Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы
2-тапсырма.Атқыш нысанаға бір рет оқ атады. Оның нысанаға жету ықтималдығын бағалаңыз.
Шешім. Бұл экспериментте екі нәтиже болуы мүмкін: не атқыш нысанаға тиді (оқиға А), немесе ол жіберіп алды (оқиға). Оқиғалар Ажәне үйлеспейді және толық топты құрайды. Алайда, жалпы жағдайда олардың бірдей мүмкіндігі бар ма, жоқ па белгісіз. Сондықтан бұл жағдайда кездейсоқ оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасын қолдану мүмкін емес. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығын статистикалық анықтау арқылы мәселені шешуге болады.
Анықтама 1.12.Оқиғаның салыстырмалы жиілігі Аоқиға болған сынақтар санының қатынасы болып табылады Апайда болды, нақты орындалған сынақтардың жалпы санына.
Осылайша, оқиғаның салыстырмалы жиілігі Аформула арқылы есептеуге болады
Қайда к– оқиғаның орын алу саны А, л– тесттердің жалпы саны.
Ескертпе 1.2.Негізгі айырмашылық - оқиғаның салыстырмалы жиілігі Аоның классикалық ықтималдығынан салыстырмалы жиілік әрқашан сынақтардың нәтижелері бойынша табылады. Классикалық ықтималдықты есептеу үшін тәжірибе жасаудың қажеті жоқ.
Ұзақ мерзімді бақылаулар көрсеткендей, егер эксперименттер сериясы бірдей жағдайларда жүргізілсе, олардың әрқайсысында сынақтар саны жеткілікті үлкен болса, онда салыстырмалы жиілік тұрақтылық қасиеті. Бұл қасиет әртүрлі тәжірибе серияларында салыстырмалы жиілік W( А) шамалы өзгереді (неғұрлым аз болса, соғұрлым көп сынақ орындалады), белгілі бір тұрақты санның айналасында ауытқиды.
Ретінде оқиғаның статистикалық ықтималдығысалыстырмалы жиілікті немесе оған жақын санды алыңыз.
Оқиғаның ықтималдығын есептеу туралы 2-тапсырмаға оралайық А(атқыш нысанаға тиеді). Оны шешу үшін бірдей жағдайларда нысанаға жеткілікті көп атудың бірнеше сериясын орындау қажет. Бұл салыстырмалы жиілікті есептеуге және оқиғаның ықтималдығын бағалауға мүмкіндік береді А.
Статистикалық анықтаманың кемшілігі статистикалық ықтималдықтың анық еместігі болып табылады. Мысалы, егер W( А)»0,4, содан кейін оқиғаның ықтималдығы ретінде А 0,4, 0,39 және 0,41 қабылдай аласыз.
Ескерту 1.3.Ықтималдықтың статистикалық анықтамасы ықтималдықтың классикалық анықтамасының екінші кемшілігін жеңуге мүмкіндік береді.
Ұшақта фигуралар болсын ГЖәне g, және gÌ Г(Cурет 1.1).
|
Ескерту 1.4.Егер gЖәне Г– түзу кесінділер, оқиғаның ықтималдығы Аосы кесінділердің ұзындықтарының қатынасына тең. Егер gЖәне Г– үш өлшемді кеңістіктегі денелер, содан кейін оқиғаның ықтималдығы Аосы денелердің көлемдерінің қатынасы ретінде табылады. Сондықтан, жалпы жағдайда Қайда месқарастырылатын кеңістіктің метрикасы болып табылады. Ескерту 1.5.Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы нәтижелердің шексіз саны бар сынақтарға қолданылады. 1.13-мысал.Екі адам 12-ден 13.00-ге дейін белгілі бір жерде кездесуге келісіп, кездесуге келген әрбір адам екіншісін 20 минут күтеді, бірақ 13.00-ден аспайды, содан кейін ол кетеді. Осы адамдардың кездесу ықтималдығын табыңыз, егер олардың әрқайсысы екіншісінің келу сәтімен үйлестірілмеген кездейсоқ уақытта келсе. Шешім.Оқиға болсын А- кездесу өтті. арқылы белгілейік x– жиналысқа бірінші адамның келу уақыты; ж- екінші тұлғаның келу уақыты. Сонда эксперименттің барлық мүмкін нәтижелерінің жиынтығы барлық жұптардың жиыны болып табылады ( x, ж), Қайда x, жÎ. Ал қолайлы нәтижелер жиынтығы теңсіздікпен анықталады |x – ж| £20 (мин). Бұл жиындардың екеуі де шексіз, сондықтан ықтималдықты есептеу үшін классикалық анықтаманы пайдалану мүмкін емес. Геометриялық анықтаманы қолданайық. Суретте. 1.2 барлық ықтимал нәтижелердің жиынын көрсетеді (квадрат OKMT) және қолайлы нәтижелер (алтыбұрыш OSLMNR). 1.13 анықтамасын қолданып, аламыз Оқиғалардың қосындысы мен туындысы. Оқиғалардың қосындысы мен көбейтіндісінің ықтималдығы туралы теоремалар Анықтама 1.14.Оқиғалар жиынтығы АЖәне Болардың кем дегенде біреуінің пайда болуынан тұратын оқиғаны атаңыз. Белгіленуі: А + Б. Анықтама 1.15.Оқиғалардың туындысы АЖәне Ббір тәжірибеде осы оқиғалардың бір мезгілде орын алуынан тұратын оқиғаны атайды. Белгіленуі: AB. 1.14-мысал.Бір карта 36 картадан тұратын палубадан кездейсоқ түрде шығарылады. Келесі белгілерді енгізейік: А– алынған карта патшайым болып шықты, Б- күрек костюмінің картасын алып шықты. Оқиға ықтималдығын табыңыз А + БЖәне AB. Шешім. Оқиға А + Бегер карта күрек костюмі немесе патшайым болса, орын алады. Бұл қарастырылып отырған оқиғаға мүмкін болатын 36 нәтиженің 13 нәтижесі (күрек костюмінің 9 картасының кез келгені, басқа костюмнің 3 ханшайымының кез келгені) қолайлы екенін білдіреді. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасын пайдалана отырып, аламыз Оқиға ABКарточка күрек пен патшайымнан жасалған болса орын алады. Сондықтан оқиға ABМүмкін болатын 36 нәтиженің тек бір ғана нәтижесі (Күректер патшайымы) қолайлы. 1.11 анықтамасын ескере отырып, біз аламыз Ескерту 1.6.Оқиғалардың қосындысы мен көбейтіндісінің анықтамаларын оқиғалардың кез келген санына кеңейтуге болады. Оқиғалардың қосындысы мен көбейтіндісінің ықтималдығын есептеу кезінде келесі тұжырымдарды қолданған ыңғайлы. Теорема 1.1.Қайсысы болмасын, екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең. P( А+Б)=P( А)+P( Б). Қорытынды 1.1.Қайсысы болмасын, бірнеше жұптық үйлесімсіз оқиғалардың біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең. P( А 1 +А 2 +…+А н)=P( А 1)+P( А 2)+…+P( А н). Қорытынды 1.2.Жұптық үйлесімсіз оқиғалардың ықтималдық қосындысы А 1 , А 2 ,…, А н, толық топ құрап, бірге тең P( А 1)+P( А 2)+…+P( А н)=1. Қорытынды 1.3.Қарама-қарсы оқиғаның ықтималдығы Кездейсоқ оқиға тәжірибе нәтижесінде болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін оқиға ретінде анықталды. Оқиғаның ықтималдығын есептеу кезінде басқа шектеулер (тәжірибе шарттарынан басқа) қойылмаса, онда мұндай ықтималдық шартсыз деп аталады. Егер басқа да қосымша шарттар қойылса, онда оқиғаның ықтималдығы шартты деп аталады. Анықтама 1.16.Шартты ықтималдықП Б(А) (немесе P( А|Б)) оқиғаның ықтималдығы деп аталады А, оқиға деген болжаммен есептелген Бболды. Шартты ықтималдық түсінігін пайдалана отырып, біз бұрын берілгеннен өзгеше оқиғалардың тәуелсіздігіне анықтама береміз. Анықтама 1.17. А оқиғасы В оқиғасынан тәуелсіз, егер теңдік болса Практикалық сұрақтарда берілген оқиғалардың тәуелсіздігін анықтау үшін олар үшін (1.3) және (1.4) теңдіктерінің орындалуын тексеруге сирек жүгінеді. Әдетте бұл үшін тәжірибеге негізделген интуитивті ойлар қолданылады. Анықтама 1.18.Бірнеше оқиға шақырылады жұптық тәуелсіз, егер олардың әрбір екеуі тәуелсіз болса. Анықтама 1.19.Бірнеше оқиға шақырылады ұжымдық тәуелсіз, егер олар жұптық тәуелсіз болса және әрбір оқиға және басқаларының барлық мүмкін туындылары тәуелсіз болса. Теорема 1.2.Екі оқиғаның бірігіп пайда болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығы мен екіншісінің шартты ықтималдығының көбейтіндісіне тең, бірінші оқиға бұрыннан орын алған деген болжаммен есептелген. Оқиғалар тізбегін таңдауға байланысты 1.2 теоремасын формада жазуға болады P( AB) = P( А)П А(Б) P( AB) = P( Б)П Б(А). Қорытынды 1.4.Бірнеше оқиғалардың бірігіп пайда болу ықтималдығы олардың біреуінің ықтималдығы мен қалғандарының барлығының шартты ықтималдығының көбейтіндісіне тең, ал әрбір келесі оқиғаның ықтималдығы алдыңғы оқиғалардың барлығы бұрыннан пайда болған деген болжаммен есептеледі. Бұл жағдайда оқиғалардың орналасу ретін кез келген жолмен таңдауға болады. 1.15-мысал.Урнада 6 ақ және 3 қара шар бар. Қара түс пайда болғанша урнадан бір-бір доп алынады. Шарлар урнаға қайтарылмаса, төртінші ұтыс ойынын өткізудің ықтималдығын табыңыз. Шешім.Қарастырылып отырған тәжірибеде, егер алғашқы үш шар ақ болып шықса, төртінші ұтыс ойынын жүргізу керек. арқылы белгілейік А икезде болатын оқиға менАлынған кезде ақ шар пайда болады ( мен= 1, 2, 3). Тапсырма - оқиғаның ықтималдығын табу А 1 А 2 А 3. Жойылған шарлар қайтарылмағандықтан, оқиғалар А 1 , А 2 және А 3 тәуелді (әрбір алдыңғы келесінің мүмкіндігіне әсер етеді). Ықтималдылықты есептеу үшін біз қорытынды 1.4 және кездейсоқ оқиғаның ықтималдығының классикалық анықтамасын қолданамыз, атап айтқанда Қорытынды 1.5.Екі тәуелсіз оқиғаның бірігіп пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең P( AB)=P( А)P( Б). Қорытынды 1.6.Жиынтықта тәуелсіз бірнеше оқиғалардың бірігіп пайда болу ықтималдығы олардың ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең P( А 1 А 2 …А н)=P( А 1)P( А 2)...P( А н). 1.16-мысал. 1.15-мысалдағы мәселені шешіңіз, әр алып тастағаннан кейін шарлар қайтадан урнаға оралады деп есептеңіз. Шешім.Бұрынғыдай (1.15-мысал) P() табу керек. А 1 А 2 А 3). Дегенмен, оқиғалар А 1 , А 2 және А 3 ұжымдық тәуелсіз, өйткені Урнаның құрамы әр алу үшін бірдей, сондықтан бір сынақтың нәтижесі басқаларға әсер етпейді. Сондықтан ықтималдықты есептеу үшін біз кездейсоқ оқиға ықтималдығының 1.6 қорытындысы мен 1.11 анықтамасын қолданамыз, атап айтқанда P( А 1 А 2 А 3)=P( А 1)P( А 2)P( А 3)= = . Теорема 1.3.Бірлескен екі оқиғаның кем дегенде біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың біріккен пайда болу ықтималдығынсыз олардың ықтималдығының қосындысына тең.
Ескерту 1.7.Формула (1.5) қолданғанда мына оқиғаларды есте сақтау керек АЖәне Бтәуелді немесе тәуелсіз болуы мүмкін. 1.17-мысал.Екі атқыш нысанаға бір оқ атты. Атқыштардың біреуінің нысанаға тию ықтималдығы 0,6, ал екіншісі үшін 0,7 екені белгілі. Оның ықтималдығын табыңыз а) екі атқыш те нысанаға тиді (оқиға D); б) атқыштардың біреуі ғана нысанаға тиеді (оқиға Е); в) атқыштардың кем дегенде біреуі нысанаға тиеді (оқиға Ф). Шешім.Келесі белгілерді енгізейік: А– бірінші атқыш нысанаға тиді; Б– екінші атқыш нысанаға тиді. P шарты бойынша( А) = 0,6 және P( Б) = 0,7. Қойылған сұрақтарға жауап береміз. а) Оқиға Dоқиға орын алса болады AB. Оқиғалардан бері АЖәне Бтәуелсіз, содан кейін 1.5-ті ескере отырып, біз аламыз P( D) = P( AB) = P( А)P( Б) = 0,6×0,7 = 0,42. б) Оқиға Еоқиғалардың бірі орын алса болады Анемесе Б. Бұл оқиғалар үйлеспейді және оқиғалар А() Және Б() тәуелсіз, сондықтан 1.1 теорема және 1.3 және 1.5 қорытындылары бойынша бізде P( Е) = P( А+ Б) = P( А) + P( Б) = P( А)P() + P()P( Б) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. в) Оқиға Фоқиғалардың кем дегенде біреуі орын алса болады Анемесе Б. Бұл шаралар бірлескен. Демек, 1.3 теоремасы бойынша бізде P( Ф) = P( А+Б) = P( А) + P( Б) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Оқиғаның ықтималдығын ескеріңіз Фбасқаша есептеуге болар еді. Атап айтқанда P( Ф) = P( А+ Б + AB) = P( А) + P( Б) + P( AB) = 0,88 P( Ф) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 – 0,4×0,3 = 0,88. Жалпы ықтималдық формуласы. Бейс формулалары Оқиға болсын Аүйлеспейтін оқиғалардың біреуінің орын алуына байланысты болуы мүмкін Б 1 , Б 2 ,…, Bn, толық топ құру. Бұл оқиғалардың қайсысы болатыны алдын ала белгісіз болғандықтан, олар шақырылады гипотезалар. Оқиғаның орын алу ықтималдығын бағалаңыз АЭксперимент жүргізбес бұрын келесі мәлімдемені қолдануға болады. 1.4 теорема.Оқиғаның ықтималдығы А, ол үйлеспейтін оқиғалардың бірі орын алған жағдайда ғана орын алуы мүмкін Б 1 , Б 2 ,…, Bn, толық топ құрап, тең болады
(1.6) формуласы шақырылады жалпы ықтималдық формулалары. 1.18-мысал.Емтихан тапсыру үшін студенттерге 30 сұрақ дайындау қажет болды. 25 оқушының 10-ы барлық сұрақтарды, 8-і 25 сұрақ, 5-і 20 сұрақ, 2-і 15 сұрақ дайындады. Кездейсоқ шақырылған оқушының қойылған сұраққа жауап беру ықтималдығын табыңыз. Шешім.Келесі белгілерді енгізейік: А– кездейсоқ шақырылған студент қойылған сұраққа жауап беретін оқиға; Б 1 - кездейсоқ шақырылған студент барлық сұрақтардың жауабын біледі, Б 2 - кездейсоқ шақырылған студент 25 сұрақтың жауабын біледі, Б 3 – кездейсоқ шақырылған студент 20 сұрақтың жауабын біледі және Б 4 – кездейсоқ шақырылған студент 15 сұрақтың жауабын біледі. Оқиғаларға назар аударыңыз Б 1 ,Б 2 ,Б 3 және Б 4 үйлесімсіз, толық топты құрайды және оқиға Аосы оқиғалардың бірі орын алған жағдайда орын алуы мүмкін. Сондықтан оқиғаның ықтималдығын есептеу үшін Ажалпы ықтималдық формуласын (1.6) қолдануға болады: Есептің шартына сәйкес гипотезалардың ықтималдықтары белгілі P( Б 1) = , P( Б 2) = , P( Б 3) = , P( Б 4) = және шартты ықтималдықтар (әр төрт топтағы студенттердің қойылған сұраққа жауап беру ықтималдығы) 1, = , = , = . Осылайша, P( А) = ×1 + × + × + × = . Сынақ жүргізілді делік, нәтижесінде оқиға орын алды А, және оқиғалардың қайсысы B i (мен =1, 2,…, n) болғаны зерттеушіге белгісіз. Сынақ нәтижесі белгілі болғаннан кейін гипотезалардың ықтималдығын пайдалана аласыз Бейс формулалары
Мұнда P( А) жалпы ықтималдық формуласы (1.6) арқылы есептеледі. 1.19-мысал.Белгілі бір зауытта I машина жалпы өнімнің 40%, ал II машина 60% шығарады. Орташа алғанда I станокта өндірілген 1000 бірліктің 9-ы ақаулы, ал II машина ақаулы 500-нің 4 бірлігін шығарады.Тәулік шығарылымынан кездейсоқ таңдалған белгілі бір өнім бірлігі ақаулы болып шығады. Оның II машинада жасалу ықтималдығы қандай? Шешім.Келесі белгілерді енгізейік: А– күнделікті өндірістен кездейсоқ таңдалған өнім бірлігі ақаулы болып шығуынан тұратын оқиға; B i- кездейсоқ таңдалған өнім бірлігі машинада дайындалады мен(мен= I, II). Оқиғалар Б 1 және Б 2 сәйкес емес және толық топты құрайды және оқиға Аосы оқиғалардың біреуінің пайда болуы нәтижесінде ғана пайда болуы мүмкін. Оқиға болғаны белгілі Аорын алды (кездейсоқ таңдалған өндіріс бірлігі ақаулы болып шықты). Нақты қай оқиға? Б 1 немесе Б 2 бұл жағдайда белгісіз болды, өйткені таңдалған өнім екі машинаның қайсысында жасалғаны белгісіз. Гипотезаның ықтималдығын бағалау Б 2 Байес формуласы (1.7) арқылы орындалуы мүмкін: мұнда ақаулы өнімді кездейсоқ таңдау ықтималдығы жалпы ықтималдық формуласы (1.6) арқылы есептеледі: Мәселенің шарттарына сәйкес екенін ескере отырып P( Б 1) = 0,40, P( Б 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Тәуелсіз сынақтардың реттілігі Ғылыми және практикалық қызметте үнемі ұқсас жағдайларда қайталанатын сынақтарды жүргізу қажет. Әдетте, алдыңғы сынақтардың нәтижелері кейінгілерге ешқандай әсер етпейді. Мұндай сынақтардың ең қарапайым түрі әр сынақта қандай да бір оқиға болған кезде өте маңызды Абірдей ықтималдықпен пайда болуы мүмкін және бұл ықтималдық алдыңғы немесе кейінгі сынақтардың нәтижелеріне қарамастан өзгеріссіз қалады. Тесттің бұл түрін алғаш рет Джейкоб Бернулли зерттеген және сондықтан аталған Бернулли схемалары. Бернулли схемасы.Ол өндірілсін nұқсас жағдайларда тәуелсіз сынақтар (немесе бірдей эксперимент жүргізіледі). nрет), олардың әрқайсысында оқиға Апайда болуы да, болмауы да мүмкін. Бұл жағдайда оқиғаның орын алу ықтималдығы Аәрбір сынақта бірдей және тең б. Демек, оқиғаның болмау ықтималдығы Аәрбір жеке сынақта да тұрақты және тең q= 1 - б. Осы шарттарда оқиға болу ықтималдығы Аорындалады крет (сондықтан орындалмайды n – крет) арқылы табуға болады Бернулли формуласы
Бұл жағдайда оқиғаның орын алу реті Акөрсетілгенде nсынақтар ерікті болуы мүмкін. 1.20-мысал.Тұтынушыға 41 өлшемді аяқ киім қажет болу ықтималдығы 0,2. Алғашқы 5 сатып алушының ішінен осы өлшемдегі аяқ киімнің мыналарға қажет болу ықтималдығын табыңыз: а) біреуі; б) кем дегенде біреуі; в) кемінде үш; г) біреуден көп және төрттен кем. Шешім.Бұл мысалда бірдей тәжірибе (аяқ киім таңдау) 5 рет орындалады және оқиғаның ықтималдығы А– 41 өлшемді аяқ киім таңдалды – тұрақты және 0,2-ге тең. Сонымен қатар, әрбір жеке сынақтың нәтижесі басқа эксперименттерге әсер етпейді, өйткені сатып алушылар аяқ киімді бір-бірінен тәуелсіз таңдайды. Демек, бізде Бернулли схемасы бойынша жүргізілген сынақтар тізбегі бар, онда n = 5, б = 0,2, q= 0,8. Қойылған сұрақтарға жауап беру үшін P 5 ықтималдықтарын есептеу керек ( к). (1.8) формуласын қолданайық. a) P 5 (1) = = 0,4096; б) P 5 ( к³ 1) = 1 - P 5 ( к < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P 5 ( к³ 3) = P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) = + + = =0,5792; d) P 5 (1< к < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Бернулли формуласын (1.32) n және m үлкен мәндері үшін қолдану үлкен қиындықтар туғызады, өйткені ол күрделі есептеулермен байланысты. Сонымен, n = 200, m = 116, p = 0,72 болғанда Бернулли формуласы P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 пішінін алады. Нәтижені есептеу мүмкін емес дерлік. P p (t) есептеу де p (q) аз мәндері үшін қиындықтар туғызады. Қажетті дәлдікті қамтамасыз ете отырып, P p (t) есептеу үшін шамамен формулаларды табу қажет. Мұндай формулалар бізге шектік теоремалар береді; оларда асимптотикалық деп аталатын формулалар бар, олар үлкен сынақ мәндері үшін ерікті түрде шағын салыстырмалы қателік береді. n үшін биномдық ықтималдық P n (m) есептеуге арналған асимптотикалық формулалары бар үш шекті теореманы қарастырайық. Теорема 1.5.Егер сынақтар саны шексіз өссе (n) және әрбір сынақта А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p шексіз төмендесе (p), бірақ олардың pr көбейтіндісі тұрақты мән болатындай (pr = a = const), онда P p (t) ықтималдығы шекті теңдікті қанағаттандырады (1.9) өрнек асимптотикалық Пуассон формуласы деп аталады. Үлкен n және кіші p үшін шекті теңдіктен (1.9) шамамен Пуассон формуласы шығады. Формула (1.10) p = сәттілік ықтималдығы өте аз болған кезде қолданылады, яғни сәттіліктің өзі (А оқиғасының пайда болуы) сирек кездесетін оқиға (мысалы, лотерея билетінде автокөлікті ұтып алу), бірақ сынақтар саны n үлкен, табыстардың орташа саны pr = шамалы. (1.10) жуық формула әдетте n 50 және n 10 болғанда қолданылады. Пуассон формуласы кезек теориясында қолдануды табады. Оқиғалар ағыны – бұл кездейсоқ сәттерде болатын оқиғалар тізбегі (мысалы, шаштараздағы келушілер ағыны, телефон станциясындағы қоңыраулар ағыны, элементтердің істен шығуы, қызмет көрсетілетін абоненттер ағыны және т.б.). ). Тұрақтылық, қарапайымдық және салдарлардың болмауы қасиеттеріне ие оқиғалар ағыны ең қарапайым (Пуассон) ағыны деп аталады. Тұрақтылық қасиеті ұзақтықтың уақыт сегментінде k оқиғаның пайда болу ықтималдығы оның ұзындығына ғана байланысты екенін білдіреді (яғни, оның шығу тегіне байланысты емес). Демек, уақыт бірлігінде пайда болатын оқиғалардың орташа саны, ағынның қарқындылығы деп аталатын тұрақты мән: ( т) = . Қарапайымдық қасиеті оқиғаның топ болып емес, бірінен соң бірі пайда болуын білдіреді. Басқаша айтқанда, t қысқа уақыт кезеңінде бірден көп оқиғалардың орын алу ықтималдығы тек бір оқиғаның пайда болу ықтималдығымен салыстырғанда елеусіз аз (мысалы, пирске жақындап келе жатқан қайықтардың ағыны кәдімгі). Ешқандай салдарлардың болмауы k оқиғаның кез келген уақыт сегментінде пайда болу ықтималдығы онымен қиылыспайтын кез келген басқа сегментте қанша оқиғаның пайда болғанына байланысты емес екенін білдіреді (олар айтады: ағынның «болашағы» жоқ. «өткенге» байланысты, мысалы, супермаркетке енгізілген адамдар ағыны). t уақыт ұзақтығы ішінде ең қарапайым ағынның m оқиғасының пайда болу ықтималдығы Пуассон формуласымен анықталатынын дәлелдеуге болады. Үлкен мәндер үшін Бернулли формуласын қолданыңыз nөте қиын, өйткені Бұл жағдайда үлкен сандарға операцияларды орындау керек. Факторлық кестелерді пайдалану немесе пайдалану арқылы есептеулерді жеңілдетуге болады техникалық құралдар(калькулятор, компьютер). Бірақ бұл жағдайда қателер есептеу процесінде жинақталады. Сондықтан түпкілікті нәтиже шынайы нәтижеден айтарлықтай өзгеше болуы мүмкін. пайдалану қажеттілігі бар жақын серіктестер (асимптотикалық) формулалар. Ескерту 1.8.Функция g(x) деп аталады f функциясының асимптотикалық жуықтауы(x), Егер. Теорема 1.6. (Мовр-Лапластың жергілікті теоремасы) Егер ықтималдық боқиғаның пайда болуы Аәрбір сынақта тұрақты және 0 және 1-ден өзгеше және тәуелсіз сынақтар саны жеткілікті үлкен болса, оқиғаның ықтималдығы Аішінде пайда болады nБернулли схемасы бойынша жүргізілген сынақтар, дәл крет, шамамен тең (дәлірек, соғұрлым көп n) Функцияның графигі суретте көрсетілгенге ұқсайды. 1.3. Назар аударыңыз: а) φ(x) функциясы жұп, яғни φ(-x) = φ(x); Функция үшін j(x) үшін мәндер кестелері құрастырылды x³ 0. Қашан x< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(x) тіпті. Теорема 1.7. (Мовр-Лаплас интегралдық теоремасы) Егер ықтималдық боқиғаның пайда болуы Аәрбір сынақта тұрақты және 0 және 1-ден өзгеше болса, онда ықтималдық P n(к 1 , к 2) бұл оқиға Аішінде пайда болады nБернулли схемасы бойынша жүргізілген сынақтар, бастап к 1 дейін к 2 рет, шамамен тең Мұнда z 1 және z 2 (1.14) тармағында анықталған. 1.21-мысал.Тұқымның өнуі 0,85 ықтималдықпен бағаланады. Себілген 500 тұқымның ықтималдығын табыңыз: а) 425 тұқым; б) 425-тен 450 тұқымға дейін. Шешім.Мұнда, алдыңғы мысалдағыдай, Бернулли схемасы бойынша жүргізілген тәуелсіз сынақтар тізбегі бар (тәжірибе - бір тұқым отырғызу, оқиға А- тұқым өсіп кетті): n = 500, б = 0,85, q= 0,15. Тесттер саны көп болғандықтан ( n> 100), қажетті ықтималдықтарды есептегенде (1.10) және (1.13) асимптотикалық формулаларды қолданамыз. b) "F(3,13)–F(0)"0,49. Тесттер саны болса nБернулли схемасы бойынша жүргізілген жоғары және ықтималдығы боқиғаның пайда болуы Аолардың әрқайсысында кішкентай ( б£ 0,1), онда асимптотикалық Лаплас формуласы жарамсыз. Бұл жағдайда пайдаланыңыз асимптотикалық Пуассон формуласы
мұндағы l = п.п.. 1.22-мысал.Дүкен 1000 бөтелке алды минералды су. Тасымалдау кезінде бөтелкенің сыну ықтималдығы 0,003. Дүкеннің сынған бөтелкелерді алу ықтималдығын табыңыз: а) дәл 2; б) 2-ден аз; в) кем дегенде біреуі. Шешім.Бұл мәселеде Бернулли схемасы бойынша жүргізілетін тәуелсіз сынақтар тізбегі берілген (тәжірибе – бір бөтелкенің тұтастығын тексеру, оқиға А– бөтелке сынды): n = 1000, б = 0,003, q= 0,997. Өйткені сынақтар саны көп ( n> 100) және ықтималдық бкішкентай ( б < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что л=3. а) = 4,5 e-3 » 0,224; b) P 1000 ( к < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199; c) P 1000 ( к³ 1) = 1 - P 1000 ( к < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Мовр-Лапластың жергілікті және интегралдық теоремалары неғұрлым жалпы теореманың салдары болып табылады орталық шек теоремасы. Көптеген үздіксіз кездейсоқ шамалар бар қалыптытарату. Бұл жағдай негізінен өте әртүрлі таралу заңдары бар кездейсоқ шамалардың үлкен санының қосындысы осы қосындының қалыпты таралуына әкелетіндігімен анықталады. Теорема . Кездейсоқ шама өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың өте үлкен санының қосындысы болса, олардың әрқайсысының бүкіл қосындыға әсері шамалы болса, онда оның қалыптыға жақын таралуы болады. . Орталық шек теоремасының практикалық маңызы зор. Қандай да бір экономикалық көрсеткіш анықталды делік, мысалы, бір жылдағы қаладағы электр энергиясын тұтыну. Тұтынудың жалпы көлемі әр түрлі үлестірілетін кездейсоқ мәндерге ие жеке тұтынушылардың энергия тұтынуынан тұрады. Теорема бұл жағдайда жеке құрамдас бөліктер қандай үлестірімге ие болса да, нәтижесінде пайда болатын тұтынудың таралуы қалыптыға жақын болатынын айтады. |
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы
Ықтималдықтар теориясының негізгі концепциясы кездейсоқ оқиға түсінігі болып табылады. Кездейсоқ оқиға әдетте белгілі бір шарттар орындалған жағдайда болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін оқиға деп аталады. Мысалы, берілген қарудан белгілі бір затқа тию немесе осы нысанға ату кезінде жетіспеу кездейсоқ оқиға.
Оқиға әдетте сенімді деп аталады, егер ол сынақ нәтижесінде орын алса. Сынақ нәтижесінде бола алмаса, оқиғаны мүмкін емес деп айту әдетке айналған.
Кездейсоқ оқиғалар, егер олардың екеуі бірге бола алмаса, берілген сынақта сәйкес емес деп айтылады.
Кездейсоқ оқиғалар толық топты құрайды, егер әрбір сынақ кезінде олардың кез келгені пайда болуы мүмкін және оларға сәйкес келмейтін басқа оқиға пайда болмаса.
Бірдей ықтимал үйлеспейтін кездейсоқ оқиғалардың толық тобын қарастырайық. Біз мұндай оқиғаларды нәтиже деп атаймыз. Нәтиже әдетте А оқиғасының пайда болуына қолайлы деп аталады, егер бұл оқиғаның пайда болуы А оқиғасының орын алуына әкеп соқтырса.
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы
Кездейсоқ тест нүктені кездейсоқ G геометриялық аймағына (түзу, жазықтық немесе кеңістікте) лақтыру ретінде елестетейік. Элементар нәтижелер - G жеке нүктелері, кез келген оқиға осы аймақтың ішкі жиыны, G элементар нәтижелер кеңістігі. G нүктесінің барлық нүктелері "тең" деп болжауға болады, содан кейін нүктенің ішкі жиынға түспеу ықтималдығы. өлшеміне (ұзындығына, ауданына, көлеміне) пропорционал және оның орналасуы мен пішініне тәуелді емес.
Геометриялық ықтималдықА оқиғасы мына қатынаспен анықталады: , мұндағы m(G), m(A) элементар нәтижелер мен А оқиғасының бүкіл кеңістігінің геометриялық өлшемдері (ұзындықтар, аудандар немесе көлемдер).
Мысал.Ені 2d параллель жолақтармен сызылған жазықтыққа радиусы r () шеңбер кездейсоқ лақтырылған, оның орталық сызықтары арасындағы қашықтық 2D-ге тең. Шеңбердің белгілі бір жолақпен қиылысу ықтималдығын табыңыз.
Шешім.Бұл сынақтың қарапайым нәтижесі ретінде біз қашықтықты қарастырамыз xшеңбердің ортасынан шеңберге жақын жолақтың орталық сызығына дейін. Сонда элементарлық нәтижелердің бүкіл кеңістігі сегмент болып табылады. Шеңбердің жолақпен қиылысуы оның центрі жолаққа түссе, орын алады, ᴛ.ᴇ. , немесе жолақтың шетінен радиустан аз қашықтықта орналасады, ᴛ.ᴇ. .
Қажетті ықтималдық үшін мынаны аламыз: .
5. Оқиғаның салыстырмалы жиілігі - оқиға болған сынақтар санының нақты орындалған сынақтардың жалпы санына қатынасы. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, салыстырмалы A жиілігі мына формуламен анықталады:
(2)мұндағы m – оқиғаның орын алу саны, n – сынақтардың жалпы саны. Ықтималдық пен салыстырмалы жиіліктің анықтамасын салыстыра отырып, біз мынадай қорытындыға келеміз: ықтималдық анықтамасы сынақтардың шындықта жүргізілуін талап етпейді; салыстырмалы жиілікті анықтау сынақтардың нақты жүргізілгенін болжайды. Басқаша айтқанда, ықтималдық тәжірибеге дейін, ал салыстырмалы жиілік тәжірибеден кейін есептеледі.
Мысал 2. Кездейсоқ таңдалған 80 қызметкердің 3 адамында жүрек қызметінің ауыр бұзылыстары бар. Жүрек ауруы бар адамдардың салыстырмалы жиілігі
Статикалық ықтималдық ретінде салыстырмалы жиілік немесе оған жақын сан алынады.
АНЫҚТАУ (ықтималдықтың статистикалық анықтамасы бойынша). Тұрақты салыстырмалы жиілік бейім болатын сан әдетте осы оқиғаның статистикалық ықтималдығы деп аталады.
6. Сома A + B екі оқиғаА және В оқиғасы А оқиғасының немесе В оқиғасының немесе осы оқиғалардың екеуінің пайда болуынан тұратын оқиғаны атайды. Мысалы, егер мылтықтан екі оқ атылса және А бірінші атысқа тиген болса, В екінші оққа тиген болса, онда A + B - бірінші оқта немесе екіншісінде немесе екеуінде де соққы. кадрлар.
Атап айтқанда, екі А және В оқиғасы үйлесімсіз болса, онда А + В қайсысы болса да, осы оқиғалардың біреуінің пайда болуынан тұратын оқиға. Бірнеше оқиғалардың қосындысыоқиғаны шақыру, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ осы оқиғалардың кем дегенде біреуінің орын алуынан тұрады. Мысалы, A + B + C оқиғасы келесі оқиғалардың біреуінің пайда болуынан тұрады: A, B, C, A және B, A және C, B және C, A және B және C. А және оқиғалары болсын. B үйлесімсіз болуы және бұл оқиғалардың ықтималдығы белгілі. А немесе В оқиғасының болу ықтималдығын қалай табуға болады? Бұл сұрақтың жауабы қосу теоремасы арқылы беріледі. Теорема. Қайсысы болмасын, екі үйлесімсіз оқиғаның біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең:
P (A + B) = P (A) + P (B).Дәлелдеу
Иллюстрация. Қайсысына қарамастан бірнеше жұптық үйлесімсіз оқиғалардың біреуінің пайда болу ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдығының қосындысына тең:
P (A 1 + A 2 + ... + A n) = P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы – түсінігі және түрлері. «Ықтималдылықты геометриялық анықтау» категориясының жіктелуі және ерекшеліктері 2017, 2018 ж.
Іс жүзінде мұндай сынақтар жиі кездеседі, олардың мүмкін болатын нәтижелерінің саны шексіз. Кейде мұндай жағдайларда ықтималдықты есептеу әдісін қолдануға болады, онда негізгі рөлді әлі де белгілі бір оқиғалардың тең мүмкіндігінің тұжырымдамасы атқарады.... .
Белгілі бір шаршыда нүкте кездейсоқ таңдалады, бұл нүктенің D аймағының ішінде болу ықтималдығы қандай, мұнда SD - D аймағының ауданы, S - бүкіл шаршының ауданы. Классикалық жағдайда белгілі бір нөлдік ықтималдық болды... .
Ықтималдықтың классикалық анықтамасының кемшілігін жеңу үшін, яғни ол нәтижелердің шексіз саны бар сынақтарға қолданылмайды, геометриялық ықтималдықтар енгізіледі - нүктенің аймаққа түсу ықтималдығы. Жазық g фигурасы болсын (сегмент немесе дене)... .
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы ДӘРІС 1. ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯЛАРЫ. ТАРИХ. ЫҚТИМАЛДЫҚТЫҢ КЛАССИКАЛЫҚ АНЫҚТАМАСЫ А.А. Халафян БИБЛИОГРАФИЯЛЫҚ СІЛТЕМЕЛЕР 1. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория... .[толығырақ оқу] .
Бұл анықтама тәжірибеде бірдей ықтимал нәтижелердің сансыз саны болған кезде қолданылады. Бұл жағдайда элементар оқиғалар кеңістігін белгілі бір G облысы ретінде көрсетуге болады. Бұл аймақтың әрбір нүктесі элементар оқиғаға сәйкес келеді. Соқ....
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы - бұл классикалық ықтималдық түсінігінің сансыз элементар оқиғалар жиынының жағдайына кеңеюі. Саналмайтын жиын болған жағдайда ықтималдық элементар оқиғалар бойынша емес, олардың жиындары бойынша анықталады.... .
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы КЕЗДЕЙ ОҚИҒАНЫҢ ЫҚТИМАЛДЫҒЫ Оқиғалар бойынша амалдардың жиынтық-теориялық интерпретациясы Кездейсоқ нәтижемен қандай да бір тәжірибе жүргізілсін. Бір топ &... .
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы қарапайым нәтижелер санының шекті екенін болжайды. Тәжірибеде мұндай нәтижелердің жиынтығы шексіз болатын эксперименттер бар.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасының кемшілігін, яғни ол нәтижелердің шексіз саны бар сынақтарға қолданылмайтындығын жою үшін біз енгіземіз геометриялық ықтималдықтар – нүктенің ауданға түсу ықтималдығы.
Квадратқа бөлінетін аудан жазықтықта көрсетілген, яғни. ауданы бар аумақ. Осы ауданды әріппен белгілейік , оның ауданын . Аудан аумақты қамтиды
(Cурет 1.1). Кездейсоқ аймаққа нүкте лақтырылады. Біз лақтырылған нүкте ықтималдығы осы бөліктің ауданына пропорционалды және оның пішіні мен орналасуына тәуелсіз аймақтың кейбір бөлігіне түсуі мүмкін деп есептейміз. Аймақтағы лақтырылған нүктенің соққысы болсын, онда бұл оқиғаның геометриялық ықтималдығы формуламен анықталады.
. (1.5.1)
Сол сияқты геометриялық ықтималдық ұғымы нүктені көлемнің G кеңістіктік облысына лақтырғанда енгізіледі. V Г, көлемінің g аймағын қамтитын Вg:
. (1.5.2)
Жалпы жағдайда геометриялық ықтималдық ұғымы келесідей енгізіледі. Аймақ өлшемін (ұзындық, аудан, көлем) арқылы белгілейік mes g, ал G аймағының өлшемі арқылы мен Г (мес- француз сөзінің алғашқы үш әрпі өлшем, өлшем нені білдіреді); «Лақтырылған нүкте аймақта орналасқан g аймағына тиеді» оқиғасын А әрпімен белгілейік. G». G аймағына лақтырылған нүктенің g аймағына түсу ықтималдығы формуламен анықталады
. (1.5.3)
1-мысал.Шаршы шеңберге сызылған (1.2-сурет). Кездейсоқ шеңберге нүкте лақтырылады. Нүктенің шаршыға түсу ықтималдығы қандай?
Шешім.
Келесі белгілерді енгізейік: Р- шеңбердің радиусы, А- сызылған шаршының жағы, А- шаршыға ұпай алу, С- шеңбердің ауданы, С 1 - сызылған шаршының ауданы. Өздеріңіз білетіндей, шеңбердің ауданы . Шектелген шеңбердің радиусы арқылы сызылған шаршының қабырғасы формуламен өрнектеледі, сондықтан шаршының ауданы.
, (1.5.1) формуласында орнату, біз қажетті ықтималдықты табамыз 
.
2-мысал. Нүктелерде төбелері бар шаршыда (1.3-сурет). О(0, 0), TO(0, 1), L( 1, 1), М(1, 0) кездейсоқ лақтырылған нүкте Q(x, y). Осы нүктенің координаталары > теңсіздігін қанағаттандыру ықтималдығын табыңыз.
Шешім.
Түзу сызық жүргізейік, ол кесіндіні қиып өтеді М.Л.нүктесінде N( 1;
1/2). Бұл түзу жазықтықты екі жарты жазықтыққа кеседі: олардың біріншісінің (жоғарғы) нүктелерінің координаталары үшін y > x/2 теңсіздігі, екіншісі үшін (төменгі) у теңсіздігі орындалады.< х/2.
Шаршыға жататын барлық нүктелер OKLMал координаталары у > х/2 теңсіздігін қанағаттандыратындар көпбұрышта орналасқан OKLN. Бұл көпбұрыш төртбұрыштан тұрады CKLNжәне үшбұрыш OCN,оның ауданы С 1 =1/2 + 1/4 =3/4. Шаршы Сшаршы OKLMбірге тең: С= 1. (1.5.1) формуласына сәйкес, -ді алып, қажетті ықтималдықты табамыз. 
.
3-мысал.(Буффон мәселесі). Жазықтық арақашықтығы тең параллель түзулермен жүргізілген А. Ұзындықтың кесіндісі осы жазықтыққа кездейсоқ лақтырылады л (л< А). Сегменттің семьядағы ең болмағанда бір түзумен қиылысу ықтималдығы қандай?
Шешім.
Сегменттің жоғарғы ұшынан төменгі жағына жақын сызыққа дейінгі қашықтықты (1.4-сурет) арқылы белгілейік. Түзу кесіндісі мен арасындағы бұрыш
туысының сызықтарына параллель сәуле арқылы, оның басы сегменттің жоғарғы ұшымен сәйкес келеді, деп белгілейді. Әлбетте, және. Сегмент отбасындағы түзулердің ең болмағанда біреуін қиып өтуі үшін бұл немесе қажет және жеткілікті. «Кесінді кездейсоқ лақтырылды» өрнекті келесідей түсінеміз: нүкте (х, у) тіктөртбұрышқа кездейсоқ лақтырылады: , . Координаталары теңсіздікті қанағаттандыратын нүктелер 1.5-суреттегі көлеңкеленген фигураны құрайды.
Бұл фигураның ауданы 
.
Бүкіл тіктөртбұрыштың ауданы .
(1.5.1) формуласын пайдаланып, , деп алып, қажетті ықтималдықты табамыз 
, мұндағы A – «сегменттің кем дегенде бір түзумен қиылысуы» оқиғасы.
4-мысал.Текше шарға жазылған. Шарға нүкте кездейсоқ бекітіледі. Нүктенің текшеге түсу ықтималдығын табыңыз.
Шешім.Келесі белгілерді енгізейік: А оқиғасы – «текшеге тиген нүкте»; Р- доптың радиусы, А- текшенің шеті, В- доптың көлемі, В 1
- сызылған текшенің көлемі.
Белгілі болғандай, . Содан бері және, содан кейін. Формула (1.5.2) сәйкес және алу, біз аламыз
Тапсырмалар
- Жазықтықта радиустары сәйкесінше 6 және 12 см болатын екі концентрлі шеңбер сызылған. Үлкен шеңберге кездейсоқ лақтырылған нүктенің көрсетілген шеңберлер түзетін сақинаға түсу ықтималдығы қандай?
- Радиусы бар шеңберде Рдұрыс үшбұрыш сызылған. Осы шеңберге лақтырылған нүктенің берілген үшбұрышқа түсу ықтималдығын табыңыз.
- Төбелері О болатын шаршыда ( 0, 0 ), K(0, 1), L(1, 1), M(1, 0) нүкте кездейсоқ лақтырылады. Q(x, y). Осы нүктенің координаталары у > 2х теңсіздігін қанағаттандыру ықтималдығы қандай?
- Шарға дұрыс үшбұрышты пирамида жазылған. Шарға нүкте кездейсоқ бекітіледі. Пирамидаға нүктенің түсу ықтималдығын табыңыз.
- Штанганың ұзындығы лкездейсоқ үш бөлікке бөлінеді. Бұл бөліктерді үшбұрыш құру үшін пайдалану ықтималдығы қандай?
- Жазықтықта G облысы эллипспен, ал облыс осы эллипспен және эллипспен шектелген. Аймаққа нүкте лақтырылады. Нүктенің аймаққа түсу ықтималдығы қандай?
- Төбелері бар тіктөртбұрышта TO(-2, 0),Л(-2, 5), М(1, 5), N( 1, 0) нүкте лақтырылады. Оның координаталары (х, у) теңсіздіктерді қанағаттандыру ықтималдығы қандай?
- Эллипсоидпен шектелген G аймағында
, нүкте кездейсоқ бекітіледі. Осы нүктенің координаталары , , теңсіздікті қанағаттандыру ықтималдығы қандай? - Тіктөртбұрышта Төбелері бар R(-2, 0), L(-2,9), M(4, 9), N( 4, 0) нүкте лақтырылады. Оның координаталары теңсіздіктерді қанағаттандыру ықтималдығын табыңыз.
- Аймақ шеңбермен, ал облыс осы шеңбермен және параболамен шектелген. Аймаққа нүкте лақтырылады. Оның ауданда болу ықтималдығы қандай?
IV. ЫҚТИМАЛДЫҚ ТЕОРИЯСЫ ЖӘНЕ МАТЕМАТИКАЛЫҚ
СТАТИСТИКА
Анықтамалық материал және есептерді шешу принциптері
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы
Тәжірибе немесе эксперимент арқылы біз белгілі бір шарттар жиынтығының кез келген орындалуын түсінеміз, нәтижесінде бізді қызықтыратын құбылыс пайда болады.
1-мысал.Тәжірибе σ: нысанаға ату. А оқиғасы – нысанаға тию. В оқиғасы өткізілмейді.
2-мысал.Тәжірибе σ: дайын партиядан өнімдерді таңдау. А оқиғасы – өнім ақаулы. B оқиғасы – стандартты өнім.
Элементар оқиға (немесе элементар нәтиже) кез келген қарапайым, яғни берілген эксперимент шеңберінде бөлінбейтін, эксперимент нәтижесі. Біз барлық элементар нәтижелердің жиынын атаймыз элементар оқиғалар кеңістігіжәне Ω арқылы белгілеңіз. Яғни, эксперименттік нәтижелер жиынтығы элементар оқиғалар кеңістігін құрайды, егер:
Тәжірибе нәтижесінде нәтижелердің бірі міндетті түрде орын алады;
Эксперимент нәтижелерінің біреуінің пайда болуы басқаларының пайда болуын жоққа шығарады;
Бұл эксперимент шеңберінде қарапайым нәтижені кішірек құрамдас бөліктерге бөлу мүмкін емес.
Оны былай жазыңыз:
Ω =(w 1, w 2, …w n,…)=(w k, k=1…n, …).
3-мысал.Тәжірибе: тиынды 1 рет лақтыру.
Мұнда Ω=(w g, w c), мұндағы w g – Елтаңбаның жоғалуы, w c – санның жоғалуы.
Тәжірибе: тиын 2 рет лақтырылады. Бұл жағдайда элементар оқиғалар кеңістігі Ω=(w g g, w g c, w c g, w c c).
Тәжірибе T уақыт ішінде телефон станциясына түскен қоңыраулар санын анықтаудан тұрады. Мұнда Ω=(0,1,2.…n,…).
Кез келген элементарлық нәтижелер жиыны немесе еркін A Ω жиыны шақырылады кездейсоқ оқиға.
Ω элементар оқиғалар кеңістігі, S келесі шарттарды қанағаттандыратын кездейсоқ оқиғалардың кейбір ішкі жиыны болсын:
S жиыны қосу, көбейту және теріске шығару амалдарының астында тұйықталған.
Белгілі бір оқиғалар Е және мүмкін емес оқиғалар S.
Кейде олар көбірек талап етеді: оқиғалардың кез келген шексіз тізбегі үшін 
Осы шарттарды қанағаттандыратын S ішкі жиыны деп аталады σ – алгебра .
Әрбір кездейсоқ оқиға үшін функция берілсін Синтервалдағы санға сәйкес келеді ; R:S → , және келесі аксиомалар орындалады:
,
P(E)=1, P(Ø)=0,
Кез келген тізбегі үшін A 1,…A n… жұптық үйлесімсіз оқиғалар A i ÎS,
«мен, j, і≠ј,
.
Осы аксиомаларды қанағаттандыратын P функциясы деп аталады ықтималдық, ал P(A) мәні оқиғаның ықтималдығы деп аталады А.
Анықтама.Үш нысан (Ω, S, P), Қайда Ω – элементар оқиғалар кеңістігі; С– σ-алгебра, P – ықтималдық, деп аталады ықтималдық кеңістігі.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасы эксперимент нәтижелерінің соңғы саны n болатын және барлық нәтижелер бірдей мүмкін болатын кездейсоқ құбылыстардың жақсы математикалық моделі ретінде қызмет етеді. Ықтималдықтың классикалық анықтамасы мынаны болжайды:
;
Оқиғаның ықтималдығы тең
Басқаша айтқанда, оқиғаның ықтималдығы -ге кіретін элементар оқиғалар санының -дегі элементар оқиғалардың жалпы санына қатынасына тең.
Ықтималдықтың классикалық анықтамасының келесі тұжырымы да жалпы қабылданған: оқиғаның ықтималдығы – оқиғаның пайда болуына қолайлы эксперименттік нәтижелер санының бірдей мүмкін болатын эксперимент нәтижелерінің жалпы санына қатынасы.
Яғни, оқиғаның ықтималдығы ретінде анықталады.
4-мысал.Монетаны екі рет лақтырған кезде Елтаңбаның кем дегенде бір рет пайда болу ықтималдығы қандай?
Шешім.Берілген эксперименттің бірдей ықтимал элементар оқиғаларының кеңістігі келесі оқиғалардан тұрады: Оқиға =(тиынды екі рет лақтырғанда, елтаңба кемінде бір рет пайда болады) үйлесімсіз элементар оқиғалардан тұрады. 
. Демек, .
Осылайша, 
.
5-мысал.Кездейсоқ аталған екі таңбалы санның он бірге қалдықсыз бөліну ықтималдығы қандай?
Шешім.Барлық екі таңбалы сандар 90 болғандықтан, бұл тәжірибенің бірдей ықтимал нәтижелерінің саны . Осы сандардың ішінде 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 11-ге қалдықсыз бөлінеді.Сондықтан оқиғаға қолайлы нәтижелер саны (екі таңбалы сан он бірге бөлінеді) қалдықсыз). Қажетті ықтималдық тең болады 
.
6-мысал.Кездейсоқ таңдалған жылдың қыркүйек айында 5 жексенбінің болу ықтималдығы қандай?
Шешім.Кез келген жылдың қыркүйек айында 30 күн бар. Қыркүйек айындағы жексенбілердің саны 1 қыркүйек аптаның қай күні екеніне байланысты. 1 қыркүйек аптаның кез келген күні болуы мүмкін. Аптасына 7 күн болғандықтан, барлық мүмкін нәтижелердің саны . Қыркүйек дүйсенбі, сейсенбі, сәрсенбі, бейсенбі немесе жұма күндері басталса, онда 4 жексенбі болады.Егер қыркүйек сенбі немесе жексенбіде басталса, онда 5 жексенбі болады. 7 бірдей ықтимал нәтиженің ішінде 2 оқиғаға қолайлы болады ( Кездейсоқ таңдалған жылдың қыркүйек айында 5 жексенбі болады), демек, . Қажетті ықтималдық 
.
7-мысал.Ұзындығы 3, 5, 6, 9 және 11 см болатын бес кесінді бар.Үшбұрышты кездейсоқ алынған үш кесіндіден (осы бес кесіндінің ішінен) салу ықтималдығын анықтаңыз.
Шешім.Бұл эксперименттің бірдей ықтимал нәтижелері бар: , , , , , , , , , .
Үш кесіндіден үшбұрыш салу үшін үлкенірек кесінді қалған екі кесіндінің қосындысынан аз болуы керек. Бұл шартты келесі нәтижелер қанағаттандырады: , , , , . Мұндай нәтижелердің саны. Демек,
.
Барлық мүмкін болатын нәтижелерді тікелей санау қиынға соғатын жағдайларда комбинаториканы қолданған жөн.
Комбинаторика элементтері
Элементтерден тұратын жиын берілсін. Жиыннан элементтерді таңдаудың екі түбегейлі әртүрлі жолы бар: элементтерді қайтармай таңдау және қайтарылатын элементтерді таңдау.
Элементтерді таңдаудың бірінші жолы қайталанусыз немесе жай ауыстырулар, орналастырулар және комбинацияларсыз ауыстырулар, орналастырулар және комбинациялар ұғымдарына әкеледі; екіншісі – ауыстыру, орналастыру және қайталанулары бар комбинациялар ұғымдарына.
Қайта реттеуэлементтер — осы элементтердің кез келген реттелген жиыны. Әрбір ауыстыру элементтерді қамтиды. Орын ауыстырулар бір-бірінен элементтердің орналасу ретімен ғана ерекшеленеді. Элементтердің әртүрлі орын ауыстыруларының саны формула бойынша есептеледі
.
Орналастыруэлементтердің жалпы жиынынан таңдалған әртүрлі элементтердің кез келген реттелген жиыны. Орналастырулар бір-бірінен элементтердің орналасу ретімен немесе кем дегенде бір элементте ерекшеленеді.
Орналастыру саны формула арқылы есептеледі 
.
Комбинацияэлементтердің жалпы жиынынан таңдалған әртүрлі элементтердің кез келген ретсіз жиыны. Комбинациялар бір-бірінен кем дегенде бір элементте ерекшеленеді.
Комбинациялар саны формула бойынша есептеледі
.
Комбинация қасиеттері:
8-мысал.Жиын болсын 
үш элементтен. Содан кейін үш элементтен екі элементтің барлық орналасуы келесідей болады: Жиынның барлық ауыстырулары пішінде: және жиынның екі элементінің барлық комбинациялары келесідей: 
Қайталануы бар орналасулар мен комбинациялардың қайталанбайтын орналасулар мен комбинациялардан айырмашылығы тек осы қосылымдарда қайталанатын элементтер болуы мүмкін.
Қайталанатын элементтерді орналастыру саны формула бойынша есептеледі.
Қайталанатын элементтер комбинацияларының саны формула бойынша есептеледі 
.
Қайталанатын орын ауыстырулар сияқты қосылыстың бұл түріне жиынның барлық элементтері қатысатындықтан, элементтердің қайталануы жиынның элементтеріне енгізілуі керек. Сонымен, егер оның құрамында бірінші типті элементтер, екінші типті элементтер, ..., th типті элементтер болса, онда қайталанатын ауыстырулар саны формула бойынша есептеледі. 
.
Комбинаторлық есептерді шешу кезінде келесі екі ереже пайдалы болуы мүмкін:
Қосынды ережесі: Егер нысанды тәсілдермен таңдауға болатын болса және нысанды тәсілдермен таңдауға болатын болса, онда «не немесе» таңдауы жолдармен жасалуы мүмкін.
Өнім ережесі: Егер нысанды тәсілдермен таңдауға болатын болса және осы таңдаулардың әрқайсысынан кейін нысан өз кезегінде жолдармен таңдалуы мүмкін болса, онда көрсетілген ретпен " және " таңдау тәсілдермен жүзеге асырылуы мүмкін.
9-мысал.Элементтердің топтары болсын, ал -інші топ – элементтерден тұрады. Әр топтан бір элементті таңдап алайық, содан кейін өнім ережесі арқылы мұндай таңдауды жасауға болатын жолдардың жалпы саны
. (1)
Егер 
, содан кейін таңдау бір топтан жасалған деп болжауға болады, ал таңдаудан кейін элемент қайтадан топқа қайтарылады. Содан кейін.
10-мысал.Мұғалім үш оқушының әрқайсысынан 1-ден 10-ға дейінгі кез келген санды ойластыруды сұрайды. Әрбір оқушының кез келген берілген санды таңдауы бірдей мүмкін деп есептеп, үшеуінің біреуінде бірдей сан болу ықтималдығын табыңыз.
Шешім. Алдымен нәтижелердің жалпы санын есептейік. Бірінші оқушы 10 санның біреуін таңдайды, екінші және үшінші оқушы солай жасайды, 
(1) формулаға сәйкес жолдардың жалпы саны қолайлы нәтижелердің санын есептейік. Ол үшін алдымен сәйкестік жоқ ойластырылған сандар комбинацияларының жалпы санын табамыз. Бірінші оқушы 10 санның кез келгенін, екіншісі 9 санның кез келгенін таңдай алады, ал үшінші оқушы қалған 8 санның кез келгенін таңдай алады. Сондықтан (1) формула бойынша сәйкестіктер жоқ ойластырылған сандар комбинацияларының жалпы саны тең.Қалған жағдайлар (1000 – 720 = 280) кем дегенде бір сәйкестіктің болуымен сипатталады. Сондықтан қажетті ықтималдық тең 
11-мысал.Орыс алфавитінің барлық әріптері байланыс желісі бойынша кездейсоқ ретпен беріледі. Таспада «әлем» сөзінен басталатын әріптер тізбегі пайда болу ықтималдығын табыңыз.
Шешім.Орыс алфавитінде 33 әріп бар. Барлық әріптер байланыс желісі бойынша берілетіндіктен, эксперименттің бірдей ықтимал нәтижелерінің саны 
. Осы нәтижелердің ішінде оқиғаның болуы үшін қолайлы («бейбітшілік» сөзінен басталатын әріптер тізбегі пайда болады) «бейбітшілік» сөзі алғашқы үш позицияда пайда болатын барлық нәтижелер болады (бір нәтиже сәйкес келеді мұндай таңдау), ал қалған орындар кез келген жолмен толтырылады (осындай опциялардың саны). Өнім ережесіне сәйкес қолайлы нәтижелердің саны 
.
Демек,
12-мысал.Құрамында 3 шар бар урнадан бір шар кездейсоқ үш рет алынады және әр жолы ауыстырылады. Барлық шарлар сіздің қолыңызда болу ықтималдығын табыңыз.
Шешім.Есептің шарты бойынша шарлар урнаға қайтарылады, сондықтан бізде қайтарылатын элементтерді таңдау схемасы бар.
Берілген эксперименттің барлық мүмкін болатын нәтижелерінің саны үш элементтің қайталанулары бар үштікке орналасу саны, яғни
.
Қолайлы оқиға А=( ) элементтер (шарлар) қайталанбайтын нәтижелер болады. Мұндай нәтижелердің саны үш үш элементтің орналасу саны немесе үш элементтің орын ауыстыру саны, яғни 
. Эксперименттің барлық нәтижелері бірдей мүмкін болғандықтан
.
13-мысал.Техникалық бақылау 500 бөліктен тұратын партиядан кездейсоқ алынған 20 бөлікті тексереді. Топтамада стандартты емес 15 бөлік бар. Тексерілетін бөліктердің ішінде стандартты емес екі бөліктің болу ықтималдығы қандай?
Шешім.Есептің шарттарына сәйкес 500-дің 20 бөлігі кездейсоқ шығарылатындықтан, 500-ден 20 бөлікті алудың барлық мүмкін нұсқалары табиғи түрде бірдей мүмкін деп саналады және қажетті ықтималдықты табу үшін классикалық схеманы (классикалық анықтаманы) қолданыңыз. ықтималдық).
Шығарылған 20-дағы стандартты және стандартты емес бөлшектердің реті маңызды емес. Тек стандартты және стандартты емес бөліктердің саны маңызды. Демек, мұны істеуге болатын барлық мүмкін жолдардың саны -ге тең, яғни -ге тең.
Оқиға =(тексерілетін бөліктердің арасында дәл екі стандартты емес болады) (демек, қалған 18 стандартты болуы керек), нәтижелердің (өнім ережесіне) сәйкес келеді, яғни 
. Осылайша,
.
14-мысал.Үш таңбалы сан былай жасалады: үш сүйек лақтырылады: ақ, көк және қызыл; Ақ матрицада домаланған ұпай саны – жүздік, көк штамптағы домаланған ұпай саны – ондық, ал қызыл штамптағы домаланған ұпай саны – үш таңбалы өлшем бірліктерінің саны. саны. Осы жолмен алынған санның 456-дан үлкен болу ықтималдығы қандай?
Шешім.Өнім ережесіне сәйкес осылайша алуға болатын барлық сандардың саны тең болады 
.
А оқиғасының пайда болуына қолайлы эксперимент нәтижелерінің санын есептейік. 456-дан үлкен сандар, егер жүздіктер саны 4-тен үлкен болса, яғни 5 немесе 6 немесе жүздіктер саны 4-ке тең болса, және ондықтар саны 5-тен үлкен, яғни 6. Жүздіктер саны 5-ке тең болсын. Мұндай тәжірибелер болады, өйткені ондықтар мен бірліктер саны 1-ден 6-ға дейін ерікті түрде өзгеруі мүмкін. Дәл осындай дәлелдер дұрыс. егер жүздіктер саны 6 болса. Алғашқы екі цифры 45 болатын 6 тәжірибе болады. Көбейтінді және қосынды ережелерін пайдаланып, осындай сандардың санын табайық. 
. Эксперименттің барлық нәтижелері бірдей мүмкін болғандықтан, қалаған ықтималдық 
.
15-мысал.Үш радиостанцияға алты түрлі жиілікте жұмыс істеуге рұқсат етілген. Егер жиіліктер кездейсоқ таңдалса, кем дегенде екі радиостанцияның бірдей жиіліктерде жұмыс істеу ықтималдығын анықтаңыз.
Шешім.Эксперименттің барлық бірдей ықтимал нәтижелерінің саны - үш қайталанатын алты элементтің (жиіліктің) орналасу саны, яғни 
. Қолайлы оқиға А=(кемінде екі радиостанция бірдей жиіліктерде жұмыс істейді) элементтер (жиіліктер) қайталанатын нәтижелер болады. Мұндай нәтижелердің саны екі радиостанция бір жиілікте жұмыс істейтін - және үш радиостанция бір жиілікте жұмыс істейтін - нәтижелердің қосындысы болып табылады. Үш радиостанцияның екеуі алты жиіліктің бірінде жұмыс істей алатын нәтижелер саны. Әртүрлі жиіліктердің саны – 6. Үшінші радиостанция бес «бос» жиіліктің бірінде жұмыс істей алады. Өнім ережесіне сәйкес 
. Нәтижелердің саны (үш радиостанция бір жиілікте жұмыс істейді) 6 екені анық.
Осылайша, .
Демек, 
.
Ықтималдықтың геометриялық анықтамасы
Геометриялық анықтама ықтималдықтың классикалық анықтамасын қарапайым оқиғалар кеңістігі кеңістіктің ішкі жиыны болған жағдайға жалпылайды.
Нәтижелері анық емес болжамды эксперименттерді сипаттаудың тағы бір схемасы, ол белгілі бір оқиғаның орындылығының сандық сипаттамасын қарапайым енгізуге мүмкіндік береді, жоғарыда қарастырылған жағдайлар схемасы сияқты, геометриялық ықтималдықтар схемасы болып табылады. эксперимент нәтижелерінің теңдігі. Жағдай диаграммасында мұның қалай орындалғанына ұқсас, оқиғаның жүзеге асырылу мүмкіндігінің сандық сипаттамасы - оның ықтималдығы - оқиғаға қолайлы нәтижелер қорына пропорционалды қандай да бір жолмен нормаланған мән ретінде анықталады. Зерттелетін эксперимент нәтижелерінің жиынтығын қандай да бір «геометриялық континуумның» P нүктелерінің жиынтығы ретінде сипаттауға болады - әрбір нәтиже белгілі бір нүктеге сәйкес келеді және әрбір нүкте белгілі бір нәтижеге сәйкес келеді. «Геометриялық континуум» Q түзудегі кесінді, жазықтықтағы немесе кеңістіктегі түзетілетін қисық доғасы, жазықтықтағы шаршы жиыны (үшбұрыш, тіктөртбұрыш, шеңбер, эллипс және т.б.) немесе бір бөлігі болуы мүмкін. шаршы беті, кеңістіктегі белгілі бір көлем (көпбұрыш – призма, пирамида, шар, эллипсоид, т.б.) Оқиға деп жиынның кез келген шаршы жиыны болып табылады.Жағдайлар схемасындағыдай оқиға нүктелер мен жинақтылықтардан тұрады, алайда, нәтижелердің кез келген жиынтығы оқиғаны қалыптастырмайды, тек оның өлшемін (ұзындығын, ауданын, көлемін) біз өлшей аламыз. Нәтижелердің бірдей ықтималдығын алып, А оқиғасының ықтималдығын Р жиынының А ішкі жиынының өлшеміне пропорционал сан деп атаймыз: Геометриялық ықтималдықтар Егер 0 берілген тәжірибеде мүмкін емес оқиға болса, ал Q сенімді болса, онда қоямыз. P(0) = O, = 1. Кез келген А оқиғасының ықтималдығы нөл – мүмкін емес оқиғаның ықтималдығы және бір – сенімді оқиғаның ықтималдығы4* арасында қорытындыланады. Нормалау шарты тұрақты k – ықтималдықты анықтайтын пропорционалдық коэффициентін табуға мүмкіндік береді. Ол тең болып шығады Осылайша, геометриялық ықтималдықтар схемасында кез келген оқиғаның ықтималдығы оқиғаны сипаттайтын А ішкі жиынының өлшемінің экспериментті тұтас сипаттайтын il жиынының өлшеміне қатынасы ретінде анықталады. : Осы анықталған ықтималдықтың кейбір қасиеттерін атап өтейік: Бұл қасиет жиынның басқаның ішінде қамтылған нәрсе соңғысынан үлкен бола алмайтындығынан шығады. Жағдайлар сызбасындағы сияқты, геометриялық ықтималдықтар схемасындағы оқиғалар біріктірілуі мүмкін, біріктірілуі мүмкін және олардың негізінде қарама-қарсылар салынуы мүмкін - бұл жағдайда, жалпы айтқанда, бастапқыдан өзгеше оқиғалар алынады. Келесі мүлік өте маңызды. 3. Оқиғалар үйлеспейтін болса, онда, атап айтқанда, толықтауыш принципі жарамды: Әдетте ықтималдықтарды қосу ережесі деп аталатын бұл қасиет5* шамасының аддитивтігінен шығатыны анық. Қорытындылай келе, геометриялық ықтималдықтар схемасында орын алатын кез келген нәтиженің ықтималдығы әрқашан нөлге тең болатынын атап өтеміз, дәл осылай «арық» нүктелер жиынтығымен сипатталған кез келген оқиғаның ықтималдығы нөлге тең, яғни. өлшемі (тиісінше ұзындығы, ауданы, көлемі) нөлге тең жиын. Геометриялық ықтималдық схемасында ықтималдықтарды есептеуді түсіндіру үшін бірнеше мысалдарды қарастырайық. Мысал 1. Тәжірибе [a, 6| кесіндісінен нүктені кездейсоқ таңдаудан тұрады. Қарастырылып отырған кесіндінің сол жақ жартысында орналасқан нүктенің таңдалу ықтималдығын табыңыз. 4 Анықтама бойынша кесіндідегі кез келген жиыннан нүктені таңдау ықтималдығы )