Videokursā “Saņem A” iekļautas visas tēmas, kas nepieciešamas, lai sekmīgi nokārtotu vienoto valsts eksāmenu matemātikā ar 60-65 punktiem. Pilnīgi visi profila vienotā valsts eksāmena matemātikas uzdevumi 1-13. Piemērots arī matemātikas vienotā valsts eksāmena kārtošanai. Ja vēlies vienoto valsts eksāmenu nokārtot ar 90-100 punktiem, 1.daļa jāatrisina 30 minūtēs un bez kļūdām!
Sagatavošanas kurss Vienotajam valsts eksāmenam 10.-11.klasei, kā arī skolotājiem. Viss, kas nepieciešams, lai atrisinātu Vienotā valsts eksāmena 1. daļu matemātikā (pirmie 12 uzdevumi) un 13. uzdevumu (trigonometrija). Un tas ir vairāk nekā 70 punkti vienotajā valsts eksāmenā, un bez tiem nevar iztikt ne 100 ballu students, ne humanitāro zinātņu students.
Visa nepieciešamā teorija. Ātri veidi Vienotā valsts eksāmena risinājumi, kļūmes un noslēpumi. Ir analizēti visi aktuālie FIPI uzdevumu bankas 1. daļas uzdevumi. Kurss pilnībā atbilst Vienotā valsts eksāmena 2018 prasībām.
Kursā ir 5 lielas tēmas, katra 2,5 stundas. Katra tēma ir dota no nulles, vienkārši un skaidri.
Simtiem vienotā valsts eksāmena uzdevumu. Vārdu uzdevumi un varbūtību teorija. Vienkārši un viegli iegaumējami algoritmi problēmu risināšanai. Ģeometrija. Teorija, izziņas materiāls, visu veidu vienotā valsts pārbaudījuma uzdevumu analīze. Stereometrija. Viltīgi risinājumi, noderīgas krāpšanās lapas, telpiskās iztēles attīstība. Trigonometrija no nulles līdz problēmai 13. Sapratne, nevis pieblīvēšanās. Sarežģītu jēdzienu skaidri skaidrojumi. Algebra. Saknes, pakāpes un logaritmi, funkcija un atvasinājums. Pamats Vienotā valsts eksāmena 2. daļas sarežģītu problēmu risināšanai.
Starp ģeometrisko formu daudzveidību manāmi izceļas četrstūris, piemēram, rombs. Pat tā nosaukums nav raksturīgs četrstūru apzīmēšanai. Un, lai gan ģeometrijā tas ir sastopams daudz retāk nekā tādas vienkāršas figūras kā aplis, trīsstūris, kvadrāts vai taisnstūris, to arī nevar ignorēt.
Zemāk ir rombu definīcija, īpašības un īpašības.
Definīcija
Rombs ir paralelograms ar vienādām malām. Rombu sauc par kvadrātu, ja visi tā leņķi ir taisni. Lielākā daļa spilgts piemērs Dimants ir dimanta tērpa attēls uz spēļu kārts. Turklāt rombs bieži tika attēlots uz dažādiem ģerboņiem. Dimanta piemērs ikdienā ir basketbola laukums.
Īpašības
- Romba pretējās malas atrodas uz paralēlām līnijām, un tām ir vienāds garums.
- Romba diagonāļu krustpunkts vienā punktā notiek 90° leņķī, kas ir to viduspunkts.
- Romba diagonāles dala leņķi, no kura tās radušās.
- Pamatojoties uz paralelograma īpašībām, mēs varam iegūt diagonāļu kvadrātu summu. Saskaņā ar formulu tas ir vienāds ar malu, kas pacelta līdz kvadrātiskajai pakāpei un reizināta ar četriem.
Zīmes
Mums ir skaidri jāsaprot, ka jebkurš rombs ir paralelograms, bet tajā pašā laikā ne katram paralelogramam ir visi romba rādītāji. Lai atšķirtu šīs divas ģeometriskās formas, jums jāzina romba īpašības. Šīs ir šīs ģeometriskās figūras raksturīgās iezīmes:
- Jebkuras divas malas ar kopīgu virsotni ir vienādas.
- Diagonāles krustojas 90°C leņķī.
- Vismaz viena diagonāle sadala uz pusēm leņķus, no kuru virsotņu punktiem tā parādās.
Platības formulas
Pamatformula:
- S = (AC*BD)/2
Pamatojoties uz paralelograma īpašībām:
- S = (AB*H AB)
Pamatojoties uz leņķa lielumu starp divām blakus esošajām romba malām:
- S = AB2*sinα
Ja zinām rombā ierakstīta riņķa rādiusa garumu:
- S = 4r 2 /(sinα), kur:
- S - platība;
- AB, AC, BD - malu apzīmējums;
- H - augstums;
- r - apļa rādiuss;
- sinα - sinusa alfa.
Perimetrs
Lai aprēķinātu romba perimetru, jums vienkārši jāreizina jebkuras tā malas garums ar četriem.
Zīmējuma uzbūve
Dažiem cilvēkiem ir grūtības izveidot dimanta rakstu. Pat ja jūs jau esat izdomājis, kas ir rombs, ne vienmēr ir skaidrs, kā precīzi un atbilstoši nepieciešamajām proporcijām izveidot tā zīmējumu.
Ir divi veidi, kā izveidot dimanta rakstu:
- Vispirms izveidojiet vienu diagonāli, pēc tam otru diagonāli, kas ir perpendikulāra tai, un pēc tam savienojiet blakus esošo romba paralēlo malu pāru segmentu galus.
- Vispirms noliek malā vienu romba malu, pēc tam paralēli tai konstruē vienāda garuma segmentu un savieno arī šo segmentu galus pa pāriem paralēli.
Konstruējot esiet piesardzīgs - ja zīmējumā visu romba malu garumu padarīsiet vienādu, iegūsiet nevis rombu, bet kvadrātu.
1. attēlā $ABCD$ ir rombs, $A B=B C=C D=A D$. Tā kā rombs ir paralelograms, tam ir visas paralelograma īpašības, taču ir arī īpašības, kas raksturīgas tikai rombam.
Jūs varat ievietot apli jebkurā rombā. Rombā ierakstīta apļa centrs ir tā diagonāļu krustošanās punkts. Apļa rādiuss ir vienāds ar pusi no romba augstuma $r=\frac(A H)(2)$ (1. att.)
Romba īpašības
- Romba diagonāles ir perpendikulāras;
- Romba diagonāles ir tā leņķu bisektrise.
Dimanta zīmes
- Paralelograms, kura diagonāles krustojas taisnā leņķī, ir rombs;
- Paralelograms, kura diagonāles ir tā leņķu bisektrise, ir rombs.
Problēmu risināšanas piemēri
Piemērs
Vingrinājums. Romba $ABCD$ diagonāles ir 6 un 8 cm Atrodiet romba malu.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (1. att.). Noteiktības labad $A C=6$ cm, $B D=8$ cm Pēc romba īpašības tā diagonāles krustojas taisnā leņķī. Krustošanās punktā diagonāles tiek sadalītas uz pusēm (paralelograma īpašība, un rombs ir īpašs paralelograma gadījums).
Apsveriet trīsstūri $A O B$. Tas ir taisnstūrveida ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Uzrakstīsim Pitagora teorēmu šim trīsstūrim:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Aizstāsim atrastās vērtības $AO$ un $BO$,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Atbilde. Romba mala ir 5 cm.
Piemērs
Vingrinājums. Rombā, kura mala ir 4 cm, viens no leņķiem ir vienāds ar $60^(\circ)$. Atrodiet romba diagonāles.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (2. att.).
Noteiktības labad lai $\angle B=60^(\circ)$. Tad pēc romba īpašības diagonāle $BD$ ir leņķa $B$ bisektrise, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Aplūkosim $\Delta O B C$, tas ir taisnstūrveida ($\angle B O C=90^(\circ)$), jo romba diagonāles krustojas taisnā leņķī. Tā kā $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm ir kāja, kas atrodas pretī leņķim $30^(\circ)$. Izmantojot Pitagora teorēmu, mēs atrodam $B O$:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
Romba diagonāles krustpunktā tiek dalītas uz pusēm, tātad
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2 = 4$ (dm)
Atbilde.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Piemērs
Vingrinājums. Rombā leņķis, ko veido viena no diagonālēm un romba mala, ir vienāds ar $27^(\circ)$. Atrodiet romba leņķus.
Risinājums. Veidosim zīmējumu (3. att.)
Precīzāk sakot, $\angle K L O=27^(\circ)$. Romba diagonāles ir tā leņķu bisektrise, tāpēc $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Tā kā rombs ir paralelograms, uz to attiecas šādas īpašības: vienai malai blakus esošo leņķu summa ir vienāda ar $180^(\circ)$ un pretējie leņķi ir vienādi. Tāpēc,
$\angle M=\angle K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Atbilde.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$
$\angle M=\angle K=126^(\circ)$
ar vienādām pusēm. Rombs ar taisniem leņķiem ir kvadrāts .
Rombs tiek uzskatīts par paralelograma veidu, kuram ir divas blakus esošās vienādas malas vai nu ar savstarpēji perpendikulārām diagonālēm, vai ar diagonālēm, kas sadala leņķi 2 vienādās daļās.
Romba īpašības.
1. Rombs ir paralelograms, tāpēc pretējām malām ir vienāds garums un tās ir paralēlas pa pāriem, AB || CD, AD || Sv.
2. Diagonāļu krustošanās leņķis rombs ir taisns (AC⊥ BD) un krustošanās punkts ir sadalīti divās identiskās daļās. Tas ir, diagonāles sadala rombu 4 taisnstūrveida trīsstūros.
3. Romba diagonāles ir tā leņķu bisektrise (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD utt. ).
4. Diagonāļu kvadrātu summa vienāds ar malas kvadrātu, kas reizināts ar četri (atvasināts no paralelograma identitātes).
Dimanta zīmes.
Paralelogramma ABCD tiks saukts par rombu tikai tad, ja ir izpildīts vismaz viens no nosacījumiem:
1. Tā divām blakus esošajām malām ir vienāds garums (tas ir, visas romba malas ir vienādas, AB=BC=CD=AD).
2. Taisnas līnijas diagonāļu krustošanās leņķis ( A.C.⊥ BD).
3. 1 no diagonālēm dala leņķus, kas to satur uz pusēm.
Mēs varam iepriekš nezināt, ka četrstūris izrādās paralelograms, bet mēs zinām, ka visas tā malas ir vienādas. Tātad šis četrstūris ir rombs.
Romba simetrija.
Rombs ir simetrisks attiecībā pret visām diagonālēm to bieži izmanto ornamentos un parketa grīdās.
Romba perimetrs.
Ģeometriskas figūras perimetrs- plakanas ģeometriskas figūras robežu kopējais garums. Perimetram ir tāds pats izmērs kā garumam.
AB \parallel CD,\;BC \parallel AD
AB = CD,\;BC = AD
2. Romba diagonāles ir perpendikulāras.
AC\perp BD
Pierādījums
Tā kā rombs ir paralelograms, tā diagonāles tiek sadalītas uz pusēm.
Tas nozīmē, ka \trijstūris BOC = \trijstūris DOC no trim malām (BO = OD, OC - savienojums, BC = CD). Mēs iegūstam, ka \angle BOC = \angle COD, un tie atrodas blakus.
\Labā bultiņa \leņķis BOC = 90^(\circ) un \angle COD = 90^(\circ) .
3. Diagonāļu krustošanās punkts sadala tās uz pusēm.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Romba diagonāles ir tā leņķu bisektrise.
\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;
\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.
Pierādījums
Sakarā ar to, ka diagonāles ir sadalītas uz pusēm ar krustpunktu un visas romba malas ir vienādas viena ar otru, visa figūra tiek sadalīta ar diagonālēm 4 vienādos trīsstūros:
\trijstūris BOC,\; \trijstūris BOA,\; \trijstūris AOD,\; \trijstūris COD.
Tas nozīmē, ka BD, AC ir bisektrise.
5. Diagonāles no romba veido 4 taisnleņķa trīsstūrus.
6. Jebkurš rombs var saturēt apli, kura centrs atrodas diagonāļu krustpunktā.
7. Diagonāļu kvadrātu summa ir vienāda ar romba vienas malas kvadrātu, kas reizināts ar četriem
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Dimanta zīmes
1. Paralelograms ar perpendikulārām diagonālēm ir rombs.
\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- paralelograms, \Rightarrow ABCD - rombs.
Pierādījums
ABCD ir paralelograms \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Tiek arī norādīts, ka AC \perp BD \Labā bultiņa \trijstūris AOB = \trijstūris BOC = \trijstūris COD = \trijstūris AOD- uz 2 kājām.
Izrādās, ka AB = BC = CD = AD.
Pierādīts!
2. Kad paralelogramā vismaz viena no diagonālēm sadala abus leņķus (caur kuriem tas iet) uz pusēm, tad šis skaitlis būs rombs.
Pierādījums
Piezīme: ne katra figūra (četrstūris) ar perpendikulārām diagonālēm būs rombs.
Piemēram:
Tas vairs nav rombs, neskatoties uz diagonāļu perpendikularitāti.
Lai atšķirtu, ir vērts atcerēties, ka vispirms četrstūrim jābūt paralelogramam un jābūt