जर कर्ण काटकोनात छेदतात तर... भौमितिक आकृत्या. समभुज चौकोन. समभुज चौकोनाचे कर्ण हे त्याच्या कोनांचे दुभाजक असतात

"A मिळवा" या व्हिडिओ कोर्समध्ये गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षा 60-65 गुणांसह यशस्वीरीत्या उत्तीर्ण होण्यासाठी आवश्यक असलेले सर्व विषय समाविष्ट आहेत. गणितातील प्रोफाइल युनिफाइड स्टेट परीक्षेची पूर्णपणे सर्व कार्ये 1-13. गणितातील मूलभूत युनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण होण्यासाठी देखील योग्य. जर तुम्हाला युनिफाइड स्टेट परीक्षा 90-100 गुणांसह उत्तीर्ण करायची असेल, तर तुम्हाला भाग 1 30 मिनिटांत आणि चुकल्याशिवाय सोडवावा लागेल!

ग्रेड 10-11, तसेच शिक्षकांसाठी युनिफाइड स्टेट परीक्षेची तयारी अभ्यासक्रम. गणितातील युनिफाइड स्टेट परीक्षेचा भाग 1 (पहिल्या 12 समस्या) आणि समस्या 13 (त्रिकोणमिति) सोडवण्यासाठी आवश्यक असलेली प्रत्येक गोष्ट. आणि हे युनिफाइड स्टेट परीक्षेत 70 पेक्षा जास्त गुण आहेत आणि 100 गुणांचा विद्यार्थी किंवा मानवतेचा विद्यार्थी त्यांच्याशिवाय करू शकत नाही.

सर्व आवश्यक सिद्धांत. जलद मार्गयुनिफाइड स्टेट परीक्षेचे उपाय, तोटे आणि रहस्ये. FIPI टास्क बँकेच्या भाग 1 च्या सर्व वर्तमान कार्यांचे विश्लेषण केले गेले आहे. अभ्यासक्रम युनिफाइड स्टेट परीक्षा 2018 च्या आवश्यकतांचे पूर्णपणे पालन करतो.

कोर्समध्ये 5 मोठे विषय आहेत, प्रत्येकी 2.5 तास. प्रत्येक विषय सुरवातीपासून, सरळ आणि स्पष्टपणे दिलेला आहे.

युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्ये शेकडो. शब्द समस्या आणि संभाव्यता सिद्धांत. समस्या सोडवण्यासाठी सोपे आणि लक्षात ठेवण्यास सोपे अल्गोरिदम. भूमिती. सिद्धांत, संदर्भ साहित्य, सर्व प्रकारच्या युनिफाइड स्टेट परीक्षा कार्यांचे विश्लेषण. स्टिरिओमेट्री. अवघड उपाय, उपयुक्त फसवणूक पत्रके, अवकाशीय कल्पनाशक्तीचा विकास. त्रिकोणमिती सुरवातीपासून समस्येपर्यंत 13. क्रॅमिंगऐवजी समजून घेणे. जटिल संकल्पनांचे स्पष्ट स्पष्टीकरण. बीजगणित. मूळ, शक्ती आणि लॉगरिदम, कार्य आणि व्युत्पन्न. युनिफाइड स्टेट परीक्षेच्या भाग 2 च्या जटिल समस्या सोडवण्याचा आधार.

विविध प्रकारच्या भौमितिक आकारांमध्ये, समभुज चौकोन सारखा चतुर्भुज लक्षणीयपणे उभा राहतो. त्याचे नाव देखील चतुर्भुजांच्या पदनामासाठी वैशिष्ट्यपूर्ण नाही. आणि जरी भूमितीमध्ये ते वर्तुळ, त्रिकोण, चौरस किंवा आयत यासारख्या साध्या आकृत्यांपेक्षा खूपच कमी वेळा आढळले असले तरी त्याकडे दुर्लक्ष केले जाऊ शकत नाही.

खाली समभुज चौकोनाची व्याख्या, गुणधर्म आणि वैशिष्ट्ये आहेत.

व्याख्या

समभुज चौकोन समान बाजू असलेला समांतरभुज चौकोन आहे. समभुज चौकोनाचे सर्व कोन काटकोन असल्यास त्याला चौरस म्हणतात. बहुतेक एक चमकदार उदाहरणहिरा म्हणजे प्लेइंग कार्डवरील डायमंड सूटची प्रतिमा. याव्यतिरिक्त, समभुज चौकोन अनेकदा शस्त्रांच्या विविध आवरणांवर चित्रित केले गेले. दैनंदिन जीवनातील हिऱ्याचे उदाहरण म्हणजे बास्केटबॉल कोर्ट.

गुणधर्म

  1. समभुज चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समांतर रेषांवर असतात आणि त्यांची लांबी समान असते.
  2. समभुज चौकोनाच्या कर्णांचे छेदन एका बिंदूवर 90° च्या कोनात होते, जो त्यांचा मध्यबिंदू आहे.
  3. समभुज चौकोनाचे कर्ण ते ज्या कोनापासून उत्पन्न झाले त्या कोनाचे दुभाजक करतात.
  4. समांतरभुज चौकोनाच्या गुणधर्मांवर आधारित, आपण कर्णांच्या वर्गांची बेरीज काढू शकतो. सूत्रानुसार, ती बाजू एका चतुर्भुज शक्तीपर्यंत उभी केली जाते आणि चार ने गुणाकार केली जाते.

चिन्हे

आपण हे स्पष्टपणे समजून घेतले पाहिजे की कोणताही समभुज चौकोन समांतरभुज चौकोन असतो, परंतु त्याच वेळी, प्रत्येक समांतरभुज चौकोनात समभुज चौकोनाचे सर्व संकेतक नसतात. या दोन भौमितिक आकारांमध्ये फरक करण्यासाठी, तुम्हाला समभुज चौकोनाची वैशिष्ट्ये माहित असणे आवश्यक आहे. या भौमितिक आकृतीची वैशिष्ट्यपूर्ण वैशिष्ट्ये खालीलप्रमाणे आहेत:

  1. सामान्य शिरोबिंदू असलेल्या कोणत्याही दोन बाजू समान असतात.
  2. कर्ण 90°C च्या कोनात छेदतात.
  3. कमीत कमी एक कर्ण कोन ज्याच्या शिरोबिंदूंमधून ते अर्ध्यामध्ये बाहेर पडतात त्या कोनांना विभाजित करतो.

क्षेत्र सूत्रे

मूलभूत सूत्र:

  • S = (AC*BD)/2

समांतरभुज चौकोनाच्या गुणधर्मांवर आधारित:

  • S = (AB*H AB)

समभुज चौकोनाच्या दोन समीप बाजूंमधील कोनाच्या आकारावर आधारित:

  • S = AB2*sinα

समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाच्या त्रिज्येची लांबी आपल्याला माहित असल्यास:

  • S = 4r 2 /(sinα), जेथे:
    • एस - क्षेत्र;
    • एबी, एसी, बीडी - बाजूंचे पदनाम;
    • एच - उंची;
    • r - वर्तुळाची त्रिज्या;
    • sinα - साइन अल्फा.

परिमिती

समभुज चौकोनाच्या परिमितीची गणना करण्यासाठी, आपल्याला फक्त त्याच्या कोणत्याही बाजूची लांबी चारने गुणाकार करणे आवश्यक आहे.

रेखाचित्र बांधकाम

काही लोकांना डायमंड पॅटर्न बांधण्यात अडचण येते. समभुज चौकोन म्हणजे काय हे आपण आधीच शोधून काढले असले तरीही, त्याचे रेखाचित्र अचूकपणे आणि आवश्यक प्रमाणानुसार कसे तयार करावे हे नेहमीच स्पष्ट नसते.

डायमंड पॅटर्न तयार करण्याचे दोन मार्ग आहेत:

  1. प्रथम एक कर्ण, नंतर दुसरा कर्ण लंब तयार करा, आणि नंतर समभुज चौकोनाच्या समांतर बाजूंच्या समीप जोड्यांच्या खंडांची टोके जोडा.
  2. प्रथम समभुज चौकोनाची एक बाजू बाजूला ठेवा, नंतर त्याच्या समांतर लांबीचा एक खंड तयार करा आणि या खंडांची टोके देखील समांतर जोड्यांमध्ये जोडा.

बांधताना काळजी घ्या - जर रेखांकनात तुम्ही समभुज चौकोनाच्या सर्व बाजूंची लांबी समान केली तर तुम्हाला समभुज चौकोन मिळणार नाही तर चौरस मिळेल.

आकृती 1 मध्ये, $ABCD$ एक समभुज चौकोन आहे, $A B=B C=C D=A D$. समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोन असल्यामुळे, त्यात समांतरभुज चौकोनाचे सर्व गुणधर्म असतात, परंतु केवळ समभुज चौकोनामध्ये अंतर्भूत गुणधर्म देखील असतात.

तुम्ही वर्तुळ कोणत्याही समभुज चौकोनात बसवू शकता. समभुज चौकोनात कोरलेल्या वर्तुळाचे केंद्र त्याच्या कर्णांचे छेदनबिंदू आहे. वर्तुळाची त्रिज्या समभुज चौकोनाच्या अर्ध्या उंचीइतकी आहे $r=\frac(A H)(2)$ (चित्र 1)

समभुज चौकोनाचे गुणधर्म

  1. समभुज चौकोनाचे कर्ण लंब असतात;
  2. समभुज चौकोनाचे कर्ण हे त्याच्या कोनांचे दुभाजक असतात.

हिऱ्याची चिन्हे

  1. समांतरभुज चौकोन ज्याचे कर्ण काटकोनात छेदतात तो समभुज चौकोन असतो;
  2. समांतरभुज चौकोन ज्याचे कर्ण त्याच्या कोनांचे दुभाजक असतात तो समभुज चौकोन असतो.

समस्या सोडवण्याची उदाहरणे

उदाहरण

व्यायाम करा.समभुज चौकोनाचे कर्ण $ABCD$ 6 आणि 8 सेमी आहेत. समभुज चौकोनाची बाजू शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 1). निश्चिततेसाठी, $A C=6$ cm, $B D=8$ cm. समभुज चौकोनाच्या गुणधर्मानुसार, त्याचे कर्ण काटकोनात छेदतात. छेदनबिंदूवर, कर्ण अर्ध्या भागात विभागले जातात (समांतरभुज चौकोनाचा गुणधर्म आणि समभुज चौकोन हे समांतरभुज चौकोनाचे विशेष प्रकरण आहे).

त्रिकोण $A O B$ विचारात घ्या. ते आयताकृती आहे ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. चला या त्रिकोणासाठी पायथागोरियन प्रमेय लिहू:

$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$

$AO$ आणि $BO$ ची सापडलेली मूल्ये बदलूया,

$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$

उत्तर द्या.समभुज चौकोनाची बाजू ५ सें.मी.

उदाहरण

व्यायाम करा. 4 सेमी बाजू असलेल्या समभुज चौकोनात, कोनांपैकी एक कोन $60^(\circ)$ इतका असतो. समभुज चौकोनाचे कर्ण शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 2).

निश्चिततेसाठी $\angle B=60^(\circ)$ घेऊ. नंतर, समभुज चौकोनाच्या गुणधर्मानुसार, कर्ण $BD$ हा कोनाचा दुभाजक आहे $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. $\Delta O B C$ विचारात घ्या, ते आयताकृती आहे ($\angle B O C=90^(\circ)$) कारण समभुज चौकोनाचे कर्ण काटकोनात छेदतात. $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm हा $30^(\circ)$ च्या कोनाच्या विरुद्ध असलेला पाय आहे. पायथागोरियन प्रमेय वापरून आम्हाला $B O$ सापडतो:

$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$

$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$

$$B O=\sqrt(12)$$

$$B O=2 \sqrt(3)$$

समभुज चौकोनाचे कर्ण छेदनबिंदूवर अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत, म्हणून

$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)

$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)

उत्तर द्या.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm

उदाहरण

व्यायाम करा.समभुज चौकोनात, कर्ण आणि समभुज चौकोनाच्या बाजूने बनलेला कोन $27^(\circ)$ इतका असतो. समभुज चौकोनाचे कोन शोधा.

उपाय.चला एक रेखाचित्र बनवूया (चित्र 3)

विशिष्ट होण्यासाठी, $\angle K L O=27^(\circ)$. समभुज चौकोनातील कर्ण हे त्याच्या कोनांचे दुभाजक असतात, म्हणून $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. समभुज चौकोन समांतरभुज चौकोन असल्यामुळे, त्यावर खालील गुणधर्म लागू होतात: एका बाजूस लागून असलेल्या कोनांची बेरीज $180^(\circ)$ इतकी असते आणि विरुद्ध कोन समान असतात. म्हणून,

$\angle M=\angle K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$

उत्तर द्या.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$

$\angle M=\angle K=126^(\circ)$

समान बाजूंनी. काटकोन असलेला समभुज चौकोन आहे चौरस .

समभुज चौकोन समांतरभुज चौकोनाचा एक प्रकार मानला जातो, ज्याच्या दोन समीप समान बाजू एकतर परस्पर लंब कर्णांसह किंवा कर्ण कोन 2 समान भागांमध्ये विभाजित करतात.

समभुज चौकोनाचे गुणधर्म.

1. समभुज चौकोनसमांतरभुज चौकोन आहे, त्यामुळे विरुद्ध बाजूंची लांबी समान असते आणि ती जोड्यांमध्ये समांतर असतात, AB || CD, AD || रवि.

2. कर्णांच्या छेदनबिंदूचा कोनसमभुज चौकोन सरळ आहे (एसी⊥ BD)आणि छेदनबिंदू दोन समान भागांमध्ये विभागलेला आहे. म्हणजेच, कर्ण समभुज चौकोनाला 4 आयताकृती त्रिकोणांमध्ये विभाजित करतात.

3. समभुज चौकोनाचे कर्णत्याच्या कोनांचे दुभाजक आहेत (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBDइ. ).

4. कर्णांच्या वर्गांची बेरीजबाजूचा चौरस चार ने गुणाकार करतो (समांतरभुज चौकोन ओळखीवरून घेतलेला).

हिऱ्याची चिन्हे.

समांतरभुज चौकोन अ ब क डकिमान एक अटी पूर्ण झाल्यासच समभुज चौकोन म्हटले जाईल:

1. त्याच्या 2 लगतच्या बाजूंची लांबी समान आहे (म्हणजे समभुज चौकोनाच्या सर्व बाजू समान आहेत, AB=BC=CD=AD).

2. सरळ रेषेच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूचा कोन ( एसी.⊥ बी.डी).

3. कर्णांपैकी 1 हे कोन अर्ध्यामध्ये विभाजित करते.

चतुर्भुज समांतरभुज चौकोन आहे हे आपल्याला आधीच माहित नसेल, परंतु आपल्याला माहित आहे की त्याच्या सर्व बाजू समान आहेत. तर हा चतुर्भुज समभुज आहे.

समभुज चौकोनाची सममिती.

समभुज चौकोन सममितीय आहेत्याच्या सर्व कर्णांच्या तुलनेत, हे बहुतेकदा दागिने आणि लाकडी मजल्यांमध्ये वापरले जाते.

समभुज चौकोनाची परिमिती.

भौमितिक आकृतीचा परिमिती- सपाट भौमितिक आकृतीच्या सीमांची एकूण लांबी. परिमिती लांबी प्रमाणेच परिमाण आहे.

AB \समांतर CD,\;BC \समांतर AD

AB = CD,\;BC = AD

2. समभुज चौकोनाचे कर्ण लंब असतात.

AC\perp BD

पुरावा

समभुज चौकोन समांतरभुज चौकोन असल्यामुळे, त्याचे कर्ण अर्ध्या भागात विभागलेले आहेत.

याचा अर्थ असा की \triangle BOC = \triangle DOC तीन बाजूंनी (BO = OD, OC - संयुक्त, BC = CD). आम्हाला ते \angle BOC = \angle COD मिळते आणि ते समीप आहेत.

\Rightarrow \angle BOC = 90^(\circ)आणि \angle COD = 90^(\circ) .

3. कर्णांचा छेदनबिंदू त्यांना अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो.

AC=2\cdot AO=2\cdot CO

BD=2\cdot BO=2\cdot DO

4. समभुज चौकोनाचे कर्ण हे त्याच्या कोनांचे दुभाजक असतात.

\कोन 1 = \कोन 2; \; \कोन 5 = \कोन 6;

\कोन 3 = \कोन 4; \; \कोन 7 = \कोन 8.

पुरावा

कर्ण छेदनबिंदूद्वारे अर्ध्या भागात विभागले गेले आहेत आणि समभुज चौकोनाच्या सर्व बाजू एकमेकांच्या समान आहेत या वस्तुस्थितीमुळे, संपूर्ण आकृती कर्णांनी 4 समान त्रिकोणांमध्ये विभागली आहे:

त्रिकोण BOC,\; \त्रिकोण BOA,\; \त्रिकोण AOD,\; \त्रिकोण COD.

म्हणजे BD, AC हे दुभाजक आहेत.

5. कर्ण समभुज चौकोनातून 4 काटकोन त्रिकोण बनवतात.

6. कोणत्याही समभुज चौकोनामध्ये त्याच्या कर्णांच्या छेदनबिंदूवर त्याचे केंद्र असलेले वर्तुळ असू शकते.

7. कर्णांच्या वर्गांची बेरीज समभुज चौकोनाच्या एका बाजूच्या चौरसाच्या बरोबरीने गुणाकार केली जाते.

AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2

हिऱ्याची चिन्हे

1. लंब कर्ण असलेला समांतरभुज चौकोन समभुज चौकोन असतो.

\begin(केसेस) AC \perp BD \\ ABCD \शेवट- समांतरभुज चौकोन, \Rightarrow ABCD - समभुज चौकोन.

पुरावा

ABCD हा समांतरभुज चौकोन आहे \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. असेही नमूद केले आहे AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- 2 पायांवर.

असे दिसून आले की AB = BC = CD = AD.

सिद्ध!

2. समांतरभुज चौकोनामध्ये कमीत कमी एक कर्ण दोन्ही कोनांना (ज्यामधून तो जातो) अर्ध्यामध्ये विभाजित करतो, तेव्हा ही आकृती समभुज चौकोन असेल.

पुरावा

एका नोटवर:लंब कर्ण असलेली प्रत्येक आकृती (चतुर्भुज) समभुज चौकोन असणार नाही.

उदा:

कर्णांचा लंब असूनही हा आता समभुज चौकोन नाही.

फरक करण्यासाठी, हे लक्षात ठेवण्यासारखे आहे की प्रथम चतुर्भुज समांतरभुज चौकोन असणे आवश्यक आहे आणि