지침
1. 두 개의 다리 S = a * b/2, a, b – 다리,
면적을 계산하는 두 번째 옵션은 코탄젠트 대신 알려진 각도의 사인을 사용합니다. 이 버전에서는 정사각형알려진 변의 길이의 제곱에 각 각도의 사인을 곱하고 이 각도의 이중 사인으로 나눈 값과 같습니다. S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *죄(α + β)). 예를 들어, 알려진 변이 15cm이고 그에 인접한 동일한 삼각형의 경우 모서리 40°와 60°에서 면적 계산은 다음과 같습니다: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 제곱센티미터.
삼각형의 면적을 계산하는 버전에는 각도가 포함됩니다. 면적은 알려진 변의 길이의 제곱에 각 각도의 접선을 곱하고 이러한 각도의 접선의 합을 두 배로 나눈 것과 같습니다. S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β)). 예를 들어, 이전 단계에서 사용된 변의 길이가 15cm이고 인접한 삼각형의 경우 모서리 40° 및 60°에서 면적 계산은 다음과 같습니다: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 제곱센티미터.
삼각형은 3개의 꼭지점과 3개의 변을 갖는 가장 단순한 다각형입니다. 한 각이 직각인 삼각형을 직각삼각형이라고 합니다. 직각삼각형의 경우 일반삼각형의 모든 공식이 적용됩니다. 그러나 속성을 고려하여 수정할 수 있습니다. 직각.
지침
지역찾기 기본 삼각형다음과 같이 밑면을 통과합니다: S = 1/2 * b * h, 여기서 b는 측면입니다. 삼각형, 그리고 h - 삼각형. 키 삼각형꼭지점에서 그린 수직선이다 삼각형그 반대를 포함하는 줄로. 직사각형의 경우 삼각형높이 k b는 다리 a와 일치합니다. 이렇게 하면 면적을 계산하는 공식을 얻을 수 있습니다. 삼각형각도: S = 1/2 * a * b.
고려하다. 직사각형 a = 3, b = 4라고 가정합니다. 그런 다음 S = 1/2 * 3 * 4 = 6입니다. 계산합니다. 정사각형똑같다 삼각형, 그러나 이제 한쪽 면만 알려면 b = 4입니다. 그리고 각도 α, tan α = 3/4도 알려져 있습니다. 그런 다음 삼각 함수 탄젠트 α에 대한 표현식에서 구간 a를 표현합니다. tg α = a/b => a = b * tan α. 이 값을 공식에 대입하여 직사각형의 면적을 계산합니다. 삼각형그리고 우리는 다음을 얻습니다: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
특별한 경우로 이등변 직사각형의 면적 계산을 고려하십시오. 삼각형. 이등변삼각형은 두 변이 서로 같은 삼각형이다. 직사각형의 경우 삼각형 a = b로 밝혀졌습니다. 이 경우에 대한 피타고라스 정리를 적어보세요: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. 그런 다음 이 값을 다음과 같이 면적 계산 공식에 대입합니다. S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .
내접원 r과 외접원 R의 반지름을 알고 있으면 다음과 같습니다. 정사각형직사각형 삼각형 S = r^2 + 2 * r * R 공식으로 계산됩니다. 삼각형의 내접원 반경을 r = 1, 즉 외접원의 반경으로 설정합니다. 삼각형원 R = 5/2. 그러면 S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6입니다.
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직각 삼각형 주위에 외접하는 원의 반지름은 빗변의 절반과 같습니다: R = c / 2. 직각 삼각형에 내접하는 원의 반지름은 공식 r = (a + b – c) / 2로 구됩니다.
이것은 세 점을 쌍으로 연결하는 세 선분이 평면의 일부를 제한하는 가장 간단한 기하학적 도형 중 하나입니다. 다양한 조합으로 삼각형의 일부 매개변수(변의 길이, 각도, 내접원 또는 외접원의 반경, 높이 등)를 알면 평면의 이 제한된 부분의 면적을 계산할 수 있습니다.
지침
삼각형의 두 변(A와 B)의 길이와 각의 크기(γ)를 안다면 삼각형의 면적(S)은 두 변의 길이와 변의 길이의 곱의 절반과 같습니다. 알려진 각도의 사인: S=A*B*sin(γ)/2.
임의의 삼각형의 세 변(A, B, C)의 길이를 모두 알고 있는 경우 면적(S)을 계산하려면 추가 변수인 반주위(p)를 도입하는 것이 더 편리합니다. 이 변수는 모든 변의 길이 합의 절반으로 계산됩니다: p=(A+B+C)/2. 이 변수를 사용하는 것은 이 변수의 반 둘레와 변의 길이의 곱의 제곱근으로 정의될 수 있습니다: S=√(p*(p-A)*(p-B)*(p-C)).
모든 변(A, B 및 C)의 길이 외에도 임의의 삼각형 근처에 외접하는 원의 반경(R)의 길이도 알려진 경우 반 둘레 없이도 할 수 있습니다. (S)는 원의 4배 반지름에 대한 모든 변의 길이를 곱한 비율과 같습니다: S=A *B*C/(4*R).
삼각형의 모든 각도 값(α, β 및 γ)과 변 중 하나의 길이(A)를 알고 있으면 면적(S)은 제곱의 곱의 비율과 같습니다. 인접한 두 각도의 사인과 반대쪽 각도의 이중 사인으로 알려진 변의 길이: S=A²*sin(β)*sin(γ)/(2*sin(α)).
임의의 삼각형(α, β, γ)의 모든 각도 값과 외접원의 반지름(R)을 알면 면적(S)은 반지름의 제곱의 두 배와 같고 모든 각도의 사인: S=2*R²*sin(α)* sin(β)*sin(γ).
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삼각형의 부피를 찾는 것은 정말 쉽지 않은 작업입니다. 사실 삼각형은 2차원 도형입니다. 그것은 완전히 하나의 평면에 놓여 있습니다. 이는 단순히 부피가 없다는 것을 의미합니다. 물론 존재하지 않는 것을 찾을 수는 없습니다. 하지만 포기하지 말자! 우리는 다음과 같은 가정을 받아들일 수 있습니다. 2차원 도형의 부피는 면적입니다. 삼각형의 넓이를 찾아보겠습니다.
필요할 것이예요
- 종이, 연필, 자, 계산기
지침
자와 연필을 사용하여 종이에 그림을 그립니다. 삼각형을 주의 깊게 살펴보면 평면에 그려졌기 때문에 실제로 삼각형이 아니라는 것을 확인할 수 있습니다. 삼각형의 변에 라벨을 붙입니다. 한 변은 "a", 다른 변은 "b", 세 번째 변은 "c"가 되도록 합니다. 삼각형의 꼭지점에 문자 "A", "B" 및 "C"를 표시합니다.
자로 삼각형의 한 변을 측정하고 결과를 기록하세요. 그런 다음 반대쪽 꼭지점에서 측정된 면에 수직을 복원합니다. 이러한 수직은 삼각형의 높이가 됩니다. 그림에 표시된 경우 수직 "h"는 정점 "A"에서 변 "c"로 복원됩니다. 자로 결과 높이를 측정하고 측정 결과를 기록합니다.
정확한 수직을 복원하는 것이 어려울 수 있습니다. 이 경우에는 다른 수식을 사용해야 합니다. 자로 삼각형의 모든 변을 측정합니다. 그런 다음 변의 길이를 더하고 그 합을 반으로 나누어 삼각형 "p"의 반주를 계산합니다. 반주위 값을 마음대로 사용할 수 있으면 Heron의 공식을 사용할 수 있습니다. 이렇게 하려면 다음의 제곱근을 구해야 합니다: p(p-a)(p-b)(p-c).
필요한 삼각형 면적을 얻었습니다. 삼각형의 부피를 구하는 문제는 아직 해결되지 않았지만 위에서 언급한 것처럼 부피는 풀리지 않습니다. 3차원 세계에서는 본질적으로 삼각형인 볼륨을 찾을 수 있습니다. 원래 삼각형이 3차원 피라미드가 되었다고 상상해 보면, 그러한 피라미드의 부피는 밑면의 길이와 우리가 얻은 삼각형의 면적의 곱이 될 것입니다.
메모
더 신중하게 측정할수록 계산이 더 정확해집니다.
출처:
- 계산기 "Everything to everything" - 참조 값을 위한 포털
- 삼각형의 부피
삼각형은 우리가 초등학교 때 친숙하게 접할 수 있는 가장 일반적인 기하학적 도형 중 하나입니다. 모든 학생은 기하학 수업에서 삼각형의 면적을 찾는 방법에 대한 질문에 직면합니다. 그렇다면 주어진 도형의 면적을 찾는 기능은 무엇인지 확인할 수 있습니까? 이 기사에서는 이러한 작업을 완료하는 데 필요한 기본 공식을 살펴보고 삼각형 유형도 분석합니다.
삼각형의 종류
기하학에는 세 개의 각도를 포함하는 두 가지 유형 이상의 도형이 있기 때문에 완전히 다른 방법으로 삼각형의 면적을 찾을 수 있습니다. 이러한 유형에는 다음이 포함됩니다.
- 무딘.
- 등변 (올바른).
- 정삼각형.
- 이등변.
기존 유형의 삼각형 각각을 자세히 살펴 보겠습니다.
이 기하학적 도형은 기하학적 문제를 해결할 때 가장 일반적인 것으로 간주됩니다. 임의의 삼각형을 그려야 할 경우 이 옵션이 도움이 됩니다.
이름에서 알 수 있듯이 예각삼각형에서는 모든 각이 예각이고 합이 180°입니다.
이 유형의 삼각형도 매우 일반적이지만 예각 삼각형보다 덜 일반적입니다. 예를 들어, 삼각형을 풀 때(즉, 여러 변과 각도가 알려져 있고 나머지 요소를 찾아야 함) 때로는 각도가 둔한지 여부를 확인해야 합니다. 코사인은 음수입니다.
B, 각도 중 하나의 값이 90°를 초과하므로 나머지 두 각도는 작은 값(예: 15° 또는 심지어 3°)을 취할 수 있습니다.
이 유형의 삼각형 영역을 찾으려면 나중에 이야기할 몇 가지 뉘앙스를 알아야 합니다.
정삼각형과 이등변삼각형
정다각형은 n개의 각을 포함하고 변과 각이 모두 같은 도형입니다. 이것이 바로 정삼각형이다. 삼각형의 모든 내각의 합은 180°이므로 세 각의 각각은 60°입니다.
정삼각형은 그 특성 때문에 정삼각형이라고도 합니다.
정삼각형에는 단 하나의 원만 내접할 수 있고, 그 주위에는 단 하나의 원만 기술할 수 있으며, 그 중심은 같은 점에 위치한다는 점도 주목할 만하다.
정삼각형 외에도 약간 다른 이등변삼각형도 구별할 수 있습니다. 이러한 삼각형에서는 두 변과 두 각이 서로 같고 세 번째 변(같은 각이 인접한)이 밑변입니다.
그림은 각도 D와 F가 같고 DF가 밑변인 이등변삼각형 DEF를 보여줍니다.
정삼각형
직각 삼각형은 각도 중 하나가 직각, 즉 90°와 같기 때문에 그렇게 명명되었습니다. 나머지 두 각도의 합은 90°입니다.
90° 각도 반대편에 있는 이러한 삼각형의 가장 큰 변은 빗변이고 나머지 두 변은 다리입니다. 이 유형의 삼각형에는 피타고라스 정리가 적용됩니다.
다리 길이의 제곱의 합은 빗변 길이의 제곱과 같습니다.
그림은 빗변 AC와 다리 AB 및 BC가 있는 직각삼각형 BAC를 보여줍니다.
직각이 있는 삼각형의 넓이를 구하려면 다리의 수치를 알아야 합니다.
주어진 그림의 면적을 찾는 공식으로 넘어 갑시다.
면적을 찾는 기본 공식
기하학에는 대부분의 삼각형 유형, 즉 예각삼각형, 둔각삼각형, 정삼각형 및 이등변삼각형의 면적을 찾는 데 적합한 두 가지 공식이 있습니다. 각각을 살펴보겠습니다.
측면 및 높이별
이 공식은 우리가 고려하고 있는 그림의 면적을 찾는 데 보편적입니다. 이렇게하려면 측면의 길이와 그에 그려진 높이의 길이를 아는 것으로 충분합니다. 공식 자체(밑변과 높이의 곱의 절반)는 다음과 같습니다.
여기서 A는 주어진 삼각형의 변이고, H는 삼각형의 높이입니다.
예를 들어, 예각 삼각형 ACB의 면적을 찾으려면 변 AB에 높이 CD를 곱하고 결과 값을 2로 나누어야 합니다.
그러나 이런 식으로 삼각형의 넓이를 구하는 것이 항상 쉬운 것은 아닙니다. 예를 들어, 둔각 삼각형에 이 공식을 사용하려면 변 중 하나를 확장한 다음 고도를 그려야 합니다.
실제로 이 공식은 다른 공식보다 더 자주 사용됩니다.
양쪽과 모서리에
이전 공식과 마찬가지로 이 공식은 대부분의 삼각형에 적합하며 그 의미는 삼각형의 측면과 높이로 면적을 구하는 공식의 결과입니다. 즉, 문제의 수식은 이전 수식에서 쉽게 도출될 수 있습니다. 그 공식은 다음과 같습니다:
S = ½*sinO*A*B,
여기서 A와 B는 삼각형의 변이고, O는 변 A와 B 사이의 각도입니다.
소련의 뛰어난 수학자 V. M. Bradis의 이름을 딴 특수 테이블에서 각도의 사인을 볼 수 있다는 점을 기억해 봅시다.
이제 예외적인 유형의 삼각형에만 적합한 다른 공식으로 넘어가겠습니다.
직각삼각형의 면적
삼각형에서 고도를 찾아야 하는 일반 공식 외에도 직각을 포함하는 삼각형의 면적을 다리에서 찾을 수 있습니다.
따라서 직각을 포함하는 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반입니다.
여기서 a와 b는 직각삼각형의 다리입니다.
정삼각형
이 유형의 기하학적 도형은 해당 변 중 하나만 표시된 값으로 해당 영역을 찾을 수 있다는 점에서 다릅니다(정삼각형의 모든 변이 동일하기 때문에). 따라서 "두 변이 같을 때 삼각형의 넓이를 구하는" 작업에 직면했을 때 다음 공식을 사용해야 합니다.
S = A 2 *√3 / 4,
여기서 A는 정삼각형의 변입니다.
헤론의 공식
삼각형의 넓이를 구하는 마지막 옵션은 헤론의 공식입니다. 이를 사용하려면 도형의 세 변의 길이를 알아야 합니다. 헤론의 공식은 다음과 같습니다.
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
여기서 a, b 및 c는 주어진 삼각형의 변입니다.
때때로 문제가 주어집니다: "정삼각형의 넓이는 그 변의 길이를 구하는 것입니다." 이 경우, 우리가 이미 알고 있는 정삼각형의 넓이를 구하는 공식을 사용하여 변(또는 정사각형)의 값을 도출해야 합니다.
A 2 = 4S / √3.
심사과제
수학의 GIA 문제에는 많은 공식이 있습니다. 또한 체크 무늬 종이에서 삼각형의 면적을 찾아야 하는 경우가 많습니다.
이 경우 그림의 측면 중 하나에 높이를 그리고 셀에서 길이를 결정하고 영역을 찾는 일반 공식을 사용하는 것이 가장 편리합니다.
따라서 기사에 제시된 공식을 연구한 후에는 모든 종류의 삼각형 영역을 찾는 데 아무런 문제가 없습니다.
인터넷에서 삼각형의 넓이를 계산하는 공식을 10개 이상 찾을 수 있으며, 그 중 대부분은 알려진 삼각형의 변과 각도 문제에 사용됩니다. 그러나 할당 조건에 따라 삼각형의 한 변과 각도만 알려져 있거나 외접원이나 내접원의 반경과 하나 이상의 특성이 알려진 복잡한 예가 많이 있습니다. 이러한 경우에는 간단한 공식을 적용할 수 없습니다.
아래 주어진 공식을 사용하면 삼각형의 면적을 구하는 데 필요한 문제의 95%를 해결할 수 있습니다.
공통 영역 공식을 고려해 보겠습니다.
아래 그림에 표시된 삼각형을 고려하십시오.
그림과 아래 공식에는 모든 특성에 대한 고전적인 명칭이 소개되어 있습니다.
a,b,c – 삼각형의 변,
R – 외접원의 반경,
r - 내접원의 반경,
h[b],h[a],h[c] – 변 a,b,c에 따라 그려진 높이입니다.
알파, 베타, 함마 - 정점 근처의 각도입니다.
삼각형 면적에 대한 기본 공식
1. 면적은 삼각형의 변과 이 변으로 낮아진 높이의 곱의 절반과 같습니다. 공식 언어로 이 정의는 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
따라서 측면과 높이를 알면 모든 학생이 해당 면적을 찾을 수 있습니다.
그건 그렇고, 이 공식에서 키 사이의 유용한 관계를 도출할 수 있습니다.
2. 인접한 변을 통과하는 삼각형의 높이는 종속성으로 표현된다는 점을 고려하면
그런 다음 첫 번째 영역 공식 뒤에는 동일한 유형의 두 번째 공식이 옵니다.
공식을주의 깊게 살펴보십시오. 작업에는 양면과 그 사이의 각도가 포함되므로 기억하기 쉽습니다. 위 그림과 같이 삼각형의 변과 각도를 올바르게 지정하면 두 개의 삼각형을 얻게 됩니다. 측면 a, b 그리고 그 각도는 세 번째와 연결되어 있어요(함마)와 함께.
3. 삼각형의 각도에 대해서는 관계가 참입니다.
의존성을 사용하면 계산에서 삼각형 영역에 대해 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
이러한 의존성의 예는 극히 드물지만 그러한 공식이 있다는 것을 기억해야 합니다.
4. 측면과 인접한 두 각도를 알고 있으면 다음 공식으로 면적을 구합니다.
5. 인접한 각도의 변과 코탄젠트에 대한 면적 공식은 다음과 같습니다.
인덱스를 재정렬하면 다른 당사자에 대한 종속성을 얻을 수 있습니다.
6. 아래의 넓이 공식은 삼각형의 꼭지점을 평면 위에 좌표로 지정할 때 사용되는 문제입니다. 이 경우 면적은 모듈로 취한 행렬식의 절반과 같습니다.
7. 헤론의 공식삼각형의 변이 알려진 예에 사용됩니다.
먼저 삼각형의 반둘레를 구하세요.
그런 다음 공식을 사용하여 면적을 결정하십시오.
또는
계산기 프로그램의 코드에서 자주 사용됩니다.
8. 삼각형의 높이를 모두 알면 면적은 다음 공식에 의해 결정됩니다.
계산기로는 계산하기 어렵지만 MathCad, Mathematica, Maple 패키지에서는 면적이 "time 2"입니다.
9. 다음 공식은 알려진 내접원과 외접원의 반지름을 사용합니다. 
특히, 삼각형의 반지름과 변 또는 둘레를 알고 있는 경우 면적은 다음 공식에 따라 계산됩니다.
10. 외접원의 변과 반경 또는 직경이 주어진 예에서 면적은 다음 공식을 사용하여 구합니다.
11. 다음 공식은 삼각형의 변과 각도를 기준으로 삼각형의 면적을 결정합니다.
그리고 마지막으로 - 특별한 경우:
직각삼각형의 면적다리 a와 b는 제품의 절반과 같습니다.
정삼각형의 면적에 대한 공식=
= 한 변의 제곱과 세의 루트의 곱의 4분의 1입니다.
면적의 개념
기하학적 도형, 특히 삼각형의 면적 개념은 정사각형과 같은 도형과 연관됩니다. 기하학적 도형의 단위 면적에 대해 우리는 변이 1인 정사각형의 면적을 취합니다. 완전성을 위해 기하학적 도형의 영역 개념에 대한 두 가지 기본 속성을 기억해 보겠습니다.
속성 1:만약에 기하학적 인물동일하면 해당 면적도 동일합니다.
속성 2:모든 그림은 여러 그림으로 나눌 수 있습니다. 또한, 원본 도형의 면적은 모든 구성 도형의 면적의 합과 같습니다.
예를 살펴보겠습니다.
실시예 1
분명히 삼각형의 한 변은 직사각형의 대각선이고 한 변의 길이는 $5$($5$ 셀이 있으므로)이고 다른 한 변은 $6$($6$ 셀이 있으므로)입니다. 따라서 이 삼각형의 면적은 해당 직사각형의 절반과 같습니다. 직사각형의 면적은
그러면 삼각형의 면적은 다음과 같습니다.
답: $15$.
다음으로 헤론의 공식과 정삼각형의 넓이를 사용하여 높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 여러 가지 방법을 고려해 보겠습니다.
높이와 밑변을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법
정리 1
삼각형의 넓이는 한 변의 길이와 그 변의 높이의 곱의 절반으로 구할 수 있습니다.
수학적으로는 다음과 같습니다
$S=\frac(1)(2)αh$
여기서 $a$는 측면의 길이이고, $h$는 측면에 그려진 높이입니다.
증거.
$AC=α$인 삼각형 $ABC$를 생각해 보세요. $BH$ 높이가 이 측면에 그려지며 이는 $h$와 같습니다. 그림 2와 같이 정사각형 $AXYC$까지 만들어 보겠습니다.
직사각형 $AXBH$의 넓이는 $h\cdot AH$이고, 직사각형 $HBYC$의 넓이는 $h\cdot HC$입니다. 그 다음에
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
따라서 속성 2에 따라 필요한 삼각형 면적은 다음과 같습니다.
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
정리가 입증되었습니다.
실시예 2
셀의 면적이 1과 같은 경우 아래 그림에서 삼각형의 면적을 구하십시오.
이 삼각형의 밑변은 $9$와 같습니다($9$는 $9$ 정사각형이므로). 높이도 $9$입니다. 그러면 정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
답: $40.5$.
헤론의 공식
정리 2
삼각형 $α$, $β$, $γ$의 세 변이 주어지면 그 넓이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
여기서 $ρ$는 이 삼각형의 반둘레를 의미합니다.
증거.
다음 그림을 고려하십시오.
피타고라스 정리에 의해 삼각형 $ABH$로부터 우리는 다음을 얻습니다.
피타고라스의 정리에 따르면 삼각형 $CBH$에서 다음을 얻습니다.
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
이 두 관계로부터 우리는 평등을 얻습니다.
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$이므로 $α+β+γ=2ρ$입니다.
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
정리 1에 의해 우리는 다음을 얻습니다.
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
삼각형의 면적을 결정하려면 다른 공식을 사용할 수 있습니다. 모든 방법 중에서 가장 쉽고 자주 사용되는 방법은 높이에 밑면의 길이를 곱한 후 그 결과를 2로 나누는 것입니다. 그러나 이 방법이 유일한 방법은 아닙니다. 아래에서는 다양한 공식을 사용하여 삼각형의 면적을 찾는 방법을 읽을 수 있습니다.
이와 별도로 직사각형, 이등변형 및 정변형과 같은 특정 유형의 삼각형의 면적을 계산하는 방법을 살펴보겠습니다. 각 공식에는 그 본질을 이해하는 데 도움이 되는 간단한 설명이 함께 제공됩니다.
삼각형의 면적을 찾는 보편적인 방법
아래 수식은 특별한 표기법을 사용합니다. 우리는 그것들 각각을 해독할 것입니다:
- a, b, c – 우리가 고려하고 있는 그림의 세 변의 길이입니다.
- r은 삼각형에 내접할 수 있는 원의 반지름입니다.
- R은 주위에 설명할 수 있는 원의 반지름입니다.
- α는 변 b와 c가 이루는 각도의 크기입니다.
- β는 a와 c 사이의 각도의 크기입니다.
- γ는 변 a와 b가 이루는 각도의 크기입니다.
- h는 각도 α에서 변 a로 낮아진 삼각형의 높이입니다.
- p - 변 a, b, c의 합의 절반입니다.
이런 식으로 삼각형의 넓이를 구할 수 있는 이유는 논리적으로 분명합니다. 삼각형은 쉽게 평행사변형으로 완성될 수 있으며, 삼각형의 한 변이 대각선 역할을 합니다. 평행사변형의 면적은 한 변의 길이에 그려진 높이의 값을 곱하여 구합니다. 대각선은 이 조건부 평행사변형을 2개의 동일한 삼각형으로 나눕니다. 따라서 원래 삼각형의 면적은 이 보조 평행사변형 면적의 절반과 같아야 한다는 것이 매우 분명합니다.
S=½ a b sin γ
이 공식에 따르면 삼각형의 면적은 두 변, 즉 a와 b의 길이에 두 변이 이루는 각도의 사인을 곱하여 구합니다. 이 공식은 이전 공식에서 논리적으로 파생되었습니다. 각도 β에서 변 b로 높이를 낮추면 직각삼각형의 성질에 따라 변 a의 길이에 각도 γ의 사인을 곱하면 삼각형의 높이, 즉 h를 얻습니다. .
문제의 그림의 면적은 그 안에 들어갈 수 있는 원의 반경의 절반에 둘레를 곱하여 구합니다. 즉, 반경과 언급된 원의 반지름의 곱을 구합니다.
S= a b c/4R
이 공식에 따르면, 그림의 측면의 곱을 그림 주위에 설명된 원의 반지름 4개로 나누어 필요한 값을 찾을 수 있습니다.
이 공식은 모든 삼각형(사변형, 이등변형, 정변형, 직사각형)의 면적을 결정할 수 있으므로 보편적입니다. 이는 더 복잡한 계산을 사용하여 수행할 수 있으며 이에 대해서는 자세히 설명하지 않겠습니다.
특정 속성을 가진 삼각형 영역
직각 삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 이 그림의 특징은 양면이 동시에 높이라는 것입니다. a와 b가 다리이고 c가 빗변이 되면 면적은 다음과 같습니다.
이등변삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 길이가 a인 두 변과 길이가 b인 한 변이 있습니다. 결과적으로, 그 면적은 변 a의 제곱과 각도 γ의 사인의 곱을 2로 나누어 결정할 수 있습니다.
정삼각형의 면적을 찾는 방법은 무엇입니까? 그 안에서 모든 변의 길이는 a와 같고 모든 각도의 크기는 α입니다. 높이는 변 a의 길이와 루트 3의 곱의 절반과 같습니다. 정삼각형의 면적을 구하려면 변 a의 제곱에 루트 3을 곱하고 다음으로 나누어야 합니다. 4.