül kell kifejezni, tehát most (épp most) kényelmes megszabadulni az 1. származéktól. Ehhez behelyettesítjük a kapott egyenletbe:

A szükségtelen technikai nehézségek elkerülése érdekében mindkét részt megszorozzuk az alábbiakkal:

És csak a végső szakaszban készítünk egy töredéket:

Most megnézzük az eredeti egyenletet, és észrevesszük, hogy a kapott eredmény egyszerűsíthető:

Válasz:

Hogyan találjuk meg a 2. derivált értékét valamikor (ami természetesen az ellipszishez tartozik), például azon a ponton ? Nagyon könnyű! Ezzel a motívummal már találkoztunk a kb normál egyenlet: a 2. derivált kifejezésében be kell cserélni :

Természetesen mindhárom esetben lehet kifejezetten megadott függvényeket kapni és megkülönböztetni őket, de utána mentálisan fel kell készülni arra, hogy két, gyökereket tartalmazó funkcióval dolgozzunk. Véleményem szerint a megoldást kényelmesebb "implicit módon" végrehajtani.

Utolsó példa az önálló megoldásra:

17. példa

Keresse meg az implicit függvényt

A mű szövege képek és képletek nélkül kerül elhelyezésre.
A munka teljes verziója elérhető a "Munkafájlok" fülön PDF formátumban

"Én is, Newton binomiális!»

a Mester és Margaritából

– A Pascal-háromszög olyan egyszerű, hogy még egy tízéves gyerek is ki tudja írni. Ugyanakkor kimeríthetetlen kincseket rejt magában, és összekapcsolja a matematika különböző aspektusait, amelyeknek első pillantásra semmi közük nincs egymáshoz. Az ilyen szokatlan tulajdonságok lehetővé teszik számunkra, hogy a Pascal-háromszög az egyik legelegánsabb séma az egész matematikában.

Martin Gardner.

A munka célja:általánosítsa a rövidített szorzás képleteit, mutassa be alkalmazásukat a feladatok megoldására.

Feladatok:

1) tanulmányozza és rendszerezze az ezzel kapcsolatos információkat;

2) elemezzen példákat a Newton-binomiális és a fokok összegének és különbségének képleteire vonatkozó problémákra.

Kutatási objektumok: Newton-binomiális, a fokok összegének és különbségének képletei.

Kutatási módszerek:

Oktatási és ismeretterjesztő irodalommal, internetes forrásokkal való munka.

Számítások, összehasonlítás, elemzés, hasonlat.

Relevancia. Az embernek gyakran olyan problémákkal kell megküzdenie, amelyekben meg kell számolni az összes lehetséges módot egyes tárgyak elrendezésére, vagy az összes lehetséges módot valamilyen művelet végrehajtására. A különböző utak vagy lehetőségek, amelyeket egy személynek választania kell, sokféle kombinációt eredményez. És a matematikának egy egész ága, az úgynevezett kombinatorika, azzal van elfoglalva, hogy válaszokat keressen a kérdésekre: hány kombináció van egy vagy másik esetben.

A kombinatorikus mennyiségekkel számos szakterület képviselőinek kell megküzdeniük: tudós-kémikus, biológus, tervező, diszpécser stb.. A kombinatorika iránt az utóbbi években megnövekedett érdeklődés a kibernetika és a számítástechnika rohamos fejlődésének köszönhető.

Bevezetés

Amikor hangsúlyozni akarják, hogy a beszélgetőpartner eltúlozza az előtte álló feladatok összetettségét, azt mondják: „Szükségem van Newton binomiálisára is!” Mondjuk, itt a Newton-binomiális, nehéz, de micsoda problémái vannak! Még azok is hallottak a Newton-binomiálisról, akiknek semmi közük a matematikához.

A "binomiális" szó binomiálist jelent, azaz. két tag összege. Az iskolai tanfolyamból ismertek az úgynevezett rövidített szorzóképletek:

( A+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

Ezeknek a képleteknek az általánosítása a Newton-binomiális képlet. Az iskolában is használatosak a négyzetek különbségének, a kockák összegének és különbségének faktorálási képletei. Van általánosításuk más fokozatokra? Igen, vannak ilyen képletek, gyakran használják különféle problémák megoldásában: oszthatóság bizonyítása, törtek csökkentése, közelítő számítások.

Az általánosító képletek tanulmányozása fejleszti a deduktív-matematikai gondolkodást és az általános mentális képességeket.

1. SZAKASZ. NEWTON BINOMIÁLIS FORMULA

Kombinációk és tulajdonságaik

Legyen X egy n elemből álló halmaz. Az X halmaz bármely, k elemet tartalmazó Y részhalmazát n-ből k elem és k ≤ n kombinációjának nevezzük.

Az n-ből k elem különböző kombinációinak számát C n k -vel jelöljük. A kombinatorika egyik legfontosabb képlete a következő képlet a C n k számra:

Nyilvánvaló rövidítések után a következőképpen írható:

Különösen,

Ez teljesen összhangban van azzal a ténnyel, hogy az X halmazban csak egy 0 elemű részhalmaz van - az üres részhalmaz.

A C n k számoknak számos figyelemreméltó tulajdonsága van.

A С n k = С n - k n képlet érvényes, (3)

A (3) képlet jelentése az, hogy az X-ből származó összes k tagú részhalmazok halmaza és az X-ből származó összes (n - k) tagú részhalmaz halmaza között egy az egyhez megfelelés van: ennek a megfelelésnek a megállapításához, elég, ha Y minden k-tagú részhalmaza megfelel az X halmazban lévő komplementerének.

A С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n képlet érvényes (4)

A bal oldali összeg az X halmaz összes részhalmazának számát fejezi ki (C 0 n a 0 tagú részhalmazok száma, C 1 n az egytagú részhalmazok száma stb.).

Bármely k, 1≤ k≤ n esetén az egyenlőség

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Ez az egyenlőség könnyen megszerezhető az (1) képlet segítségével. Valóban,

1.2. A Newton-binomiális képlet levezetése

Tekintsük a binomiális hatványait egy +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2(egy +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3(egy +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4(egy +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n=5(egy +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Figyeljük meg a következő törvényszerűségeket:

Az eredményül kapott polinom tagjainak száma eggyel nagyobb, mint a binomiális kitevője;

Az első tag kitevője n-ről 0-ra csökken, a második tag kitevője 0-ról n-re nő;

Az összes monom foka megegyezik a feltételben lévő binomiális fokaival;

Minden monom az első és a második kifejezés szorzata különböző hatványokkal és egy bizonyos számmal - a binomiális együtthatóval;

A bővítés kezdetétől és végétől egyenlő távolságra lévő binomiális együtthatók egyenlőek.

Ezeknek a képleteknek az általánosítása a következő képlet, amelyet Newton-binomiális képletnek neveznek:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Ebben a képletben n bármilyen természetes szám lehet.

Levezetjük a (6) képletet. Először is írjuk:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

ahol a szorozandó zárójelek száma n. Az összeg összeggel való szorzásának szokásos szabályából az következik, hogy a (7) kifejezés egyenlő az összes lehetséges szorzat összegével, amely a következőképpen állítható össze: bármely tag az összegek közül az elsőben a + b megszorozva a második összeg bármely tagjával a+b, a harmadik összeg bármely feltételére stb.

Az elmondottakból világosan látszik, hogy a for kifejezésben szereplő kifejezés (a + b ) n egyezik (egy az egyhez) n hosszúságú karakterláncok, amelyek betűkből állnak a és b. A kifejezések között lesznek hasonló kifejezések; nyilvánvaló, hogy az ilyen tagok azonos számú betűt tartalmazó karakterláncoknak felelnek meg A. De a pontosan k-t tartalmazó sorok száma szorozza meg a betűt A, egyenlő C n k -vel. Ezért az a betűt pontosan k-szoros tényezővel tartalmazó tagok összege С n k a n - k b k . Mivel k felveheti a 0, 1, 2, ..., n-1, n értékeket, a (6) képlet következik az érvelésünkből. Vegye figyelembe, hogy a (6) rövidebbre írható: (8)

Bár a (6) képletet Newton nevének nevezik, a valóságban még Newton előtt fedezték fel (például Pascal ismerte). Newton érdeme abban rejlik, hogy megtalálta ennek a képletnek az általánosítását nem egész kitevők esetére. I. Newton volt 1664-1665-ben. levezetett egy képletet, amely kifejezi a binomiális mértékét tetszőleges tört és negatív kitevőkre.

A (6) képletben szereplő C 0 n , C 1 n , ..., C n n számokat általában binomiális együtthatóknak nevezik, amelyek meghatározása a következő:

A (6) képletből ezeknek az együtthatóknak számos tulajdonságát megkaphatjuk. Például feltételezve A=1, b = 1, kapjuk:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n ,

azok. (4) képlet. Ha feltesszük A= 1, b = -1, akkor lesz:

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

vagy С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Ez azt jelenti, hogy a tágulás páros tagjainak együtthatóinak összege egyenlő a bővülés páratlan tagjainak együtthatóinak összegével; mindegyik egyenlő 2 n -1 .

A bővítés végeitől egyenlő távolságra lévő tagok együtthatói egyenlőek. Ez a tulajdonság az összefüggésből következik: С n k = С n n - k

Érdekes különleges eset

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

vagy rövidebb (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polinom tétel

Tétel.

Bizonyíték.

Ahhoz, hogy a zárójelek kinyitása után monomot kapjon, ki kell választania azokat a zárójeleket, amelyekből származik, azokat a zárójeleket, amelyekből származik stb. és azokat a zárójeleket, amelyekből ez származik. Ennek a monomnak az együtthatója a hasonló tagok redukálása után megegyezik a választás lehetőségeinek számával. A választási sorrend első lépése módokon, a második lépés - , a harmadik - stb., a -edik lépés - módokon történhet. A kívánt együttható megegyezik a szorzattal

2. SZAKASZ. Magasabb megbízások származékai.

A magasabb rendű származékok fogalma.

Legyen a függvény valamilyen intervallumban differenciálható. Akkor a származéka általában attól függ x, azaz függvénye x. Ezért ezzel kapcsolatban ismét felvethetjük a származék létezésének kérdését.

Meghatározás . Az első derivált származékát ún másodrendű vagy másodrendű származéka, és a szimbólummal jelöljük, vagy pl.

Meghatározás . A második derivált származékát harmadrendű deriváltnak vagy harmadik deriváltnak nevezzük, és a vagy szimbólummal jelöljük.

Meghatározás . deriváltn sorrendben funkciókat a derivált első származékának nevezzük (n Ennek a függvénynek -1)-edik sorrendje, és a vagy a szimbólum jelöli:

Meghatározás . Az elsőnél magasabb rendű származékokat nevezzük magasabb származékok.

Megjegyzés. Hasonlóképpen megkaphatja a képletet n-a függvény deriváltja:

Egy parametrikusan meghatározott függvény második deriváltja

Ha a függvényt parametrikusan adjuk meg egyenletekkel, akkor a másodrendű derivált meghatározásához meg kell differenciálni az első derivált kifejezését egy független változó komplex függvényeként.

Azóta

és ezt figyelembe véve,

Értjük, vagyis.

Hasonlóképpen megtalálhatjuk a harmadik származékot is.

Összeg, szorzat és hányados különbsége.

Mivel a differenciált a deriváltból úgy kapjuk meg, hogy megszorozzuk egy független változó differenciáljával, így az alapvető elemi függvények deriváltjait, valamint a deriváltak megtalálásának szabályait ismerve hasonló szabályokhoz juthatunk a differenciálok megtalálásához.

1 0 . Egy állandó különbsége nulla.

2 0 . Véges számú differenciálható függvény algebrai összegének differenciálja egyenlő ezen függvények differenciálösszegének algebrai összegével .

3 0 . Két differenciálható függvény szorzatának differenciálja egyenlő az első függvény és a második és a második függvény differenciáljának, valamint az első függvény differenciáljának szorzatának összegével .

Következmény. A konstans tényező kivehető a differenciál előjeléből.

2.3. Parametrikusan adott függvények, differenciálásuk.

Meghatározás . Egy függvényt paraméteresen definiáltnak nevezünk, ha mindkét változó x És Az y-t külön-külön definiálják ugyanannak a segédváltozónak - a paraméternek - egyértékű függvényeikéntt :

Aholt belül változik.

Megjegyzés . Bemutatjuk egy kör és egy ellipszis parametrikus egyenleteit.

a) Kör középpontjában az origó és a sugár r paraméteres egyenletei vannak:

b) Írjuk fel az ellipszis paraméteres egyenleteit:

A paraméter kizárásával t A vizsgált egyenesek parametrikus egyenleteiből juthatunk el kanonikus egyenleteikhez.

Tétel . Ha a funkció y érvelésből x-et paraméteresen adják meg az egyenletek, ahol és differenciálhatót funkciókat, majd.

2.4. Leibniz-képlet

A származék megtalálásához n két függvény szorzatának sorrendjében a Leibniz-formula nagy gyakorlati jelentőséggel bír.

Hadd uÉs v- néhány függvény egy változóból x amelyek bármilyen rendű származékai és y = UV. Expressz n-edik derivált a függvények deriváltjain keresztül uÉs v .

Mi következetesen

Könnyen észrevehető az analógia a második és a harmadik derivált kifejezései és a Newton-binomiális kiterjesztése között a második és harmadik hatványban, de a kitevők helyett számok vannak, amelyek meghatározzák a derivált sorrendjét, és a maguk a függvények „nullad rendű származékoknak” tekinthetők. Ennek alapján megkapjuk a Leibniz-képletet:

Ez a képlet matematikai indukcióval igazolható.

3. SZAKASZ. A LEIBNIZ-KÉPLET ALKALMAZÁSA.

Két függvény szorzatából bármely sorrend deriváltjának kiszámításához, megkerülve a két függvény szorzatának kiszámítására szolgáló képlet szekvenciális alkalmazását, használjuk Leibniz-képlet.

Ezzel a képlettel vegyünk példákat két függvény szorzatának n-edik deriváltjának kiszámítására.

1. példa

Keresse meg egy függvény második deriváltját

Definíció szerint a második származék az első származék első származéka, azaz.

Ezért először az adott függvény elsőrendű deriváltját keressük meg a szerint differenciálási szabályokés használata derivált táblázat:

Most megtaláljuk az elsőrendű derivált származékát. Ez lesz a kívánt másodrendű származék:

Válasz:

2. példa

Keresse meg egy függvény harmadrendű deriváltját

Megoldás.

Sorra megkeressük az adott függvény első, második, harmadik és így tovább sorrendjének deriváltjait, hogy egy olyan mintát hozzunk létre, amely általánosítható a -edik deriváltra.

Az elsőrendű származékot az as a hányados származéka:

Itt a kifejezést egy szám faktoriálisának nevezzük. Egy szám faktoriálisa egyenlő az egytől a számok szorzatával, azaz

A második derivált az első derivált első származéka, azaz

Harmadik rendű származék:

Negyedik származék:

Figyeljük meg a szabályszerűséget: a számláló egy olyan szám faktoriálisát tartalmazza, amely megegyezik a derivált sorrendjével, a nevező pedig a derivált sorrendjénél eggyel nagyobb hatványkifejezést tartalmaz, azaz

Válasz.

3. példa

Keresse meg egy függvény harmadik deriváltjának értékét egy pontban.

Megoldás.

Alapján magasabb rendű származékok táblázata, nekünk van:

Ebben a példában, vagyis azt kapjuk

Megjegyzendő, hogy hasonló eredményt kaphatunk a deriváltok egymás utáni keresésével is.

Egy adott ponton a harmadik derivált:

Válasz:

4. példa

Keresse meg egy függvény második deriváltját

Megoldás. Először keressük meg az első származékot:

A második derivált megtalálásához ismét megkülönböztetjük az első derivált kifejezését:

Válasz:

5. példa

Keresse meg, ha

Mivel az adott függvény két függvény szorzata, célszerű a Leibniz-formula alkalmazása a negyedrendű derivált megtalálásához:

Megtaláljuk az összes derivált, és kiszámítjuk a kifejezések együtthatóit.

1) Számítsa ki a következő kifejezések együtthatóit:

2) Keresse meg a függvény deriváltjait:

3) Keresse meg a függvény deriváltjait:

Válasz:

6. példa

Az y=x 2 cos3x függvény adott. Keresse meg a harmadik rend deriváltját.

Legyen u=cos3x , v=x 2 . Ekkor a Leibniz-képlet szerint a következőket kapjuk:

A kifejezés származékai a következők:

(cos3x)′=-3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Ezért az adott függvény harmadik deriváltja az

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

7. példa

Származék keresése n -th order funkció y=x 2 cosx.

A Leibniz-képletet, beállítást használjuku=cosx, v=x 2 . Akkor

A sorozat többi tagja egyenlő nullával, mivel(x2)(i)=0 i>2 esetén.

Származék n -rendű koszinusz függvény:

Ezért függvényünk deriváltja az

KÖVETKEZTETÉS

Az iskola tanulmányozza és használja az úgynevezett rövidített szorzóképleteket: két kifejezés összegének és különbségének négyzeteit és kockáit, valamint a négyzetek különbségének, két kifejezés kockáinak összegének és különbségének faktorálási képleteit. Ezeknek a képleteknek az általánosítása a Newton-binomiális képlet, valamint a hatványok összegének és különbségének faktorálási képlete. Ezeket a képleteket gyakran használják különféle feladatok megoldásában: oszthatóság bizonyítása, törtek redukálása, közelítő számítások. A Pascal-háromszög érdekes tulajdonságait vizsgáljuk, amelyek szorosan összefüggnek a Newton-binomiálissal.

A dolgozat rendszerezi a témával kapcsolatos információkat, példákat ad a Newton-binomiális használatára, valamint a fokok összegének és különbségének képleteire. A munka felhasználható egy matematikai kör munkájában, valamint a az önálló tanulás akik érdeklődnek a matematika iránt.

HASZNÁLT FORRÁSOK LISTÁJA

1. Vilenkin N. Ya. Kombinatorika – szerk. "A tudomány". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra és a matematikai elemzés kezdete. 10. évfolyam: tankönyv. általános műveltségre szervezetek alap- és emelt szintű - M.: Oktatás, 2014. - 431 p.

3. Statisztikai, kombinatorikai és valószínűségszámítási feladatok megoldása. 7-9 cella / szerző - fordító V.N. Studenetskaya. - szerk. 2., javítva, - Volgograd: Tanár, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebrai egyenletek magasabb fokozatok/ módszertani útmutató az egyetemközi előkészítő tagozat hallgatóinak. - Szentpétervár, 2001.

5. Sharygin I.F. Matematika fakultatív tantárgy: Problémamegoldás. Tankönyv 10 cellához. középiskola. - M.: Felvilágosodás, 1989.

6.Tudomány és élet, Newton-binomiális és Pascal-háromszög[Elektronikus forrás]. - Hozzáférési mód: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

A Leibniz-képlet n-edik számítás két függvény szorzatának deriváltja. Bizonyítása kétféleképpen történik. Példát veszünk az n-edik rendű derivált kiszámítására.

Tartalom

Lásd még: Két függvény szorzatának származéka

Leibniz-képlet

A Leibniz-képlet segítségével kiszámítható két függvény szorzatának n-edik deriváltja. Ez így néz ki:
(1) ,
Ahol
binomiális együtthatók.

A binomiális együtthatók a binomiális kiterjesztésének együtthatói és hatványaiban:
.
Szintén a szám az n-től k-ig terjedő kombinációk száma.

A Leibniz-képlet bizonyítása

Alkalmazható két függvény szorzatának deriváltjának képlete :
(2) .
Írjuk át a (2) képletet a következő alakra:
.
Vagyis úgy tekintjük, hogy az egyik függvény az x változótól, a másik az y változótól függ. A számítás végén feltételezzük. Ekkor az előző képlet a következőképpen írható fel:
(3) .
Mivel a derivált egyenlő a tagok összegével, és mindegyik tag két függvény szorzata, ezért a magasabb rendű származékok kiszámításához következetesen alkalmazhatja a (3) szabályt.

Ekkor az n-edrendű deriválthoz a következőt kapjuk:

.
Adott és , megkapjuk a Leibniz-képletet:
(1) .

Bizonyítás indukcióval

Bemutatjuk a Leibniz-képlet bizonyítását matematikai indukciós módszerrel.

Írjuk át a Leibniz-képletet:
(4) .
n = 1 esetén a következőt kapjuk:
.
Ez a képlet két függvény szorzatának deriválására. Ő tisztességes.

Tegyük fel, hogy a (4) képlet az n-edrendű deriváltra érvényes. Bizonyítsuk be, hogy az n + deriváltra érvényes 1 -edik sorrend.

Megkülönböztetés (4):
;



.
Így találtuk:
(5) .

Helyettesítse az (5) pontot, és vegye figyelembe, hogy:

.
Ez azt mutatja, hogy a (4) képletnek ugyanaz az alakja az n + származékra 1 -edik sorrend.

Tehát a (4) képlet n = esetén érvényes 1 . Abból a feltételezésből, hogy ez igaz valamely n = m számra, az következik, hogy igaz n = m + 1 .
A Leibniz-képlet bevált.

Példa

Számítsa ki egy függvény n-edik deriváltját!
.

A Leibniz-képletet alkalmazzuk
(2) .
A mi esetünkben
;
.

Által derivált táblázat nekünk van:
.
Alkalmaz trigonometrikus függvények tulajdonságai :
.
Akkor
.
Ez azt mutatja, hogy a szinuszfüggvény differenciálása a -kal való eltolódáshoz vezet. Akkor
.

Megtaláljuk a függvény deriváltjait.
;
;
;
, .

Mivel a esetén a Leibniz-képletben csak az első három tag nem nulla. Binomiális együtthatók keresése.
;
.

A Leibniz-képlet szerint:

.

Lásd még:

Az alkalmazott feladatok megoldása az integrál számítására redukálódik, de ezt nem mindig lehet pontosan megtenni. Néha bizonyos fokú pontossággal, például ezrelékig kell tudni egy határozott integrál értékét.

Vannak olyan feladatok, amikor egy adott integrál közelítő értékét kellene a kívánt pontossággal megtalálni, ekkor numerikus integrációt alkalmazunk, mint a Simposn módszer, trapézok, téglalapok. Nem minden eset teszi lehetővé, hogy bizonyos pontossággal kiszámítsuk.

Ez a cikk a Newton-Leibniz formula alkalmazását tárgyalja. Ez szükséges a határozott integrál pontos kiszámításához. Részletes példákat adunk, figyelembe vesszük a változó változását a határozott integrálban, és a részenkénti integráláskor megtaláljuk a határozott integrál értékeit.

Newton-Leibniz képlet

1. definíció

Amikor az y = y (x) függvény folytonos az [ a ; b ], és F (x) e szegmens függvényének egyik antideriváltja, tehát Newton-Leibniz képlet igazságosnak tartják. Írjuk fel így ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ezt a képletet figyelembe veszik az integrálszámítás alapképlete.

Ennek a képletnek a bizonyításához egy integrál fogalmát kell használni a rendelkezésre álló változó felső határával.

Amikor az y = f (x) függvény folytonos az [ a ; b ], akkor az x ∈ a argumentum értéke; b , és az integrál ∫ a x f (t) d t alakú, és a felső határ függvényének tekintendő. El kell fogadni, hogy a függvény jelölése ∫ a x f (t) d t = Φ (x) alakot vesz fel, folytonos, és az ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = egyenlőtlensége f (x) érvényes rá.

Rögzítjük, hogy a Φ (x) függvény növekménye megfelel a ∆ x argumentum növekményének, szükség van egy határozott integrál ötödik főtulajdonságára, és megkapjuk

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

ahol c ∈ x érték; x + ∆x .

Az egyenlőséget Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) alakban rögzítjük. Egy függvény deriváltjának definíciója szerint a ∆ x → 0 határértékre kell átmenni, ekkor egy [ a ; b ] -n elhelyezkedő formájú képletet kapunk Ellenkező esetben a kifejezés felírható

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, ahol C értéke állandó.

Számítsuk ki F (a)-t a határozott integrál első tulajdonságával. Akkor azt kapjuk

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a a f (t) d t + C = 0 + C = C, tehát C = F (a) . Az eredmény alkalmazható F (b) kiszámításakor, és a következőt kapjuk:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) , más szóval, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Az egyenlőség bizonyítja a Newton-Leibniz formulát ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

A függvény növekményét úgy vesszük, hogy F x a b = F (b) - F (a) . A jelölés segítségével a Newton-Leibniz képlet ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) lesz.

A képlet alkalmazásához ismerni kell az y = f (x) integrandus egyik y = F (x) antideriváltját az [ a ; b ] , számítsuk ki ebből a szegmensből az antiderivált növekményt. Vegyünk néhány példát a számításokra a Newton-Leibniz képlet használatával.

1. példa

Számítsa ki a ∫ 1 3 x 2 d x határozott integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével!

Megoldás

Tekintsük, hogy az y = x 2 alakú integrandus folytonos az [ 1 ; 3 ] , akkor és integrálható ezen a szegmensen. A határozatlan integrálok táblázata szerint azt látjuk, hogy az y \u003d x 2 függvénynek van egy sor antideriváltja az x minden valós értékére, ami azt jelenti, hogy x ∈ 1; A 3 a következőképpen lesz felírva: F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C. Az antideriváltot C \u003d 0 értékkel kell venni, akkor azt kapjuk, hogy F (x) \u003d x 3 3.

Használjuk a Newton-Leibniz képletet, és kapjuk meg, hogy a határozott integrál számítása a következő formában lesz: ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 .

Válasz:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

2. példa

Számítsa ki a ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x határozott integrált a Newton-Leibniz képlet segítségével!

Megoldás

Az adott függvény a [-1; 2 ], ami azt jelenti, hogy integrálható rajta. Meg kell találni a ∫ x e x 2 + 1 d x határozatlan integrál értékét a differenciáljel alatti összegzés módszerével, ekkor ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1) ) = 1 2 e x 2+1+C.

Ennélfogva az y = x · e x 2 + 1 függvény antideriváltjainak halmaza van, amelyek érvényesek minden x, x ∈ - 1-re; 2.

Fel kell venni az antiderivált C = 0-nál, és alkalmazni kell a Newton-Leibniz képletet. Ekkor megkapjuk a forma kifejezését

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Válasz:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

3. példa

Számítsa ki a ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x és ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x integrálokat.

Megoldás

Szegmens - 4; - 1 2 azt mondja, hogy az integráljel alatti függvény folytonos, ami azt jelenti, hogy integrálható. Innen megtaláljuk az y = 4 x 3 + 2 x 2 függvény antideriváltjainak halmazát. Ezt értjük

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Ki kell venni az antiderivált F (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, majd a Newton-Leibniz képlet alkalmazásával megkapjuk az integrált, amelyet kiszámítunk:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Áttérünk a második integrál számítására.

A szegmensből [ - 1 ; 1 ] azt kaptuk, hogy az integrandus korlátlannak tekinthető, mert lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , akkor ebből az következik, hogy a szegmensből az integrálhatóság szükséges feltétele. Ekkor F (x) = 2 x 2 - 2 x nem antideriválta y = 4 x 3 + 2 x 2-re a [ - 1 ; 1 ] , mivel az O pont a szakaszhoz tartozik, de nem szerepel a definíciós tartományban. Ez azt jelenti, hogy van Riemann és Newton-Leibniz határozott integrálja az y = 4 x 3 + 2 x 2 függvényre a [ - 1 ; 1 ] .

Válasz: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28, létezik Riemann és Newton-Leibniz határozott integrálja az y = 4 x 3 + 2 x 2 függvényre a [ - 1 intervallumból; 1 ] .

A Newton-Leibniz képlet alkalmazása előtt pontosan tudnia kell a határozott integrál létezéséről.

Változó változása egy meghatározott integrálban

Ha az y = f (x) függvény definiált és folytonos az [ a ; b ] , majd a meglévő halmaz [ a ; b ] az α intervallumon meghatározott x = g (z) függvény tartománya; β a meglévő folytonos deriválttal, ahol g (α) = a és g β = b , így azt kapjuk, hogy ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z .

Ezt a képletet akkor használjuk, ha a ∫ a b f (x) d x integrált kell kiszámítani, ahol a határozatlan integrál ∫ f (x) d x alakú, helyettesítési módszerrel számolunk.

4. példa

Számítsunk ki egy ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x alakú határozott integrált!

Megoldás

Az integrandus az integrációs intervallumon folytonosnak tekinthető, ami azt jelenti, hogy a határozott integrál létezik. Adjuk meg azt a jelölést, hogy 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 . Az x \u003d 9 érték azt jelenti, hogy z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, és x \u003d 18 esetén azt kapjuk, hogy z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u0, majd g 27 \u0, u003d g (3) \u003d 9, g β = g 3 3 = 18 . A kapott értékeket behelyettesítve a ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z képletbe, azt kapjuk, hogy

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = 3 3 3 1 z 2 3 z 9 d z

A határozatlan integrálok táblázata szerint azt kapjuk, hogy a 2 z 2 + 9 függvény egyik antideriváltja a 2 3 a r c t g z 3 értéket veszi fel. Ekkor a Newton-Leibniz képlet alkalmazásával azt kapjuk, hogy

∫ 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a rc t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 = 2 3 a r c t g 3 - a rc t g 3 = 1 π1 = 3 π 3 8

A megállapítás elvégezhető a ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z képlet nélkül.

Ha a helyettesítési módszer ∫ 1 x 2 x - 9 d x alakú integrált használ, akkor a ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C eredményre juthatunk.

Innentől kezdve a Newton-Leibniz képlet segítségével számolunk, és kiszámítjuk a határozott integrált. Ezt értjük

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g t 3 - 1 π 3 - 1 a r \u003d π 18

Az eredmények megegyeztek.

Válasz: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrálás részenként a határozott integrál számításánál

Ha a szakaszon [ a ; b ] u (x) és v (x) függvények definiáltak és folytonosak, akkor a v " (x) u (x) elsőrendű deriváltjai integrálhatók, így ebből az intervallumból az u " (x) v (x) integrálható függvényre x) a ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x egyenlőség igaz.

A képlet ekkor használható, ki kell számítani az ∫ a b f (x) d x integrált, és ∫ f (x) d x, ezt részenkénti integrációval kellett megtalálni.

5. példa

Számítsa ki a ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x határozott integrált!

Megoldás

Az x sin x 3 + π 6 függvény integrálható a - π 2 szegmensre; 3 π 2, tehát folytonos.

Legyen u (x) \u003d x, majd d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, és d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x és v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . A ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x képletből azt kapjuk, hogy

∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d 3 d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 2 + 3 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

A példa megoldása más módon is megoldható.

Keresse meg az x sin x 3 + π 6 függvény antideriváltjainak halmazát részenkénti integrációval a Newton-Leibniz képlet segítségével:

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Válasz: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt