고차 파생상품

이번 강의에서는 고차 도함수를 찾는 방법과 "n번째" 도함수에 대한 일반 공식을 작성하는 방법을 배웁니다. 또한, 그러한 파생상품에 대한 라이프니츠 공식이 고려될 것이며, 대중의 요구에 따라 다음의 고차 파생상품이 고려될 것입니다. 암시적 함수. 즉시 미니 테스트를 해볼 것을 제안합니다.

기능은 다음과 같습니다. 그리고 여기에 그 첫 번째 파생물이 있습니다:

이 예에 대해 어려움이나 오해가 있는 경우 제 강좌의 두 가지 기본 기사부터 시작해 보세요. 파생 상품을 찾는 방법은 무엇입니까?그리고 복잡한 함수의 파생. 초등 파생 상품을 마스터한 후 이 강의를 읽어 보시기 바랍니다. 파생상품의 가장 간단한 문제, 특히 우리가 다룬 내용은 다음과 같습니다. 2차 미분.

2차 도함수가 1차 도함수의 도함수라고 추측하는 것조차 어렵지 않습니다.

원칙적으로 2차 도함수는 이미 고차 도함수로 간주됩니다.

마찬가지로: 3차 도함수는 2차 도함수의 도함수입니다.

4차 도함수는 3차 도함수의 도함수입니다.

다섯 번째 파생물: , 그리고 더 높은 차수의 모든 파생물도 0과 같을 것이 분명합니다.

로마 숫자법 외에도 실제로는 다음과 같은 명칭이 자주 사용됩니다.
, "n차"의 미분은 으로 표시됩니다. 이 경우 위 첨자 색인은 대괄호로 묶어야 합니다.- 도함수에서 "y"로부터 도함수를 구별합니다.

때로는 다음과 같은 항목이 있습니다. - 각각 세 번째, 네 번째, 다섯 번째, ..., "n번째" 파생 상품입니다.

두려움과 의심 없이 전진하세요:

실시예 1

함수가 주어졌습니다. 찾다 .

해결책: 당신은 무엇을 말할 수 있습니까 ... - 4차 도함수를 전달합니다 :)

네 개의 스트로크를 적용하는 것은 더 이상 관례가 아니므로 숫자 인덱스로 이동합니다.

답변:

자, 이제 이 질문에 대해 생각해 봅시다. 조건에 따라 4차 도함수가 아니라 예를 들어 20차 도함수를 찾아야 한다면 어떻게 해야 할까요? 3-4-5의 파생어의 경우 (최대, 6~7일)순서에 따라 솔루션이 매우 빠르게 작성되면 우리는 더 높은 차수의 파생 상품을 "얻을" 것입니다. 아, 얼마나 빨리는 아니겠지요. 실제로 20줄을 적지 마세요! 이러한 상황에서는 발견된 여러 도함수를 분석하고 패턴을 확인하고 "n번째" 도함수에 대한 공식을 작성해야 합니다. 따라서 예제 1에서는 이후의 미분마다 추가 "삼중"이 지수 앞에 "점프 아웃"되고 모든 단계에서 "삼중"의 정도가 다음 수와 같다는 것을 이해하기 쉽습니다. 따라서 파생물은 다음과 같습니다.

임의의 자연수는 어디에 있습니까?

그리고 실제로 이면 정확히 1차 도함수를 얻습니다. , if - then 2nd: 등. 따라서 20번째 도함수는 즉시 결정됩니다. - "킬로미터 시트"도 없습니다!

스스로 워밍업하기:

실시예 2

기능을 찾아보세요. 차수 미분을 작성하세요

수업이 끝나면 해결책과 답변이 제공됩니다.

상쾌한 워밍업 후에 위의 솔루션 알고리즘을 실행하는 더 복잡한 예를 고려해 보겠습니다. 강의를 들으신 분들께 시퀀스 제한, 조금 더 쉬울 것입니다:

실시예 3

기능을 찾으십시오.

해결책: 상황을 명확히 하기 위해 몇 가지 파생어를 찾습니다.

우리는 결과 숫자를 곱하기 위해 서두르지 않습니다! ;-)


아마도 충분할 것입니다. ... 조금 과장하기도 했어요.

다음 단계에서는 "n번째" 도함수에 대한 공식을 작성하는 것이 가장 좋습니다. (조건에서 이를 요구하지 않는 즉시 초안을 사용할 수 있습니다). 이를 위해 우리는 얻은 결과를 살펴보고 각 다음 도함수가 얻어지는 패턴을 식별합니다.

먼저, 그들은 서명합니다. 인터리빙은 다음을 제공합니다. "점멸 장치", 첫 번째 도함수는 양수이므로 다음 요소가 일반 공식에 입력됩니다. . 동등한 옵션이 가능하지만 개인적으로 낙천주의자로서 나는 더하기 기호를 좋아합니다 =)

둘째, 분자 "바람"에서 계승, 그리고 미분 수보다 한 단위 "뒤쳐집니다".

셋째, 분자에서 "2"의 거듭제곱이 커지는데, 이는 미분 수와 같습니다. 분모의 정도에 대해서도 마찬가지입니다. 마지막으로:

확인을 위해 예를 들어 다음과 같은 몇 가지 값 "en"을 대체해 보겠습니다.

좋습니다. 이제 실수하는 것은 죄일 뿐입니다.

답변:

DIY 솔루션을 위한 더 간단한 기능:

실시예 4

기능을 찾아보세요.

그리고 더 까다로운 문제는 다음과 같습니다.

실시예 5

기능을 찾아보세요.

절차를 한 번 더 반복해 보겠습니다.

1) 먼저 여러 파생 상품을 찾습니다. 일반적으로 패턴을 파악하는 데는 3~4개면 충분합니다.

2) 그런 다음 컴파일하는 것이 좋습니다. (적어도 초안에서는)"n번째" 파생 - 오류로부터 보호가 보장됩니다. 하지만 없이도 할 수 있습니다. 예를 들어 20차 또는 8차 도함수 등을 정신적으로 추정하고 즉시 기록해 보세요. 더욱이 어떤 사람들은 일반적으로 고려중인 문제를 구두로 해결할 수 있습니다. 그러나 "빠른" 방법에는 문제가 있으므로 안전하게 플레이하는 것이 더 낫다는 점을 기억해야 합니다.

3) 마지막 단계에서 "n번째" 파생어를 확인합니다. "en"(이웃 값보다 더 나은) 값 쌍을 취하고 대체를 수행합니다. 그리고 훨씬 더 신뢰할 수 있는 것은 이전에 발견된 모든 파생 상품을 확인하는 것입니다. 그런 다음 원하는 값(예: 또는)으로 대체하고 결과를 조심스럽게 빗어냅니다.

수업이 끝나면 4번째와 5번째 예제에 대한 간략한 해결책이 제공됩니다.

일부 작업에서는 문제를 방지하기 위해 함수에 약간의 마법을 적용해야 합니다.

실시예 6

해결책: 제안된 함수를 전혀 차별화하고 싶지 않습니다. 왜냐하면 그것이 "나쁜" 분수로 판명되어 후속 파생어를 찾는 것이 매우 어려워지기 때문입니다.

이와 관련하여 예비 변환을 수행하는 것이 좋습니다. 제곱의 차이 공식그리고 로그 속성 :

전혀 다른 문제입니다.

그리고 오랜 친구들:

모든 것이 검토되고 있다고 생각합니다. 두 번째 부분은 부호가 있지만 첫 번째 부분은 부호가 없습니다. 우리는 차수 파생 상품을 구성합니다.

제어:

음, 아름다움을 위해 괄호에서 팩토리얼을 제거합니다.

답변:

독립적인 솔루션에 대한 흥미로운 작업은 다음과 같습니다.

실시예 7

함수의 차수 미분 공식을 작성하세요.

이제 이탈리아 마피아조차도 부러워할 흔들리지 않는 상호 책임에 대해 설명합니다.

실시예 8

함수가 주어졌습니다. 찾다

점 의 18번째 도함수입니다. 단지.

해결책: 먼저, 당연히 를 찾아야 합니다. 가다:

그들은 사인에서 시작하여 사인으로 왔습니다. 더욱 차별화하면 이 주기는 무한대로 계속될 것이 분명하며 다음과 같은 질문이 생깁니다. 18차 도함수를 가장 잘 "얻는" 방법은 무엇입니까?

"아마추어" 방법: 열 오른쪽에 후속 파생 상품의 수를 빠르게 기록합니다.

따라서:

그러나 도함수의 차수가 너무 크지 않으면 작동합니다. 예를 들어 100차 도함수를 구해야 한다면 4의 나눗셈을 사용해야 합니다. 100은 나머지 없이 4로 나눌 수 있으며, 그러한 숫자가 맨 아래 줄에 있다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서 .

그런데 18차 도함수도 비슷한 고려 사항을 통해 결정될 수 있습니다.
두 번째 줄에는 4로 나누어지고 나머지는 2인 숫자가 포함됩니다.

또 다른 좀 더 학문적인 방법은 다음과 같습니다. 사인 주기성그리고 감소 공식. 우리는 사인의 기성 공식 "n번째" 파생물을 사용합니다. , 원하는 숫자가 간단히 대체됩니다. 예를 들어:
(감소 공식 ) ;
(감소 공식 )

우리의 경우:

(1) 사인은 마침표가 있는 주기 함수이므로 인수는 4주기(예:)를 고통 없이 "풀어낼" 수 있습니다.

두 함수의 곱의 차수 미분은 다음 공식으로 찾을 수 있습니다.

특히:

공식을 많이 알수록 이해하는 것이 줄어들기 때문에 특별히 기억할 필요는 없습니다. 아는 것이 훨씬 낫습니다. 뉴턴의 이항식, 라이프니츠의 공식은 그와 매우 유사하기 때문입니다. 글쎄요, 7차 이상의 도함수를 얻은 행운의 사람들은 (정말 가능성이 낮음)강제로 그렇게 될 것입니다. 그러나 때가 되면 조합론- 아직도 해야 해 =)

함수의 3차 도함수를 구해 봅시다. 우리는 라이프니츠 공식을 사용합니다:

이 경우: . 파생 상품은 구두로 쉽게 클릭할 수 있습니다.

이제 우리는 신중하고 신중하게 대체를 수행하고 결과를 단순화합니다.

답변:

독립적인 솔루션에 대한 유사한 작업:

실시예 11

기능 찾기

이전 예에서 "이마에 있는" 솔루션이 여전히 라이프니츠 공식과 경쟁한다면 여기서는 이미 정말 불쾌할 것입니다. 그리고 훨씬 더 불쾌한 - 더 높은 차수의 파생 상품의 경우:

실시예 12

지정된 차수의 미분 찾기

해결책: 첫 번째이자 필수 발언 - 이렇게 결정하는 것은 아마도 필요하지 않을 것입니다 =) =)

함수를 적고 5차까지의 도함수를 찾아봅시다. 나는 오른쪽 열의 파생어가 당신에게 구두로 전달되었다고 가정합니다.

왼쪽 열에서 "실시간" 파생 상품은 빠르게 "종료"되었으며 이는 매우 좋습니다. 라이프니츠 공식에서는 세 항이 0으로 설정됩니다.

나는 기사에 나타난 딜레마에 대해 다시 이야기하겠습니다. 복잡한 파생상품: 결과를 단순화하려면? 원칙적으로는 그대로 둘 수 있습니다. 교사가 확인하는 것이 훨씬 더 쉬울 것입니다. 그러나 그는 결정을 염두에 두어야 할 수도 있습니다. 반면에, 자신의 주도로 단순화하는 것은 대수적 오류로 가득 차 있습니다. 그러나 우리는 "원시적인" 방식으로 얻은 답을 얻었습니다 =) (처음에 있는 링크 참조)그리고 그것이 맞기를 바랍니다:

좋아요, 다 잘 됐어요.

답변:

자기 해결을 위한 행복한 작업:

실시예 13

기능:
a) 직접적인 미분으로 찾는다.
b) 라이프니츠 공식으로 구합니다.
c) 계산하다.

아니요, 저는 새디스트가 아닙니다. 여기서 "a" 지점은 아주 간단합니다 =)

그러나 진지하게, 연속적인 차별화에 의한 "직접"해법은 "생명권"도 가지고 있습니다. 어떤 경우에는 그 복잡성이 라이프니츠 공식을 적용하는 복잡성과 비슷합니다. 적합하다고 생각되는 대로 사용하십시오. 이는 작업을 계산하지 않는 근거가 될 가능성이 없습니다.

수업이 끝나면 짧은 해결책과 답변이 제공됩니다.

마지막 단락을 올리려면 다음을 수행할 수 있어야 합니다. 암시적 함수 차별화:

암시적 함수의 고차 도함수

우리 중 많은 사람들이 인생의 오랜 시간, 며칠, 몇 주를 공부하며 보냈습니다. 서클, 포물선, 과장법– 때로는 실제 처벌처럼 보이기도 했습니다. 그러니 복수하고 제대로 차별화하자!

"학교" 포물선부터 시작해 보겠습니다. 표준 위치:

실시예 14

방정식이 제공됩니다. 찾다 .

해결책: 첫 번째 단계는 익숙합니다.

함수와 그 파생어가 암시적으로 표현된다는 사실은 문제의 본질을 바꾸지 않으며, 2차 파생어는 1차 파생어의 파생어입니다.

그러나 게임의 규칙이 있습니다. 일반적으로 2차 이상의 파생 상품이 표현됩니다. "x"와 "y"를 통해서만. 따라서 우리는 결과 2차 도함수로 대체합니다.

3차 도함수는 2차 도함수의 도함수입니다.

마찬가지로 다음과 같이 대체해 보겠습니다.

답변:

"학교" 과장법 표준 위치- 독립적인 작업의 경우:

실시예 15

방정식이 제공됩니다. 찾다 .

2차 미분과 그 결과는 "x" / "y"로만 표현되어야 한다는 점을 반복합니다!

수업이 끝나면 짧은 해결책과 답변이 제공됩니다.

아이들의 장난 후에는 독일 포르노 @fia를 살펴보고, 더 많은 성인용 사례를 살펴보겠습니다. 여기서 우리는 또 다른 중요한 해결책을 배웁니다.

실시예 16

타원그 자신.

해결책: 첫 번째 도함수를 찾습니다.

이제 멈추고 다음 요점을 분석해 보겠습니다. 이제 분수를 구별해야 하는데 이는 전혀 고무적이지 않습니다. 이 경우에는 물론 간단하지만 실제 문제에는 그러한 선물이 몇 개 밖에 없습니다. 번거로운 파생 상품을 찾는 것을 피할 수 있는 방법이 있나요? 존재한다! 우리는 방정식을 취하고 1차 도함수를 찾을 때와 동일한 기술을 사용합니다. 두 부분 모두에 스트로크를 "걸어" 놓습니다.

2차 미분은 과 를 통해서만 표현되어야 하므로 이제 (지금 바로) 1차 미분을 없애는 것이 편리합니다. 이를 위해 결과 방정식을 다음과 같이 대체합니다.

불필요한 기술적 어려움을 피하기 위해 두 부분에 다음을 곱합니다.

그리고 마지막 단계에서만 분수를 작성합니다.

이제 원래 방정식을 살펴보고 얻은 결과가 단순화될 수 있음을 확인합니다.

답변:

특정 시점에서 2차 도함수의 값을 찾는 방법 (물론 타원에 속함), 예를 들어 그 시점에서 ? 아주 쉽게! 이 주제는 이미 강의에서 다루었습니다. 정규방정식: 2차 미분 표현에서 대체해야 합니다. :

물론 세 가지 경우 모두 명시적으로 주어진 함수를 가져와서 차별화할 수 있지만 정신적으로는 루트가 포함된 두 함수를 사용할 준비를 합니다. 제 생각에는 이 솔루션은 "암시적으로" 수행하는 것이 더 편리합니다.

자체 솔루션의 최종 예:

실시예 17

암시적 함수 찾기

작품의 텍스트는 이미지와 수식 없이 배치됩니다.
전체 버전의 작업은 PDF 형식의 "작업 파일" 탭에서 볼 수 있습니다.

"나도 뉴턴의 이항식!»

마스터와 마가리타 중에서

“파스칼의 삼각형은 너무 단순해서 열 살짜리 아이도 쓸 수 있습니다. 동시에, 그것은 무한한 보물을 숨기고 있으며, 언뜻 보기에는 공통점이 전혀 없는 수학의 다양한 측면을 함께 연결합니다. 이러한 특이한 속성을 통해 우리는 파스칼의 삼각형을 모든 수학에서 가장 우아한 도식 중 하나로 간주할 수 있습니다.

마틴 가드너.

작업의 목표:약식 곱셈의 공식을 일반화하고 문제 해결에 적용하는 방법을 보여줍니다.

작업:

1) 이 문제에 관한 정보를 연구하고 체계화합니다.

2) 뉴턴의 이항식 사용에 대한 문제 예와 도의 합과 차에 대한 공식을 분석합니다.

연구 대상:뉴턴의 이항식, 각도의 합과 차이에 대한 공식.

연구 방법:

교육 및 대중 과학 문헌, 인터넷 리소스를 활용합니다.

계산, 비교, 분석, 유추.

관련성.사람은 종종 어떤 물건을 배열하는 데 가능한 모든 방법의 수나 어떤 행동을 수행하는 데 가능한 모든 방법의 수를 세어야 하는 문제를 처리해야 합니다. 사람이 선택해야 하는 다양한 경로나 옵션이 추가되어 다양한 조합이 만들어집니다. 그리고 조합론이라고 불리는 수학의 전체 분야는 이 경우나 저 경우에 얼마나 많은 조합이 있는지에 대한 질문에 대한 답을 찾기 위해 바쁩니다.

많은 전문 분야의 대표자는 과학자-화학자, 생물학자, 디자이너, 파견자 등 조합 수량을 처리해야 합니다. 최근 몇 년간 조합론에 대한 관심이 높아지는 것은 사이버네틱스와 컴퓨터 기술의 급속한 발전 때문입니다.

소개

대담자가 자신이 직면한 작업의 복잡성을 과장한다는 점을 강조하고 싶을 때 그들은 "뉴턴의 이항식도 필요합니다! "라고 말합니다. 여기 뉴턴의 이항식이 있습니다. 어렵지만 어떤 문제가 있습니까? 수학에 관심이 없는 사람들이라도 뉴턴의 이항식에 대해서는 들어본 적이 있을 것입니다.

"이항"이라는 단어는 이항을 의미합니다. 두 항의 합. 학교 과정에서 소위 약식 곱셈 공식이 알려져 있습니다.

( ㅏ+ 비) 2 =a 2 + 2ab + b 2 , (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 .

이러한 공식을 일반화한 것이 뉴턴의 이항식(Newton's binomial Formula)이라는 공식입니다. 제곱의 차이, 세제곱의 합과 차이를 인수분해하는 공식은 학교에서도 사용됩니다. 다른 학위에 대한 일반화가 있습니까? 예, 그러한 공식이 있으며, 가분성 증명, 분수 감소, 대략적인 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 자주 사용됩니다.

일반화 공식에 대한 연구는 연역적 수학적 사고와 일반적인 정신 능력을 개발합니다.

섹션 1. 뉴턴의 이항 공식

조합과 그 속성

X를 n개의 요소로 구성된 집합이라고 가정합니다. k 요소를 포함하는 집합 X의 모든 부분 집합 Y를 n의 k 요소와 k ≤ n의 조합이라고 합니다.

n개 중 k개 요소의 서로 다른 조합 수는 Cnk로 표시됩니다. 조합론의 가장 중요한 공식 중 하나는 숫자 C n k에 대한 다음 공식입니다.

다음과 같이 명백한 약어 뒤에 작성할 수 있습니다.

특히,

이는 집합 X에 0개 요소의 하위 집합이 하나만 있다는 사실과 매우 일치합니다. 즉, 빈 하위 집합입니다.

숫자 C n k는 여러 가지 놀라운 특성을 가지고 있습니다.

공식 С n k = С n - k n이 유효합니다. (3)

식 (3)의 의미는 X의 모든 k 멤버 하위 집합 집합과 X의 모든 (n - k) 멤버 하위 집합 집합 사이에 일대일 대응이 있다는 것입니다. 이 대응 관계를 설정하려면, Y의 각 k-멤버 하위 집합이 집합 X의 보수와 일치하는 것으로 충분합니다.

공식 С 0 n + С 1 n + С 2 n + ... + С n n = 2 n이 유효합니다(4)

왼쪽의 합은 집합 X의 모든 부분 집합의 수를 나타냅니다(C 0 n은 0-구성원 부분 집합의 수, C 1 n은 단일 구성 요소 부분 집합의 수 등).

임의의 k에 대해 1≤ k≤ n , 평등은 다음과 같습니다.

C k n \u003d C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

이 평등은 공식 (1)을 사용하여 쉽게 얻을 수 있습니다. 물론,

1.2. 뉴턴의 이항식 유도

이항식의 힘을 고려하십시오. +비 .

n = 0, (a +비 ) 0 = 1

n = 1, (a +비 ) 1 = 1a+1비

n = 2(a +비 ) 2 = 1a 2 + 2a비 +1 비 2

n = 3(a +비 ) 3 = 1a 3 + 3아 2 비 + 3아비 2 +1 비 3

n = 4(a +비 ) 4 = 1a 4 + 4a 3 비 + 6a 2 비 2 +4a비 3 +1 비 4

n=5(a +비 ) 5 = 1a 5 + 5a 4 비 + 10a 3 비 2 + 10a 2 비 3 + 5a비 4 + 1 비 5

우리는 다음과 같은 규칙성을 주목합니다.

결과 다항식의 항 수는 이항식의 지수보다 1 더 큽니다.

첫 번째 항의 지수는 n에서 0으로 감소하고, 두 번째 항의 지수는 0에서 n으로 증가합니다.

모든 단항식의 차수는 조건의 이항식 차수와 같습니다.

각 단항식은 다양한 거듭제곱과 특정 숫자(이항 계수)로 된 첫 번째와 두 번째 표현의 곱입니다.

확장의 시작과 끝에서 등거리에 있는 이항 계수는 동일합니다.

이러한 공식의 일반화는 뉴턴의 이항 공식이라고 불리는 다음 공식입니다.

(ㅏ + 비 ) N = 씨 0 N ㅏ N 비 0 + 씨 1 N ㅏ N -1 비 + 씨 2 N ㅏ N -2 비 2 + ... + 씨 N -1 N ab N -1 + 씨 N N ㅏ 0 비 N . (6)

이 공식에서 N임의의 자연수가 될 수 있습니다.

우리는 공식 (6)을 유도합니다. 우선 다음과 같이 작성해 보겠습니다.

(ㅏ + 비 ) N = (ㅏ + 비 )(ㅏ + 비 ) ... (ㅏ + 비 ), (7)

여기서 곱할 괄호 수는 다음과 같습니다. N. 합계에 합계를 곱하는 일반적인 규칙에 따르면 식 (7)은 가능한 모든 곱의 합계와 동일하며 다음과 같이 구성될 수 있습니다. 합계의 첫 번째 항 a + b두 번째 합계의 항을 곱함 a+b, 세 번째 합계의 모든 용어 등

지금까지 말한 바에 따르면, 표현에 포함된 용어는 다음과 같습니다. (ㅏ + 비 ) N문자로 구성된 길이 n의 문자열 일치(일대일) a와 b.용어 중에는 유사한 용어가 있습니다. 그러한 멤버가 동일한 수의 문자를 포함하는 문자열에 해당하는 것이 분명합니다. ㅏ. 하지만 문자의 정확히 k배를 포함하는 줄의 수는 ㅏ는 Cnk와 같습니다. 따라서 문자 a를 포함하는 모든 항의 인수와 정확히 k배의 합은 Сn k와 같습니다. ㅏ N - 케이 비 케이 . k는 0, 1, 2, ..., n-1, n 값을 취할 수 있으므로 공식 (6)은 우리의 추론에 따릅니다. (6)은 더 짧게 작성할 수 있습니다. (8)

공식 (6)은 뉴턴의 이름으로 불리지만 실제로는 뉴턴 이전에도 발견되었습니다(예를 들어 파스칼은 알고 있었습니다). 뉴턴의 장점은 정수가 아닌 지수의 경우에 대해 이 공식의 일반화를 발견했다는 사실에 있습니다. 1664-1665년의 I. Newton이었습니다. 임의의 분수 및 음수 지수에 대한 이항의 정도를 표현하는 공식을 도출했습니다.

식 (6)에 포함된 숫자 C 0 n , C 1 n , ..., C n n 은 일반적으로 이항 계수라고 불리며 다음과 같이 정의됩니다.

공식 (6)으로부터 이러한 계수의 여러 특성을 얻을 수 있습니다. 예를 들어, ㅏ=1, b = 1, 우리는 다음을 얻습니다:

2n = C0n + C1n + C2n + C3n + ... + Cnn,

저것들. 공식 (4). 우리가 넣으면 ㅏ= 1, b = -1이면 다음과 같습니다.

0 \u003d C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

또는 С 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

이는 전개의 짝수 항 계수의 합이 전개의 홀수 항 계수의 합과 같다는 것을 의미합니다. 각각은 2n -1 과 같습니다.

확장의 끝에서 등거리에 있는 항의 계수는 동일합니다. 이 속성은 다음 관계식을 따릅니다. С n k = С n n - k

흥미로운 특별한 사례

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

또는 더 짧음 (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. 다항식 정리

정리.

증거.

괄호를 연 후 단항식을 얻으려면 해당 괄호를 가져오는 괄호, 괄호를 가져오는 괄호 등을 선택해야 합니다. 그리고 그것이 취해진 괄호. 유사한 항을 축소한 후 이 단항식의 계수는 그러한 선택이 이루어질 수 있는 방법의 수와 같습니다. 선택 순서의 첫 번째 단계는 여러 가지 방식으로 수행될 수 있으며, 두 번째 단계는 세 번째 단계 등, 세 번째 단계는 여러 가지 방식으로 수행될 수 있습니다. 원하는 계수는 제품과 같습니다.

섹션 2. 고차 파생상품.

고차 파생 상품의 개념.

함수를 어떤 구간에서 미분 가능하게 하세요. 그러면 그 파생물은 일반적으로 다음에 따라 달라집니다. 엑스즉, 다음의 함수이다. 엑스. 그러므로 이에 대하여 우리는 파생상품의 존재에 대한 의문을 다시 제기할 수 있다.

정의 . 1차 미분의 미분을 다음과 같이 부릅니다. 2 차 도함수 또는 2 차 도함수의 파생물이며 기호로 표시됩니다. 즉

정의 . 2차 도함수의 도함수는 3차 도함수 또는 3차 도함수라고 하며, 또는 기호로 표시됩니다.

정의 . 유도체N 번째 순서기능 도함수의 첫 번째 도함수라고 합니다(N -1) 이 기능의 차수는 다음 기호로 표시됩니다.

정의 . 첫 번째 차수보다 높은 차수의 도함수를 호출합니다. 더 높은 파생 상품.

논평. 마찬가지로 다음 공식을 얻을 수 있습니다. N- 함수의 도함수:

매개변수적으로 정의된 함수의 2차 도함수

함수가 방정식에 의해 매개변수적으로 제공되는 경우 2차 도함수를 찾으려면 1차 도함수에 대한 표현식을 독립 변수의 복소 함수로 차별화해야 합니다.

그때부터

그리고 그걸 고려하면,

우리는 그것을 얻습니다.

마찬가지로 3차 도함수도 구할 수 있습니다.

합, 곱, 몫의 미분입니다.

미분은 미분에 독립 변수의 미분을 곱하여 얻어지기 때문에 기본 기본 함수의 미분과 미분을 찾는 규칙을 알면 미분을 찾는 유사한 규칙을 얻을 수 있습니다.

1 0 . 상수의 미분은 0입니다..

2 0 . 유한한 수의 미분 가능한 함수의 대수적 합의 미분은 이러한 함수의 미분의 대수적 합과 같습니다 .

3 0 . 두 개의 미분 가능한 함수의 곱의 미분은 첫 번째 함수의 곱과 두 번째 및 두 번째 함수의 미분, 첫 번째 함수의 미분의 합과 같습니다. .

결과. 상수 인자는 미분의 부호에서 빼낼 수 있습니다.

2.3. 매개변수적으로 주어진 기능과 차별화.

정의 . 두 변수가 모두 있는 경우 함수가 매개변수적으로 정의되었다고 합니다. 엑스 그리고 y는 동일한 보조 변수(매개변수)의 단일 값 함수로 각각 별도로 정의됩니다.티 :

어디티 내의 변화.

논평 . 원과 타원의 매개변수 방정식을 제시합니다.

a) 원점과 반지름을 중심으로 하는 원 아르 자형매개변수 방정식이 있습니다:

b) 타원에 대한 매개변수 방정식을 작성해 보겠습니다.

매개변수를 제외하면 티고려 중인 선의 매개변수 방정식으로부터 표준 방정식에 도달할 수 있습니다.

정리 . 기능의 경우 인수의 y x는 방정식에 의해 매개변수적으로 제공됩니다. 여기서 와 는 다음에 대해 미분 가능합니다.티 기능을 수행한 다음.

2.4. 라이프니츠 공식

파생상품을 찾으려면 N두 함수의 곱의 차수인 라이프니츠 공식은 실용적으로 매우 중요합니다.

허락하다 유그리고 V- 변수의 일부 함수 엑스임의의 순서의 파생 상품이 있고 와이 = 자외선. 표현하다 N- 함수의 도함수를 통한 도함수 유그리고 V .

우리는 지속적으로

2차 및 3차 도함수에 대한 표현과 각각 2차 및 3차 뉴턴 이항식의 전개 사이의 유사성을 쉽게 알 수 있지만 지수 대신 도함수의 순서를 결정하는 숫자가 있습니다. 함수 자체는 "0차 도함수"로 간주될 수 있습니다. 이를 고려하여 라이프니츠 공식을 얻습니다.

이 공식은 수학적 귀납법으로 증명될 ​​수 있습니다.

섹션 3. 라이프니츠 공식의 적용.

두 함수의 곱의 파생물을 계산하기 위한 공식의 순차적 적용을 우회하여 두 함수의 곱으로부터 임의의 차수의 파생물을 계산하려면 다음을 사용합니다. 라이프니츠 공식.

이 공식을 사용하여 두 함수 곱의 n차 도함수를 계산하는 예를 고려해 보세요.

실시예 1

함수의 2차 도함수 찾기

정의에 따르면, 2차 도함수는 1차 도함수의 1차 도함수입니다. 즉,

그러므로 우리는 먼저 다음 식에 따라 주어진 함수의 1차 도함수를 찾습니다. 차별화 규칙그리고 사용 파생 테이블:

이제 우리는 1차 도함수의 도함수를 찾습니다. 이는 원하는 2차 도함수입니다.

답변:

실시예 2

함수의 2차 도함수 찾기

해결책.

-차 도함수로 일반화될 수 있는 패턴을 확립하기 위해 주어진 함수의 순서에 따라 첫 번째, 두 번째, 세 번째 등의 도함수를 순차적으로 찾아보겠습니다.

우리는 1차 미분을 다음과 같이 찾습니다. 몫의 미분:

여기서 표현식을 숫자의 계승이라고 합니다. 숫자의 계승은 1부터 숫자의 곱과 같습니다. 즉,

2차 도함수는 1차 도함수의 1차 도함수, 즉

3차 미분:

4차 파생물:

규칙성에 유의하십시오. 분자에는 도함수의 차수와 동일한 숫자의 계승이 포함되어 있고 분모에는 도함수의 차수보다 1이 더 많은 거듭제곱의 표현식이 포함되어 있습니다.

답변.

실시예 3

한 점에서 함수의 3차 도함수 값을 찾습니다.

해결책.

에 따르면 고차 파생상품 표, 우리는 다음을 가지고 있습니다 :

이 예에서, 즉, 우리는 다음을 얻습니다.

연속적으로 도함수를 찾아도 비슷한 결과를 얻을 수 있다는 점에 유의하세요.

주어진 지점에서 3차 도함수는 다음과 같습니다.

답변:

실시예 4

함수의 2차 도함수 찾기

해결책.먼저, 첫 번째 도함수를 구해 봅시다:

2차 도함수를 찾기 위해 1차 도함수에 대한 표현식을 다시 미분합니다.

답변:

실시예 5

찾기

주어진 함수는 두 함수의 곱이므로 라이프니츠 공식을 적용하여 4차 도함수를 찾는 것이 좋습니다.

우리는 모든 도함수를 찾고 항의 계수를 계산합니다.

1) 항에 대한 계수를 계산합니다.

2) 함수의 도함수를 찾습니다.

3) 함수의 도함수를 찾습니다.

답변:

실시예 6

함수 y=x 2 cos3x가 주어졌습니다. 3차 도함수를 구합니다.

u=cos3x , v=x 2라고 하자 . 그러면 라이프니츠 공식에 따르면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

이 표현식의 파생어는 다음과 같습니다.

(cos3x)'=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)'''=0.

따라서 주어진 함수의 3차 도함수는 다음과 같습니다.

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

실시예 7

파생 상품 찾기 N -차수 함수 y=x2cosx.

우리는 라이프니츠 공식을 사용하여 다음과 같이 설정합니다.당신=cosx, v=x 2 . 그 다음에

급수의 나머지 항은 0과 같습니다. 왜냐하면 i>2인 경우 (x2)(i)=0입니다.

파생상품 n -차 코사인 함수:

따라서 우리 함수의 미분은 다음과 같습니다.

결론

학교는 소위 약식 곱셈 공식을 연구하고 사용합니다. 두 표현의 합과 차이의 제곱과 큐브, 제곱의 차이, 두 표현의 큐브의 합과 차이를 인수분해하는 공식입니다. 이러한 공식을 일반화한 것이 뉴턴 이항식(Newton binomial Formula)이라 불리는 공식과 거듭제곱의 합과 차를 인수분해하는 공식이 있습니다. 이러한 공식은 가분성 증명, 분수 감소, 대략적인 계산 등 다양한 문제를 해결하는 데 자주 사용됩니다. 뉴턴의 이항식과 밀접한 관련이 있는 파스칼 삼각형의 흥미로운 성질을 고찰합니다.

이 논문은 주제에 대한 정보를 체계화하고 뉴턴의 이항식과 도의 합과 차에 대한 공식을 사용하는 작업의 예를 제공합니다. 이 작업은 수학계의 작업뿐만 아니라 다음과 같은 용도로 사용될 수 있습니다. 자율 학습수학에 관심이 있는 사람.

사용된 소스 목록

1. Vilenkin N.Ya. 조합론 -ed. "과학". -엠., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. 대수학과 수학적 분석의 시작. 10학년: 교과서. 일반 교육용 조직의 기본 및 고급 수준 - M.: Education, 2014. - 431 p.

3. 통계, 조합론 및 확률 이론의 문제를 해결합니다. 7-9 셀 / 작성자 - 컴파일러 V.N. Studenetskaya. -에드. 두 번째, 수정됨 - 볼고그라드: 교사, 2009

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. 대수 방정식 더 높은 학위/ 대학 간 준비 부서 학생들을위한 방법론 안내서. - 상트페테르부르크, 2001.

5. 샤리진 I.F. 수학 선택 과목: 문제 해결. 10개 셀에 대한 교과서입니다. 중고등 학교. - M .: 계몽, 1989.

6.과학과 생명, 뉴턴의 이항식과 파스칼의 삼각형[전자자원]. - 접근 모드: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

라이프니츠 공식 n 번째 계산두 함수의 곱의 파생물. 그 증거는 두 가지 방법으로 제공됩니다. n차 도함수를 계산하는 예를 고려합니다.

콘텐츠

또한보십시오: 두 함수의 곱의 파생

라이프니츠 공식

라이프니츠 공식을 사용하여 두 함수 곱의 n차 도함수를 계산할 수 있습니다. 다음과 같습니다.
(1) ,
어디
이항 계수입니다.

이항 계수는 와 의 거듭제곱으로 이항을 확장한 계수입니다.
.
또한 숫자는 n 에서 k 까지의 조합 수입니다.

라이프니츠 공식의 증명

해당되는 두 함수의 곱의 미분 공식 :
(2) .
식 (2)를 다음과 같은 형식으로 다시 작성해 보겠습니다.
.
즉, 한 함수는 x 변수에 의존하고 다른 함수는 y 변수에 의존한다고 생각합니다. 계산이 끝나면 이라고 가정합니다. 그러면 이전 공식은 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
(3) .
도함수는 항의 합과 같고 각 항은 두 함수의 곱이므로 더 높은 차수의 도함수를 계산하려면 규칙 (3)을 일관되게 적용할 수 있습니다.

그런 다음 n차 도함수에 대해 다음을 얻습니다.

.
이를 감안할 때 라이프니츠 공식은 다음과 같습니다.
(1) .

유도에 의한 증명

우리는 수학적 귀납법을 통해 라이프니츠 공식의 증명을 제시합니다.

라이프니츠 공식을 다시 작성해 보겠습니다.
(4) .
n = 1인 경우 다음이 있습니다.
.
이것은 두 함수의 곱의 미분 공식입니다. 그녀는 공정하다.

n차 도함수에 대해 식 (4)가 유효하다고 가정해보자. 도함수 n +에 대해 유효함을 증명해 보겠습니다. 1 -번째 주문.

차별화 (4):
;



.
그래서 우리는 다음을 발견했습니다:
(5) .

(5)를 대체하고 다음을 고려하십시오.

.
이는 식 (4)가 도함수 n +에 대해 동일한 형태를 가짐을 보여줍니다. 1 -번째 주문.

따라서 공식 (4)는 n =에 유효합니다. 1 . 이것이 어떤 숫자 n = m에 대해 참이라는 가정으로부터 n = m +에 대해서도 참이라는 결론이 나옵니다. 1 .
라이프니츠 공식이 입증되었습니다.

예

함수의 n차 도함수 계산
.

라이프니츠 공식을 적용해보자
(2) .
우리의 경우
;
.

에 의해 파생 테이블우리는:
.
적용하다 삼각 함수의 속성 :
.
그 다음에
.
이는 사인 함수의 미분으로 인해 에 의한 이동이 발생함을 보여줍니다. 그 다음에
.

우리는 함수의 파생어를 찾습니다.
;
;
;
, .

의 경우 라이프니츠 공식의 처음 세 항만 0이 아닙니다. 이항 계수 찾기.
;
.

라이프니츠 공식에 따르면 다음과 같습니다.

.

또한보십시오:

적용된 문제의 해법은 적분 계산으로 축소되지만 이를 정확하게 수행하는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 때로는 어느 정도의 정확도(예: 1000분의 1)로 정적분의 값을 알아야 하는 경우가 있습니다.

필요한 정확도로 특정 적분의 대략적인 값을 찾아야 하는 작업이 있으며 Simposn 방법, 사다리꼴, 직사각형과 같은 수치 통합이 사용됩니다. 모든 경우에 특정 정확도로 계산할 수 있는 것은 아닙니다.

이 기사에서는 뉴턴-라이프니츠 공식의 적용을 고려합니다. 이는 정적분을 정확하게 계산하는 데 필요합니다. 자세한 예를 들어 정적분에서 변수의 변화를 고려하고, 부분적분을 했을 때 정적분의 값을 찾아보겠습니다.

뉴턴-라이프니츠 공식

정의 1

함수 y = y (x)가 세그먼트 [ a ; b ], 그리고 F (x)는 이 세그먼트 기능의 역도함수 중 하나입니다. 뉴턴-라이프니츠 공식공정한 것으로 간주됩니다. ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) 처럼 쓰자.

이 공식은 고려됩니다 적분법의 기본 공식.

이 공식을 증명하려면 사용 가능한 변수 상한과의 적분 개념을 사용해야 합니다.

함수 y = f (x)가 세그먼트 [ a ; b ] 이면 인수 x ∈ a 의 값; b 이고 적분은 ∫ a x f (t) d t 형식을 가지며 상한의 함수로 간주됩니다. ∫ a x f (t) d t = Φ (x) 형식을 취하는 함수의 표기법을 받아들여야 하며, 이는 연속적이며 ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = 형식의 부등식입니다. f(x)는 유효합니다.

우리는 함수 Φ (x)의 증가가 인수 Δ x의 증가에 해당한다고 고정합니다. 정적분의 다섯 번째 주요 속성을 사용하여 다음을 얻어야 합니다.

Φ (x + Δ x) - Φ x = ∫ a x + Δ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + Δ x f (t) d t = f (c) x + Δ x - x = f(c) Δx

여기서 값 c ∈ x ; x + Δx .

우리는 등식을 Φ (x + Δ x) - Φ (x) Δ x = f (c) 형식으로 고정합니다. 함수의 미분을 정의하면 Δ x → 0으로 한계까지 전달해야하며 다음 형식의 공식을 얻습니다. [ a ; b ] 그렇지 않으면 표현식을 작성할 수 있습니다

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C , 여기서 C 값은 일정합니다.

정적분의 첫 번째 성질을 이용하여 F(a)를 계산해 보겠습니다. 그러면 우리는 그것을 얻습니다

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C , 따라서 C = F (a) 입니다. 결과는 F(b)를 계산할 때 적용 가능하며 다음을 얻습니다.

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a) 즉, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . 평등은 뉴턴-라이프니츠 공식 ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) 를 증명합니다.

함수의 증분은 F x a b = F(b) - F(a) 로 간주됩니다. 표기법을 사용하면 뉴턴-라이프니츠 공식은 ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) 가 됩니다.

공식을 적용하려면 세그먼트 [ a ; b ] , 이 세그먼트에서 역도함수 증가분을 계산합니다. Newton-Leibniz 공식을 사용한 계산의 몇 가지 예를 고려하십시오.

실시예 1

뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 정적분 ∫ 1 3 x 2 d x를 계산합니다.

해결책

y = x 2 형식의 피적분 함수가 구간 [ 1 ; 3 ] , 그러면 이 구간에서 와 가 적분 가능합니다. 부정 적분 표에 따르면 함수 y \u003d x 2에는 x의 모든 실수 값에 대한 역도함수 세트가 있음을 알 수 있습니다. 이는 x ∈ 1을 의미합니다. 3은 F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C 로 작성됩니다. C \u003d 0으로 역도함수를 취해야 하며, 그러면 F(x) \u003d x 3 3을 얻습니다.

Newton-Leibniz 공식을 사용하여 정적분의 계산이 ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 형식을 취한다는 것을 알아봅시다.

답변:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

실시예 2

뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하여 정적분 ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x를 계산합니다.

해결책

주어진 함수는 세그먼트 [-1; 2 ], 이는 통합 가능함을 의미합니다. 미분 부호 하에서 합산하는 방법을 사용하여 부정 적분 ∫ x e x 2 + 1 d x의 값을 찾아야 하며, 그러면 ∫ x e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d (x 2 + 1 ) = 12e x 2+1+C.

따라서 우리는 모든 x , x ∈ - 1 에 대해 유효한 함수 y = x · e x 2 + 1 의 역도함수 세트를 갖게 됩니다. 2.

C=0에서 역도함수를 구하고 뉴턴-라이프니츠 공식을 적용하는 것이 필요합니다. 그러면 우리는 다음과 같은 형태의 표현을 얻습니다.

∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

답변:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

실시예 3

적분 ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x 와 ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x 를 계산합니다.

해결책

세그먼트 - 4; - 1 2는 적분 기호 아래의 함수가 연속적이라는 것을 의미하며, 이는 적분 가능함을 의미합니다. 여기서 우리는 함수 y = 4 x 3 + 2 x 2 의 역도함수 집합을 찾습니다. 우리는 그것을 얻습니다

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

역도함수 F(x) \u003d 2 x 2 - 2 x를 취한 다음 Newton-Leibniz 공식을 적용하여 적분을 구하고 이를 계산합니다.

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

두 번째 적분 계산으로 전환합니다.

세그먼트에서 [ - 1 ; 1 ] 우리는 lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + 때문에 피적분 함수가 무한한 것으로 간주된다는 것을 알 수 있으며, 이로부터 세그먼트의 적분성에 필요한 조건이 따릅니다. 그러면 F (x) = 2 x 2 - 2 x 는 구간 [ - 1 ; 1 ] , O점은 세그먼트에 속하지만 정의 영역에는 포함되지 않기 때문입니다. 이는 구간 [ - 1 ; 1 ] .

답: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,구간 [ - 1 ; 1 ] .

뉴턴-라이프니츠 공식을 사용하기 전에 정적분의 존재에 대해 정확히 알아야 합니다.

정적분에서 변수의 변화

함수 y = f (x)가 정의되고 세그먼트 [ a ; b ] , 기존 세트 [ a ; b ]는 구간 α에 정의된 함수 x = g(z)의 범위로 간주됩니다. g(α) = a이고 g β = b인 기존 연속 도함수를 사용하면 ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z 를 얻습니다.

이 공식은 적분 ∫ a b f (x) d x 를 계산해야 할 때 사용됩니다. 여기서 부정 적분은 ∫ f (x) d x 형식을 가지며 대체 방법을 사용하여 계산합니다.

실시예 4

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x 형식의 정적분을 계산합니다.

해결책

피적분은 적분 구간에서 연속적인 것으로 간주됩니다. 이는 정적분이 존재함을 의미합니다. 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2 라고 표기해 봅시다. x \u003d 9 값은 z \u003d 2 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3을 의미하고 x \u003d 18의 경우 z \u003d 2 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, g α \를 얻습니다. u003d g (3) \u003d 9 , g β = g 3 3 = 18 . 얻은 값을 공식 ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z에 대입하면 다음을 얻습니다.

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 z z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9일 z

부정 적분 표에 따르면, 함수 2 z 2 + 9의 역도함수 중 하나가 2 3 a r c t g z 3 값을 취한다는 것을 알 수 있습니다. 그런 다음 Newton-Leibniz 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 1 8

공식 ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z 를 사용하지 않고도 결과를 찾을 수 있습니다.

대체 방법이 ∫ 1 x 2 x - 9 d x 형식의 적분을 사용하는 경우 결과 ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C 에 도달할 수 있습니다.

여기에서 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 계산을 수행하고 정적분을 계산합니다. 우리는 그것을 얻습니다

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

결과는 일치했습니다.

답: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

정적분 계산 시 부분별 통합

세그먼트에 있는 경우 [ a ; b ] 함수 u (x) 및 v (x)는 정의되고 연속적이며 1차 도함수 v " (x) u (x)는 적분 가능하므로 이 간격에서 적분 가능 함수 u " (x) v ( x) 평등 ∫ a b v " (x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x는 참입니다.

그런 다음 공식을 사용할 수 있으며 적분 ∫ a b f (x) d x 를 계산해야 하며 ∫ f (x) d x 부분별 적분을 사용하여 이를 찾아야 했습니다.

실시예 5

정적분 ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x 를 계산합니다.

해결책

함수 x sin x 3 + π 6은 세그먼트 - π 2에 통합 가능합니다. 3 π 2 이므로 연속입니다.

u (x) \u003d x, d (v (x)) \u003d v "(x) d x \u003d sin x 3 + π 6 d x, d (u (x)) \u003d u "(x) d x \u003d d x 및 v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . 공식 ∫ a b v "(x) u (x) d x = (u (x) v (x)) a b - ∫ a b u " (x) v (x) d x 우리는 그것을 얻습니다

∫ - π 2 3 π 2 x 죄 x 3 + π 6 d x = - 3 x cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x \u003d \u003d - 3 3 π 2 cos π 2 + π 6 - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 죄 π 2 + π 6 - 죄 - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

예제의 해결 방법은 다른 방법으로 수행할 수 있습니다.

뉴턴-라이프니츠(Newton-Leibniz) 공식을 사용하여 부품별 적분을 사용하여 함수 x sin x 3 + π 6의 역도함수 집합을 찾습니다.

∫ x sin x x 3 + π 6 d x = u = x, d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 사인코사인 x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 사인 - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

답: ∫ x sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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