Եթե ​​անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ապա... Երկրաչափական պատկերներ. Ռոմբուս. Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են

«Ստացեք A» տեսադասընթացը ներառում է բոլոր այն թեմաները, որոնք անհրաժեշտ են մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությունը 60-65 միավորով հաջողությամբ հանձնելու համար: Մաթեմատիկայի պրոֆիլի միասնական պետական ​​քննության 1-13-րդ առաջադրանքները ամբողջությամբ։ Հարմար է նաև մաթեմատիկայի հիմնական միասնական պետական ​​քննություն հանձնելու համար: Եթե ​​ցանկանում եք միասնական պետական ​​քննություն հանձնել 90-100 միավորով, ապա պետք է 1-ին մասը լուծեք 30 րոպեում և առանց սխալների։

Պետական ​​միասնական քննության նախապատրաստական ​​դասընթաց 10-11-րդ դասարանների, ինչպես նաև ուսուցիչների համար։ Այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ է մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության 1-ին մասի (առաջին 12 խնդիրների) և 13-րդ (եռանկյունաչափության) առաջադրանքները լուծելու համար: Իսկ սա միասնական պետական ​​քննության 70 միավորից ավելին է, և ոչ 100 բալանոց ուսանողը, ոչ հումանիտար առարկան առանց դրանց չեն կարող։

Բոլոր անհրաժեշտ տեսությունը. Արագ ուղիներՊետական ​​միասնական քննության լուծումները, ծուղակները և գաղտնիքները. FIPI Task Bank-ի 1-ին մասի բոլոր ընթացիկ առաջադրանքները վերլուծվել են: Դասընթացը լիովին համապատասխանում է 2018 թվականի միասնական պետական ​​քննության պահանջներին։

Դասընթացը պարունակում է 5 մեծ թեմա՝ յուրաքանչյուրը 2,5 ժամ: Յուրաքանչյուր թեմա տրված է զրոյից, պարզ ու հստակ։

Հարյուրավոր միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքներ. Բառի խնդիրներ և հավանականությունների տեսություն. Պարզ և հեշտ հիշվող ալգորիթմներ խնդիրների լուծման համար: Երկրաչափություն. Տեսություն, տեղեկատու նյութ, բոլոր տեսակի միասնական պետական ​​քննական առաջադրանքների վերլուծություն. Ստերեոմետրիա. Բարդ լուծումներ, օգտակար խաբեբա թերթիկներ, տարածական երևակայության զարգացում: Եռանկյունաչափությունը զրոյից մինչև խնդիր 13. Խճճվելու փոխարեն հասկացողություն: Բարդ հասկացությունների հստակ բացատրություններ: Հանրահաշիվ. Արմատներ, հզորություններ և լոգարիթմներ, ֆունկցիա և ածանցյալ: Պետական ​​միասնական քննության 2-րդ մասի բարդ խնդիրների լուծման հիմք.

Երկրաչափական ձևերի բազմազանության մեջ նկատելիորեն առանձնանում է ռոմբի նման քառանկյունը։ Անգամ դրա անվանումն ինքնին բնորոշ չէ քառանկյունների նշանակմանը։ Եվ չնայած երկրաչափության մեջ այն շատ ավելի հազվադեպ է հանդիպում, քան այնպիսի պարզ թվեր, ինչպիսիք են շրջանը, եռանկյունը, քառակուսին կամ ուղղանկյունը, այն նույնպես չի կարելի անտեսել:

Ստորև բերված են ռոմբուսների սահմանումը, հատկությունները և բնութագրերը:

Սահմանում

Ռոմբը հավասար կողմերով զուգահեռագիծ է: Ռոմբը կոչվում է քառակուսի, եթե նրա բոլոր անկյունները ուղիղ են: Մեծ մասը վառ օրինակԱդամանդը ադամանդե կոստյումի պատկերն է խաղաքարտի վրա։ Բացի այդ, ռոմբը հաճախ պատկերված է եղել տարբեր զինանշանների վրա։ Առօրյա կյանքում ադամանդի օրինակ է բասկետբոլի դաշտը:

Հատկություններ

1. Ռոմբի հակառակ կողմերը գտնվում են զուգահեռ գծերի վրա և ունեն նույն երկարությունը:
2. Ռոմբի անկյունագծերի հատումը տեղի է ունենում մի կետում 90° անկյան տակ, որը նրանց միջնակետն է։
3. Ռոմբի անկյունագծերը կիսում են այն անկյունը, որտեղից նրանք առաջացել են:
4. Ելնելով զուգահեռագծի հատկություններից՝ մենք կարող ենք դուրս բերել անկյունագծերի քառակուսիների գումարը: Ըստ բանաձևի՝ այն հավասար է քառակուսային հզորության բարձրացված և չորսով բազմապատկված կողմին։

Նշաններ

Մենք պետք է հստակ հասկանանք, որ ցանկացած ռոմբ զուգահեռագիծ է, բայց միևնույն ժամանակ ամեն զուգահեռագիծ չէ, որ ունի ռոմբի բոլոր ցուցիչները։ Այս երկու երկրաչափական ձևերը տարբերելու համար անհրաժեշտ է իմանալ ռոմբի բնութագրերը: Այս երկրաչափական գործչի բնորոշ գծերը հետևյալն են.

1. Ընդհանուր գագաթ ունեցող ցանկացած երկու կողմ հավասար են:
2. Անկյունագծերը հատվում են 90°C անկյան տակ։
3. Առնվազն մեկ անկյունագիծը կիսով չափ կիսում է այն անկյունները, որոնց գագաթային կետերից այն դուրս է գալիս:

Տարածքի բանաձևեր

Հիմնական բանաձևը.

• S = (AC*BD)/2

Զուգահեռագծի հատկությունների հիման վրա.

• S = (AB*H AB)

Ելնելով ռոմբի երկու հարակից կողմերի անկյան չափից.

• S = AB2*sinα

Եթե ​​գիտենք ռոմբի մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղի երկարությունը.

• S = 4r 2 / (sinα), որտեղ:
  • S - տարածք;
  • AB, AC, BD - կողմերի նշանակում;
  • H - բարձրություն;
  • r - շրջանագծի շառավիղը;
  • sinα - սինուս ալֆա.

Պարագծային

Ռոմբուսի պարագիծը հաշվարկելու համար պարզապես անհրաժեշտ է նրա ցանկացած կողմի երկարությունը բազմապատկել չորսով:

Գծագրի կառուցում

Որոշ մարդիկ դժվարանում են կառուցել ադամանդե նախշ: Նույնիսկ եթե դուք արդեն հասկացել եք, թե ինչ է ռոմբուսը, միշտ չէ, որ պարզ է, թե ինչպես կարելի է կառուցել դրա գծագիրը ճշգրիտ և անհրաժեշտ համամասնությունների համաձայն:

Ադամանդի նախշ ստեղծելու երկու եղանակ կա.

1. Սկզբում կառուցեք մեկ անկյունագիծ, այնուհետև դրան ուղղահայաց երկրորդ անկյունագիծ, այնուհետև միացրեք ռոմբի հարակից զույգ կողմերի հատվածների ծայրերը:
2. Սկզբում մի կողմ դրեք ռոմբի մի կողմը, այնուհետև կառուցեք դրան զուգահեռ երկարությամբ հավասար հատված և այս հատվածների ծայրերը նույնպես զույգերով միացրեք զուգահեռ:

Կառուցելիս զգույշ եղեք. եթե գծագրում ռոմբի բոլոր կողմերի երկարությունը նույնն եք դարձնում, ապա ոչ թե ռոմբուս կստանաք, այլ քառակուսի:

Նկար 1-ում $ABCD$-ը ռոմբ է, $A B=B C=C D=A D$: Քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, այն ունի զուգահեռագծի բոլոր հատկությունները, բայց կան նաև հատկություններ, որոնք բնորոշ են միայն ռոմբին:

Դուք կարող եք շրջանագիծ տեղավորել ցանկացած ռոմբի մեջ: Ռոմբով գծագրված շրջանագծի կենտրոնը նրա անկյունագծերի հատման կետն է: Շրջանակի շառավիղը հավասար է $r=\frac(A H)(2)$ ռոմբի բարձրության կեսին (նկ. 1)

Ռոմբի հատկությունները

1. Ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են.
2. Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են:

Ադամանդի նշաններ

1. Զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ, ռոմբ է;
2. Զուգահեռագիծը, որի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են, ռոմբ է:

Խնդիրների լուծման օրինակներ

Օրինակ

Զորավարժություններ.$ABCD$ ռոմբի անկյունագծերը 6 և 8 սմ են, գտե՛ք ռոմբի կողմը։

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 1): Հստակության համար թողնենք $A C=6$ սմ, $B D=8$ սմ։Ռոմբի հատկությամբ նրա անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ։ Հատման կետում անկյունագծերը կիսով չափ բաժանվում են (զուգահեռագծի հատկություն, իսկ ռոմբը զուգահեռագծի հատուկ դեպք է)։

Դիտարկենք $A O B$ եռանկյունը: Այն ուղղանկյուն է ($\անկյուն O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ սմ, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ սմ Գրենք Պյութագորասի թեորեմը այս եռանկյունու համար.

$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$

Եկեք փոխարինենք $AO$-ի և $BO$-ի հայտնաբերված արժեքները,

$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$

Պատասխանել.Ռոմբի կողմը 5 սմ է։

Օրինակ

Զորավարժություններ. 4 սմ կողմ ունեցող ռոմբի մեջ անկյուններից մեկը հավասար է $60^(\circ)$-ի։ Գտե՛ք ռոմբի անկյունագծերը:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 2):

Թույլ տվեք $\անկյուն B=60^(\circ)$ որոշակիության համար: Այնուհետև, ռոմբի հատկությամբ, $BD$ անկյունագիծը $B$ անկյան կիսորդն է, $\անկյուն A B O=\անկյուն O B C=\frac(\անկյուն B)(2)=30^(\circ) $. Դիտարկենք $\Delta O B C$, այն ուղղանկյուն է ($\անկյուն B O C=90^(\circ)$), քանի որ ռոմբի անկյունագծերը հատվում են ուղիղ անկյան տակ։ Քանի որ $\անկյուն O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm $30^(\circ)$ անկյան հակառակ ընկած ոտքն է: Օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը, մենք գտնում ենք $B O$:

$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$

$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$

$$B O=\sqrt(12)$$

$$B O=2 \sqrt(3)$$

Ռոմբի անկյունագծերը հատման կետում կիսով չափ բաժանված են, ուստի

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)

Պատասխանել.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm

Օրինակ

Զորավարժություններ.Ռոմբի մեջ անկյունագծերից մեկի և ռոմբի կողմից կազմված անկյունը հավասար է $27^(\circ)$-ի։ Գտե՛ք ռոմբի անկյունները:

Լուծում.Եկեք նկարենք (նկ. 3)

Կոնկրետ լինելու համար $\անկյուն K L O=27^(\circ)$: Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են, ուստի $\անկյուն L=2 \cdot \անկյուն K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$։ Քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, դրա վրա կիրառվում են հետևյալ հատկությունները. մի կողմին կից անկյունների գումարը հավասար է $180^(\circ)$-ի, իսկ հակառակ անկյունները հավասար են։ Ահա թե ինչու,

$\անկյուն M=\անկյուն K=180^(\circ)-\անկյուն L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$

Պատասխանել.$\անկյուն N=\անկյուն L=54^(\circ)$

$\անկյուն M=\անկյուն K=126^(\circ)$

հավասար կողմերով: Ուղղանկյուն ռոմբ է քառակուսի .

Ռոմբուսը համարվում է զուգահեռագծի տեսակ՝ երկու կից հավասար կողմերով կամ փոխադարձ ուղղահայաց անկյունագծերով, կամ անկյունները բաժանող անկյունները 2 հավասար մասերի։

Ռոմբի հատկությունները.

1. Ռոմբուսզուգահեռագիծ է, ուստի հակառակ կողմերն ունեն նույն երկարությունը և զույգերով զուգահեռ են, ԱԲ || CD, AD || Արև.

2. Անկյունագծերի հատման անկյունռոմբուսը ուղիղ է (AC⊥ BD)իսկ հատման կետը բաժանված են երկու նույնական մասերի։ Այսինքն՝ անկյունագծերը ռոմբը բաժանում են 4 ուղղանկյուն եռանկյունների։

3. Ռոմբի անկյունագծերընրա անկյունների կիսորդներն են (∠ DCA =∠ Ք.ա.∠ ABD =∠ CBDև այլն: ).

4. Անկյունագծերի քառակուսիների գումարըհավասար է կողմի քառակուսին բազմապատկված չորսով (ստացվում է զուգահեռագծի նույնությունից):

Ադամանդի նշաններ.

Զուգահեռագիծ Ա Բ Գ Դկկոչվի ռոմբուս միայն այն դեպքում, եթե բավարարված է պայմաններից գոնե մեկը.

1. Նրա 2 հարակից կողմերն ունեն նույն երկարությունը (այսինքն՝ ռոմբի բոլոր կողմերը հավասար են, AB=BC=CD=AD).

2. Ուղիղ գծի անկյունագծերի հատման անկյունը ( A.C.⊥ ԲԴ).

3. Անկյունագծերից 1-ը կիսում է այն պարունակող անկյունները:

Միգուցե մենք նախապես չգիտենք, որ քառանկյունը զուգահեռագիծ է, բայց գիտենք, որ նրա բոլոր կողմերը հավասար են։ Այսպիսով, այս քառանկյունը ռոմբ է:

Ռոմբի համաչափություն.

Ռոմբը սիմետրիկ էհամեմատ իր բոլոր անկյունագծերի հետ, այն հաճախ օգտագործվում է զարդերի և մանրահատակի հատակների մեջ:

Ռոմբի պարագիծը.

Երկրաչափական գործչի պարագիծը- հարթ երկրաչափական գործչի սահմանների ընդհանուր երկարությունը: Պարագիծն ունի նույն չափը, ինչ երկարությունը:

AB \զուգահեռ CD,\;BC \զուգահեռ AD

AB = CD, \; BC = AD

2. Ռոմբի անկյունագծերը ուղղահայաց են:

AC\perp BD

Ապացույց

Քանի որ ռոմբը զուգահեռագիծ է, նրա անկյունագծերը բաժանված են կիսով չափ:

Սա նշանակում է, որ \եռանկյուն BOC = \եռանկյուն DOC երեք կողմերից (BO = OD, OC - համատեղ, BC = CD): Մենք ստանում ենք, որ \ անկյուն BOC = \անկյուն COD, և դրանք հարակից են:

\Աջ սլաք \անկյուն BOC = 90^(\circ)և \անկյուն COD = 90^(\circ) .

3. Անկյունագծերի հատման կետը դրանք կիսում է կիսով չափ:

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. Ռոմբի անկյունագծերը նրա անկյունների կիսորդներն են:

\անկյուն 1 = \անկյուն 2; \; \անկյուն 5 = \անկյուն 6;

\անկյուն 3 = \անկյուն 4; \; \անկյուն 7 = \անկյուն 8.

Ապացույց

Շնորհիվ այն բանի, որ անկյունագծերը կիսով չափ բաժանված են հատման կետով, և ռոմբի բոլոր կողմերը հավասար են միմյանց, ամբողջ պատկերը անկյունագծերով բաժանվում է 4 հավասար եռանկյունների.

\եռանկյունի BOC,\; \եռանկյունի BOA,\; \եռանկյուն AOD,\; \եռանկյունի COD.

Սա նշանակում է, որ BD-ն, AC-ը բիսեկտորներ են:

5. Անկյունագծերը ռոմբից կազմում են 4 ուղղանկյուն եռանկյուն:

6. Ցանկացած ռոմբ կարող է պարունակել շրջան, որի կենտրոնն իր անկյունագծերի հատման կետում է:

7. Անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է ռոմբի կողմերից մեկի քառակուսուն բազմապատկած չորսով

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

Ադամանդի նշաններ

1. Ուղղահայաց շեղանկյուններով զուգահեռագիծը ռոմբ է:

\սկիզբ (դեպքեր) AC \perp BD \\ ABCD \վերջ (դեպքեր)- զուգահեռագիծ, \Rightarrow ABCD - ռոմբուս:

Ապացույց

ABCD-ը զուգահեռագիծ է \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Նշվում է նաև, որ AC \perp BD \Աջ սլաք \եռանկյուն AOB = \եռանկյուն BOC = \եռանկյուն COD = \եռանկյուն AOD- 2 ոտքի վրա:

Ստացվում է, որ AB = BC = CD = AD:

Ապացուցված!

2. Երբ զուգահեռագծի վրա անկյունագծերից գոնե մեկը երկու անկյունները (որոնցով անցնում է) կիսում է կիսով չափ, ապա այս պատկերը կլինի ռոմբուս:

Ապացույց

Մի նշումով.Ուղղահայաց շեղանկյուններով յուրաքանչյուր պատկեր (քառանկյուն) չի լինի ռոմբուս:

Օրինակ՝

Սա այլևս ռոմբ չէ, չնայած անկյունագծերի ուղղահայացությանը:

Տարբերակելու համար արժե հիշել, որ նախ քառանկյունը պետք է լինի զուգահեռագիծ և ունենա