Жоғары ретті туындылар
Бұл сабақта біз жоғары ретті туындыларды қалай табуға болатынын, сондай-ақ «n-ші» туындының жалпы формуласын жазуды үйренеміз. Сонымен қатар, мұндай туынды үшін Лейбниц формуласы және халықтың сұранысы бойынша жоғары ретті туындылар жасырын функция. Мен сізге дереу шағын тест тапсыруды ұсынамын:
Міне, функция: 
және оның бірінші туындысы:
Егер сізде осы мысал бойынша қандай да бір қиындықтар/шатасулар болса, менің курсымның екі негізгі мақаласынан бастаңыз: Туындыны қалай табуға болады?Және Күрделі функцияның туындысы. Бастауыш туынды сөздерді меңгергеннен кейін сабақты оқуды ұсынамын Туындылармен ең қарапайым есептер, біз онымен, атап айтқанда, қарастырдық екінші туынды.
Екінші туынды бірінші туындының туындысы екенін болжау қиын емес:
Негізінде, екінші туынды жоғары ретті туынды болып саналады.
Сол сияқты: үшінші туынды 2-ші туындының туындысы:
Төртінші туынды 3-ші туындының туындысы: 
Бесінші туынды: 
, және жоғары дәрежелі барлық туындылар да нөлге тең болатыны анық:
Римдік нөмірлеуден басқа тәжірибеде келесі белгілер жиі қолданылады:
, «n-ші» ретті туындысы арқылы белгіленеді. Бұл жағдайда үстіңгі жазу жақшаға алынуы керек– туындыны «у»-дан дәрежесі бойынша ажырату.
Кейде сіз келесідей нәрсені көресіз: 
– тиісінше үшінші, төртінші, бесінші, ..., «nth» туындылары.
Қорықпай және күмәнсіз алға:
1-мысал
Функция берілген. Табыңыз.
Шешім: не айта аласыз... - төртінші туындыға өтіңіз :) 
Енді төрт штрих қою әдеттегідей емес, сондықтан біз сандық индекстерге ауысамыз:
Жауап:
Жарайды, енді осы сұрақ төңірегінде ойланып көрейік: егер шарт 4-ші емес, мысалы, 20-шы туындыны табуды талап етсе, не істеу керек? 3-4-5-ші туынды үшін болса (ең көбі 6-7)шама тәртібі, шешім өте тез ресімделеді, содан кейін біз жақын арада жоғары дәрежелі туындыларға «жетпейміз». Шындығында, 20 жолды жазбаңыз! Мұндай жағдайда сіз табылған бірнеше туындыларды талдап, үлгіні көріп, «n-ші» туынды үшін формуланы жасауыңыз керек. Сонымен, №1 мысалда әрбір келесі дифференциалдау кезінде дәреженің алдынан қосымша «үш» шығатынын және кез келген қадамда «үштің» дәрежесі келесі санға тең болатынын түсіну оңай. туынды, сондықтан:
Мұндағы ерікті натурал сан.
Ал шын мәнінде, егер , онда дәл 1-ші туынды алынады: 
, егер – онда 2-ші: т.б. Осылайша, жиырмасыншы туынды бірден анықталады: – және «километрлік парақтар» жоқ!
Өз бетінше жылыну:
2-мысал
Функцияларды табыңыз. Реттік туындыны жазыңыз
Шешімі мен жауабы сабақтың соңында.
Күшті қыздырудан кейін біз жоғарыда келтірілген шешім алгоритмін жасайтын күрделі мысалдарды қарастырамыз. Сабақпен танысып үлгергендер үшін Кезектілік шегі, бұл сәл оңайырақ болады:
3-мысал
Функцияны табыңыз.
Шешім: жағдайды түсіндіру үшін бірнеше туынды табайық:
Алынған сандарды көбейтуге асықпаймыз! ;-) 
Мүмкін бұл жеткілікті. ...Мен тіпті шектен шығып кеттім.
Келесі қадам «n-ші» туындының формуласын жасау болып табылады (егер шарт мұны талап етпесе, онда сіз жобамен айналыса аласыз). Ол үшін біз алынған нәтижелерді қарастырамыз және әрбір келесі туынды алынған заңдылықтарды анықтаймыз.
Біріншіден, олар ауысып отырады. Сәйкестендіруді қамтамасыз етеді «жыпылықтайтын шам», және 1-ші туынды оң болғандықтан, келесі фактор жалпы формулаға енеді: 
. Баламалы нұсқа да жұмыс істейді, бірақ мен оптимист ретінде плюс белгісін жақсы көремін =)
Екіншіден, алымдағы «орналады» факторлық, және ол туынды саннан бір бірлікке артта қалады:
Үшіншіден, алымдағы «екі» дәрежесі артады, бұл туындының санына тең. Деноминатордың дәрежесі туралы да осыны айтуға болады. Соңында: 
Тексеру үшін бірнеше «en» мәндерін ауыстырайық, мысалы, және: 
Тамаша, енді қателесу - бұл жай күнә:
Жауап: 
Өз бетіңізше шешуге болатын қарапайым функция:
4-мысал
Функцияларды табыңыз.
Және одан да қызықты мәселе:
5-мысал
Функцияларды табыңыз.
Процедураны тағы бір рет қайталайық:
1) Алдымен біз бірнеше туынды табамыз. Үлгілерді ұстау үшін әдетте үш немесе төрт жеткілікті.
2) Содан кейін мен жасауға кеңес беремін (кем дегенде жоба түрінде)«n-ші» туынды – ол сізді қателерден қорғауға кепілдік береді. Бірақ сіз онсыз жасай аласыз, яғни. ойша бағалаңыз және дереу жазыңыз, мысалы, жиырмасыншы немесе сегізінші туынды. Сонымен қатар, кейбір адамдар әдетте ауызша мәселені шеше алады. Дегенмен, «жылдам» әдістер қиын екенін есте ұстаған жөн және қауіпсіз болған дұрыс.
3) Соңғы кезеңде біз «n-ші» туындыны тексереміз - «n-ші» мәндердің жұбын (жақсырақ көршілес) алып, ауыстыруды орындаймыз. Бұрын табылған барлық туындыларды тексеру одан да сенімді. Содан кейін біз оны қажетті мәнге ауыстырамыз, мысалы немесе нәтижені мұқият тараймыз.
Сабақ соңында 4 және 5 мысалдардың қысқаша шешімі.
Кейбір тапсырмаларда проблемаларды болдырмау үшін функцияда аздап сиқырлы жұмыс істеу керек:
6-мысал
Шешім: Ұсынылған функцияны мүлдем ажыратқым келмейді, себебі ол «жаман» бөлшекке әкеледі, бұл кейінгі туындыларды табуды айтарлықтай қиындатады.
Осыған байланысты алдын ала түрлендірулерді орындаған жөн: біз қолданамыз квадрат айырмасының формуласыЖәне логарифмнің қасиеті 
:
Бұл мүлдем басқа мәселе:
Ал ескі достар: 
Менің ойымша, бәрі қарастырылады. Назар аударыңыз, 2-бөлшек таңбаны ауыстырады, бірақ 1-ші бөлшек емес. Тапсырыс туындысын құрастырамыз: 
Бақылау: 
Сұлулық үшін жақшадан факториалды алып көрейік:
Жауап: 
Өз бетіңізше шешуге болатын қызықты тапсырма:
7-мысал
Функцияның ретті туынды формуласын жазыңыз
Ал енді тіпті итальяндық мафияның қызғаныш білдіретін өзара кепілдігі туралы:
8-мысал
Функция берілген. Табу
Нүктедегі он сегізінші туынды. Жай.
Шешім: біріншіден, табу керек екені анық. Бару: 
Біз синуспен бастап, синуспен аяқталдық. Әрі қарай саралау кезінде бұл цикл шексіз жалғаса беретіні анық және келесі сұрақ туындайды: он сегізінші туындыға «алудың» ең жақсы жолы қандай?
«Әуесқойлық» әдісі: оң жақтағы бағанға келесі туындылардың сандарын жылдам жазыңыз: 
Осылайша:
Бірақ бұл туындының реті тым үлкен болмаса жұмыс істейді. Егер сізге, айталық, жүзінші туындыны табу керек болса, онда 4-ке бөлінгіштігін пайдалану керек. Жүз 4-ке қалдықсыз бөлінеді, мұндай сандар төменгі жолда орналасқанын байқау қиын емес, сондықтан: .
Айтпақшы, 18-ші туындыны ұқсас ойлардан да анықтауға болады:
Екінші жолда 2 қалдығымен 4-ке бөлінетін сандар бар.
Басқа, неғұрлым академиялық әдіс негізделген синус периодтылығыЖәне азайту формулалары. Синустың «n-ші» туындысы үшін дайын формуланы қолданамыз 
, оған қажетті сан жай ғана ауыстырылады. Мысалы:
(азайту формуласы 
)
;
(азайту формуласы 
)
Біздің жағдайда:
(1) Синус периодты периодты функция болғандықтан, аргумент ауыртпалықсыз 4 кезеңді «бұрауға» болады (яғни).
Екі функцияның туындысының ретті туындысын мына формула арқылы табуға болады:
Сондай-ақ: 
Арнайы ештеңені есте сақтаудың қажеті жоқ, өйткені формулаларды неғұрлым көп білсеңіз, соғұрлым аз түсінесіз. Өзіңізбен танысу әлдеқайда пайдалы Ньютон биномиясы, өйткені Лейбниц формуласы оған өте, өте ұқсас. Ал, 7-ші немесе одан жоғары тапсырыстардың туындысын алатын бақытты адамдар (бұл шынымен екіталай), мұны істеуге мәжбүр болады. Дегенмен, кезегі келгенде комбинаторика– онда сіз әлі де істеуіңіз керек =)
Функцияның үшінші туындысын табайық. Лейбниц формуласын қолданамыз:
Бұл жағдайда: 
. Туындыларды ауызша айту оңай: 
Енді ауыстыруды мұқият және ұқыпты орындаңыз және нәтижені жеңілдетіңіз:
Жауап:
Тәуелсіз шешімге ұқсас тапсырма:
11-мысал
Мүмкіндіктерді табыңыз
Алдыңғы мысалда «басқа» шешім әлі де Лейбниц формуласымен бәсекелесетін болса, онда бұл жерде ол шынымен жағымсыз болады. Және одан да жағымсыз - жоғары дәрежелі туынды жағдайда:
12-мысал
Көрсетілген реттілік туындысын табыңыз
Шешім: бірінші және маңызды ескерту - сізге бұлай шешім қабылдаудың қажеті жоқ шығар =) =)
Функцияларды жазып, олардың 5-ші ретті қосқандағы туындыларын табайық. Оң жақ бағанның туындылары сіз үшін ауызша болды деп ойлаймын: 
Сол жақ бағанда «тірі» туындылар тез «аяқталды» және бұл өте жақсы - Лейбниц формуласындағы үш термин нөлге дейін қалпына келтіріледі:
туралы мақалада пайда болған дилеммаға тағы да тоқталып өтейін күрделі туындылар: Нәтижені оңайлатуым керек пе? Негізінде, сіз оны осылай қалдыра аласыз - мұғалімге тексеру одан да оңай болады. Бірақ ол шешімнің аяқталуын талап етуі мүмкін. Екінші жағынан, өз бастамасымен оңайлату алгебралық қателерге толы. Дегенмен, бізде «қарабайыр» жолмен алынған жауап бар =) (бастапқы сілтемені қараңыз)және бұл дұрыс деп үміттенемін:
Керемет, бәрі бірге болды.
Жауап: 
Тәуелсіз шешуге арналған қуанышты тапсырма:
13-мысал
Функция үшін:
а) тура дифференциалдау арқылы табу;
б) Лейбниц формуласын пайдаланып табу;
в) есептеу.
Жоқ, мен мүлде садист емеспін – мұнда «а» нүктесі өте қарапайым =)
Бірақ байыпты түрде, дәйекті саралау арқылы «тікелей» шешім де «өмір сүру құқығына» ие - кейбір жағдайларда оның күрделілігі Лейбниц формуласын қолданудың күрделілігімен салыстырылады. Егер сіз орынды деп тапсаңыз, пайдаланыңыз - бұл тапсырманы орындамауға себеп болуы екіталай.
Сабақ соңында қысқаша шешім және жауап.
Соңғы абзацты көтеру үшін сіз қабілетті болуыңыз керек жасырын функцияларды ажыратады:
Жанама түрде көрсетілген функциялардың жоғары ретті туындылары
Көпшілігіміз өміріміздің ұзақ сағаттарын, күндерін және апталарын оқуға арнадық шеңберлер, параболалар, гипербола– кейде бұл нағыз жаза сияқты көрінетін. Ендеше, кек алып, оларды дұрыс ажыратайық!
Ондағы «мектеп» параболасынан бастайық канондық позиция:
14-мысал
Теңдеу берілген. Табыңыз.
Шешім: Бірінші қадам таныс:
Функцияның және оның туындысының жанама түрде өрнектелуі мәселенің мәнін өзгертпейді, екінші туынды 1-ші туындының туындысы болып табылады: 
Дегенмен, ойын ережелері бар: әдетте 2-ші және жоғары дәрежелі туындылар өрнектеледі тек «X» және «Y» арқылы. Сондықтан, алынған 2-ші туындыға : дегенді ауыстырамыз: 
Үшінші туынды 2-ші туындының туындысы:
Сол сияқты ауыстырайық: 
Жауап:
«Мектеп» гиперболасы канондық позиция– өзіндік жұмыс үшін:
15-мысал
Теңдеу берілген. Табыңыз.
Қайталап айтамын, 2-ші туынды және нәтиже тек “x”/“y” арқылы көрсетілуі керек!
Сабақ соңында қысқаша шешім және жауап.
Балалардың еркелігінен кейін неміс порнографиясын көрейік, ересектерге арналған мысалдарды қарастырайық, олардан біз тағы бір маңызды шешімді үйренеміз:
16-мысал
Эллипсөзі.
Шешім: 1-ші туындыны табайық: 
Енді тоқтап, келесі тармақты талдап көрейік: енді біз бөлшекті ажыратуымыз керек, бұл мүлдем ұнамайды. Бұл жағдайда, әрине, қарапайым, бірақ нақты өмірлік мәселелерде мұндай сыйлықтар өте аз және өте аз. Ауыр туынды табудан аулақ болудың жолы бар ма? Бар! Біз теңдеуді аламыз және 1-ші туындыны тапқан кездегідей әдісті қолданамыз - біз екі жағында штрихтарды «ілеміз»: 
Екінші туынды тек және арқылы өрнектелуі керек, сондықтан қазір (дәл қазір) 1-ші туындыдан құтылу ыңғайлы. Ол үшін алынған теңдеуді ауыстырыңыз: 
Қажетсіз техникалық қиындықтарды болдырмау үшін екі бөлікті де көбейтейік: 
Тек соңғы кезеңде біз бөлшекті тұжырымдаймыз: 
Енді біз бастапқы теңдеуді қарастырамыз және алынған нәтижені жеңілдетуге болатынын байқаймыз:
Жауап:
Кез келген нүктедегі 2-ші туындының мәнін қалай табуға болады (ол, әрине, эллипске жатады), мысалы, нүктеде 
? Өте жеңіл! Бұл мотив сабақта бұрыннан кездескен қалыпты теңдеу: өрнекке 2-ші туындыны ауыстыру керек 
:
Әрине, үш жағдайда да анық анықталған функцияларды алуға және оларды ажыратуға болады, бірақ содан кейін түбірлері бар екі функциямен жұмыс істеуге ойша дайындалу керек. Менің ойымша, шешімді «жасырын түрде» жүзеге асыру ыңғайлырақ.
Өз бетіңізше шешуге болатын соңғы мысал:
17-мысал
Жанама көрсетілген функцияны табыңыз
Жұмыс мәтіні суретсіз және формуласыз орналастырылған.
Жұмыстың толық нұсқасы PDF форматындағы «Жұмыс файлдары» қойындысында қолжетімді
"Мен де, Ньютон биномиясы!»
«Мастер мен Маргарита» романынан
«Паскаль үшбұрышы соншалықты қарапайым, оны тіпті он жасар бала жаза алады. Сонымен бірге ол сарқылмас қазыналарды жасырып, бір қарағанда бір-бірінен ешбір ортақтығы жоқ математиканың әртүрлі аспектілерін біріктіреді. Мұндай ерекше қасиеттер бізге Паскаль үшбұрышын барлық математикадағы ең талғампаз диаграммалардың бірі деп санауға мүмкіндік береді.
Мартин Гарднер.
Жұмыс мақсаты:қысқартылған көбейту формулаларын жалпылау және олардың есеп шығаруда қолданылуын көрсету.
Тапсырмалар:
1) осы мәселе бойынша ақпаратты зерделеу және жүйелеу;
2) Ньютон биномының көмегімен есептер мысалдарын және дәрежелердің қосындысы мен айырмасының формулаларын талдаңыз.
Зерттеу объектілері:Ньютон биномиясы, қосындылар мен дәрежелер айырмасының формулалары.
Зерттеу әдістері:
Оқу және ғылыми-көпшілік әдебиеттермен, интернет ресурстарымен жұмыс.
Есептер, салыстыру, талдау, аналогия.
Сәйкестік.Адамға көбінесе қандай да бір объектілерді орналастырудың барлық мүмкін тәсілдерінің санын немесе қандай да бір әрекетті орындаудың барлық мүмкін тәсілдерінің санын санау қажет болатын мәселелермен айналысуға тура келеді. Адам таңдауы керек әртүрлі жолдар немесе опциялар көптеген комбинацияларды қосады. Ал комбинаторика деп аталатын математиканың тұтас бір саласы сұрақтарға жауап іздеумен айналысады: берілген жағдайда неше комбинация бар?
Көптеген мамандықтардың өкілдері комбинаторлық шамалармен айналысуға тура келеді: химик ғалым, биолог, конструктор, диспетчер және т.б. Комбинаторикаға деген қызығушылықтың артуы соңғы кезде кибернетика мен есептеу техникасының қарқынды дамуымен байланысты болды.
Кіріспе
Олар әңгімелесушінің алдында тұрған мәселелердің күрделілігін асыра айтып жатқанын атап өткісі келгенде, олар: «Маған Ньютон биномиясы да ұнайды!» - дейді. Олар айтады, міне, Ньютонның биномиалы, бұл күрделі, бірақ сізде қандай проблемалар бар! Тіпті қызығушылықтары математикамен ешқандай байланысы жоқ адамдар Ньютон биномиясы туралы естіген.
«Биномдық» сөзі биномдық дегенді білдіреді, яғни. екі мүшенің қосындысы. Қысқартылған көбейту формулалары мектеп курсынан белгілі:
( А+ ә) 2 = а 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = а 3 +3а 2 b + 3ab 2 +б 3 .
Бұл формулалардың жалпылауы Ньютонның биномдық формуласы деп аталатын формула болып табылады. Квадраттардың айырымдарын, кубтардың қосындыларын және айырымдарын көбейткіштерге бөлу формулалары мектепте де қолданылады. Олар басқа дәрежелерге жалпыланады ма? Иә, мұндай формулалар бар, олар әртүрлі есептерді шығаруда жиі қолданылады: бөлінгіштігін дәлелдеу, бөлшектерді азайту, шамамен есептеулер.
Жалпылау формулаларын оқу дедуктивті-математикалық ойлауды және жалпы ойлау қабілеттерін дамытады.
1-БӨЛІМ. НЬЮТОН БИНОМДЫ ФОРМУЛАСЫ
Комбинациялар және олардың қасиеттері
X n элементтен тұратын жиын болсын. Құрамында k элементі бар Х жиынының кез келген Y ішкі жиыны k ≤ n болатын n-ден бастап k элементтердің комбинациясы деп аталады.
n-ден бастап k элементтердің әртүрлі комбинацияларының санын C n k деп белгілейді. Комбинаториканың ең маңызды формулаларының бірі C n k санының келесі формуласы болып табылады:
Оны айқын қысқартулардан кейін келесідей жазуға болады:
Сондай-ақ,
Бұл X жиынында 0 элементтен тұратын бір ғана ішкі жиын - бос жиын бар екендігімен толық сәйкес келеді.
C n k сандарының бірқатар тамаша қасиеттері бар.
Формула дұрыс: С n k = С n - k n , (3)
(3) формуланың мағынасы мынада: X-тің барлық k-мүшелі ішкі жиындарының жиыны мен Х-тің барлық (n - k)-мүше жиындарының жиыны арасында бір-бір сәйкестік бар: осы сәйкестікті орнату үшін, Y-нің әрбір k-мүшелі ішкі жиыны үшін оның Х жиынындағы толықтауышын салыстыру жеткілікті.
Дұрыс формула С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)
Сол жағындағы қосынды X жиынының барлық ішкі жиындарының санын өрнектейді (C 0 n - 0-мүшелі ішкі жиындар саны, C 1 n - бірмүшелі ішкі жиындар саны және т.б.).
Кез келген k, 1≤ k≤ n үшін теңдік ақиқат болады
C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)
Бұл теңдікті (1) формуланы қолдану арқылы алу оңай. Әрине,
1.2. Ньютонның биномдық формуласын шығару
Биномның дәрежесін қарастырайық a +б .
n = 0, (a +б ) 0 = 1
n = 1, (a +б ) 1 = 1a+1б
n = 2,(а +б ) 2 = 1а 2 + 2аб +1 б 2
n = 3,(а +б ) 3 = 1 а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 +1 б 3
n = 4,(а +б ) 4 = 1а 4 + 4а 3 б + 6а 2 б 2 +4аб 3 +1 б 4
n = 5,(а +б ) 5 = 1а 5 + 5а 4 б + 10а 3 б 2 + 10а 2 б 3 + 5аб 4 + 1 б 5
Келесі үлгілерге назар аударайық:
Алынған көпмүшенің мүшелерінің саны биномның көрсеткішінен бір артық;
Бірінші мүшенің көрсеткіші n-ден 0-ге дейін кемиді, екінші мүшесінің көрсеткіші 0-ден n-ге дейін өседі;
Барлық мономдардың дәрежелері шарттағы биномдық дәрежесіне тең;
Әрбір моном әр түрлі дәрежедегі бірінші және екінші өрнектердің көбейтіндісі және белгілі бір сан – биномдық коэффициент;
Кеңейтудің басынан және аяғынан бірдей қашықтықта орналасқан биномдық коэффициенттер тең.
Бұл формулалардың жалпылауы Ньютонның биномдық формуласы деп аталатын келесі формула болып табылады:
(а + б ) n = C 0 n а n б 0 + C 1 n а n -1 б + C 2 n а n -2 б 2 + ... + C n -1 n аб n -1 + C n n а 0 б n . (6)
Бұл формулада nкез келген натурал сан болуы мүмкін.
(6) формуласын шығарайық. Алдымен мынаны жазып алайық:
(а + б ) n = (а + б )(а + б ) ... (а + б ), (7)
мұнда көбейтілетін жақшалар саны тең n. Қосындыны қосындыға көбейтудің әдеттегі ережесінен (7) өрнектің барлық мүмкін болатын көбейтінділердің қосындысына тең екендігі шығады, оны келесідей құруға болады: қосындылардың біріншісінің кез келген мүшесі a + bекінші қосындының кез келген мүшесіне көбейтіледі a+b, үшінші соманың кез келген шартына және т.б.
Жоғарыда айтылғандардан көрініп тұрғандай, үшін өрнектегі термин (а + б ) nәріптерден тұратын n ұзындықтағы жолдарға сәйкес (бір-бірден). а және б.Терминдердің арасында ұқсас терминдер болады; мұндай мүшелер бірдей әріптерді қамтитын жолдарға сәйкес келетіні анық А. Бірақ дәл k әріпті қамтитын жолдар саны А, C n k тең. Бұл дәл k есе көбейткішпен а әрпінен тұратын барлық мүшелердің қосындысы C n k-ға тең екенін білдіреді. а n - к б к . k 0, 1, 2, ..., n-1, n мәндерін қабылдай алатындықтан, біздің пайымдауымыздан (6) формула шығады. (6) қысқарақ жазылуы мүмкін екенін ескеріңіз: (8)
(6) формула Ньютонның атымен аталғанымен, шын мәнінде ол Ньютонға дейін де ашылған (мысалы, Паскаль оны білген). Ньютонның еңбегі бүтін емес дәреже көрсеткіші үшін осы формуланың жалпылауын тапқанында жатыр. Ол 1664-1665 жылдары И.Ньютон болды. ерікті бөлшек және теріс дәрежелер үшін бином дәрежесін өрнектейтін формуланы шығарды.
(6) формулаға енгізілген C 0 n, C 1 n, ..., C n n сандары әдетте биномдық коэффициенттер деп аталады, олар келесідей анықталады:
(6) формуладан осы коэффициенттердің бірқатар қасиеттерін алуға болады. Мысалы, болжау А=1, b = 1, біз аламыз:
2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,
анау. формула (4). қойсаңыз А= 1, b = -1, онда бізде болады:
0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n
немесе C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .
Бұл кеңейтудің жұп мүшелерінің коэффициенттерінің қосындысы кеңейтудің тақ мүшелерінің коэффициенттерінің қосындысына тең екенін білдіреді; олардың әрқайсысы 2 n -1 тең.
Кеңейту ұштарынан бірдей қашықтықтағы мүшелердің коэффициенттері тең. Бұл қасиеттер қатынастан туындайды: C n k = C n n - k
Қызықты ерекше жағдай
(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0
немесе қысқарақ (x +1) n = ∑C n k x n - k .
1.3. Көпмүшелік теорема
Теорема.
Дәлелдеу.
Жақшаларды ашқаннан кейін мономиалды алу үшін, ол алынған жақшаларды, ол алынған жақшаларды және т.б. таңдау керек. және ол алынған жақшалар. Ұқсас мүшелерді әкелгеннен кейін бұл мономиалдың коэффициенті мұндай таңдауды жасауға болатын жолдар санына тең. Сайлау тізбегінің бірінші қадамы жолдармен, екінші қадам – ішке, үшінші – т.б., ші қадам – жолдармен жүзеге асырылуы мүмкін. Қажетті коэффициент өнімге тең
2-БӨЛІМ. Жоғары ретті туынды құралдар.
Жоғары ретті туындылар туралы түсінік.
Функция қандай да бір интервалда дифференциалданатын болсын. Сонда оның туындысы, жалпы айтқанда, тәуелді X, яғни функциясы болып табылады X. Демек, оған қатысты туындының бар екендігі туралы мәселе тағы да көтерілуі мүмкін.
Анықтама . Бірінші туындының туындысы деп аталады екінші ретті туынды немесе екінші туынды және таңбамен белгіленеді немесе, яғни
Анықтама . Екінші туындының туындысы үшінші ретті туынды немесе үшінші туынды деп аталады және немесе белгісімен белгіленеді.
Анықтама . Туындыn - ші бұйрықфункциялары туындының бірінші туындысы деп аталады (n -1)осы функцияның реті және таңбамен белгіленеді немесе:
Анықтама . Біріншіден жоғары ретті туындылар деп аталады жоғары туындылар.
Түсініктеме. Сол сияқты біз формуланы аламыз n-функцияның туындысы:
Параметрлік анықталған функцияның екінші туындысы
Егер функция теңдеулер арқылы параметрлік түрде берілсе, онда екінші ретті туындыны табу үшін оның бірінші туындысы үшін өрнекті тәуелсіз айнымалының күрделі функциясы ретінде дифференциалдау қажет.
Сол уақыттан бері
және осыны ескере отырып,
Біз оны аламыз, яғни.
Үшінші туындыны да дәл осылай табуға болады.
Қосындының, көбейтіндінің және үлестің дифференциалы.
Дифференциал туындыдан тәуелсіз айнымалының дифференциалына көбейту арқылы алынатындықтан, негізгі элементар функциялардың туындыларын, сондай-ақ туындыларды табу ережелерін біле отырып, дифференциалды табудың ұқсас ережелеріне келуге болады.
1 0 . Тұрақты шаманың дифференциалы нөлге тең.
2 0 . Дифференциалданатын функциялардың ақырлы санының алгебралық қосындысының дифференциалы осы функциялардың дифференциалдарының алгебралық қосындысына тең .
3 0 . Екі дифференциалданатын функцияның туындысының дифференциалы бірінші функцияның екіншісінің дифференциалына және екінші функцияның біріншісінің дифференциалына көбейтіндісінің қосындысына тең. .
Салдары. Тұрақты көбейткішті дифференциалдық таңбадан шығаруға болады.
2.3. Параметрлік анықталған функциялар, олардың дифференциациясы.
Анықтама . Егер екі айнымалы болса, функция параметрлік түрде көрсетілген деп аталады X Және y әрқайсысы бірдей көмекші айнымалының бір мәнді функциялары ретінде жеке анықталады - параметрт :
Қайдат ішінде өзгереді.
Түсініктеме . Шеңбер мен эллипстің параметрлік теңдеулерін көрсетейік.
а) Центрі басы мен радиусында болатын шеңбер rпараметрлік теңдеулер бар:
б) Эллипстің параметрлік теңдеулерін жазайық:
Параметрді алып тастау арқылы тҚарастырылып отырған сызықтардың параметрлік теңдеулерінен олардың канондық теңдеулеріне келуге болады.
Теорема . Егер функция у аргументтен x параметрлік теңдеулер арқылы берілген, мұндағы және қатысты дифференциалданатынт функциялары, содан кейін.
2.4. Лейбниц формуласы
Туындыны табу nекі функцияның туындысының реті, Лейбниц формуласының практикалық маңызы зор.
Болсын uЖәне v- айнымалыдан кейбір функциялар X, кез келген тәртіптегі туындылары бар және ж = uv. білдірейік n-функциялардың туындылары арқылы туынды uЖәне v .
Бізде тұрақты
Екінші және үшінші туындыларға арналған өрнектер мен Ньютон биномының сәйкесінше екінші және үшінші дәрежелердегі кеңеюі арасындағы ұқсастықты байқау қиын емес, бірақ дәреженің орнына туындының ретін анықтайтын сандар және функциялардың өздері бар. «нөлдік ретті туындылар» ретінде қарастыруға болады. Осыны ескере отырып, Лейбниц формуласын аламыз:
Бұл формуланы математикалық индукция арқылы дәлелдеуге болады.
3-БӨЛІМ. ЛЕЙБНИЦ ФОРМУЛАСЫН ҚОЛДАНУ.
Екі функцияның туындысының туындысын есептеу формуласының дәйекті қолданылуын айналып өтіп, екі функцияның туындысынан кез келген ретті туындыны есептеу үшін мынаны пайдаланыңыз: Лейбниц формуласы.
Бұл формуланы пайдалана отырып, біз екі функцияның туындысының n-ші ретті туындысын есептеу мысалдарын қарастырамыз.
1-мысал.
Функцияның екінші ретті туындысын табыңыз
Анықтама бойынша екінші туынды бірінші туындының бірінші туындысы, яғни
Сондықтан алдымен берілген функцияның бірінші ретті туындысын сәйкес табамыз дифференциация ережелеріжәне пайдалану туындылар кестесі:
Енді бірінші ретті туындының туындысын табайық. Бұл қалаған екінші ретті туынды болады:
Жауап:
2-мысал.
Функцияның екінші ретті туындысын табыңыз
Шешім.
Берілген функцияның бірінші, екінші, үшінші және т.б. реттерінің туындыларын ші туындыға жалпылауға болатын заңдылықты орнату үшін ретімен табамыз.
Бірінші ретті туындыны келесідей табамыз бөлімнің туындысы:
Мұндағы өрнек санның факториалы деп аталады. Санның факториалы бірден дейінгі сандардың көбейтіндісіне тең, яғни
Екінші ретті туынды бірінші туындының бірінші туындысы, яғни
Үшінші ретті туынды:
Төртінші туынды:
Үлгіге назар аударыңыз: алымдағы туындының ретіне тең санның факториалы бар, ал бөлгіште дәреженің өрнегі туындының ретінен бір үлкен, яғни
Жауап.
3-мысал.
Функцияның нүктедегі үшінші туындысының мәнін табыңыз.
Шешім.
Сәйкес жоғары ретті туындылар кестесі, бізде бар:
Қарастырылып отырған мысалда, яғни аламыз
Ұқсас нәтижені туындыларды дәйекті түрде табу арқылы алуға болатынын ескеріңіз.
Берілген нүктеде үшінші туынды мынаған тең:
Жауап:
4-мысал.
Функцияның екінші туындысын табыңыз
Шешім.Алдымен бірінші туындыны табайық:
Екінші туындыны табу үшін бірінші туынды үшін өрнекті қайтадан ажыратамыз:
Жауап:
5-мысал.
Егер тап
Берілген функция екі функцияның туындысы болғандықтан, төртінші ретті туындыны табу үшін Лейбниц формуласын қолданған жөн:
Барлық туындыларды тауып, мүшелердің коэффициенттерін есептейік.
1) Терминдердің коэффициенттерін есептейік:
2) Функцияның туындыларын табыңыз:
3) Функцияның туындыларын табыңыз:
Жауап:
6-мысал.
y=x 2 cos3x функциясы берілген. Үшінші ретті туындыны табыңыз.
u=cos3x , v=x 2 болсын . Содан кейін Лейбниц формуласын қолданып, табамыз:
Бұл өрнектегі туындылар келесі пішінге ие:
(cos3x)′=−3sin3x,
(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,
(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,
(x2)′=2x,
(x2)′′=2,
(x2)′′′=0.
Демек, берілген функцияның үшінші туындысы тең
1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0
27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.
7-мысал.
Туындыны табыңыз n реттік функция y=x 2 cosx.
Лейбниц формуласын қолданайықu=cosx, v=x 2 . Содан кейін
Қатардың қалған мүшелері нөлге тең, өйткені i>2 үшін (x2)(i)=0.
Туынды n Косинус функциясының реті:
Демек, функциямыздың туындысы тең
ҚОРЫТЫНДЫ
Мектепте қысқартылған көбейту формулалары оқытылады және қолданылады: екі өрнектің қосындысының квадраттары мен кубтары мен айырмасы және екі өрнектің квадраттарының айырмасын, қосындысы мен кубтарының айырмасын көбейткіштерге бөлу формулалары. Бұл формулалардың қорытылуы Ньютонның биномдық формуласы деп аталатын формула және дәрежелердің қосындысы мен айырмасын көбейткіштерге бөлу формуласы болып табылады. Бұл формулалар әртүрлі есептерді шығаруда жиі қолданылады: бөлінгіштігін дәлелдеу, бөлшектерді азайту, жуықтап есептеу. Паскаль үшбұрышының Ньютон биномымен тығыз байланысты қызықты қасиеттері қарастырылады.
Жұмыста тақырып бойынша ақпарат жүйеленеді, Ньютон биномының және дәрежелердің қосындысы мен айырмасының формулалары қолданылған есептерге мысалдар келтірілді. Жұмысты математикалық үйірме жұмысында да, үшін де қолдануға болады өздігінен оқуматематикаға қызығатындар.
ҚОЛДАНЫЛАТЫН КӨЗДЕР ТІЗІМІ
1.Виленкин Н.Я. Комбинаторика.- ред. «Ғылым». - М., 1969 ж
2. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра және математикалық талдаудың басталуы. 10-сынып: оқулық. жалпы білім беруге арналған ұйымдардың негізгі және жоғары деңгейлері - М.: Просвещение, 2014. - 431 б.
3. Статистика, комбинаторика және ықтималдықтар теориясы бойынша есептерді шығару. 7-9 сыныптар / авторы – құрастырушы В.Н. Студенецкая. - ред. 2-ші, қайта қаралған, - Волгоград: Мұғалім, 2009 ж.
4. Савушкина И.А., Хугаев К.Д., Тишкин С.Б. Алгебралық теңдеулер жоғары дәрежелер/ЖОО аралық дайындық бөлімінің студенттеріне арналған әдістемелік құрал. - Санкт-Петербург, 2001 ж.
5. Шарыгин И.Ф. Математикадан факультативтік курс: Есептер шығару. 10-сыныпқа арналған оқулық. орта мектеп. - М.: Білім, 1989 ж.
6.Ғылым және өмір, Ньютон биномиалы және Паскаль үшбұрышы[Электрондық ресурс]. - Қол жеткізу режимі: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/
Лейбниц формуласы берілген n-ші есептеулерекі функцияның туындысының туындысы. Оның дәлелі екі жолмен беріледі. n-ші ретті туындыны есептеу мысалы қарастырылады.
МазмұныСондай-ақ қараңыз: Екі функцияның туындысының туындысы
Лейбниц формуласы
Лейбниц формуласын пайдаланып, екі функцияның көбейтіндісінің n-ші ретті туындысын есептеуге болады. Бұл келесідей көрінеді:
(1)
,
Қайда
- биномдық коэффициенттер.
Биномдық коэффициенттер биномның дәрежелер бойынша кеңею коэффициенттері және:
.
Сондай-ақ сан n мен k арасындағы комбинациялар саны болып табылады.
Лейбниц формуласын дәлелдеу
Қолданылатын екі функцияның туындысының формуласы :
(2)
.
(2) формуланы келесі түрде қайта жазайық:
.
Яғни, бір функция х айнымалысына, ал екіншісі у айнымалысына тәуелді деп есептейміз. Есептің соңында біз болжаймыз. Сонда алдыңғы формуланы былай жазуға болады:
(3)
.
Туынды мүшелердің қосындысына тең және әрбір мүше екі функцияның туындысы болғандықтан, жоғары дәрежелі туындыларды есептеу үшін (3) ережені дәйекті түрде қолдануға болады.
Сонда n-ші ретті туынды үшін бізде:
.
Осыны ескере отырып, біз Лейбниц формуласын аламыз:
(1)
.
Индукция арқылы дәлелдеу
Математикалық индукция әдісі арқылы Лейбниц формуласының дәлелдеуін келтірейік.
Лейбниц формуласын тағы бір рет жазайық:
(4)
.
n = 1 үшін бізде:
.
Бұл екі функцияның туындысының туындысының формуласы. Ол әділ.
n-ші ретті туынды үшін (4) формула дұрыс деп алайық. Оның n + туындысы үшін жарамды екенін дәлелдеп көрейік 1 - ші бұйрық.
Айырықтайық (4):
;
.
Сонымен, біз таптық:
(5)
.
(5) орнына қойып, мынаны ескерейік:
.
Бұл (4) формуланың n + туындысы үшін бірдей пішінге ие екенін көрсетеді 1
- ші бұйрық.
Сонымен, (4) формула n = үшін жарамды 1
. Ол кейбір n = m саны үшін орындалады деген болжамнан n = m + үшін орындалатыны шығады. 1
.
Лейбниц формуласы дәлелденді.
Мысал
Функцияның n-ші туындысын есептеңіз
.
Лейбниц формуласын қолданайық
(2)
.
Біздің жағдайда
;
.
Авторы туынды кестебізде бар:
.
Біз өтініш береміз тригонометриялық функциялардың қасиеттері :
.
Содан кейін
.
Бұл синус функциясының дифференциалдануы оның -ге ығысуына әкелетінін көрсетеді. Содан кейін
.
Функцияның туындыларын табу.
;
;
;
,
.
Себебі үшін, онда Лейбниц формуласында тек алғашқы үш мүшесі нөлге тең емес. Биномдық коэффициенттерді табу.
;
.
Лейбниц формуласы бойынша бізде:
.
Қолданбалы есептерді шешу интегралды есептеуге дейін жетеді, бірақ мұны әрқашан дәл орындау мүмкін емес. Кейде белгілі бір интегралдың мәнін белгілі дәрежедегі дәлдікпен білу қажет, мысалы, мыңдық.
Белгілі бір интегралдың жуық мәнін қажетті дәлдікпен табу қажет болғанда есептер туындайды, содан кейін Симпосный әдісі, трапециялар және тіктөртбұрыштар сияқты сандық интегралдау қолданылады. Барлық жағдайлар оны белгілі бір дәлдікпен есептеуге мүмкіндік бермейді.
Бұл мақала Ньютон-Лейбниц формуласының қолданылуын қарастырады. Бұл анықталған интегралды дәл есептеу үшін қажет. Біз егжей-тегжейлі мысалдар келтіреміз, айнымалының анықталған интегралдағы өзгерістерін қарастырамыз және бөліктер бойынша интегралдағанда анықталған интегралдың мәндерін табамыз.
Ньютон-Лейбниц формуласы
Анықтама 1y = y (x) функциясы [ a интервалынан үзіліссіз болғанда; b ] , ал F (x) осы кесінді функциясының антитуындыларының бірі болса, онда Ньютон-Лейбниц формуласыәділ деп санайды. Оны былай жазайық: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .
Бұл формула қарастырылады интегралдық есептеудің негізгі формуласы.
Бұл формуланы дәлелдеу үшін қол жетімді айнымалы жоғарғы шегі бар интеграл түсінігін пайдалану қажет.
y = f (x) функциясы [ a интервалынан үзіліссіз болғанда ; b ], онда х ∈ a аргументінің мәні; b , ал интеграл ∫ a x f (t) d t түріне ие және жоғарғы шектің функциясы болып саналады. ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ол үзіліссіз, ал ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = түріндегі теңсіздікті алатын функцияның жазылуын алу қажет. f (x) ол үшін жарамды.
Φ (x) функциясының өсімшесінің ∆ x аргументінің өсімшесіне сәйкес келетінін бекітейік, анықталған интегралдың бесінші негізгі қасиетін пайдалану қажет және мынаны аламыз
Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x
мұндағы c ∈ x мәні; x + ∆ x .
Теңдікті Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) түрінде бекітейік. Функцияның туындысының анықтамасы бойынша ∆ x → 0 ретінде шекке шығу керек, сонда Φ "(x) = f (x) түріндегі формуланы аламыз. Φ (x) болатынын табамыз. [a;b] орналасқан y = f (x) түріндегі функцияға қарсы туындылардың бірі. Әйтпесе өрнекті жазуға болады.
F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, мұндағы С мәні тұрақты.
Анықталған интегралдың бірінші қасиетін пайдаланып F (а) есептейік. Сонда біз мұны аламыз
F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, осыдан C = F (a) мәнін аламыз. Нәтиже F (b) мәнін есептеу кезінде қолданылады және біз мынаны аламыз:
F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), басқаша айтқанда, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (а) . Теңдік Ньютон-Лейбниц формуласымен дәлелденеді ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .
Функцияның өсімін F x a b = F (b) - F (a) деп аламыз. Белгілеуді пайдалана отырып, Ньютон-Лейбниц формуласы ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) түрін алады.
Формуланы қолдану үшін y = f (x) интеграл функциясының y = F (x) қарсы туындыларының бірін [ a кесіндісінен білу қажет; b ], осы кесіндіден антитуындының өсімін есептеңіз. Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептеулердің бірнеше мысалдарын қарастырайық.
1-мысал
Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы анықталған интегралды ∫ 1 3 x 2 d x есептеңіз.
Шешім
y = x 2 түріндегі интеграл [ 1 аралықтан үзіліссіз ; 3 ] болса, ол осы интервалда интегралданады. Анықталмаған интегралдар кестесінен y = x 2 функциясының x-тің барлық нақты мәндері үшін антитуындылар жиыны бар екенін көреміз, бұл x ∈ 1 мәнін білдіреді; 3 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C түрінде жазылады. С = 0 болатын антитуындыны алу керек, сонда F (x) = x 3 3 болатынын аламыз.
Ньютон-Лейбниц формуласын қолданамыз және анықталған интегралдың есебі ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 түрінде болатынын табамыз.
Жауап:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
2-мысал
Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x анықталған интегралын есептеңіз.
Шешім
Берілген функция кесіндіден үзіліссіз [ - 1 ; 2 ], бұл оның интегралдайтынын білдіреді. Анықталмаған интегралдың ∫ x · e x 2 + 1 d x мәнін дифференциалдық таңбаның астына қосу әдісі арқылы табу керек, сонда ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d () аламыз. x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .
Демек, бізде у = x · e x 2 + 1 функциясының барлық x, x ∈ - 1 үшін жарамды антитуындылар жиыны бар; 2.
С = 0 кезінде антитуындыны алып, Ньютон-Лейбниц формуласын қолдану керек. Содан кейін форманың өрнегін аламыз
∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
Жауап:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)
3-мысал
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x және ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x интегралдарын есептеңдер.
Шешім
Сегмент - 4; - 1 2 интегралдық таңбасының астындағы функцияның үзіліссіз екенін айтады, яғни интегралдық. Осыдан у = 4 x 3 + 2 x 2 функциясының антитуындылар жиынын табамыз. Біз мұны түсінеміз
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C
F (x) = 2 x 2 - 2 x антитуындысын алу керек, содан кейін Ньютон-Лейбниц формуласын қолданып, интегралды аламыз, оны есептейміз:
∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28
Екінші интегралды есептеуге көшеміз.
сегментінен [ - 1 ; 1 ] бізде интеграл шектелмеген деп саналады, өйткені lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , онда кесіндіден интегралдаудың қажетті шарты шығады. Сонда [ - 1 аралықтан y = 4 x 3 + 2 x 2 үшін F (x) = 2 x 2 - 2 x антитуынды емес; 1 ], өйткені О нүктесі кесіндіге жатады, бірақ анықтау облысына кірмейді. Бұл [ - 1 аралықтан y = 4 x 3 + 2 x 2 функциясы үшін белгілі Риман және Ньютон-Лейбниц интегралы бар екенін білдіреді; 1].
Жауабы: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,[ - 1 аралықтан y = 4 x 3 + 2 x 2 функциясы үшін белгілі Риман және Ньютон-Лейбниц интегралы бар; 1].
Ньютон-Лейбниц формуласын қолданбас бұрын, белгілі интегралдың бар екенін нақты білу керек.
Анықталған интегралдағы айнымалыны өзгерту
y = f (x) функциясы анықталған және [ a интервалынан үзіліссіз болған кезде ; b], содан кейін қол жетімді жиын [a; b] α кесіндісінде анықталған x = g (z) функциясының мәндерінің диапазоны болып саналады; β бар үздіксіз туындымен, мұнда g (α) = a және g β = b, бұдан ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z болатынын аламыз.
Бұл формула ∫ a b f (x) d x интегралын есептеу қажет болғанда қолданылады, мұндағы анықталмаған интеграл ∫ f (x) d x түрінде болады, біз ауыстыру әдісімен есептейміз.
4-мысал
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x түріндегі анықталған интегралды есептеңдер.
Шешім
Интеграл функциясы интегралдау интервалында үзіліссіз болып саналады, бұл белгілі бір интегралдың бар екенін білдіреді. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 болатын белгіні берейік. x = 9 мәні z = 2 9 - 9 = 9 = 3, ал x = 18 үшін z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3 болатынын аламыз, онда g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Алынған мәндерді ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z формуласына ауыстырған кезде біз мынаны аламыз
∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
Анықталмаған интегралдар кестесіне сәйкес бізде 2 z 2 + 9 функциясының антитуындыларының бірі 2 3 a r c t g z 3 мәнін алатыны бар. Содан кейін, Ньютон-Лейбниц формуласын қолданғанда, біз оны аламыз
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c = π 3 - π 1 c = π 3 18
Табуды ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z формуласын қолданбай-ақ жасауға болады.
Егер ауыстыру әдісін қолдансақ ∫ 1 x 2 x - 9 d x түріндегі интегралды қолдансақ, онда ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C нәтижесіне келуге болады.
Осы жерден Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы есептеулер жүргізіп, анықталған интегралды есептейміз. Біз мұны түсінеміз
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c a tr g = π 3 a r c a t g π 3 - π 3 4 = π 18
Нәтижелері бірдей болды.
Жауабы: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18
Анықталған интегралды есептеу кезінде бөліктер бойынша интегралдау
Егер сегментте [ a ; b ] u (x) және v (x) функциялары анықталған және үздіксіз, онда олардың бірінші ретті туындылары v " (x) · u (x) интегралданатын болады, осылайша бұл сегменттен интегралданатын u " (x) функциясы үшін · v ( x) ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x теңдігі ақиқат.
Сонда формуланы қолдануға болады, ∫ a b f (x) d x интегралын есептеу керек, ал ∫ f (x) d x оны бөліктер бойынша интегралдау арқылы іздеу керек болды.
5-мысал
Анықталған интегралды ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x есептеңіз.
Шешім
x · sin x 3 + π 6 функциясы - π 2 интервалында интегралданады; 3 π 2, бұл үздіксіз дегенді білдіреді.
u (x) = x, онда d (v (x)) = v "(x) d x = sin x 3 + π 6 d x, ал d (u (x)) = u " (x) d x = d x, және v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . ∫ a b v "(x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x формуласынан біз мынаны аламыз
∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Мысалды басқа жолмен шешуге болады.
Ньютон-Лейбниц формуласы арқылы бөліктер бойынша интегралдау арқылы x · sin x 3 + π 6 функциясының қарсы туындылар жиынын табыңыз:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Жауабы: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
Мәтінде қатені байқасаңыз, оны бөлектеп, Ctrl+Enter пернелерін басыңыз