Instrução
1. Em duas pernas S = a * b / 2, a, b - pernas,
A segunda opção para calcular a área em vez de cotangentes utiliza os senos de ângulos conhecidos. Nesta variante quadradoé igual ao quadrado do comprimento do lado conhecido, multiplicado pelos senos de cada um dos ângulos e dividido pelo dobro do seno desses ângulos: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2 *pecado(α + β)). Por exemplo, para o mesmo triângulo com um lado conhecido de 15 cm e adjacente a ele cantos em 40° e 60°, o cálculo da área ficará assim: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 centímetros quadrados.
Na variante de cálculo da área de um triângulo, estão envolvidos ângulos. A área será igual ao quadrado do comprimento do lado conhecido, multiplicado pelas tangentes de cada um dos ângulos e dividido pelo dobro da soma das tangentes desses ângulos: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). Por exemplo, para o triângulo usado nas etapas anteriores com um lado de 15 cm e adjacente cantos em 40° e 60°, o cálculo da área ficará assim: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 centímetros quadrados.
Um triângulo é um polígono simples com três vértices e três lados. Um triângulo com um ângulo reto é chamado de triângulo retângulo. Para triângulos retângulos, todas as fórmulas para triângulos gerais se aplicam. No entanto, eles podem ser modificados levando em consideração as propriedades de um ângulo reto.
Instrução
Básico para encontrar área triângulo através da base da seguinte forma: S = 1/2 * b * h, onde b é o lado triângulo e h triângulo. Altura triânguloé a perpendicular ao vértice triângulo para uma linha contendo o oposto. Para retangular triângulo a altura para b coincide com a perna a. Assim, você obterá uma fórmula para calcular a área triângulo com ângulo: S = 1/2 * a * b.
Considere. Deixe entrar um retângulo a = 3, b = 4. Então S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Calcule quadrado o mesmo triângulo, mas agora seja conhecida apenas uma perna b = 4. E também o ângulo α é conhecido, tg α = 3/4. Então, a partir da expressão para a função trigonométrica, a tangente do ângulo α, expresse a perna a: tg α = a/b => a = b * tg α. Substitua este valor na fórmula para calcular a área de um retângulo triângulo e obtemos: S = 1/2 * a * b = 1/2 * b^2 * tg α = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
Consideremos como caso especial o cálculo da área de um retângulo isósceles triângulo. Um triângulo isósceles é um triângulo em que dois lados são iguais. No caso de um retângulo triângulo acontece que a = b. Escreva o teorema de Pitágoras para este caso: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Em seguida, insira esse valor na fórmula da área da seguinte forma: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2/2) = c^2/4.
Se os raios dos círculos R inscritos e R circunscritos forem conhecidos, então quadrado retangular triânguloé calculado pela fórmula S = r^2 + 2 * r * R. Seja o raio do círculo inscrito no triângulo r = 1, o raio do circunscrito triângulo círculo R = 5/2. Então S = 1 + 2 * 1 * 5/2 = 6.
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Conselho util
O raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo é igual à metade da hipotenusa: R = c/2. O raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo é encontrado pela fórmula r = (a + b - c) / 2 .
Esta é uma das figuras geométricas mais simples em que três segmentos conectando três pontos aos pares limitam parte do plano. Conhecer alguns parâmetros de um triângulo (comprimentos dos lados, ângulos, raios de um círculo inscrito ou circunscrito, altura, etc.) em várias combinações permite calcular a área desta seção limitada do plano.
Instrução
Se os comprimentos dos dois lados do triângulo (A e B) e o tamanho do seu ângulo (γ) forem conhecidos, então a área (S) do triângulo será igual à metade do produto dos comprimentos dos lados e o seno do ângulo conhecido: S=A∗B∗sin(γ)/2.
Se os comprimentos de todos os três lados (A, B e C) de um triângulo arbitrário são conhecidos, então para calcular sua área (S) é mais conveniente introduzir uma variável adicional - o semiperímetro (p). Esta variável é calculada pela metade da soma dos comprimentos de todos os lados: p=(A+B+C)/2. Usando esta variável, ela pode ser determinada como a raiz quadrada do produto do semiperímetro desta variável e o comprimento dos lados: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Se, além dos comprimentos de todos os lados (A, B e C), também for conhecido o comprimento do raio (R) do círculo circunscrito perto de um triângulo arbitrário, então o semiperímetro pode ser dispensado - a área (S) será igual à razão entre o produto dos comprimentos de todos os lados e o raio quádruplo do círculo: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Se os valores de todos os ângulos do triângulo (α, β e γ) e o comprimento de um de seus lados (A) forem conhecidos, então a área (S) será igual à razão do produto do quadrado do comprimento do lado conhecido e os senos dos dois ângulos adjacentes a ele duas vezes o seno do ângulo oposto: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α) ).
Se os valores de todos os ângulos de um triângulo arbitrário (α, β e γ) e o raio (R) do círculo circunscrito forem conhecidos, então a área (S) será igual ao dobro do produto do quadrado do raio e os senos de todos os ângulos: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).
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Encontrar o volume de um triângulo não é de fato uma tarefa trivial. O fato é que um triângulo é uma figura bidimensional, ou seja, encontra-se inteiramente em um plano, o que significa que simplesmente não tem volume. Claro, você não pode encontrar algo que não existe. Mas não vamos desistir! Podemos fazer a seguinte suposição - o volume de uma figura bidimensional, esta é a sua área. Estamos procurando a área do triângulo.
Você vai precisar
- folha de papel, lápis, régua, calculadora
Instrução
Desenhe em uma folha de papel com régua e lápis. Examinando cuidadosamente o triângulo, você pode ter certeza de que ele realmente não existe, pois é desenhado em um plano. Identifique os lados do triângulo: seja um lado o lado “a”, o outro lado “b” e o terceiro lado “c”. Rotule os vértices do triângulo com as letras "A", "B" e "C".
Meça qualquer lado do triângulo com uma régua e anote o resultado. Depois disso, restaure a perpendicular ao lado medido do vértice oposto, tal perpendicular será a altura do triângulo. No caso mostrado na figura, a perpendicular "h" é restaurada ao lado "c" do vértice "A". Meça a altura resultante com uma régua e registre o resultado da medição.
Pode acontecer que você tenha dificuldade em restaurar a perpendicular exata. Neste caso, você deve usar uma fórmula diferente. Meça todos os lados do triângulo com uma régua. Depois disso, calcule o meio perímetro do triângulo “p” somando os comprimentos resultantes dos lados e dividindo sua soma pela metade. Tendo à sua disposição o valor do semiperímetro, você pode utilizar a fórmula de Heron. Para fazer isso, você precisa extrair a raiz quadrada do seguinte: p(p-a)(p-b)(p-c).
Você obteve a área desejada do triângulo. O problema de encontrar o volume de um triângulo não foi resolvido, mas como mencionado acima, o volume não é. Você pode encontrar o volume que é essencialmente um triângulo no mundo 3D. Se imaginarmos que nosso triângulo original se tornou uma pirâmide tridimensional, então o volume dessa pirâmide será o produto do comprimento de sua base pela área do triângulo que recebemos.
observação
Os cálculos serão mais precisos quanto mais cuidadosamente você fizer as medições.
Fontes:
- Calculadora Tudo para Todos - Portal de Referência
- volume do triângulo
O triângulo é uma das formas geométricas mais comuns, que já conhecemos no ensino fundamental. A questão de como encontrar a área de um triângulo é enfrentada por todos os alunos nas aulas de geometria. Então, quais são as características de encontrar a área de uma determinada figura que podem ser distinguidas? Neste artigo, consideraremos as fórmulas básicas necessárias para realizar tal tarefa e também analisaremos os tipos de triângulos.
Tipos de triângulos
Você pode encontrar a área de um triângulo de maneiras completamente diferentes, porque na geometria existe mais de um tipo de figura contendo três ângulos. Esses tipos incluem:
- obtuso.
- Equilátero (correto).
- Triângulo retângulo.
- Isósceles.
Vamos dar uma olhada em cada um dos tipos de triângulos existentes.
Tal figura geométrica é considerada a mais comum na resolução de problemas geométricos. Quando for necessário desenhar um triângulo arbitrário, esta opção vem em socorro.
Em um triângulo agudo, como o nome indica, todos os ângulos são agudos e somam 180°.
Esse triângulo também é muito comum, mas é um pouco menos comum que um triângulo de ângulo agudo. Por exemplo, ao resolver triângulos (ou seja, você conhece vários de seus lados e ângulos e precisa encontrar os elementos restantes), às vezes é necessário determinar se o ângulo é obtuso ou não. Cosseno é um número negativo.
No valor de um dos ângulos ultrapassa 90°, portanto os dois ângulos restantes podem assumir valores pequenos (por exemplo, 15° ou mesmo 3°).
Para encontrar a área de um triângulo desse tipo, você precisa conhecer algumas nuances, das quais falaremos a seguir.
Triângulos regulares e isósceles
Um polígono regular é uma figura que inclui n ângulos, em que todos os lados e ângulos são iguais. Este é o triângulo retângulo. Como a soma de todos os ângulos de um triângulo é 180°, cada um dos três ângulos é 60°.
O triângulo retângulo, devido à sua propriedade, também é chamado de figura equilátera.
Também é importante notar que apenas um círculo pode ser inscrito em um triângulo regular e apenas um círculo pode ser circunscrito ao seu redor, e seus centros estão localizados em um ponto.
Além do tipo equilátero, também se pode distinguir um triângulo isósceles, que difere ligeiramente dele. Em tal triângulo, dois lados e dois ângulos são iguais entre si, e o terceiro lado (ao qual os ângulos iguais são adjacentes) é a base.
A figura mostra um triângulo isósceles DEF, cujos ângulos D e F são iguais, e DF é a base.
Triângulo retângulo
Um triângulo retângulo tem esse nome porque um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90°. Os outros dois ângulos somam 90°.
O maior lado desse triângulo, oposto a um ângulo de 90 °, é a hipotenusa, enquanto os outros dois lados são os catetos. Para este tipo de triângulos, o teorema de Pitágoras é aplicável:
A soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos é igual ao quadrado do comprimento da hipotenusa.
A figura mostra um triângulo retângulo BAC com hipotenusa AC e pernas AB e BC.
Para encontrar a área de um triângulo com ângulo reto, você precisa conhecer os valores numéricos de seus catetos.
Passemos às fórmulas para encontrar a área de uma determinada figura.
Fórmulas básicas para encontrar a área
Na geometria, podem ser distinguidas duas fórmulas adequadas para encontrar a área da maioria dos tipos de triângulos, nomeadamente para triângulos de ângulo agudo, ângulo obtuso, regulares e isósceles. Vamos analisar cada um deles.
Por lado e altura
Esta fórmula é universal para encontrar a área da figura que estamos considerando. Para isso, basta saber o comprimento do lado e o comprimento da altura traçada sobre ele. A fórmula em si (metade do produto da base pela altura) é a seguinte:
onde A é o lado do triângulo dado e H é a altura do triângulo.
Por exemplo, para encontrar a área de um triângulo agudo ACB, você precisa multiplicar seu lado AB pela altura CD e dividir o valor resultante por dois.
No entanto, nem sempre é fácil encontrar a área de um triângulo desta forma. Por exemplo, para usar esta fórmula para um triângulo de ângulo obtuso, você precisa continuar um de seus lados e só então traçar uma altura para ele.
Na prática, esta fórmula é usada com mais frequência do que outras.
Dois lados e um canto
Esta fórmula, como a anterior, é adequada para a maioria dos triângulos e em seu significado é uma consequência da fórmula para encontrar a área pelo lado e pela altura de um triângulo. Ou seja, a fórmula em consideração pode ser facilmente derivada da anterior. Sua redação é assim:
S = ½*sinO*A*B,
onde A e B são os lados do triângulo e O é o ângulo entre os lados A e B.
Lembre-se de que o seno de um ângulo pode ser visualizado em uma tabela especial com o nome do notável matemático soviético V. M. Bradis.
E agora vamos passar para outras fórmulas que são adequadas apenas para tipos excepcionais de triângulos.
Área de um triângulo retângulo
Além da fórmula universal, que inclui a necessidade de traçar a altura de um triângulo, a partir de suas pernas você pode encontrar a área de um triângulo contendo um ângulo reto.
Portanto, a área de um triângulo contendo um ângulo reto é metade do produto de seus catetos, ou:
onde aeb são os catetos de um triângulo retângulo.
triângulo retângulo
Este tipo de figura geométrica distingue-se pelo facto de a sua área poder ser encontrada com o valor especificado de apenas um dos seus lados (já que todos os lados de um triângulo regular são iguais). Assim, tendo cumprido a tarefa de “encontrar a área de um triângulo quando os lados são iguais”, é necessário usar a seguinte fórmula:
S = A 2 *√3/4,
onde A é o lado de um triângulo equilátero.
Fórmula de Heron
A última opção para encontrar a área de um triângulo é a fórmula de Heron. Para utilizá-lo, você precisa saber os comprimentos dos três lados da figura. A fórmula de Heron é assim:
S = √p (p - a) (p - b) (p - c),
onde a, b e c são os lados do triângulo dado.
Às vezes é dada a tarefa: “a área de um triângulo regular é encontrar o comprimento do seu lado”. Neste caso, você precisa usar a fórmula já conhecida por nós para encontrar a área de um triângulo regular e derivar dela o valor do lado (ou seu quadrado):
A 2 \u003d 4S / √3.
Problemas de exame
Existem muitas fórmulas nas tarefas do GIA em matemática. Além disso, muitas vezes é necessário encontrar a área de um triângulo em papel xadrez.
Neste caso, é mais conveniente traçar a altura de um dos lados da figura, determinar seu comprimento por células e usar a fórmula universal para encontrar a área:
Assim, depois de estudar as fórmulas apresentadas no artigo, você não terá problemas para encontrar a área de um triângulo de qualquer tipo.
Mais de 10 fórmulas para calcular a área de um triângulo podem ser encontradas na Internet, muitas delas são usadas em problemas com lados e ângulos conhecidos de um triângulo. No entanto, existem vários exemplos complexos em que, de acordo com a condição da atribuição, são conhecidos apenas um lado e os ângulos do triângulo, ou o raio do círculo circunscrito ou inscrito, e mais uma característica. Nestes casos, uma fórmula simples não pode ser aplicada.
As fórmulas abaixo resolverão 95% dos problemas em que você precisa encontrar a área de um triângulo.
Passemos à consideração das fórmulas de áreas comuns.
Considere o triângulo representado na figura abaixo
Na figura e posteriormente nas fórmulas, são introduzidas as designações clássicas de todas as suas características
a,b,c são os lados do triângulo,
R é o raio do círculo circunscrito,
r é o raio do círculo inscrito,
h[b],h[a],h[c] - alturas desenhadas de acordo com os lados a,b,c.
alfa, beta,hamma - cantos próximos aos vértices.
Fórmulas básicas para a área de um triângulo
1. A área é igual à metade do produto do lado do triângulo pela altura abaixada para este lado. Na linguagem de fórmulas, esta definição pode ser escrita como
Assim, se o lado e a altura forem conhecidos, cada aluno encontrará a área.
A propósito, uma relação útil entre alturas pode ser derivada desta fórmula
2. Se levarmos em conta que a altura do triângulo através do lado adjacente é expressa pela dependência
Então da primeira fórmula da área segue o mesmo tipo da segunda
Observe atentamente as fórmulas - elas são fáceis de lembrar, pois a obra apresenta dois lados e um ângulo entre eles. Se designarmos corretamente os lados e ângulos do triângulo (como na figura acima), obteremos dois lados a, b e o ângulo está relacionado ao terceiro C (hamma).
3. Para os ângulos de um triângulo, a relação
A dependência permite que você aplique as seguintes fórmulas para a área de um triângulo nos cálculos
Exemplos dessa dependência são extremamente raros, mas é preciso lembrar que existe tal fórmula.
4. Se o lado e dois ângulos adjacentes forem conhecidos, a área será encontrada pela fórmula
5. A fórmula para a área em termos de lado e cotangente de ângulos adjacentes é a seguinte
Ao reorganizar os índices, você pode obter dependências para os outros lados.
6. A fórmula de área abaixo é usada em problemas quando os vértices de um triângulo são dados em um plano com coordenadas. Neste caso, a área é igual à metade do módulo determinante.
7. Fórmula de Heron usado em exemplos com lados conhecidos de um triângulo.
Primeiro encontre o semiperímetro do triângulo
E então determine a área pela fórmula
ou
É frequentemente usado no código de programas de calculadora.
8. Se todas as alturas do triângulo forem conhecidas, então a área é determinada pela fórmula
É difícil calcular em uma calculadora, porém, nos pacotes MathCad, Mathematica, Maple, a área é “um dois”.
9. As fórmulas a seguir usam raios conhecidos de círculos inscritos e circunscritos. 
Em particular, se o raio e os lados de um triângulo, ou seu perímetro, forem conhecidos, a área será calculada pela fórmula
10. Nos exemplos onde são dados os lados e o raio ou diâmetro do círculo circunscrito, a área é encontrada pela fórmula
11. A fórmula a seguir determina a área de um triângulo em termos do lado e dos ângulos do triângulo.
E finalmente - casos especiais:
Área de um triângulo retângulo com pernas a e b é igual à metade do seu produto
A fórmula para a área de um triângulo equilátero (regular)=
= um quarto do produto do quadrado do lado pela raiz de três.
O conceito de área
O conceito de área de qualquer figura geométrica, em particular de um triângulo, estará associado a uma figura como um quadrado. Para uma área unitária de qualquer figura geométrica, tomaremos a área de um quadrado cujo lado é igual a um. Para completar, lembramos duas propriedades básicas para o conceito de áreas de formas geométricas.
Propriedade 1: Se as figuras geométricas forem iguais, então suas áreas também serão iguais.
Propriedade 2: Qualquer figura pode ser dividida em várias figuras. Além disso, a área da figura original é igual à soma dos valores das áreas de todas as figuras que a compõem.
Considere um exemplo.
Exemplo 1
É óbvio que um dos lados do triângulo é a diagonal do retângulo, que tem um lado de comprimento $5$ (desde $5$ células) e o outro $6$ (desde $6$ células). Portanto, a área deste triângulo será igual à metade desse retângulo. A área do retângulo é
Então a área do triângulo é
Resposta: $ 15 $.
A seguir, consideraremos vários métodos para encontrar as áreas de triângulos, nomeadamente utilizando a altura e a base, utilizando a fórmula de Heron e a área de um triângulo equilátero.
Como encontrar a área de um triângulo usando a altura e a base
Teorema 1
A área de um triângulo pode ser encontrada como metade do produto do comprimento de um lado pela altura desenhada para esse lado.
Matematicamente é assim
$S=\frac(1)(2)αh$
onde $a$ é o comprimento do lado, $h$ é a altura desenhada para ele.
Prova.
Considere o triângulo $ABC$ onde $AC=α$. A altura $BH$ é desenhada para este lado e é igual a $h$. Vamos construí-lo até o quadrado $AXYC$ como na Figura 2.
A área do retângulo $AXBH$ é $h\cdot AH$, e a do retângulo $HBYC$ é $h\cdot HC$. Então
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Portanto, a área desejada do triângulo, segundo a propriedade 2, é igual a
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
O teorema foi provado.
Exemplo 2
Encontre a área do triângulo na figura abaixo, se a célula tiver área igual a um
A base deste triângulo é $9$ (já que $9$ são $9$ células). A altura também é $ 9$. Então, pelo Teorema 1, obtemos
$S=\frac(1)(2)\cponto 9\cponto 9=40,5$
Resposta: $ 40,5 $.
Fórmula de Heron
Teorema 2
Se tivermos três lados de um triângulo $α$, $β$ e $γ$, então sua área pode ser encontrada da seguinte forma
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
aqui $ρ$ significa o meio perímetro deste triângulo.
Prova.
Considere a seguinte figura:
Pelo teorema de Pitágoras, do triângulo $ABH$ obtemos
Do triângulo $CBH$, pelo teorema de Pitágoras, temos
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Destas duas relações obtemos a igualdade
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Como $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, então $α+β+γ=2ρ$, portanto
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Pelo Teorema 1, obtemos
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Para determinar a área de um triângulo, você pode usar diferentes fórmulas. De todos os métodos, o mais fácil e mais utilizado é multiplicar a altura pelo comprimento da base e depois dividir o resultado por dois. No entanto, este método está longe de ser o único. Abaixo você pode ler como encontrar a área de um triângulo usando diferentes fórmulas.
Separadamente, consideraremos métodos para calcular a área de tipos específicos de triângulos - retangular, isósceles e equilátero. Acompanhamos cada fórmula com uma breve explicação que o ajudará a compreender a sua essência.
Maneiras universais de encontrar a área de um triângulo
As fórmulas abaixo usam notação especial. Vamos decifrar cada um deles:
- a, b, c são os comprimentos dos três lados da figura que estamos considerando;
- r é o raio de um círculo que pode ser inscrito em nosso triângulo;
- R é o raio do círculo que pode ser descrito em torno dele;
- α - o valor do ângulo formado pelos lados b e c;
- β é o ângulo entre a e c;
- γ - o valor do ângulo formado pelos lados a e b;
- h é a altura do nosso triângulo, abaixado do ângulo α para o lado a;
- p é metade da soma dos lados a, b e c.
É logicamente claro por que você pode encontrar a área de um triângulo dessa forma. O triângulo é facilmente completado em um paralelogramo, no qual um lado do triângulo atuará como diagonal. A área de um paralelogramo é encontrada multiplicando o comprimento de um de seus lados pelo valor da altura desenhada para ele. A diagonal divide este paralelogramo condicional em 2 triângulos idênticos. Portanto, é bastante óbvio que a área do nosso triângulo original deve ser igual à metade da área deste paralelogramo auxiliar.
S = ½ a b sen γ
Segundo esta fórmula, a área de um triângulo é encontrada multiplicando-se os comprimentos dos seus dois lados, ou seja, a e b, pelo seno do ângulo que formam. Esta fórmula é logicamente derivada da anterior. Se diminuirmos a altura do ângulo β para o lado b, então, de acordo com as propriedades de um triângulo retângulo, ao multiplicar o comprimento do lado a pelo seno do ângulo γ, obtemos a altura do triângulo, ou seja, h.
A área da figura em consideração é encontrada multiplicando a metade do raio do círculo que nela pode ser inscrito pelo seu perímetro. Em outras palavras, encontramos o produto do semiperímetro pelo raio do círculo mencionado.
S = abc/4R
De acordo com esta fórmula, o valor que precisamos pode ser encontrado dividindo o produto dos lados da figura por 4 raios do círculo circunscrito ao seu redor.
Estas fórmulas são universais, pois permitem determinar a área de qualquer triângulo (escaleno, isósceles, equilátero, retângulo). Isso pode ser feito com a ajuda de cálculos mais complexos, nos quais não nos deteremos em detalhes.
Áreas de triângulos com propriedades específicas
Como encontrar a área de um triângulo retângulo? Uma característica desta figura é que seus dois lados são simultaneamente suas alturas. Se a e b são catetos e c se torna a hipotenusa, então a área é encontrada da seguinte forma:
Como encontrar a área de um triângulo isósceles? Possui dois lados de comprimento a e um lado de comprimento b. Portanto, sua área pode ser determinada dividindo por 2 o produto do quadrado do lado a pelo seno do ângulo γ.
Como encontrar a área de um triângulo equilátero? Nele, o comprimento de todos os lados é a e o valor de todos os ângulos é α. Sua altura é metade do produto do comprimento do lado a vezes a raiz quadrada de 3. Para encontrar a área de um triângulo regular, você precisa do quadrado do lado a multiplicado pela raiz quadrada de 3 e dividido por 4.