Бұл мақалада біз негізгі геометриялық фигуралардың бірі - бұрышты жан-жақты талдаймыз. Бізді бұрыштың анықтамасына әкелетін көмекші ұғымдар мен анықтамалардан бастайық. Осыдан кейін біз бұрыштарды белгілеудің қабылданған тәсілдерін ұсынамыз. Әрі қарай, біз бұрыштарды өлшеу процесін егжей-тегжейлі қарастырамыз. Қорытындылай келе, сызбадағы бұрыштарды қалай белгілеуге болатындығын көрсетеміз. Біз материалды жақсы есте сақтау үшін барлық теорияны қажетті сызбалармен және графикалық иллюстрациялармен қамтамасыз еттік.
Бетті шарлау.
Бұрыштың анықтамасы.
Бұрыш геометриядағы ең маңызды фигуралардың бірі болып табылады. Бұрыштың анықтамасы сәуленің анықтамасы арқылы беріледі. Өз кезегінде, нүкте, түзу және жазықтық сияқты геометриялық фигураларды білмейінше, сәуле туралы түсінік алуға болмайды. Сондықтан, бұрыштың анықтамасымен таныспас бұрын, біз теорияны бөлімдерден және бөлімдерден тазартуды ұсынамыз.
Сонымен, біз нүкте, жазықтықтағы түзу және жазықтық ұғымдарынан бастаймыз.
Алдымен сәуленің анықтамасын берейік.
Бізге жазықтықта қандай да бір түзу берейік. Оны а әрпімен белгілейік. О түзуінің қандай да бір нүктесі болсын. О нүктесі а түзуін екі бөлікке бөледі. Осы бөліктердің әрқайсысы О нүктесімен бірге аталады сәуле, және О нүктесі деп аталады сәуленің басы. Сондай-ақ сәуленің қалай аталатынын естуге болады жартылай тікелей.
Қысқа және ыңғайлы болу үшін сәулелердің келесі белгісі енгізілді: сәуле кішкентай латын әрпімен (мысалы, ray p немесе ray k) немесе екі үлкен латын әрпімен белгіленеді, олардың біріншісі басына сәйкес келеді. сәулені, ал екіншісі осы сәуленің кейбір нүктесін білдіреді (мысалы, OA сәулесі немесе CD сәулесі). Сызбадағы сәулелердің бейнесін және белгіленуін көрсетейік.
Енді бұрыштың алғашқы анықтамасын бере аламыз.
Анықтама.
Бұрыш- бұл ортақ шығу тегі бар екі дивергентті сәулелерден тұратын жалпақ геометриялық фигура (яғни толығымен белгілі бір жазықтықта жатқан). Сәулелердің әрқайсысы деп аталады бұрыштың жағы, бұрыш қабырғаларының ортақ басы деп аталады бұрыштың шыңы.
Бұрыштың қабырғалары түзу түзу болуы мүмкін. Бұл бұрыштың өз атауы бар.
Анықтама.
Егер бұрыштың екі қабырғасы бір түзудің бойында жатса, онда мұндай бұрыш деп аталады кеңейтілді.
Назарларыңызға бұрылған бұрыштың графикалық иллюстрациясын ұсынамыз.
Бұрышты көрсету үшін «» бұрыш белгішесін пайдаланыңыз. Егер бұрыштың қабырғалары шағын латын әріптерімен белгіленсе (мысалы, бұрыштың бір жағы k, ал екіншісі h), онда бұл бұрышты белгілеу үшін бұрыш белгішесінен кейін жақтарына сәйкес әріптер жазылады. қатар, және жазу тәртібі маңызды емес (яғни, немесе). Егер бұрыштың қабырғалары екі үлкен латын әріптерімен белгіленсе (мысалы, бұрыштың бір жағы OA, ал екінші жағы OB болса), онда бұрыш келесідей белгіленеді: бұрыш белгішесінен кейін үш бұрыштың қабырғаларын белгілеуге қатысатын әріптер жазылады, ал бұрыштың төбесіне сәйкес келетін әріп ортасында орналасады (біздің жағдайда бұрыш немесе ретінде белгіленеді). Егер бұрыштың төбесі басқа бұрыштың төбесі болмаса, онда мұндай бұрышты бұрыштың төбесіне сәйкес әріппен белгілеуге болады (мысалы, ). Кейде сызбалардағы бұрыштардың сандармен (1, 2 және т.б.) белгіленгенін, бұл бұрыштардың және т.б. белгіленетінін көруге болады. Түсінікті болу үшін біз бұрыштар бейнеленген және көрсетілген сызбаны ұсынамыз.
Кез келген бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөледі. Оның үстіне, егер бұрыш бұрылмаса, онда жазықтықтың бір бөлігі деп аталады ішкі бұрыш аймағы, ал екіншісі - сыртқы бұрыш аймағы. Төмендегі суретте жазықтықтың қай бөлігі бұрыштың ішкі ауданына, ал қайсысы сыртқы бөлігіне сәйкес келетінін түсіндіреді.
Бүктелген бұрыш жазықтықты бөлетін екі бөліктің кез келгенін ашылған бұрыштың ішкі облысы деп санауға болады.
Бұрыштың ішкі аймағын анықтау бізді бұрыштың екінші анықтамасына әкеледі.
Анықтама.
Бұрыш- бас шығу тегі ортақ және бұрыштың сәйкес ішкі ауданы бар екі дивергентті сәулелерден тұратын геометриялық фигура.
Айта кету керек, бұрыштың екінші анықтамасы біріншіге қарағанда қатаңырақ, өйткені ол көп шарттарды қамтиды. Дегенмен, бұрыштың бірінші анықтамасын жоққа шығаруға болмайды, сондай-ақ бұрыштың бірінші және екінші анықтамаларын бөлек қарастыруға болмайды. Осы жайды нақтылап көрейік. Біз геометриялық фигура ретінде бұрыш туралы айтатын болсақ, онда бұрыш деп басы ортақ екі сәуледен тұратын фигура түсініледі. Егер осы бұрышпен қандай да бір әрекеттерді орындау қажет болса (мысалы, бұрышты өлшеу), онда бұрышты қазірдің өзінде ортақ басы және ішкі ауданы бар екі сәуле деп түсіну керек (әйтпесе екі жақты жағдай туындайды. бұрыштың ішкі және сыртқы аймақтарының болуы ).
Көршілес және тік бұрыштардың анықтамаларын да берейік.
Анықтама.
Көршілес бұрыштар- бұл бір қабырғасы ортақ, ал қалған екеуі ашылмаған бұрышты құрайтын екі бұрыш.
Анықтамадан шығатыны, іргелес бұрыштар бұрыш бұрылғанға дейін бір-бірін толықтырады.
Анықтама.
Тік бұрыштар- бұл бір бұрыштың қабырғалары екіншісінің қабырғаларының жалғасы болатын екі бұрыш.
Суретте тік бұрыштар көрсетілген.
Екі қиылысатын сызық төрт жұп іргелес бұрыштар мен екі жұп тік бұрыштарды құрайтыны анық.
Бұрыштарды салыстыру.
Мақаланың осы абзацында біз тең және тең емес бұрыштардың анықтамаларын түсінеміз, сондай-ақ тең емес бұрыштар жағдайында қай бұрыш үлкен және қайсысы кіші деп есептелетінін түсіндіреміз.
Естеріңізге сала кетейік, екі геометриялық фигураны қабаттастыру арқылы біріктіруге болатын болса, олар тең деп аталады.
Бізге екі бұрыш берейік. «Бұл екі бұрыш тең ме, әлде тең емес пе?» деген сұраққа жауап алуға көмектесетін бірнеше дәлел келтірейік.
Әлбетте, біз әрқашан екі бұрыштың шыңдарын, сондай-ақ бірінші бұрыштың бір жағын екінші бұрыштың екі жағымен сәйкестендіре аламыз. Бұрыштардың қалған қабырғалары бұрыштардың біріктірілген қабырғалары жататын түзудің бір жағында болатындай етіп бірінші бұрыштың қабырғасын екінші бұрыштың сол жағымен теңестірейік. Сонда бұрыштардың қалған екі жағы сәйкес келсе, онда бұрыштар деп аталады тең.
Егер бұрыштардың қалған екі қабырғасы сәйкес келмесе, онда бұрыштар деп аталады тең емес, және кішірекбасқасының бөлігін құрайтын бұрыш қарастырылады ( үлкенбасқа бұрышты толығымен қамтитын бұрыш).
Екі түзу бұрыштың тең екені анық. Сондай-ақ дамыған бұрыш кез келген дамымаған бұрыштан үлкен болатыны анық.
Бұрыштарды өлшеу.
Бұрыштарды өлшеу өлшенетін бұрышты өлшем бірлігі ретінде алынған бұрышпен салыстыруға негізделген. Бұрыштарды өлшеу процесі келесідей көрінеді: өлшенетін бұрыштың бір жағынан бастап, оның ішкі ауданы бір-бірінің қасына тығыз орналастырып, бір бұрыштармен дәйекті түрде толтырылады. Бұл кезде өлшенген бұрыштың өлшемін беретін салынған бұрыштардың саны есте сақталады.
Іс жүзінде кез келген бұрышты бұрыштардың өлшем бірлігі ретінде қабылдауға болады. Дегенмен, ғылым мен техниканың әртүрлі салаларына қатысты бұрыштарды өлшеудің жалпы қабылданған көптеген бірліктері бар, олар арнайы атауларға ие болды.
Бұрыштарды өлшеу бірліктерінің бірі болып табылады дәрежесі.
Анықтама.
Бір дәреже- бұл бұрылған бұрыштың жүз сексеннен бір бөлігіне тең бұрыш.
Дәреже «» белгісімен белгіленеді, сондықтан бір дәреже ретінде белгіленеді.
Осылайша, бұрылған бұрышта біз 180 бұрышты бір градусқа сыйдыра аламыз. Бұл 180 тең бөлікке кесілген жарты дөңгелек пирогқа ұқсайды. Өте маңызды: «бәліш бөліктері» бір-біріне тығыз орналасады (яғни бұрыштардың бүйірлері тураланады), бірінші бұрыштың жағы бүктелген бұрыштың бір жағымен және соңғы бірлік бұрышының жағымен тураланады ашылған бұрыштың екінші жағымен сәйкес келеді.
Бұрыштарды өлшеген кезде өлшенетін бұрыштың ішкі ауданы толығымен жабылғанша өлшенетін бұрышқа қанша рет градус (немесе бұрыштардың басқа өлшем бірлігі) қойылғанын біліңіз. Жоғарыда айтқанымыздай, бұрылған бұрышта градус дәл 180 есе. Төменде бір градус бұрыш дәл 30 рет (мұндай бұрыш ашылған бұрыштың алтыдан бір бөлігі) және дәл 90 рет (бүктелмелі бұрыштың жартысы) сәйкес келетін бұрыштардың мысалдары келтірілген.
Бір градустан төмен бұрыштарды (немесе бұрыштардың басқа өлшем бірлігін) өлшеу үшін және бұрышты градустардың бүтін санымен (алынған өлшем бірліктерімен) өлшеу мүмкін болмаған жағдайларда градус бөліктерін (бөліктерін) пайдалану қажет. қабылданған өлшем бірліктері). Дәреженің кейбір бөліктеріне арнайы атаулар беріледі. Ең көп таралған минуттар мен секундтар деп аталады.
Анықтама.
Минутдәреженің алпыстан бір бөлігі.
Анықтама.
Екіншіминуттың алпыстан бір бөлігі.
Басқаша айтқанда, бір минутта алпыс секунд, ал градуста алпыс минут (3600 секунд) бар. «» таңбасы минуттарды белгілеу үшін, ал «» таңбасы секундтарды белгілеу үшін қолданылады (туынды және екінші туынды белгілермен шатастырмаңыз). Содан кейін, енгізілген анықтамалар мен белгілермен бізде бар және 17 градус 3 минут 59 секунд сәйкес келетін бұрышты деп белгілеуге болады.
Анықтама.
Бұрыштың градустық өлшеміградус және оның бөліктері берілген бұрышқа неше рет сәйкес келетінін көрсететін оң сан.
Мысалы, дамыған бұрыштың градустық өлшемі жүз сексен, ал бұрыштың градустық өлшемі оған тең 
.
Бұрыштарды өлшеуге арналған арнайы өлшеу құралдары бар, олардың ішіндегі ең танымалы транспортир.
Егер бұрыштың белгіленуі (мысалы, ) және оның градустық өлшемі (110 болсын) белгілі болса, онда форманың қысқаша белгісін пайдаланыңыз. 
және олар: «AOB бұрышы жүз он градусқа тең» дейді.
Бұрыштың анықтамаларынан және бұрыштың градустық өлшемінен геометрияда бұрыштың градуспен өлшемі (0, 180] интервалынан алынған нақты санмен (тригонометрияда ерікті дәрежелі бұрыштар) өрнектелетіні шығады. өлшем қарастырылады, олар аталады).Тоқсан градус бұрыштың ерекше аты бар, ол аталады тікбұрыш. 90 градустан кіші бұрыш деп аталады сүйір бұрыш. Тоқсан градустан үлкен бұрыш деп аталады доғал бұрыш. Сонымен, сүйір бұрыштың өлшемі градуспен (0, 90) интервалдан алынған санмен, доғал бұрыштың өлшемі (90, 180) аралықтағы санмен өрнектеледі, тік бұрыш мынаған тең. тоқсан градус. Мұнда сүйір бұрыш, доғал бұрыш және суреттер берілген тікбұрыш.
Бұрыштарды өлшеу принципінен мынадай шығады: тең бұрыштардың градустық өлшемдері бірдей, үлкен бұрыштың градустық өлшемі кішінің градустық өлшемінен үлкен, ал бірнеше бұрыштан тұратын бұрыштың градустық өлшемі. бұрыштар құраушы бұрыштардың градус өлшемдерінің қосындысына тең. Төмендегі суретте бұл жағдайда AOC, COD және DOB бұрыштарынан тұратын AOB бұрышы көрсетілген.
Осылайша, көршілес бұрыштардың қосындысы жүз сексен градусқа тең, өйткені олар түзу бұрыш жасайды.
Бұл мәлімдемеден мынау шығады. Шынында да, егер AOB және COD бұрыштары вертикаль болса, онда AOB және BOC бұрыштары іргелес, ал COD және BOC бұрыштары да іргелес, сондықтан теңдіктер және жарамды, бұл теңдікті білдіреді.
Дәрежемен қатар бұрыштар үшін ыңғайлы өлшем бірлігі деп аталады радиан. Радиан өлшемі тригонометрияда кеңінен қолданылады. Радианды анықтайық.
Анықтама.
Бір радиан бұрышы- Бұл орталық бұрыш, ол сәйкес шеңбердің радиусының ұзындығына тең доға ұзындығына сәйкес келеді.
Бір радианның бұрышының графикалық иллюстрациясын берейік. Сызбада ОА радиусының ұзындығы (сондай-ақ ОБ радиусы) АВ доғасының ұзындығына тең, сондықтан анықтамасы бойынша AOB бұрышы бір радианға тең.
«Рад» аббревиатурасы радиандарды белгілеу үшін қолданылады. Мысалы, 5 рад жазбасы 5 радианды білдіреді. Дегенмен, жазуда «рад» белгісі жиі қабылданбайды. Мысалы, бұрыш пи-ге тең деп жазылғанда, бұл пи рад дегенді білдіреді.
Радианмен көрсетілген бұрыштың шамасы шеңбер радиусының ұзындығына тәуелді емес екенін бөлек атап өткен жөн. Бұл берілген бұрышпен шектелген фигуралар мен центрі берілген бұрыштың төбесінде орналасқан шеңбер доғасының бір-біріне ұқсас болуына байланысты.
Бұрыштарды радианмен өлшеуді бұрыштарды градуспен өлшеу сияқты орындауға болады: бір радианның (және оның бөліктерінің) бұрышы берілген бұрышқа неше рет сәйкес келетінін табыңыз. Немесе сәйкес орталық бұрыштың доғасының ұзындығын есептеп, оны радиус ұзындығына бөлуге болады.
Практикалық мақсаттар үшін дәреже мен радиандық өлшемдердің бір-бірімен байланысын білу пайдалы, өйткені олардың көпшілігін орындау керек. Бұл мақала бұрыштың градустық және радиандық өлшемдері арасындағы байланысты орнатады және градустарды радианға және керісінше түрлендіру мысалдарын береді.
Сызбадағы бұрыштарды белгілеу.
Ыңғайлылық пен түсінікті болу үшін сызбаларда бұрыштарды доғалармен белгілеуге болады, олар әдетте бұрыштың ішкі аймағында бұрыштың бір жағынан екінші жағына дейін тартылады. Тең бұрыштар бірдей доғалар санымен, тең емес бұрыштар әр түрлі доғалармен белгіленеді. Сызбадағы тік бұрыштар бұрыштың бір жағынан екіншісіне дейінгі тік бұрыштың ішкі аймағында бейнеленген «» пішінінің белгісімен көрсетілген.
Егер сызбада көптеген әртүрлі бұрыштарды (әдетте үштен көп) белгілеу керек болса, онда бұрыштарды белгілеу кезінде қарапайым доғалардан басқа қандай да бір ерекше түрдегі доғаларды қолдануға рұқсат етіледі. Мысалы, сіз қисық доғаларды немесе ұқсас нәрсені бейнелей аласыз.
Айта кету керек, сіз сызбалардағы бұрыштарды белгілеумен айналыспауыңыз керек және сызбаларды шатастырмаңыз. Шешім немесе дәлелдеу процесінде қажет бұрыштарды ғана белгілеуді ұсынамыз.
Әдебиеттер тізімі.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Е.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 сыныптар: жалпы білім беретін оқу орындарына арналған оқулық.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Жалпы білім беретін мектептің 10-11 сыныптарына арналған оқулық.
- Погорелов А.В., Геометрия. Жалпы білім беретін мекемелердегі 7-11 сыныптарға арналған оқулық.
Бұрыштың не екенін анықтаудан бастайық. Біріншіден, бұл геометриялық фигура. Екіншіден, ол бұрыштың қабырғалары деп аталатын екі сәуледен пайда болады. Үшіншіден, соңғысы бұрыштың шыңы деп аталатын бір нүктеден шығады. Осы ерекшеліктерге сүйене отырып, біз анықтама жасай аламыз: бұрыш - бір нүктеден (төбеден) шығатын екі сәуледен (жақтан) тұратын геометриялық фигура.
Олар дәреже мәні бойынша, бір-біріне қатысты орналасуы бойынша және шеңберге қатысты жіктеледі. Бұрыштардың шамасына қарай түрлерінен бастайық.
Олардың бірнеше сорттары бар. Әр түрді толығырақ қарастырайық.
Бұрыштардың тек төрт негізгі түрі бар - түзу, доғал, сүйір және түзу бұрыштар.
Түзу
Бұл келесідей көрінеді:
Оның градустық өлшемі әрқашан 90 o, басқаша айтқанда, тік бұрыш 90 градус бұрыш болып табылады. Шаршы және тіктөртбұрыш сияқты төртбұрыштарда ғана болады.
Доғал
Бұл келесідей көрінеді:
Доғал бұрыштың градустық өлшемі әрқашан 90°-тан үлкен, бірақ 180°-тан аз. Оны ромб, ерікті параллелограмм сияқты төртбұрыштарда және көпбұрыштарда табуға болады.
Ащы
Бұл келесідей көрінеді:
Сүйір бұрыштың градустық өлшемі әрқашан 90°-тан аз. Ол шаршы мен кез келген параллелограммнан басқа барлық төртбұрыштарда кездеседі.
Кеңейтілген
Бүктелген бұрыш келесідей көрінеді:
Ол көпбұрыштарда кездеспейді, бірақ барлық басқалардан кем емес маңызды. Түзу бұрыш – градустық өлшемі әрқашан 180º болатын геометриялық фигура. Оның төбесінен кез келген бағытта бір немесе бірнеше сәулелер салу арқылы оған іргелес бұрыштар салуға болады.
Бұрыштардың басқа бірнеше кіші түрлері бар. Олар мектептерде оқытылмайды, бірақ олардың бар екендігі туралы кем дегенде білу керек. Бұрыштардың тек бес қосымша түрі бар:
1. Нөл
Бұл келесідей көрінеді:
Бұрыштың аты қазірдің өзінде оның өлшемін көрсетеді. Оның ішкі ауданы 0°, ал қабырғалары суретте көрсетілгендей бірінің үстіне бірі жатады.
2. Қиғаш
Қиғаш бұрыш түзу бұрыш, доғал бұрыш, сүйір бұрыш немесе түзу бұрыш болуы мүмкін. Оның негізгі шарты 0 o, 90 o, 180 o, 270 o тең болмауы керек.
3. Дөңес
Дөңес бұрыштар нөлдік, түзу, доғал, сүйір және түзу бұрыштар. Сіз түсінгеніңіздей, дөңес бұрыштың градустық өлшемі 0°-тан 180°-қа дейін.
4. Дөңес емес
Градус өлшемдері 181°-тан 359°-қа дейінгі бұрыштар дөңес емес.
5. Толық
Толық бұрыш 360 градус.
Бұл олардың шамасына қарай бұрыштардың барлық түрлері. Енді олардың бір-біріне қатысты жазықтықта орналасуына қарай түрлерін қарастырайық.
1. Қосымша
Бұл бір түзуді құрайтын екі сүйір бұрыш, яғни. олардың қосындысы 90 o.
2. Көршілес
Көршілес бұрыштар сәулені бүктелмеген бұрыш арқылы, дәлірек айтқанда оның шыңы арқылы кез келген бағытта өткізсе, түзіледі. Олардың қосындысы 180 o.
3. Тік
Вертикаль бұрыштар екі түзу қиылысқан кезде пайда болады. Олардың дәреже өлшемдері бірдей.
Енді шеңберге қатысты орналасқан бұрыштардың түрлеріне көшейік. Олардың екеуі ғана бар: орталық және жазулы.
1. Орталық
Центрлік бұрыш деп оның төбесі шеңбердің ортасында орналасқан бұрышты айтады. Оның дəрежелік өлшемі бүйір жақтары жатқан кіші доғаның градустық өлшеміне тең.
2. Жазылған
Іштей сызылған бұрыш деп төбесі шеңберде жатқан және қабырғалары оны қиып өтетін бұрышты айтады. Оның градустық өлшемі ол жатқан доғаның жартысына тең.
Бұл бұрыштар үшін. Енді сіз ең танымалдарынан басқа - өткір, доғал, түзу және орналастырылған - геометрияда олардың басқа да көптеген түрлері бар екенін білесіз.
Дереккөз: fb.ruАғымдағы
Әртүрлі
Әртүрлі
Бұрыш – бір нүктеден шығатын екі түрлі сәулелерден тұратын геометриялық фигура. Бұл жағдайда бұл сәулелер бұрыштың қабырғалары деп аталады. Сәулелердің басы болып табылатын нүкте бұрыштың төбесі деп аталады. Суретте сіз нүктедегі шыңы бар бұрышты көре аласыз ТУРАЛЫ, және тараптар кЖәне м.
Бұрыштың қабырғаларында А және С нүктелері белгіленген.Бұл бұрышты AOC бұрышы ретінде белгілеуге болады. Ортасында бұрыштың төбесі орналасқан нүктенің аты болуы керек. Сондай-ақ басқа белгілеулер, О бұрышы немесе км бұрышы бар. Геометрияда бұрыш сөзінің орнына жиі арнайы таңба жазылады.
Дамыған және кеңеймеген бұрыш
Егер бұрыштың екі қабырғасы бір түзудің бойында жатса, онда мұндай бұрыш деп аталады кеңейтілдібұрыш. Яғни, бұрыштың бір жағы бұрыштың екінші жағының жалғасы болып табылады. Төмендегі суретте кеңейтілген О бұрышы көрсетілген.
Айта кету керек, кез келген бұрыш жазықтықты екі бөлікке бөледі. Егер бұрыш ашылмаса, онда бөліктердің бірі бұрыштың ішкі облысы, ал екіншісі осы бұрыштың сыртқы облысы деп аталады. Төмендегі сурет дамымаған бұрышты көрсетеді және осы бұрыштың сыртқы және ішкі аймақтарын белгілейді.
Дамыған бұрыш жағдайында ол жазықтықты бөлетін екі бөліктің кез келгенін бұрыштың сыртқы аймағы деп санауға болады. Нүктенің бұрышқа қатысты орны туралы айтуға болады. Нүкте бұрыштың сыртында (сыртқы аймақта) жатуы мүмкін, оның бір жағында орналасуы мүмкін немесе бұрыштың ішінде (ішкі аймақта) жатуы мүмкін.
Төмендегі суретте А нүктесі О бұрышының сыртында, В нүктесі бұрыштың бір жағында, ал С нүктесі бұрыштың ішінде жатыр.
Бұрыштарды өлшеу
Бұрыштарды өлшеу үшін транспортир деп аталатын құрылғы бар. Бұрыштың өлшем бірлігі дәрежесі. Айта кету керек, әрбір бұрыштың нөлден асатын белгілі бір градус өлшемі бар.
Градус өлшеміне байланысты бұрыштар бірнеше топқа бөлінеді.
Бұрыштың не екенін анықтаудан бастайық. Біріншіден, бұл екіншіден, ол бұрыштың қабырғалары деп аталатын екі сәуледен тұрады. Үшіншіден, соңғысы бұрыштың шыңы деп аталатын бір нүктеден шығады. Осы ерекшеліктерге сүйене отырып, біз анықтама жасай аламыз: бұрыш - бір нүктеден (төбеден) шығатын екі сәуледен (жақтан) тұратын геометриялық фигура.
Олар дәреже мәні бойынша, бір-біріне қатысты орналасуы бойынша және шеңберге қатысты жіктеледі. Бұрыштардың шамасына қарай түрлерінен бастайық.
Олардың бірнеше сорттары бар. Әр түрді толығырақ қарастырайық.
Бұрыштардың тек төрт негізгі түрі бар - түзу, доғал, сүйір және түзу бұрыштар.
Түзу
Бұл келесідей көрінеді:
Оның градустық өлшемі әрқашан 90 o, басқаша айтқанда, тік бұрыш 90 градус бұрыш болып табылады. Шаршы және тіктөртбұрыш сияқты төртбұрыштарда ғана болады.
Доғал
Бұл келесідей көрінеді:
Дәреже өлшемі әрқашан 90 o-дан жоғары, бірақ 180 o-дан аз. Оны ромб, ерікті параллелограмм сияқты төртбұрыштарда және көпбұрыштарда табуға болады.
Ащы
Бұл келесідей көрінеді:
Сүйір бұрыштың градустық өлшемі әрқашан 90°-тан аз. Ол шаршы мен кез келген параллелограммнан басқа барлық төртбұрыштарда кездеседі.
Кеңейтілген
Бүктелген бұрыш келесідей көрінеді:
Ол көпбұрыштарда кездеспейді, бірақ барлық басқалардан кем емес маңызды. Түзу бұрыш – градустық өлшемі әрқашан 180º болатын геометриялық фигура. Сіз оның үстінен кез келген бағытта бір немесе бірнеше сәулелерді салу арқылы салуға болады.
Бұрыштардың басқа бірнеше кіші түрлері бар. Олар мектептерде оқытылмайды, бірақ олардың бар екендігі туралы кем дегенде білу керек. Бұрыштардың тек бес қосымша түрі бар:
1. Нөл
Бұл келесідей көрінеді:
Бұрыштың аты қазірдің өзінде оның өлшемін көрсетеді. Оның ішкі ауданы 0°, ал қабырғалары суретте көрсетілгендей бірінің үстіне бірі жатады.
2. Қиғаш
Қиғаш бұрыш түзу бұрыш, доғал бұрыш, сүйір бұрыш немесе түзу бұрыш болуы мүмкін. Оның негізгі шарты 0 o, 90 o, 180 o, 270 o тең болмауы керек.
3. Дөңес
Дөңес бұрыштар нөлдік, түзу, доғал, сүйір және түзу бұрыштар. Сіз түсінгеніңіздей, дөңес бұрыштың градустық өлшемі 0°-тан 180°-қа дейін.
4. Дөңес емес
Градус өлшемдері 181°-тан 359°-қа дейінгі бұрыштар дөңес емес.
5. Толық
Толық бұрыш 360 градус.
Бұл олардың шамасына қарай бұрыштардың барлық түрлері. Енді олардың бір-біріне қатысты жазықтықта орналасуына қарай түрлерін қарастырайық.
1. Қосымша
Бұл бір түзуді құрайтын екі сүйір бұрыш, яғни. олардың қосындысы 90 o.
2. Көршілес
Көршілес бұрыштар сәулені бүктелмеген бұрыш арқылы, дәлірек айтқанда оның шыңы арқылы кез келген бағытта өткізсе, түзіледі. Олардың қосындысы 180 o.
3. Тік
Вертикаль бұрыштар екі түзу қиылысқан кезде пайда болады. Олардың дәреже өлшемдері бірдей.
Енді шеңберге қатысты орналасқан бұрыштардың түрлеріне көшейік. Олардың екеуі ғана бар: орталық және жазулы.
1. Орталық
Центрлік бұрыш деп оның төбесі шеңбердің ортасында орналасқан бұрышты айтады. Оның дəрежелік өлшемі бүйір жақтары жатқан кіші доғаның градустық өлшеміне тең.
2. Жазылған
Іштей сызылған бұрыш деп төбесі шеңберде жатқан және қабырғалары оны қиып өтетін бұрышты айтады. Оның градустық өлшемі ол жатқан доғаның жартысына тең.
Бұл бұрыштар үшін. Енді сіз ең танымалдарынан басқа - өткір, доғал, түзу және орналастырылған - геометрияда олардың басқа да көптеген түрлері бар екенін білесіз.
Әрбір бұрыштың өлшеміне байланысты өз атауы бар:
| Бұрыш түрі | Өлшем градуспен | Мысал |
|---|---|---|
| Ащы | 90°-тан аз | |
| Түзу | 90°-қа тең. Сызбада тік бұрыш әдетте бұрыштың бір жағынан екіншісіне сызылған таңбамен белгіленеді. |
 |
| Доғал | 90°-тан жоғары, бірақ 180°-тан аз |  |
| Кеңейтілген | 180°-қа тең Түзу бұрыш екі тік бұрыштың қосындысына тең, ал тік бұрыш түзу бұрыштың жартысы. |
 |
| дөңес | 180°-тан жоғары, бірақ 360°-тан аз |  |
| Толық | 360°-қа тең |  |
Екі бұрыш деп аталады іргелес, егер олардың бір жағы ортақ болса, ал қалған екі жағы түзу түзу болса:
Бұрыштар MOPЖәне PONіргелес, сәуледен бері ОП- ортақ жағы, ал қалған екі жағы - ОМЖәне ҚОСУЛЫтүзу сызық жасаңыз.
Көршілес бұрыштардың ортақ жағы деп аталады тікке қиғаш, онда басқа екі жағы жатады, тек іргелес бұрыштар бір-біріне тең болмаған жағдайда. Көршілес бұрыштар тең болса, олардың ортақ жағы болады перпендикуляр.
Көршілес бұрыштардың қосындысы 180°.
Екі бұрыш деп аталады вертикалды, егер бір бұрыштың қабырғалары екінші бұрыштың қабырғаларын түзулерге толықтырса:
1 және 3 бұрыштар, сондай-ақ 2 және 4 бұрыштар тік.
Вертикаль бұрыштары тең.
Вертикаль бұрыштардың тең екенін дәлелдейміз:
∠1 және ∠2 қосындысы түзу бұрыш. Ал ∠3 пен ∠2 қосындысы түзу бұрыш. Сонымен, бұл екі сома тең:
∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.
Бұл теңдікте сол және оң жақта бірдей термин бар - ∠2. Сол және оң жақтағы бұл терминді алып тастаса, теңдік бұзылмайды. Сосын аламыз.