การหาระดับของการวัดมุม: เฉียบพลัน, ตรง, ป้าน มุมป้าน. ประเภทของมุมและเรขาคณิต

ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานอย่างหนึ่งอย่างครอบคลุม นั่นก็คือมุม เริ่มจากแนวคิดและคำจำกัดความเสริมที่จะนำเราไปสู่คำจำกัดความของมุม หลังจากนี้ เราจะนำเสนอวิธีการกำหนดมุมที่ได้รับการยอมรับ ต่อไปเราจะมาดูรายละเอียดเกี่ยวกับกระบวนการวัดมุมกัน โดยสรุป เราจะแสดงให้เห็นว่าคุณสามารถทำเครื่องหมายมุมในภาพวาดได้อย่างไร เราจัดเตรียมทฤษฎีทั้งหมดด้วยภาพวาดและภาพประกอบกราฟิกที่จำเป็นเพื่อการจดจำเนื้อหาที่ดีขึ้น

การนำทางหน้า

ความหมายของมุม

มุมเป็นหนึ่งในตัวเลขที่สำคัญที่สุดในเรขาคณิต คำจำกัดความของมุมถูกกำหนดโดยนิยามของรังสี ในทางกลับกัน ไม่สามารถรับความคิดเกี่ยวกับรังสีได้หากปราศจากความรู้เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตเช่นจุด เส้นตรง และระนาบ ดังนั้น ก่อนที่จะทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของมุม เราขอแนะนำให้ทบทวนทฤษฎีจากส่วนต่างๆ และ

ดังนั้น เราจะเริ่มจากแนวคิดเรื่องจุด เส้นบนระนาบ และระนาบ

ก่อนอื่นให้เราให้คำจำกัดความของรังสีก่อน

ให้เราได้รับเส้นตรงบนเครื่องบิน ให้เราเขียนแทนด้วยตัวอักษร a ให้ O เป็นจุดใดจุดหนึ่งของเส้น a จุด O แบ่งเส้น a ออกเป็นสองส่วน แต่ละส่วนเหล่านี้พร้อมกับจุด O เรียกว่า คานและเรียกจุด O จุดเริ่มต้นของรังสี. คุณยังสามารถได้ยินว่าลำแสงเรียกว่าอะไร กึ่งทางตรง.

เพื่อความกระชับและสะดวกสบายจึงมีการนำสัญลักษณ์สำหรับรังสีต่อไปนี้มาใช้: รังสีจะแสดงด้วยอักษรละตินตัวเล็ก (เช่น ray p หรือ ray k) หรือด้วยอักษรละตินขนาดใหญ่สองตัว โดยอักษรตัวแรกตรงกับจุดเริ่มต้นของ รังสี และจุดที่สองหมายถึงจุดใดจุดหนึ่งของรังสีนี้ (เช่น รังสี OA หรือรังสีซีดี) ให้เราแสดงภาพและการกำหนดรังสีในภาพวาด

ตอนนี้เราสามารถให้คำจำกัดความแรกของมุมได้

คำนิยาม.

มุม- นี่คือรูปทรงเรขาคณิตแบน (นั่นคือนอนอยู่ในระนาบหนึ่งทั้งหมด) ซึ่งประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกันสองอันที่มีต้นกำเนิดร่วมกัน แต่ละรังสีเรียกว่า ด้านข้างของมุมเรียกว่าจุดกำเนิดร่วมของด้านของมุม จุดยอดของมุม.

เป็นไปได้ว่าด้านข้างของมุมจะเป็นเส้นตรง มุมนี้มีชื่อของตัวเอง

คำนิยาม.

ถ้าทั้งสองด้านของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมนั้นจะถูกเรียกว่า ขยาย.

เรานำเสนอภาพประกอบกราฟิกของมุมที่หมุนให้กับคุณ

หากต้องการระบุมุม ให้ใช้ไอคอนมุม "" หากด้านข้างของมุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก (เช่นด้านหนึ่งของมุมคือ k และอีกด้านคือ h) ดังนั้นเพื่อกำหนดมุมนี้ หลังจากไอคอนมุม ตัวอักษรที่ตรงกับด้านข้างจะถูกเขียนด้วย แถวและลำดับการเขียนไม่สำคัญ (นั่นคือหรือ) หากด้านข้างของมุมถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละตินขนาดใหญ่สองตัว (เช่น ด้านหนึ่งของมุมคือ OA และด้านที่สองของมุมคือ OB) มุมจะถูกกำหนดดังนี้: หลังจากไอคอนมุม สาม มีการเขียนตัวอักษรที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดด้านข้างของมุมและตัวอักษรที่ตรงกับจุดยอดของมุมนั้นจะอยู่ตรงกลาง (ในกรณีของเรามุมจะถูกกำหนดให้เป็น หรือ ) หากจุดยอดของมุมไม่ใช่จุดยอดของมุมอื่น มุมดังกล่าวสามารถเขียนแทนด้วยตัวอักษรที่สอดคล้องกับจุดยอดของมุมนั้น (เช่น ) บางครั้งคุณจะเห็นว่ามุมต่างๆ ในภาพวาดมีเครื่องหมายกำกับไว้ด้วยตัวเลข (1, 2 ฯลฯ) มุมเหล่านี้ถูกกำหนดเป็นและอื่นๆ เพื่อความชัดเจน เราขอนำเสนอภาพวาดซึ่งมีการแสดงและระบุมุมต่างๆ

มุมใดก็ตามจะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ยิ่งกว่านั้นหากไม่หมุนมุมก็จะเรียกส่วนหนึ่งของระนาบ พื้นที่มุมด้านใน, และอื่น ๆ - พื้นที่มุมด้านนอก. รูปภาพต่อไปนี้จะอธิบายว่าส่วนใดของเครื่องบินที่สอดคล้องกับพื้นที่ภายในของมุมและส่วนใดของเครื่องบินที่อยู่ภายนอก

ส่วนใดๆ ในสองส่วนที่มีมุมที่กางออกแบ่งระนาบนั้น ถือได้ว่าเป็นพื้นที่ภายในของมุมที่กางออก

การกำหนดขอบเขตภายในของมุมทำให้เราเข้าใจคำจำกัดความที่สองของมุม

คำนิยาม.

มุมเป็นรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีที่แตกต่างกันสองรังสีซึ่งมีจุดกำเนิดร่วมกันและพื้นที่ภายในของมุมที่สอดคล้องกัน

ควรสังเกตว่าคำจำกัดความที่สองของมุมนั้นเข้มงวดกว่าคำจำกัดความแรกเนื่องจากมีเงื่อนไขมากกว่า อย่างไรก็ตาม ไม่ควรละทิ้งคำจำกัดความแรกของมุม และไม่ควรพิจารณาคำจำกัดความที่หนึ่งและที่สองของมุมแยกกัน มาชี้แจงประเด็นนี้กัน เมื่อเราพูดถึงมุมที่เป็นรูปทรงเรขาคณิต มุมนั้นก็เข้าใจว่าเป็นรูปที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่มีต้นกำเนิดร่วมกัน หากจำเป็นต้องดำเนินการใดๆ กับมุมนี้ (เช่น การวัดมุม) ควรเข้าใจมุมนั้นว่าเป็นรังสีสองเส้นที่มีจุดเริ่มต้นและพื้นที่ภายในร่วมกัน (ไม่เช่นนั้นจะเกิดสถานการณ์สองเท่าเนื่องจาก การมีอยู่ของพื้นที่ทั้งภายในและภายนอกของมุม )

ให้เราให้คำจำกัดความของมุมที่อยู่ติดกันและมุมแนวตั้งด้วย

คำนิยาม.

มุมที่อยู่ติดกัน- นี่คือมุมสองมุมที่ด้านหนึ่งเป็นมุมร่วม และอีกสองมุมเป็นมุมที่กางออก

จากคำจำกัดความจะเป็นไปตามว่ามุมที่อยู่ติดกันประกอบกันจนกระทั่งมุมถูกหมุน

คำนิยาม.

มุมแนวตั้ง- นี่คือมุมสองมุมที่ด้านของมุมหนึ่งต่อจากด้านของอีกมุมหนึ่ง

รูปนี้แสดงมุมแนวตั้ง

แน่นอนว่า เส้นตัดกันสองเส้นประกอบเป็นมุมที่อยู่ติดกันสี่คู่และมุมแนวตั้งสองคู่

การเปรียบเทียบมุม

ในย่อหน้านี้ของบทความนี้ เราจะเข้าใจคำจำกัดความของมุมที่เท่ากันและไม่เท่ากัน และในกรณีของมุมที่ไม่เท่ากัน เราจะอธิบายว่ามุมใดถือว่าใหญ่กว่าและมุมใดเล็กกว่า

โปรดจำไว้ว่ารูปทรงเรขาคณิตสองรูปเรียกว่าเท่ากันหากสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน

ให้เราได้รับสองมุม ขอให้เราให้เหตุผลที่ช่วยให้เราได้คำตอบสำหรับคำถาม: “มุมทั้งสองนี้เท่ากันหรือไม่”

แน่นอนว่าเราสามารถจับคู่จุดยอดของมุมทั้งสองได้เสมอ เช่นเดียวกับด้านหนึ่งของมุมแรกกับด้านใดด้านหนึ่งของมุมที่สอง ลองจัดด้านของมุมแรกให้ตรงกับด้านนั้นของมุมที่สอง เพื่อให้ด้านที่เหลือของมุมอยู่ด้านเดียวกับเส้นตรงที่ด้านที่รวมกันของมุมนั้นอยู่ จากนั้นถ้าอีกสองด้านของมุมตรงกัน มุมนั้นจะถูกเรียก เท่ากัน.

ถ้าอีกสองมุมของมุมไม่ตรงกัน มุมนั้นจะถูกเรียก ไม่เท่ากัน, และ เล็กกว่ามุมที่เป็นส่วนหนึ่งของมุมอื่นถือว่า ( ใหญ่คือมุมที่มีอีกมุมหนึ่งอยู่ครบ)

แน่นอนว่ามุมตรงทั้งสองมุมเท่ากัน เห็นได้ชัดว่ามุมที่พัฒนาแล้วนั้นมากกว่ามุมที่ไม่พัฒนาใดๆ

การวัดมุม

การวัดมุมขึ้นอยู่กับการเปรียบเทียบมุมที่วัดกับมุมที่ใช้เป็นหน่วยวัด กระบวนการวัดมุมมีลักษณะดังนี้: เริ่มต้นจากด้านใดด้านหนึ่งของมุมที่จะวัด พื้นที่ภายในจะเต็มไปด้วยมุมเดี่ยวตามลำดับ โดยวางไว้ติดกันอย่างแน่นหนา ในเวลาเดียวกันจะจำจำนวนมุมที่วางซึ่งให้การวัดมุมที่วัดได้

ที่จริงแล้ว มุมใดๆ ก็สามารถนำมาใช้เป็นหน่วยวัดมุมได้ อย่างไรก็ตาม มีหน่วยวัดมุมที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปหลายหน่วยที่เกี่ยวข้องกับสาขาวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีต่างๆ ซึ่งได้รับชื่อพิเศษ

หนึ่งในหน่วยวัดมุมก็คือ ระดับ.

คำนิยาม.

ระดับหนึ่ง- นี่คือมุมเท่ากับหนึ่งร้อยแปดสิบของมุมเลี้ยว

องศาจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ "" ดังนั้น องศาหนึ่งจึงแสดงเป็น

ดังนั้น ในมุมที่หมุนแล้ว เราสามารถใส่มุม 180 มุมให้เท่ากับ 1 องศาได้ จะมีลักษณะเป็นพายครึ่งวงกลมตัดเป็น 180 ชิ้นเท่าๆ กัน สำคัญมาก: “ชิ้นส่วนของพาย” พอดีกันแน่น (นั่นคือ ด้านข้างของมุมอยู่ในแนวเดียวกัน) โดยด้านข้างของมุมแรกชิดกับด้านหนึ่งของมุมที่กางออก และด้านข้างของมุมหน่วยสุดท้าย เกิดขึ้นพร้อมกับอีกด้านของมุมที่กางออก

เมื่อวัดมุม ให้ค้นหาว่ามีการวางองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่นๆ) ไว้ในมุมที่วัดกี่ครั้งจนกระทั่งครอบคลุมพื้นที่ด้านในของมุมที่วัดจนหมด ดังที่เราได้เห็นแล้วว่า ในมุมที่หมุนแล้ว องศาจะเท่ากับ 180 เท่าพอดี ด้านล่างนี้เป็นตัวอย่างของมุมที่มุมหนึ่งองศาพอดี 30 เท่าพอดี (มุมดังกล่าวเป็นมุมที่หกของมุมที่กางออก) และ 90 เท่าพอดี (ครึ่งหนึ่งของมุมที่กางออก)

ในการวัดมุมที่น้อยกว่าหนึ่งองศา (หรือหน่วยวัดมุมอื่น ๆ ) และในกรณีที่ไม่สามารถวัดมุมด้วยจำนวนองศาทั้งหมดได้ (นำหน่วยวัดมาใช้) จำเป็นต้องใช้ส่วนขององศา (ส่วนของ ใช้หน่วยวัด) บางส่วนของปริญญามีชื่อพิเศษ ที่พบบ่อยที่สุดคือสิ่งที่เรียกว่านาทีและวินาที

คำนิยาม.

นาทีคือหนึ่งในหกสิบของปริญญา

คำนิยาม.

ที่สองคือหนึ่งในหกสิบของนาที

กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีหกสิบวินาทีในหนึ่งนาที และหกสิบนาทีในหนึ่งองศา (3,600 วินาที) สัญลักษณ์ “” ใช้เพื่อแสดงถึงนาที และใช้สัญลักษณ์ “” เพื่อแสดงถึงวินาที (อย่าสับสนกับอนุพันธ์และเครื่องหมายอนุพันธ์อันดับสอง) จากนั้น ด้วยคำจำกัดความและสัญลักษณ์ที่แนะนำ เรามี และมุมที่พอดี 17 องศา 3 นาที 59 วินาที สามารถแสดงเป็น

คำนิยาม.

องศาการวัดมุมคือจำนวนบวกที่แสดงจำนวนครั้งขององศาและส่วนต่างๆ ขององศานั้นพอดีในมุมที่กำหนด

ตัวอย่างเช่น การวัดระดับของมุมที่พัฒนาแล้วคือหนึ่งร้อยแปดสิบ และการวัดระดับของมุมจะเท่ากับ .

มีเครื่องมือวัดพิเศษสำหรับการวัดมุมซึ่งมีชื่อเสียงที่สุดคือไม้โปรแทรกเตอร์

หากทราบทั้งการกำหนดมุม (เช่น ) และการวัดระดับ (ให้ 110) ให้ใช้รูปแบบสั้นๆ และพวกเขาพูดว่า: "มุม AOB เท่ากับหนึ่งร้อยสิบองศา"

จากคำจำกัดความของมุมและการวัดระดับของมุม ตามมาด้วยว่าในเรขาคณิต การวัดมุมเป็นองศาจะแสดงด้วยจำนวนจริงจากช่วง (0, 180] (ในวิชาตรีโกณมิติ มุมที่มีระดับใดก็ได้ ถือว่าวัดเรียกว่า) มุมเก้าสิบองศามีชื่อพิเศษเรียกว่า มุมฉาก. เรียกว่ามุมที่น้อยกว่า 90 องศา มุมแหลม. เรียกว่ามุมที่มากกว่าเก้าสิบองศา มุมป้าน. ดังนั้น การวัดมุมแหลมในหน่วยองศาจะแสดงเป็นตัวเลขจากช่วง (0, 90) การวัดมุมป้านจะแสดงเป็นตัวเลขจากช่วง (90, 180) ซึ่งมุมขวาจะเท่ากับ เก้าสิบองศา ต่อไปนี้เป็นภาพประกอบของมุมแหลม มุมป้าน และ มุมฉาก.

จากหลักการวัดมุม จะเป็นไปตามว่า การวัดระดับของมุมที่เท่ากันจะเท่ากัน การวัดระดับของมุมที่ใหญ่กว่าจะมากกว่าการวัดระดับของมุมที่เล็กกว่า และการวัดระดับของมุมที่ประกอบขึ้นด้วยหลาย ๆ มุมเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมส่วนประกอบ รูปด้านล่างแสดงมุม AOB ซึ่งประกอบขึ้นด้วยมุม AOC, COD และ DOB ในกรณีนี้

ดังนั้น, ผลรวมของมุมที่อยู่ติดกันคือหนึ่งร้อยแปดสิบองศาเนื่องจากพวกมันสร้างมุมตรง

จากข้อความนี้เป็นไปตามนั้น แท้จริงแล้ว ถ้ามุม AOB และ COD เป็นแนวตั้ง มุม AOB และ BOC จะอยู่ประชิดกัน และมุม COD และ BOC ก็อยู่ติดกันด้วย ดังนั้น ความเท่าเทียมกัน และใช้ได้ ซึ่งแสดงถึงความเท่าเทียมกัน

นอกจากระดับแล้ว ยังเรียกหน่วยวัดที่สะดวกสำหรับมุมอีกด้วย เรเดียน. การวัดเรเดียนใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาตรีโกณมิติ มานิยามเรเดียนกันดีกว่า.

คำนิยาม.

มุมหนึ่งเรเดียน- นี้ มุมกลางซึ่งสอดคล้องกับความยาวส่วนโค้งเท่ากับความยาวของรัศมีของวงกลมที่สอดคล้องกัน

ลองให้ภาพกราฟิกของมุมหนึ่งเรเดียนดู ในรูปวาด ความยาวของรัศมี OA (เช่นเดียวกับรัศมี OB) เท่ากับความยาวของส่วนโค้ง AB ดังนั้น ตามนิยามแล้ว มุม AOB จะเท่ากับหนึ่งเรเดียน

อักษรย่อ “rad” ใช้แทนเรเดียน ตัวอย่างเช่น รายการ 5 rad หมายถึง 5 เรเดียน อย่างไรก็ตาม ในการเขียนคำว่า "rad" มักถูกมองข้ามไป ตัวอย่างเช่น เมื่อเขียนว่ามุมเท่ากับพาย ก็หมายถึงพายราด

เป็นที่น่าสังเกตว่าขนาดของมุมที่แสดงเป็นเรเดียนนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับความยาวของรัศมีของวงกลม นี่เป็นเพราะความจริงที่ว่าตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยมุมที่กำหนดและส่วนโค้งของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุมที่กำหนดนั้นมีความคล้ายคลึงกัน

การวัดมุมเป็นเรเดียนสามารถทำได้ในลักษณะเดียวกับการวัดมุมเป็นองศา: ค้นหาว่ามุมของหนึ่งเรเดียน (และส่วนของมัน) พอดีกับมุมที่กำหนดกี่ครั้ง หรือคุณสามารถคำนวณความยาวส่วนโค้งของมุมศูนย์กลางที่สอดคล้องกัน แล้วหารด้วยความยาวของรัศมี

เพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติ จะมีประโยชน์ที่จะรู้ว่าการวัดระดับและเรเดียนเกี่ยวข้องกันอย่างไร เนื่องจากต้องทำหลายอย่างมาก บทความนี้สร้างความเชื่อมโยงระหว่างการวัดมุมแบบองศาและเรเดียน และยกตัวอย่างการแปลงองศาเป็นเรเดียนและในทางกลับกัน

การกำหนดมุมในภาพวาด

ในภาพวาดเพื่อความสะดวกและชัดเจนสามารถทำเครื่องหมายมุมด้วยส่วนโค้งซึ่งมักจะวาดที่บริเวณด้านในของมุมจากด้านหนึ่งของมุมไปอีกด้านหนึ่ง มุมที่เท่ากันจะถูกทำเครื่องหมายด้วยจำนวนส่วนโค้งเท่ากัน มุมที่ไม่เท่ากันและจำนวนส่วนโค้งต่างกัน มุมขวาในภาพวาดจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ของรูปแบบ "" ซึ่งปรากฎในพื้นที่ด้านในของมุมขวาจากด้านหนึ่งของมุมไปอีกด้านหนึ่ง

หากคุณต้องทำเครื่องหมายมุมที่แตกต่างกันจำนวนมากในภาพวาด (โดยปกติจะมากกว่าสาม) จากนั้นเมื่อทำเครื่องหมายมุมนอกเหนือจากส่วนโค้งธรรมดาจะอนุญาตให้ใช้ส่วนโค้งประเภทพิเศษบางประเภทได้ ตัวอย่างเช่น คุณสามารถพรรณนาส่วนโค้งหยักหรือสิ่งที่คล้ายกันได้

ควรสังเกตว่าคุณไม่ควรละเลยการกำหนดมุมในภาพวาดและอย่าทำให้ภาพวาดเกะกะ เราแนะนำให้ทำเครื่องหมายเฉพาะมุมที่จำเป็นในกระบวนการแก้ปัญหาหรือพิสูจน์อักษร

บรรณานุกรม.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. เรขาคณิต. เกรด 7 – 9: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
Pogorelov A.V. เรขาคณิต หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-11 ในสถาบันการศึกษาทั่วไป

26 มิถุนายน 2556

เริ่มต้นด้วยการกำหนดว่ามุมคืออะไร ประการแรก มันเป็นรูปทรงเรขาคณิต ประการที่สอง มันถูกสร้างขึ้นจากรังสีสองดวงซึ่งเรียกว่าด้านข้างของมุม ประการที่สาม จุดหลังโผล่ออกมาจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดยอดของมุม จากคุณลักษณะเหล่านี้ เราสามารถสร้างคำจำกัดความได้: มุมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้น (ด้าน) โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอด)

โดยจำแนกตามค่าระดับ ตามตำแหน่งที่สัมพันธ์กัน และสัมพันธ์กับวงกลม เริ่มจากประเภทของมุมตามขนาดกันก่อน

มีหลายพันธุ์ มาดูแต่ละประเภทกันดีกว่า

มุมหลักมีเพียงสี่ประเภทเท่านั้น ได้แก่ มุมตรง มุมป้าน มุมแหลม และมุมตรง

ตรง

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมันคือ 90 o เสมอ หรืออีกนัยหนึ่ง มุมฉากก็คือมุม 90 องศา มีเพียงรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมผืนผ้าเท่านั้นที่มี

ทื่อ

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมุมป้านจะมากกว่า 90° เสมอ แต่น้อยกว่า 180° สามารถพบได้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ และในรูปหลายเหลี่ยม

เผ็ด

ดูเหมือนว่านี้:

องศาของมุมแหลมจะน้อยกว่า 90° เสมอ พบได้ในทุกรูปสี่เหลี่ยม ยกเว้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและสี่เหลี่ยมด้านขนานใดๆ

ขยายแล้ว

มุมที่กางออกมีลักษณะดังนี้:

มันไม่ได้เกิดขึ้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่ารูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ทั้งหมด มุมตรงคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีหน่วยวัดองศาอยู่ที่ 180 องศาเสมอ คุณสามารถสร้างมุมที่อยู่ติดกันบนมุมนั้นได้โดยวาดรังสีตั้งแต่หนึ่งเส้นขึ้นไปจากจุดยอดไปในทิศทางใดก็ได้

มีมุมเล็กๆ อีกหลายประเภท พวกเขาไม่ได้รับการศึกษาในโรงเรียน แต่อย่างน้อยก็จำเป็นต้องรู้เกี่ยวกับการดำรงอยู่ของพวกเขา มุมรองมีเพียงห้าประเภทเท่านั้น:

1. ศูนย์

ดูเหมือนว่านี้:

ชื่อของมุมนั้นบ่งบอกถึงขนาดของมันแล้ว พื้นที่ภายในคือ 0° และด้านข้างวางซ้อนกันดังแสดงในรูป

2. เฉียง

มุมเฉียงอาจเป็นมุมตรง มุมป้าน มุมแหลม หรือมุมตรง เงื่อนไขหลักคือไม่ควรเท่ากับ 0 o, 90 o, 180 o, 270 o

3. นูน

มุมนูน ได้แก่ มุมศูนย์ มุมตรง มุมป้าน มุมแหลม และมุมตรง ดังที่คุณเข้าใจแล้ว องศาของมุมนูนคือตั้งแต่ 0° ถึง 180°

4. ไม่นูน

มุมที่มีขนาดตั้งแต่ 181° ถึง 359° รวมมุมไม่นูน

5. เต็ม

มุมที่สมบูรณ์คือ 360 องศา

เหล่านี้คือมุมทุกประเภทตามขนาดของมัน ตอนนี้เรามาดูประเภทของพวกเขาตามตำแหน่งบนเครื่องบินที่สัมพันธ์กัน

1. เพิ่มเติม

มุมแหลมสองมุมเหล่านี้ประกอบเป็นเส้นตรงเส้นเดียว กล่าวคือ ผลรวมของพวกเขาคือ 90 o

2. ที่อยู่ติดกัน

มุมที่อยู่ติดกันจะเกิดขึ้นหากรังสีถูกส่งผ่านมุมที่กางออก หรือผ่านจุดยอดของมันไปในทิศทางใดก็ได้ ผลรวมของพวกเขาคือ 180 o

3. แนวตั้ง

มุมแนวตั้งเกิดขึ้นเมื่อเส้นตรงสองเส้นตัดกัน การวัดระดับปริญญาของพวกเขาเท่ากัน

ทีนี้มาดูประเภทของมุมที่สัมพันธ์กับวงกลมกันดีกว่า มีเพียงสองอันเท่านั้น: ตรงกลางและจารึกไว้

1.ภาคกลาง

มุมที่ศูนย์กลางคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางวงกลม การวัดระดับจะเท่ากับการวัดระดับของส่วนโค้งเล็กๆ ที่ยื่นออกไปด้านข้าง

2. จารึกไว้

มุมที่จารึกไว้คือมุมที่มีจุดยอดอยู่บนวงกลมและมีด้านตัดกัน การวัดระดับจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนโค้งที่มันวางอยู่

แค่นั้นแหละสำหรับมุม ตอนนี้คุณรู้แล้วว่านอกเหนือจากสิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุด - เฉียบพลัน, ป้าน, ตรงและปรับใช้ - ยังมีประเภทอื่น ๆ อีกมากมายในเรขาคณิต

ที่มา: fb.ru

ปัจจุบัน

เบ็ดเตล็ด
เบ็ดเตล็ด

มุมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้นที่แตกต่างกันซึ่งเล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง ในกรณีนี้ รังสีเหล่านี้เรียกว่าด้านของมุม จุดที่เป็นจุดเริ่มของรังสีเรียกว่าจุดยอดของมุม ในภาพ คุณสามารถเห็นมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุดนั้น เกี่ยวกับและฝ่ายต่างๆ เคและ ม.

จุด A และ C ถูกทำเครื่องหมายไว้ที่ด้านข้างของมุม มุมนี้สามารถกำหนดเป็นมุม AOC ได้ ตรงกลางจะต้องมีชื่อของจุดที่จุดยอดของมุมนั้นอยู่ นอกจากนี้ยังมีการกำหนดอื่นๆ อีก เช่น มุม O หรือมุมกม. ในเรขาคณิต แทนที่จะใช้คำว่า มุม มักเขียนสัญลักษณ์พิเศษ

มุมที่พัฒนาแล้วและไม่ขยาย

ถ้าทั้งสองด้านของมุมอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน มุมนั้นจะถูกเรียกว่า ขยายมุม. นั่นคือด้านหนึ่งของมุมคือความต่อเนื่องของอีกด้านหนึ่งของมุม รูปด้านล่างแสดงมุมที่ขยาย O

ควรสังเกตว่ามุมใดๆ จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ถ้ามุมไม่กางออก ส่วนใดส่วนหนึ่งเรียกว่าบริเวณภายในของมุม และอีกส่วนหนึ่งเรียกว่าบริเวณภายนอกของมุมนี้ รูปด้านล่างแสดงมุมที่ยังไม่ได้รับการพัฒนาและทำเครื่องหมายบริเวณด้านนอกและด้านในของมุมนี้

ในกรณีของมุมที่พัฒนาแล้ว หนึ่งในสองส่วนที่แบ่งระนาบสามารถถือเป็นขอบเขตด้านนอกของมุมได้ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับตำแหน่งของจุดที่สัมพันธ์กับมุมได้ จุดอาจอยู่นอกมุม (ในพื้นที่ด้านนอก) อาจอยู่ที่ด้านใดด้านหนึ่งหรืออาจนอนอยู่ในมุม (ในพื้นที่ด้านใน)

ในรูปด้านล่าง จุด A อยู่ด้านนอกมุม O จุด B อยู่ที่ด้านหนึ่งของมุม และจุด C อยู่ภายในมุม

การวัดมุม

ในการวัดมุมมีอุปกรณ์ที่เรียกว่าไม้โปรแทรกเตอร์ หน่วยของมุมคือ ระดับ. ควรสังเกตว่าแต่ละมุมมีการวัดระดับหนึ่งซึ่งมากกว่าศูนย์

มุมจะแบ่งออกเป็นหลายกลุ่ม ขึ้นอยู่กับการวัดระดับ

เริ่มต้นด้วยการกำหนดว่ามุมคืออะไร ประการแรก มันคือ ประการที่สอง มันเกิดขึ้นจากรังสีสองดวง ซึ่งเรียกว่าด้านของมุม ประการที่สาม จุดหลังโผล่ออกมาจากจุดหนึ่งซึ่งเรียกว่าจุดยอดของมุม จากคุณลักษณะเหล่านี้ เราสามารถสร้างคำจำกัดความได้: มุมคือรูปทรงเรขาคณิตที่ประกอบด้วยรังสีสองเส้น (ด้าน) โผล่ออกมาจากจุดหนึ่ง (จุดยอด)

มีหลายพันธุ์ มาดูแต่ละประเภทกันดีกว่า

ตรง

ดูเหมือนว่านี้:

ทื่อ

ดูเหมือนว่านี้:

การวัดระดับจะมากกว่า 90 o เสมอ แต่น้อยกว่า 180 o สามารถพบได้ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เช่น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจ และในรูปหลายเหลี่ยม

เผ็ด

ดูเหมือนว่านี้:

ขยายแล้ว

มุมที่กางออกมีลักษณะดังนี้:

มันไม่ได้เกิดขึ้นในรูปหลายเหลี่ยม แต่มีความสำคัญไม่น้อยไปกว่ารูปหลายเหลี่ยมอื่นๆ ทั้งหมด มุมตรงคือรูปทรงเรขาคณิตที่มีหน่วยวัดองศาอยู่ที่ 180 องศาเสมอ คุณสามารถสร้างมันขึ้นมาได้โดยวาดรังสีหนึ่งเส้นขึ้นไปจากด้านบนไปในทิศทางใดก็ได้

1. ศูนย์

ดูเหมือนว่านี้:

2. เฉียง

3. นูน

4. ไม่นูน

มุมที่มีขนาดตั้งแต่ 181° ถึง 359° รวมมุมไม่นูน

5. เต็ม

มุมที่สมบูรณ์คือ 360 องศา

1. เพิ่มเติม

2. ที่อยู่ติดกัน

3. แนวตั้ง

1.ภาคกลาง

2. จารึกไว้

แต่ละมุม ขึ้นอยู่กับขนาดของมัน มีชื่อของตัวเอง:

ประเภทมุม	ขนาดเป็นองศา	ตัวอย่าง
เผ็ด	น้อยกว่า 90°
ตรง	เท่ากับ 90° ในภาพวาด มุมขวามักจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่ดึงจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่ง
ทื่อ	มากกว่า 90° แต่น้อยกว่า 180°
ขยายแล้ว	เท่ากับ 180° มุมตรงเท่ากับผลรวมของมุมฉากสองมุม และมุมฉากคือครึ่งหนึ่งของมุมตรง
นูน	มากกว่า 180° แต่น้อยกว่า 360°
เต็ม	เท่ากับ 360°

ทั้งสองมุมเรียกว่า ที่อยู่ติดกันถ้ามีด้านหนึ่งเหมือนกัน และอีกสองด้านเป็นเส้นตรง:

มุม ซับและ ปอนติดกันตั้งแต่ลำแสง อพ- ด้านร่วมและอีกสองด้าน - โอมและ บนสร้างเส้นตรง

ด้านร่วมของมุมที่อยู่ติดกันเรียกว่าด้านร่วมของมุมที่อยู่ติดกัน เฉียงไปทางตรงซึ่งอีกสองด้านวางอยู่ เฉพาะในกรณีที่มุมที่อยู่ติดกันไม่เท่ากันเท่านั้น ถ้ามุมที่อยู่ติดกันเท่ากัน ด้านร่วมของมันจะเท่ากับ ตั้งฉาก.

ผลรวมของมุมประชิดคือ 180°

ทั้งสองมุมเรียกว่า แนวตั้งถ้าด้านของมุมหนึ่งประกอบกับด้านของอีกมุมหนึ่งเป็นเส้นตรง:

มุมที่ 1 และ 3 รวมถึงมุมที่ 2 และ 4 นั้นเป็นแนวตั้ง

มุมแนวตั้งจะเท่ากัน

ให้เราพิสูจน์ว่ามุมแนวตั้งเท่ากัน:

ผลรวมของ ∠1 และ ∠2 เป็นมุมตรง และผลรวมของ ∠3 และ ∠2 เป็นมุมตรง ดังนั้นทั้งสองจำนวนนี้จึงเท่ากัน:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

ในความเท่าเทียมกันนี้ มีคำที่เหมือนกันทางซ้ายและขวา - ∠2 ความเท่าเทียมกันจะไม่ถูกละเมิดหากละเว้นคำนี้ทางซ้ายและขวา แล้วเราจะได้รับมัน