Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!
Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și asta înseamnă mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.
Toată teoria necesară. Căi rapide soluții, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.
Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.
Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.
Printre varietatea formelor geometrice, un patrulater, cum ar fi un romb, iese în evidență vizibil. Chiar și numele său în sine nu este tipic pentru desemnarea patrulagurilor. Și deși în geometrie se găsește mult mai puțin frecvent decât figuri simple precum un cerc, triunghi, pătrat sau dreptunghi, nu poate fi ignorat.
Mai jos sunt definiția, proprietățile și caracteristicile romburilor.
Definiție
Un romb este un paralelogram cu laturile egale. Un romb se numește pătrat dacă toate unghiurile sale sunt unghiuri drepte. Cel mai un exemplu strălucitor Diamantul este imaginea costumului de diamant de pe o carte de joc. În plus, rombul era adesea înfățișat pe diferite steme. Un exemplu de diamant în viața de zi cu zi este un teren de baschet.
Proprietăți
- Laturile opuse ale unui romb se află pe linii paralele și au aceeași lungime.
- Intersecția diagonalelor unui romb are loc la un unghi de 90° într-un punct, care este punctul lor de mijloc.
- Diagonalele unui romb traversează unghiul din care provin.
- Pe baza proprietăților unui paralelogram, putem deduce suma pătratelor diagonalelor. Conform formulei, este egal cu latura ridicată la o putere pătratică și înmulțită cu patru.
Semne
Trebuie să înțelegem clar că orice romb este un paralelogram, dar, în același timp, nu fiecare paralelogram are toți indicatorii unui romb. Pentru a distinge aceste două forme geometrice, trebuie să cunoașteți caracteristicile unui romb. Următoarele sunt trăsăturile caracteristice ale acestei figuri geometrice:
- Oricare două laturi cu un vârf comun sunt egale.
- Diagonalele se intersectează la un unghi de 90°C.
- Cel puțin o diagonală împarte unghiurile din ale căror puncte de vârf iese în jumătate.
Formule de arie
Formula de baza:
- S = (AC*BD)/2
Pe baza proprietăților paralelogramului:
- S = (AB*H AB)
Pe baza mărimii unghiului dintre două laturi adiacente ale rombului:
- S = AB2*sinα
Dacă știm lungimea razei unui cerc înscris într-un romb:
- S = 4r 2 /(sinα), unde:
- S - zona;
- AB, AC, BD - desemnarea laturilor;
- H - înălțime;
- r - raza cercului;
- sinα - sinus alfa.
Perimetru
Pentru a calcula perimetrul unui romb, trebuie doar să înmulțiți lungimea oricăreia dintre laturile sale cu patru.
Construcția desenului
Unii oameni au dificultăți în construirea unui model de diamant. Chiar dacă v-ați dat deja seama ce este un romb, nu este întotdeauna clar cum să-și construiți desenul cu acuratețe și în conformitate cu proporțiile necesare.
Există două moduri de a construi un model de diamant:
- Mai întâi construiți o diagonală, apoi o a doua diagonală perpendiculară pe aceasta și apoi conectați capetele segmentelor perechilor adiacente de laturi paralele ale rombului.
- Mai întâi puneți deoparte o parte a rombului, apoi construiți un segment de lungime egală paralel cu acesta și conectați capetele acestor segmente, de asemenea, în perechi în paralel.
Aveți grijă când construiți - dacă în desen faceți lungimea tuturor laturilor rombului la fel, nu veți obține un romb, ci un pătrat.
În figura 1, $ABCD$ este un romb, $A B=B C=C D=A D$. Întrucât un romb este un paralelogram, are toate proprietățile unui paralelogram, dar există și proprietăți inerente doar unui romb.
Puteți încadra un cerc în orice romb. Centrul unui cerc înscris într-un romb este punctul de intersecție al diagonalelor sale. Raza cercului este egală cu jumătate din înălțimea rombului $r=\frac(A H)(2)$ (Fig. 1)
Proprietățile unui romb
- Diagonalele unui romb sunt perpendiculare;
- Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale.
Semne ale unui diamant
- Un paralelogram ale cărui diagonale se intersectează în unghi drept este un romb;
- Un paralelogram ale cărui diagonale sunt bisectoarele unghiurilor sale este un romb.
Exemple de rezolvare a problemelor
Exemplu
Exercițiu. Diagonalele rombului $ABCD$ sunt de 6 și 8 cm.Aflați latura rombului.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 1). Fie, pentru certitudine, $A C=6$ cm, $B D=8$ cm.După proprietatea unui romb, diagonalele sale se intersectează în unghi drept. În punctul de intersecție, diagonalele sunt împărțite în jumătate (o proprietate a unui paralelogram, iar un romb este un caz special al unui paralelogram).
Se consideră triunghiul $A O B$. Este dreptunghiular ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Să scriem teorema lui Pitagora pentru acest triunghi:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Să înlocuim valorile găsite ale $AO$ și $BO$,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Răspuns. Latura unui romb este de 5 cm.
Exemplu
Exercițiu.Într-un romb cu latura de 4 cm, unul dintre unghiuri este egal cu $60^(\circ)$. Aflați diagonalele rombului.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 2).
Fie $\angle B=60^(\circ)$ pentru certitudine. Apoi, prin proprietatea unui romb, diagonala $BD$ este bisectoarea unghiului $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Considerăm $\Delta O B C$, este dreptunghiular ($\angle B O C=90^(\circ)$) deoarece diagonalele unui romb se intersectează în unghi drept. Deoarece $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm este catelul situat opus unghiului $30^(\circ)$. Folosind teorema lui Pitagora găsim $B O$:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
Diagonalele unui romb sunt împărțite în jumătate în punctul de intersecție, deci
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Răspuns.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Exemplu
Exercițiu.Într-un romb, unghiul format de una dintre diagonale și latura rombului este egal cu $27^(\circ)$. Aflați unghiurile rombului.
Soluţie. Să facem un desen (Fig. 3)
Pentru a fi specific, $\angle K L O=27^(\circ)$. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale, deci $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Deoarece un romb este un paralelogram, i se aplică următoarele proprietăți: suma unghiurilor adiacente unei laturi este egală cu $180^(\circ)$ și unghiurile opuse sunt egale. De aceea,
$\unghi M=\unghi K=180^(\circ)-\unghi L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Răspuns.$\unghi N=\unghi L=54^(\circ)$
$\unghi M=\unghi K=126^(\circ)$
cu laturile egale. Un romb cu unghiuri drepte este pătrat .
Un romb este considerat un tip de paralelogram, cu două laturi egale adiacente fie cu diagonale reciproc perpendiculare, fie cu diagonale care împart unghiul în 2 părți egale.
Proprietățile unui romb.
1. Romb este un paralelogram, deci laturile opuse au aceeași lungime și sunt paralele în perechi, AB || CD, AD || Soare.
2. Unghiul de intersecție al diagonalelor rombul este drept (AC⊥ BD) iar punctul de intersecție sunt împărțite în două părți identice. Adică diagonalele împart rombul în 4 triunghiuri dreptunghiulare.
3. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD etc. ).
4. Suma pătratelor diagonalelor este egal cu pătratul laturii înmulțit cu patru (derivat din identitatea paralelogramului).
Semne ale unui diamant.
Paralelogram ABCD va fi numit romb numai dacă este îndeplinită cel puțin una dintre condiții:
1. Cele 2 laturi adiacente ale sale au aceeași lungime (adică toate laturile unui romb sunt egale, AB=BC=CD=AD).
2. Unghiul de intersecție al diagonalelor unei drepte ( A.C.⊥ BD).
3. 1 dintre diagonale împarte unghiurile care o conțin în jumătate.
Poate că nu știm dinainte că patrulaterul se dovedește a fi un paralelogram, dar știm că toate laturile sale sunt egale. Deci acest patrulater este un romb.
Simetria unui romb.
Rombul este simetric față de toate diagonalele sale, este adesea folosit în ornamente și parchet.
Perimetrul unui romb.
Perimetrul unei figuri geometrice- lungimea totală a limitelor unei figuri geometrice plate. Perimetrul are aceeași dimensiune ca și lungimea.
AB \parallel CD,\;BC \parallel AD
AB = CD,\;BC = AD
2. Diagonalele unui romb sunt perpendiculare.
AC\perp BD
Dovada
Deoarece un romb este un paralelogram, diagonalele sale sunt împărțite în jumătate.
Aceasta înseamnă că \triangle BOC = \triangle DOC pe trei laturi (BO = OD, OC - îmbinare, BC = CD). Obținem că \angle BOC = \angle COD și sunt adiacente.
\Rightarrow \angle BOC = 90^(\circ)și \angle COD = 90^(\circ) .
3. Punctul de intersecție al diagonalelor le împarte în jumătate.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Diagonalele unui romb sunt bisectoarele unghiurilor sale.
\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;
\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.
Dovada
Datorită faptului că diagonalele sunt împărțite în jumătate de punctul de intersecție și toate laturile rombului sunt egale între ele, întreaga figură este împărțită de diagonale în 4 triunghiuri egale:
\triunghi BOC,\; \triunghi BOA,\; \triunghi AOD,\; \triunghi COD.
Aceasta înseamnă că BD, AC sunt bisectoare.
5. Diagonalele formează 4 triunghiuri dreptunghiulare dintr-un romb.
6. Orice romb poate conține un cerc cu centrul său în punctul de intersecție al diagonalelor sale.
7. Suma pătratelor diagonalelor este egală cu pătratul uneia dintre laturile rombului înmulțit cu patru
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Semne ale unui diamant
1. Un paralelogram cu diagonale perpendiculare este un romb.
\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- paralelogram, \Rightarrow ABCD - romb.
Dovada
ABCD este un paralelogram \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Se mai precizează că AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- pe 2 picioare.
Rezultă că AB = BC = CD = AD.
Dovedit!
2. Când într-un paralelogram cel puțin una dintre diagonale împarte ambele unghiuri (prin care trece) în jumătate, atunci această cifră va fi un romb.
Dovada
Într-o notă: nu orice figură (cuadratunghi) cu diagonale perpendiculare va fi un romb.
De exemplu:
Acesta nu mai este un romb, în ciuda perpendicularității diagonalelor.
Pentru a diferenția, merită să ne amintim că mai întâi patrulaterul trebuie să fie un paralelogram și să aibă