Higher order derivatives

Sa araling ito matututunan natin kung paano maghanap ng mga derivatives ng mas mataas na mga order, pati na rin isulat ang pangkalahatang formula para sa "nth" derivative. Bilang karagdagan, ang pormula ni Leibniz para sa naturang derivative at, sa pamamagitan ng popular na demand, mga mas mataas na order na derivatives ng implicit function. Iminumungkahi kong kumuha ka kaagad ng mini-test:

Narito ang function: at narito ang unang derivative nito:

Kung sakaling mayroon kang anumang mga paghihirap/pagkalito tungkol sa halimbawang ito, mangyaring magsimula sa dalawang pangunahing artikulo ng aking kurso: Paano mahahanap ang derivative? At Derivative ng isang kumplikadong function. Pagkatapos ng mastering elementary derivatives, inirerekomenda ko na basahin mo ang aralin Ang pinakasimpleng mga problema sa mga derivatives, kung saan namin nakipag-usap, sa partikular pangalawang derivative.

Hindi mahirap hulaan na ang pangalawang derivative ay ang derivative ng 1st derivative:

Sa prinsipyo, ang pangalawang derivative ay itinuturing na isang higher order derivative.

Katulad nito: ang pangatlong derivative ay ang derivative ng 2nd derivative:

Ang pang-apat na derivative ay ang derivative ng 3rd derivative:

Ikalimang derivative: , at malinaw na ang lahat ng derivatives ng mas matataas na order ay magiging katumbas din ng zero:

Bilang karagdagan sa Roman numbering, ang mga sumusunod na notasyon ay kadalasang ginagamit sa pagsasanay:
, ang derivative ng "nth" order ay tinutukoy ng . Sa kasong ito, ang superscript ay dapat na nakapaloob sa mga panaklong– upang makilala ang derivative mula sa “y” sa degree.

Minsan may makikita kang ganito: – pangatlo, pang-apat, panglima, ..., mga derivatives ng “nth”, ayon sa pagkakabanggit.

Pasulong nang walang takot at pag-aalinlangan:

Halimbawa 1

Ang function ay ibinigay. Hanapin ang .

Solusyon: ano ang masasabi mo... - sige para sa ikaapat na derivative :)

Hindi na kaugalian na maglagay ng apat na stroke, kaya lumipat kami sa mga numerical na indeks:

Sagot:

Okay, ngayon isipin natin ang tanong na ito: ano ang gagawin kung ang kundisyon ay nangangailangan ng paghahanap hindi ang ika-4, ngunit halimbawa, ang ika-20 na derivative? Kung para sa derivative 3-4-5th (maximum na ika-6-7) pagkakasunud-sunod ng magnitude, ang solusyon ay napormal nang mabilis, pagkatapos ay hindi tayo "makakapunta sa" mga derivatives ng mas mataas na mga order sa lalong madaling panahon. Sa katunayan, huwag isulat ang 20 linya! Sa ganoong sitwasyon, kailangan mong pag-aralan ang ilang mga derivatives na natagpuan, tingnan ang pattern at lumikha ng isang formula para sa "nth" derivative. Kaya, sa Halimbawa Blg. 1 madaling maunawaan na sa bawat kasunod na pagkita ng kaibhan ng karagdagang "tatlo" ay "pop up" sa harap ng exponent, at sa anumang hakbang ang antas ng "tatlo" ay katumbas ng bilang ng ang derivative, samakatuwid:

Nasaan ang isang arbitrary na natural na numero.

At sa katunayan, kung , kung gayon ang eksaktong 1st derivative ay nakuha: , kung – pagkatapos ay ika-2: atbp. Kaya, ang ikadalawampu derivative ay agad na tinutukoy: – at walang "mga sheet na may haba na kilometro"!

Warming up sa ating sarili:

Halimbawa 2

Maghanap ng mga function. Isulat ang order derivative

Ang solusyon at sagot ay nasa katapusan ng aralin.

Pagkatapos ng isang nakapagpapalakas na warm-up, isasaalang-alang namin ang mas kumplikadong mga halimbawa kung saan gagawin namin ang algorithm ng solusyon sa itaas. Para sa mga nagawang maging pamilyar sa aralin Limitasyon ng pagkakasunud-sunod, magiging mas madali ito:

Halimbawa 3

Maghanap ng function.

Solusyon: para linawin ang sitwasyon, maghanap tayo ng ilang derivatives:

Hindi kami nagmamadaling i-multiply ang mga resultang numero! ;-)


Marahil sapat na iyon. ...Nag-overboard pa ako ng konti.

Ang susunod na hakbang ay pinakamahusay na gumawa ng formula para sa "nth" derivative (kung hindi ito kailangan ng kundisyon, maaari kang makayanan gamit ang draft). Upang gawin ito, tinitingnan namin ang mga resulta na nakuha at tinutukoy ang mga pattern kung saan nakuha ang bawat kasunod na derivative.

Una, sila ay kahalili. Tinitiyak ng pagkakahanay "nagkislap na ilaw", at dahil positibo ang 1st derivative, ang sumusunod na salik ay papasok sa pangkalahatang formula: . Ang isang katumbas na opsyon ay gagana rin, ngunit sa personal, bilang isang optimist, gusto ko ang plus sign =)

Pangalawa, sa numerator "winds up" factorial, at ito ay "nahuhuli" sa likod ng derivative number ng isang unit:

At pangatlo, ang kapangyarihan ng "dalawa" sa numerator ay tumataas, na katumbas ng bilang ng derivative. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa antas ng denominator. Sa wakas:

Upang suriin, palitan natin ang ilang mga halaga ng "en", halimbawa, at :

Mahusay, ngayon ang paggawa ng pagkakamali ay isang kasalanan lamang:

Sagot:

Isang mas simpleng function upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 4

Maghanap ng mga function.

At isang mas kawili-wiling problema:

Halimbawa 5

Maghanap ng mga function.

Ulitin natin muli ang pamamaraan:

1) Una, nakita namin ang ilang mga derivatives. Upang mahuli ang mga pattern, tatlo o apat ay karaniwang sapat.

2) Pagkatapos ay lubos kong inirerekumenda ang paggawa (hindi bababa sa draft form) Ang "nth" derivative - ito ay garantisadong protektahan ka mula sa mga error. Ngunit magagawa mo nang wala ito, i.e. pagtatantya ng isip at agad na isulat, halimbawa, ang ikadalawampu o ikawalong hinalaw. Bukod dito, ang ilang mga tao sa pangkalahatan ay kayang lutasin ang mga problemang pinag-uusapan nang pasalita. Gayunpaman, dapat mong tandaan na ang "mabilis" na mga pamamaraan ay puno, at ito ay mas mahusay na maging ligtas.

3) Sa huling yugto, sinusuri namin ang "nth" derivative - kumuha ng isang pares ng "nth" na mga halaga (mas mabuti ang mga kalapit) at isagawa ang pagpapalit. At mas mapagkakatiwalaan na suriin ang lahat ng dating nakitang derivatives. Pagkatapos ay pinapalitan namin ito sa nais na halaga, halimbawa, o at maingat na suklayin ang resulta.

Isang maikling solusyon sa mga halimbawa 4 at 5 sa katapusan ng aralin.

Sa ilang mga gawain, upang maiwasan ang mga problema, kailangan mong gumawa ng kaunting magic sa function:

Halimbawa 6

Solusyon: Hindi ko nais na pag-iba-ibahin ang iminungkahing function, dahil magreresulta ito sa isang "masamang" fraction, na lubos na magpapalubha sa paghahanap ng mga kasunod na derivatives.

Sa bagay na ito, ipinapayong magsagawa ng mga paunang pagbabago: ginagamit namin square difference formula At ari-arian ng logarithm :

Ito ay isang ganap na naiibang bagay:

At mga dating kaibigan:

Lahat yata ay tinitingnan. Pakitandaan na ang 2nd fraction ay nagpapalit ng sign, ngunit ang 1st fraction ay hindi. Binubuo namin ang order derivative:

Kontrol:

Well, para sa kagandahan, alisin natin ang factorial sa mga bracket:

Sagot:

Isang kawili-wiling gawain upang malutas sa iyong sarili:

Halimbawa 7

Isulat ang order derivative formula para sa function

At ngayon tungkol sa hindi matitinag na garantiya sa isa't isa na kahit na ang Italian mafia ay inggit:

Halimbawa 8

Ang function ay ibinigay. Hanapin

Ang ikalabing walong derivative sa punto. Basta.

Solusyon: una, malinaw naman, kailangan mong hanapin . Pumunta:

Nagsimula kami sa sinus at natapos sa sinus. Malinaw na sa karagdagang pagkita ng kaibhan ang cycle na ito ay magpapatuloy nang walang katiyakan, at ang sumusunod na tanong ay lumitaw: ano ang pinakamahusay na paraan upang "makarating" sa ikalabing walong derivative?

Ang "amateur" na paraan: mabilis na isulat ang mga numero ng mga kasunod na derivatives sa column sa kanan:

kaya:

Ngunit ito ay gumagana kung ang pagkakasunud-sunod ng derivative ay hindi masyadong malaki. Kung kailangan mong hanapin, sabihin nating, ang hundredth derivative, dapat mong gamitin ang divisibility ng 4. Ang isang daan ay nahahati sa 4 na walang natitira, at madaling makita na ang mga naturang numero ay matatagpuan sa ilalim na linya, samakatuwid: .

Sa pamamagitan ng paraan, ang 18th derivative ay maaari ding matukoy mula sa mga katulad na pagsasaalang-alang:
Ang pangalawang linya ay naglalaman ng mga numero na nahahati sa 4 na may natitirang 2.

Isa pa, mas akademikong pamamaraan ang nakabatay sa periodicity ng sine At mga formula ng pagbabawas. Ginagamit namin ang handa na formula para sa "nth" derivative ng sine , kung saan ang nais na numero ay pinapalitan lamang. Halimbawa:
(pormula ng pagbabawas ) ;
(pormula ng pagbabawas )

Sa kaso natin:

(1) Dahil ang sine ay isang periodic function na may period, ang argument ay maaaring walang sakit na "unscrew" sa 4 na tuldok (i.e.).

Ang order derivative ng produkto ng dalawang function ay matatagpuan gamit ang formula:

Sa partikular:

Hindi na kailangang tandaan ang anumang partikular na bagay, dahil mas maraming formula ang alam mo, mas mababa ang iyong naiintindihan. Ito ay mas kapaki-pakinabang upang maging pamilyar sa iyong sarili binomial ni Newton, dahil ang formula ni Leibniz ay napaka, halos kapareho nito. Well, ang mga masuwerteng makakakuha ng derivative ng ika-7 o mas mataas na mga order (na talagang malabong mangyari), ay mapipilitang gawin ito. Gayunpaman, pagdating ng turn combinatorics– tapos kailangan mo pa =)

Hanapin natin ang pangatlong derivative ng function. Ginagamit namin ang formula ni Leibniz:

Sa kasong ito: . Ang mga derivative ay madaling bigkasin nang pasalita:

Ngayon maingat at MABUTI na gawin ang pagpapalit at pasimplehin ang resulta:

Sagot:

Ang isang katulad na gawain para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 11

Maghanap ng mga tampok

Kung sa nakaraang halimbawa ang "head-on" na solusyon ay nakikipagkumpitensya pa rin sa pormula ni Leibniz, dito ito ay talagang hindi kanais-nais. At mas hindi kasiya-siya - sa kaso ng isang mas mataas na order derivative:

Halimbawa 12

Hanapin ang derivative ng tinukoy na order

Solusyon: ang una at makabuluhang komento ay malamang na hindi mo kailangang magdesisyon ng ganito =) =)

Isulat natin ang mga function at hanapin ang kanilang mga derivatives hanggang sa 5th order inclusive. Ipinapalagay ko na ang mga derivatives ng kanang column ay naging oral para sa iyo:

Sa kaliwang column, ang mga "buhay" na derivative ay mabilis na "natapos" at ito ay napakahusay - tatlong termino sa formula ni Leibniz ay ire-reset sa zero:

Hayaan akong muling tumira sa problema na lumitaw sa artikulo tungkol sa kumplikadong derivatives: Dapat ko bang gawing simple ang resulta? Sa prinsipyo, maaari mong iwanan ito sa ganitong paraan - magiging mas madali para sa guro na suriin. Ngunit maaari niyang hilingin na ang desisyon ay pinal. Sa kabilang banda, ang pagpapasimple sa sariling inisyatiba ay puno ng mga algebraic error. Gayunpaman, mayroon kaming sagot na nakuha sa isang "primitive" na paraan =) (tingnan ang link sa simula) at sana ay tama ito:

Mahusay, ang lahat ay magkasama.

Sagot:

Maligayang gawain para sa independiyenteng solusyon:

Halimbawa 13

Para sa function:
a) hanapin sa pamamagitan ng direktang pagkita ng kaibhan;
b) hanapin gamit ang formula ni Leibniz;
c) kalkulahin .

Hindi, hindi ako sadista - ang puntong "a" dito ay medyo simple =)

Ngunit seryoso, ang "direktang" solusyon sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagkakaiba-iba ay mayroon ding "karapatan sa buhay" - sa ilang mga kaso ang pagiging kumplikado nito ay maihahambing sa pagiging kumplikado ng paglalapat ng formula ng Leibniz. Gamitin kung sa tingin mo ay naaangkop - ito ay malamang na hindi isang dahilan para sa hindi pagtupad sa takdang-aralin.

Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Upang itaas ang huling talata kailangan mong magawa ibahin ang mga implicit na function:

Ang mga derivatives ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng mga function na tinukoy nang tahasan

Marami sa atin ang gumugol ng mahabang oras, araw at linggo ng ating buhay sa pag-aaral mga bilog, mga parabola, hyperbole- at kung minsan ay tila isang tunay na parusa. Kaya't maghiganti tayo at ibahin sila ng maayos!

Magsimula tayo sa "paaralan" na parabola nito canonical na posisyon:

Halimbawa 14

Ang equation ay ibinigay. Hanapin ang .

Solusyon: Ang unang hakbang ay pamilyar:

Ang katotohanan na ang function at ang derivative nito ay ipinahayag nang tahasan ay hindi nagbabago sa esensya ng bagay; ang pangalawang derivative ay ang derivative ng 1st derivative:

Gayunpaman, may mga patakaran ng laro: ang mga derivatives ng ika-2 at mas mataas na mga order ay karaniwang ipinahayag sa pamamagitan lamang ng "X" at "Y". Samakatuwid, pinapalitan namin ang : sa nagreresultang 2nd derivative:

Ang pangatlong derivative ay ang derivative ng 2nd derivative:

Katulad nito, palitan natin:

Sagot:

"School" hyperbole in canonical na posisyon– para sa malayang gawain:

Halimbawa 15

Ang equation ay ibinigay. Hanapin ang .

Inuulit ko na ang 2nd derivative at ang resulta ay dapat na ipahayag lamang sa pamamagitan ng "x" / "y"!

Isang maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Pagkatapos ng mga kalokohan ng mga bata, tingnan natin ang German pornography, tingnan natin ang higit pang mga adultong halimbawa, kung saan matututo tayo ng isa pang mahalagang solusyon:

Halimbawa 16

Ellipse kanyang sarili.

Solusyon: hanapin natin ang 1st derivative:

Ngayon, huminto tayo at pag-aralan ang susunod na punto: ngayon kailangan nating pag-iba-ibahin ang bahagi, na hindi kasiya-siya. Sa kasong ito, ito ay, siyempre, simple, ngunit sa totoong buhay na mga problema ang gayong mga regalo ay napakakaunti at malayo sa pagitan. Mayroon bang paraan upang maiwasan ang paghahanap ng masalimuot na derivative? Umiiral! Kinukuha namin ang equation at ginagamit ang parehong pamamaraan tulad ng kapag naghahanap ng 1st derivative - "nag-hang" kami ng mga stroke sa magkabilang panig:

Ang pangalawang derivative ay dapat na ipahayag lamang sa mga tuntunin ng at , kaya ngayon (ngayon na) Ito ay maginhawa upang mapupuksa ang 1st derivative. Upang gawin ito, palitan ang resultang equation:

Upang maiwasan ang mga hindi kinakailangang teknikal na paghihirap, i-multiply natin ang parehong bahagi sa pamamagitan ng:

At sa huling yugto lamang natin nabubuo ang fraction:

Ngayon ay tinitingnan natin ang orihinal na equation at napansin na ang resulta na nakuha ay maaaring gawing simple:

Sagot:

Paano mahanap ang halaga ng 2nd derivative sa anumang punto (na, siyempre, ay kabilang sa ellipse), halimbawa, sa punto ? Napakadaling! Ang motibong ito ay nakatagpo na sa aralin tungkol sa normal na equation: kailangan mong palitan ang 2nd derivative sa expression :

Siyempre, sa lahat ng tatlong mga kaso posible na makakuha ng tahasang tinukoy na mga pag-andar at pag-iba-ibahin ang mga ito, ngunit pagkatapos ay maging handa sa pag-iisip upang gumana sa dalawang pag-andar na naglalaman ng mga ugat. Sa aking palagay, mas maginhawang isagawa ang solusyon sa "implicit na paraan".

Isang huling halimbawa upang malutas nang mag-isa:

Halimbawa 17

Maghanap ng isang tiyak na tinukoy na function

Ang teksto ng trabaho ay nai-post nang walang mga larawan at mga formula.
Ang buong bersyon ng trabaho ay available sa tab na "Mga Work File" sa format na PDF

"Ako rin, ang binomial ni Newton!»

mula sa nobelang "The Master and Margarita"

"Ang tatsulok ni Pascal ay napakasimple na kahit isang sampung taong gulang na bata ay maaaring isulat ito. Kasabay nito, itinatago nito ang hindi mauubos na mga kayamanan at pinag-uugnay ang iba't ibang aspeto ng matematika na sa unang tingin ay walang pagkakatulad sa isa't isa. Ang mga hindi pangkaraniwang katangian ay nagpapahintulot sa amin na isaalang-alang ang tatsulok ni Pascal na isa sa mga pinaka-eleganteng diagram sa lahat ng matematika."

Martin Gardner.

Layunin ng gawain: gawing pangkalahatan ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon at ipakita ang kanilang aplikasyon sa paglutas ng problema.

Mga gawain:

1) pag-aralan at gawing sistematiko ang impormasyon sa isyung ito;

2) pag-aralan ang mga halimbawa ng mga problema gamit ang binomial at mga formula ni Newton para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan.

Mga bagay ng pag-aaral: Binomial ni Newton, mga pormula para sa mga kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan.

Mga pamamaraan ng pananaliksik:

Makipagtulungan sa pang-edukasyon at sikat na literatura sa agham, mga mapagkukunan sa Internet.

Pagkalkula, paghahambing, pagsusuri, pagkakatulad.

Kaugnayan. Ang isang tao ay madalas na kailangang harapin ang mga problema kung saan kailangan niyang bilangin ang bilang ng lahat ng posibleng paraan ng paglalagay ng ilang bagay o ang bilang ng lahat ng posibleng paraan ng pagsasagawa ng ilang aksyon. Ang iba't ibang mga landas o opsyon na dapat piliin ng isang tao ay nagdaragdag sa isang malawak na iba't ibang mga kumbinasyon. At isang buong sangay ng matematika, na tinatawag na combinatorics, ay abala sa paghahanap ng mga sagot sa mga tanong: ilang kumbinasyon ang mayroon sa isang partikular na kaso?

Ang mga kinatawan ng maraming mga specialty ay kailangang harapin ang mga combinatorial na dami: chemical scientist, biologist, designer, dispatcher, atbp. Ang pagtaas ng interes sa combinatorics kamakailan ay sanhi ng mabilis na pag-unlad ng cybernetics at computer technology.

Panimula

Kapag gusto nilang bigyang-diin na pinalalaki ng kausap ang pagiging kumplikado ng mga problemang kinakaharap niya, sinasabi nila: "Gusto ko rin ang binomial ni Newton!" Sabi nila, narito ang binomial ni Newton, ito ay kumplikado, ngunit anong mga problema ang mayroon ka! Kahit na ang mga tao na ang mga interes ay walang kinalaman sa matematika ay narinig ang tungkol sa binomial ni Newton.

Ang salitang "binomial" ay nangangahulugang binomial, i.e. ang kabuuan ng dalawang termino. Ang tinatawag na pinaikling mga formula ng pagpaparami ay kilala mula sa kurso ng paaralan:

( A+ b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .

Ang generalization ng mga formula na ito ay isang formula na tinatawag na Newton's binomial formula. Ginagamit din sa paaralan ang mga formula para sa factoring differences ng squares, sums at differences of cube. Nag-generalize ba sila sa ibang degree? Oo, may mga ganitong formula, kadalasang ginagamit ang mga ito sa paglutas ng iba't ibang mga problema: pagpapatunay ng divisibility, pagbabawas ng mga fraction, tinatayang mga kalkulasyon.

Ang pag-aaral ng pag-generalize ng mga formula ay nagpapaunlad ng deduktibo-matematika na pag-iisip at pangkalahatang mga kakayahan sa pag-iisip.

SEKSYON 1. NEWTON'S BINOMAL FORMULA

Mga kumbinasyon at ang kanilang mga katangian

Hayaang ang X ay isang set na binubuo ng n elemento. Anumang subset Y ng set X na naglalaman ng k elemento ay tinatawag na kumbinasyon ng k elemento mula sa n, na may k ≤ n.

Ang bilang ng iba't ibang kumbinasyon ng k elemento mula sa n ay tinutukoy ng C n k. Ang isa sa pinakamahalagang formula ng combinatorics ay ang sumusunod na formula para sa bilang na C n k:

Maaari itong isulat, pagkatapos ng malinaw na mga pagdadaglat, tulad ng sumusunod:

Sa partikular,

Ito ay medyo pare-pareho sa katotohanan na sa set X mayroon lamang isang subset ng 0 elemento - ang walang laman na subset.

Ang mga numerong C n k ay may bilang ng mga kapansin-pansing katangian.

Tama ang formula: С n k = С n - k n , (3)

Ang kahulugan ng formula (3) ay mayroong one-to-one na pagsusulatan sa pagitan ng set ng lahat ng k-member subset ng X at ng set ng lahat ng (n - k)-member subset ng X: upang maitatag ang sulat na ito, ito ay sapat para sa bawat k-member subset ng Y ihambing ang complement nito sa set X.

Ang tamang formula ay С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Ang kabuuan sa kaliwang bahagi ay nagpapahayag ng bilang ng lahat ng subset ng set X (C 0 n ay ang bilang ng 0-member subset, C 1 n ay ang bilang ng isang-member na subset, atbp.).

Para sa anumang k, 1≤ k≤ n, ang pagkakapantay-pantay ay totoo

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Ang pagkakapantay-pantay na ito ay madaling makuha gamit ang formula (1). talaga,

1.2. Derivation ng binomial formula ni Newton

Isaalang-alang ang mga kapangyarihan ng binomial isang +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(isang +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(isang +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(isang +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(isang +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Tandaan natin ang mga sumusunod na pattern:

Ang bilang ng mga termino ng nagresultang polynomial ay isang mas malaki kaysa sa exponent ng binomial;

Ang exponent ng unang termino ay bumababa mula n hanggang 0, ang exponent ng pangalawang termino ay tumataas mula 0 hanggang n;

Ang mga antas ng lahat ng monomial ay katumbas ng antas ng binomial sa kondisyon;

Ang bawat monomial ay produkto ng una at pangalawang expression sa iba't ibang kapangyarihan at isang tiyak na numero - isang binomial coefficient;

Ang mga binomial coefficient na katumbas ng layo mula sa simula at dulo ng pagpapalawak ay pantay.

Ang generalization ng mga formula na ito ay ang sumusunod na formula, na tinatawag na Newton's binomial formula:

(a + b ) n = C 0 n a n b 0 + C 1 n a n -1 b + C 2 n a n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n a 0 b n . (6)

Sa formula na ito n maaaring anumang natural na numero.

Kunin natin ang formula (6). Una sa lahat, isulat natin:

(a + b ) n = (a + b )(a + b ) ... (a + b ), (7)

kung saan ang bilang ng mga bracket na paramihin ay katumbas ng n. Mula sa karaniwang tuntunin ng pagpaparami ng kabuuan sa isang kabuuan, sumusunod na ang expression (7) ay katumbas ng kabuuan ng lahat ng posibleng produkto, na maaaring binubuo ng mga sumusunod: anumang termino ng una sa mga kabuuan a + b pinarami ng anumang termino ng pangalawang kabuuan a+b, sa anumang termino ng ikatlong kabuuan, atbp.

Mula sa itaas ay malinaw na ang termino sa expression para sa (a + b ) n tumutugma (isa-sa-isa) sa mga string ng haba n binubuo ng mga titik a at b. Kabilang sa mga termino ay magkakaroon ng mga katulad na termino; malinaw na ang mga naturang miyembro ay tumutugma sa mga string na naglalaman ng parehong bilang ng mga titik A. Ngunit ang bilang ng mga linya na naglalaman ng eksaktong k beses ng titik A, ay katumbas ng C n k . Nangangahulugan ito na ang kabuuan ng lahat ng mga terminong naglalaman ng titik a na may salik na eksaktong k beses ay katumbas ng C n k a n - k b k . Dahil ang k ay maaaring kumuha ng mga halaga 0, 1, 2, ..., n-1, n, pagkatapos ay sumusunod ang formula (6) mula sa aming pangangatwiran. Tandaan na ang (6) ay maaaring maisulat nang mas maikli: (8)

Bagaman ang pormula (6) ay tinawag pagkatapos ng Newton, sa katunayan ito ay natuklasan bago pa man si Newton (halimbawa, alam ito ni Pascal). Ang merito ni Newton ay nakasalalay sa katotohanan na nakahanap siya ng generalization ng formula na ito para sa kaso ng mga non-integer exponents. Ito ay I. Newton noong 1664-1665. nagmula ng isang formula na nagpapahayag ng antas ng binomial para sa mga arbitrary na fractional at negatibong exponent.

Ang mga numerong C 0 n, C 1 n, ..., C n n kasama sa formula (6) ay karaniwang tinatawag na binomial coefficients, na tinukoy bilang mga sumusunod:

Mula sa formula (6) ang isa ay maaaring makakuha ng isang bilang ng mga katangian ng mga coefficient na ito. Halimbawa, ipagpalagay A=1, b = 1, nakukuha natin:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... +C n n,

mga. formula (4). Kung ilalagay mo A= 1, b = -1, pagkatapos ay magkakaroon tayo ng:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

o C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Nangangahulugan ito na ang kabuuan ng mga coefficient ng even terms ng expansion ay katumbas ng sum ng coefficients ng mga kakaibang termino ng expansion; bawat isa sa kanila ay katumbas ng 2 n -1 .

Ang mga coefficient ng mga terminong katumbas ng layo mula sa mga dulo ng pagpapalawak ay pantay. Ang mga katangiang ito ay sumusunod mula sa relasyon: C n k = C n n - k

Isang kawili-wiling espesyal na kaso

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

o mas maikli (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Polynomial theorem

Teorama.

Patunay.

Upang makakuha ng monomial pagkatapos buksan ang mga bracket, kailangan mong piliin ang mga bracket kung saan ito kinuha, ang mga bracket kung saan ito kinuha, atbp. at ang mga bracket kung saan ito kinuha. Ang koepisyent ng monomial na ito pagkatapos magdala ng mga katulad na termino ay katumbas ng bilang ng mga paraan kung saan maaaring gawin ang naturang pagpili. Ang unang hakbang ng pagkakasunud-sunod ng mga halalan ay maaaring isagawa sa mga paraan, ang pangalawang hakbang - sa, ang pangatlo - atbp., ang ika-hakbang - sa mga paraan. Ang kinakailangang koepisyent ay katumbas ng produkto

SEKSYON 2. Higher order derivatives.

Ang konsepto ng higher order derivatives.

Hayaang maging differentiable ang function sa ilang pagitan. Kung gayon ang hinango nito, sa pangkalahatan, ay nakasalalay sa X, ibig sabihin, ay isang function ng X. Dahil dito, kaugnay nito, ang tanong ng pagkakaroon ng isang derivative ay maaaring muling itataas.

Kahulugan . Ang derivative ng unang derivative ay tinatawag second order derivative o second derivative at tinutukoy ng simbolo o, ibig sabihin

Kahulugan . Ang derivative ng pangalawang derivative ay tinatawag na third order derivative o third derivative at tinutukoy ng simbolo o.

Kahulugan . Derivativen -ika-utos mga function ay tinatawag na unang derivative ng derivative (n -1) ika-uutos ng function na ito at ipinapahiwatig ng simbolo o:

Kahulugan . Ang mga derivatives ng order na mas mataas kaysa sa una ay tinatawag mas mataas na derivatives.

Magkomento. Katulad nito, maaari nating makuha ang formula n-th derivative ng function:

Pangalawang derivative ng isang parametrically tinukoy na function

Kung ang isang function ay ibinigay sa parametrically sa pamamagitan ng mga equation, pagkatapos ay upang mahanap ang pangalawang-order derivative ito ay kinakailangan upang pag-iba-ibahin ang expression para sa kanyang unang derivative bilang isang kumplikadong function ng independent variable.

Simula noon

at isinasaalang-alang na,

Nakukuha namin ito, iyon ay.

Ang pangatlong derivative ay matatagpuan sa katulad na paraan.

Pagkakaiba ng kabuuan, produkto at kusyente.

Dahil ang kaugalian ay nakuha mula sa hinango sa pamamagitan ng pagpaparami nito sa kaugalian ng independiyenteng variable, kung gayon, ang pag-alam sa mga derivatives ng mga pangunahing elementarya na pag-andar, pati na rin ang mga patakaran para sa paghahanap ng mga derivatives, ang isang tao ay maaaring makarating sa magkatulad na mga patakaran para sa paghahanap ng mga kaugalian.

1 0 . Ang pagkakaiba ng pare-pareho ay zero.

2 0 . Ang differential ng isang algebraic sum ng isang finite number of differentiable functions ay katumbas ng algebraic sum ng differentials ng mga function na ito .

3 0 . Ang differential ng produkto ng dalawang differentiable function ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng unang function ng differential ng pangalawa at ang pangalawang function ng differential ng una .

Bunga. Ang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa differential sign.

2.3. Mga function na tinukoy parametrically, ang kanilang pagkita ng kaibhan.

Kahulugan . Ang isang function ay sinasabing tinukoy sa parametrically kung ang parehong mga variable X At Ang y ay tinukoy nang hiwalay bilang single-valued function ng parehong auxiliary variable - parametert :

saant nag-iiba sa loob.

Magkomento . Ipakita natin ang mga parametric equation ng isang bilog at isang ellipse.

a) Bilog na may gitna sa pinanggalingan at radius r may mga parametric equation:

b) Isulat natin ang mga parametric equation para sa ellipse:

Sa pamamagitan ng pagbubukod ng parameter t Mula sa mga parametric equation ng mga linyang isinasaalang-alang, ang isa ay makakarating sa kanilang mga canonical equation.

Teorama . Kung ang function y mula sa argumento Ang x ay binibigyan ng parametrically sa pamamagitan ng mga equation kung saan at naiba-iba na may kinalaman sat mga function at pagkatapos.

2.4. Leibniz formula

Upang mahanap ang derivative n ang ika-utos ng produkto ng dalawang function, ang formula ni Leibniz ay may malaking praktikal na kahalagahan.

Hayaan u At v- ilang mga function mula sa isang variable X, pagkakaroon ng derivatives ng anumang order at y = uv. Ipahayag natin n-th derivative sa pamamagitan ng derivatives ng mga function u At v .

Kami ay may pare-pareho

Madaling mapansin ang pagkakatulad sa pagitan ng mga expression para sa ikalawa at pangatlong derivatives at ang pagpapalawak ng binomial ng Newton sa pangalawa at pangatlong kapangyarihan, ayon sa pagkakabanggit, ngunit sa halip na mga exponents ay may mga numero na tumutukoy sa pagkakasunud-sunod ng derivative, at ang mga function mismo. ay maaaring ituring bilang "zero order derivatives". Isinasaalang-alang ito, nakukuha namin ang formula ni Leibniz:

Ang formula na ito ay maaaring mapatunayan sa pamamagitan ng mathematical induction.

SEKSYON 3. APLIKASYON NG LEIBNITZ FORMULA.

Upang kalkulahin ang derivative ng anumang order mula sa produkto ng dalawang function, bypassing ang sequential application ng formula para sa pagkalkula ng derivative ng produkto ng dalawang function, gamitin Leibniz formula.

Gamit ang formula na ito, isasaalang-alang namin ang mga halimbawa ng pagkalkula ng nth-order derivative ng produkto ng dalawang function.

Halimbawa 1.

Hanapin ang pangalawang order na derivative ng isang function

Ayon sa kahulugan, ang pangalawang derivative ay ang unang derivative ng unang derivative, ibig sabihin

Samakatuwid, una nating mahanap ang first-order derivative ng ibinigay na function ayon sa mga panuntunan sa pagkakaiba-iba at paggamit talahanayan ng mga derivatives:

Ngayon, hanapin natin ang derivative ng first order derivative. Ito ang gustong pangalawang-order na derivative:

Sagot:

Halimbawa 2.

Hanapin ang th order derivative ng isang function

Solusyon.

Sunud-sunod na hahanapin natin ang mga derivative ng una, pangalawa, pangatlo, at iba pa na mga order ng isang naibigay na function upang makapagtatag ng pattern na maaaring pangkalahatan sa th derivative.

Nahanap namin ang unang order derivative bilang derivative ng quotient:

Dito ang expression ay tinatawag na factorial ng isang numero. Ang factorial ng isang numero ay katumbas ng produkto ng mga numero mula sa isa hanggang, iyon ay

Ang second order derivative ay ang unang derivative ng unang derivative, ibig sabihin

Derivative ng ikatlong order:

Pang-apat na derivative:

Pansinin ang pattern: sa numerator mayroong factorial ng isang numero na katumbas ng pagkakasunud-sunod ng derivative, at sa denominator ang expression sa power ay isa na mas malaki kaysa sa order ng derivative, iyon ay.

Sagot.

Halimbawa 3.

Hanapin ang halaga ng ikatlong derivative ng function sa isang punto.

Solusyon.

Ayon kay talahanayan ng mga derivative na may mataas na pagkakasunud-sunod, meron kami:

Sa halimbawang isinasaalang-alang, iyon ay, nakukuha natin

Tandaan na ang isang katulad na resulta ay maaaring makuha sa pamamagitan ng sunud-sunod na paghahanap ng mga derivatives.

Sa isang naibigay na punto ang ikatlong derivative ay katumbas ng:

Sagot:

Halimbawa 4.

Hanapin ang pangalawang derivative ng isang function

Solusyon. Una, hanapin natin ang unang derivative:

Upang mahanap ang pangalawang derivative, iniiba namin muli ang expression para sa unang derivative:

Sagot:

Halimbawa 5.

Hanapin kung

Dahil ang ibinigay na function ay isang produkto ng dalawang function, upang mahanap ang fourth-order derivative ay ipinapayong ilapat ang Leibniz formula:

Hanapin natin ang lahat ng mga derivatives at kalkulahin ang mga coefficient ng mga termino.

1) Kalkulahin natin ang mga coefficient ng mga termino:

2) Hanapin ang mga derivatives ng function:

3) Hanapin ang mga derivatives ng function:

Sagot:

Halimbawa 6.

Ibinigay ang function na y=x 2 cos3x. Hanapin ang third order derivative.

Hayaan ang u=cos3x , v=x 2 . Pagkatapos, gamit ang formula ni Leibniz, makikita natin:

Ang mga derivative sa expression na ito ay may anyo:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Samakatuwid, ang ikatlong derivative ng ibinigay na function ay katumbas ng

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Halimbawa 7.

Hanapin ang derivative n th order function y=x 2 cosx.

Gamitin natin ang formula ni Leibniz, sa pag-aakalangu=cosx, v=x 2 . Pagkatapos

Ang natitirang mga tuntunin ng serye ay katumbas ng zero, dahil(x2)(i)=0 para sa i>2.

Hinango n ika-order ng cosine function:

Samakatuwid, ang derivative ng ating function ay katumbas ng

KONGKLUSYON

Sa paaralan, ang tinatawag na pinaikling mga formula ng pagpaparami ay pinag-aaralan at ginagamit: mga parisukat at cube ng kabuuan at pagkakaiba ng dalawang expression at mga formula para sa pagsasaliksik ng pagkakaiba ng mga parisukat, kabuuan at pagkakaiba ng mga cube ng dalawang expression. Ang isang generalization ng mga formula na ito ay ang formula na tinatawag na Newton's binomial formula at ang formula para sa factoring ang kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan. Ang mga formula na ito ay kadalasang ginagamit sa paglutas ng iba't ibang problema: pagpapatunay ng divisibility, pagbabawas ng mga fraction, tinatayang mga kalkulasyon. Ang mga kagiliw-giliw na katangian ng tatsulok ni Pascal, na malapit na nauugnay sa binomial ni Newton, ay isinasaalang-alang.

Ang gawain ay nag-systematize ng impormasyon sa paksa, nagbibigay ng mga halimbawa ng mga problema gamit ang binomial at mga formula ni Newton para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga kapangyarihan. Ang gawain ay maaaring gamitin sa gawain ng isang mathematical circle, pati na rin para sa sariling pag-aaral ang mga interesado sa matematika.

LISTAHAN NG MGA GINAMIT NA GINAMIT

1.Vilenkin N.Ya. Combinatorics. - ed. "Ang agham". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra at simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon mga organisasyon basic at advanced na antas - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Paglutas ng mga problema sa mga istatistika, combinatorics at probability theory. 7-9 na grado / may-akda - compiler V.N. Studentetskaya. - ed. Ika-2, binago, - Volgograd: Guro, 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Algebraic equation mas mataas na antas/methodological manual para sa mga mag-aaral ng interuniversity preparatory department. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Opsyonal na kurso sa matematika: Paglutas ng problema. Teksbuk para sa ika-10 baitang. mataas na paaralan. - M.: Edukasyon, 1989.

6.Agham at buhay, Newton's binomial at Pascal's triangle[Electronic na mapagkukunan]. - Access mode: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Ang formula ni Leibniz ay ibinigay para sa nth kalkulasyon derivative ng produkto ng dalawang function. Ang patunay nito ay ibinibigay sa dalawang paraan. Ang isang halimbawa ng pagkalkula ng nth order derivative ay isinasaalang-alang.

Nilalaman

Tingnan din: Derivative ng produkto ng dalawang function

Leibniz formula

Gamit ang formula ni Leibniz, maaari mong kalkulahin ang nth order derivative ng produkto ng dalawang function. Mukhang ganito:
(1) ,
saan
- binomial coefficients.

Ang binomial coefficients ay ang mga coefficient ng pagpapalawak ng isang binomial sa mga kapangyarihan at:
.
Gayundin ang bilang ay ang bilang ng mga kumbinasyon ng n hanggang k.

Patunay ng formula ni Leibniz

Naaangkop formula para sa derivative ng produkto ng dalawang function :
(2) .
Isulat muli natin ang formula (2) sa sumusunod na anyo:
.
Iyon ay, isinasaalang-alang namin na ang isang function ay nakasalalay sa variable na x, at ang isa pa sa variable na y. Sa dulo ng pagkalkula ay ipinapalagay namin. Pagkatapos ang nakaraang pormula ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
(3) .
Dahil ang derivative ay katumbas ng kabuuan ng mga termino, at ang bawat termino ay produkto ng dalawang function, kung gayon upang kalkulahin ang mga derivatives ng mas mataas na mga order, ang panuntunan (3) ay maaaring patuloy na ilapat.

Pagkatapos para sa nth order derivative mayroon kami:

.
Isinasaalang-alang iyon at , nakuha namin ang formula ni Leibniz:
(1) .

Patunay sa pamamagitan ng induction

Ipakita natin ang isang patunay ng formula ni Leibniz gamit ang paraan ng mathematical induction.

Isulat natin muli ang formula ni Leibniz:
(4) .
Para sa n = 1 mayroon kaming:
.
Ito ang formula para sa derivative ng produkto ng dalawang function. Siya ay patas.

Ipagpalagay natin na ang formula (4) ay wasto para sa nth order derivative. Patunayan natin na ito ay wasto para sa derivative n + 1 -ika-utos.

Pag-iba-ibahin natin (4):
;



.
Kaya natagpuan namin:
(5) .

Palitan natin ang (5) at isaalang-alang na:

.
Ipinapakita nito na ang formula (4) ay may parehong anyo para sa derivative n + 1 -ika-utos.

Kaya, ang formula (4) ay wasto para sa n = 1 . Mula sa pag-aakalang ito ay nagtataglay ng ilang numero n = m ito ay sumusunod na ito ay humahawak para sa n = m + 1 .
Napatunayan na ang formula ni Leibniz.

Halimbawa

Kalkulahin ang nth derivative ng isang function
.

Ilapat natin ang formula ni Leibniz
(2) .
Sa kaso natin
;
.

Sa pamamagitan ng derivative table meron kami:
.
Nag-a-apply kami mga katangian ng trigonometriko function :
.
Pagkatapos
.
Ito ay nagpapakita na ang pagkita ng kaibahan ng sine function ay humahantong sa paglilipat nito sa pamamagitan ng . Pagkatapos
.

Paghahanap ng mga derivatives ng function.
;
;
;
, .

Dahil para sa , kung gayon sa pormula ni Leibniz ang unang tatlong termino lamang ay hindi zero. Paghahanap ng binomial coefficients.
;
.

Ayon sa formula ni Leibniz mayroon tayong:

.

Tingnan din:

Ang paglutas ng mga inilapat na problema ay bumababa sa pagkalkula ng integral, ngunit hindi laging posible na gawin ito nang tumpak. Minsan kinakailangan na malaman ang halaga ng isang tiyak na integral na may tiyak na antas ng katumpakan, halimbawa, hanggang sa ika-libo.

May mga problema kapag kakailanganing hanapin ang tinatayang halaga ng isang partikular na integral na may kinakailangang katumpakan, pagkatapos ay gagamitin ang numerical integration gaya ng Simposny method, trapezoids, at rectangles. Hindi lahat ng kaso ay nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ito nang may tiyak na katumpakan.

Sinusuri ng artikulong ito ang aplikasyon ng Newton-Leibniz formula. Ito ay kinakailangan para sa tumpak na pagkalkula ng tiyak na integral. Magbibigay kami ng mga detalyadong halimbawa, isaalang-alang ang mga pagbabago ng variable sa tiyak na integral, at hanapin ang mga halaga ng tiyak na integral kapag pinagsama ayon sa mga bahagi.

Formula ng Newton-Leibniz

Kahulugan 1

Kapag ang function na y = y (x) ay tuloy-tuloy mula sa pagitan [ a ; b ] , at F (x) ay isa sa mga antiderivatives ng function ng segment na ito, kung gayon Formula ng Newton-Leibniz itinuturing na patas. Isulat natin ito ng ganito: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Ang formula na ito ay isinasaalang-alang ang pangunahing pormula ng integral calculus.

Upang makabuo ng patunay ng formula na ito, kinakailangang gamitin ang konsepto ng isang integral na may magagamit na variable na upper limit.

Kapag ang function na y = f (x) ay tuloy-tuloy mula sa pagitan [ a ; b ], pagkatapos ay ang halaga ng argumento x ∈ a; b , at ang integral ay may anyong ∫ a x f (t) d t at itinuturing na function ng itaas na limitasyon. Kinakailangang kunin ang notasyon ng function ay kukuha ng anyo ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , ito ay tuloy-tuloy, at isang hindi pagkakapantay-pantay ng anyo ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = Ang f (x) ay may bisa para dito.

Ayusin natin na ang pagtaas ng function na Φ (x) ay tumutugma sa pagtaas ng argumento ∆ x , kinakailangang gamitin ang ikalimang pangunahing katangian ng tiyak na integral at makuha natin

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

kung saan ang halaga c ∈ x; x + ∆ x .

Ayusin natin ang pagkakapantay-pantay sa anyong Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Sa pamamagitan ng kahulugan ng derivative ng isang function, kinakailangang pumunta sa limitasyon bilang ∆ x → 0, pagkatapos ay kumuha tayo ng formula ng form na Φ " (x) = f (x). Nalaman namin na ang Φ (x) ay isa sa mga antiderivatives para sa isang function ng form na y = f (x), na matatagpuan sa [a;b]. Kung hindi, ang expression ay maaaring isulat

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, kung saan pare-pareho ang halaga ng C.

Kalkulahin natin ang F (a) gamit ang unang katangian ng tiyak na integral. Pagkatapos makuha namin iyon

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, kaya nakuha namin na C = F (a). Ang resulta ay naaangkop kapag kinakalkula ang F (b) at nakukuha natin ang:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), sa madaling salita, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a) . Ang pagkakapantay-pantay ay pinatunayan ng Newton-Leibniz formula ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Kinukuha namin ang pagtaas ng function bilang F x a b = F (b) - F (a) . Gamit ang notasyon, ang formula ng Newton-Leibniz ay nasa anyong ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Upang mailapat ang formula, kinakailangang malaman ang isa sa mga antiderivatives y = F (x) ng integrand function na y = f (x) mula sa segment [ a ; b ], kalkulahin ang pagtaas ng antiderivative mula sa segment na ito. Tingnan natin ang ilang halimbawa ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula.

Halimbawa 1

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ 1 3 x 2 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.

Solusyon

Isaalang-alang na ang integrand ng anyong y = x 2 ay tuloy-tuloy mula sa pagitan [ 1 ; 3 ], pagkatapos ito ay maisasama sa pagitan na ito. Mula sa talahanayan ng mga hindi tiyak na integral makikita natin na ang function na y = x 2 ay may isang hanay ng mga antiderivatives para sa lahat ng tunay na halaga ng x, na nangangahulugang x ∈ 1; 3 ay isusulat bilang F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Kinakailangang kunin ang antiderivative na may C = 0, pagkatapos ay makuha natin na F (x) = x 3 3.

Ginagamit namin ang formula ng Newton-Leibniz at nalaman na ang pagkalkula ng tiyak na integral ay nasa anyo na ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Sagot:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Halimbawa 2

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x gamit ang Newton-Leibniz formula.

Solusyon

Ang ibinigay na function ay tuloy-tuloy mula sa segment [ - 1 ; 2], na nangangahulugang ito ay maisasama dito. Kinakailangang hanapin ang halaga ng hindi tiyak na integral ∫ x · e x 2 + 1 d x gamit ang paraan ng subsuming sa ilalim ng differential sign, pagkatapos ay makuha natin ang ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Kaya't mayroon tayong isang set ng mga antiderivatives ng function na y = x · e x 2 + 1, na wasto para sa lahat ng x, x ∈ - 1; 2.

Kinakailangang kunin ang antiderivative sa C = 0 at ilapat ang formula ng Newton-Leibniz. Pagkatapos ay nakakakuha kami ng isang pagpapahayag ng form

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Sagot:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Halimbawa 3

Kalkulahin ang mga integral ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x at ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Solusyon

Segment - 4; - Sinasabi ng 1 2 na ang function sa ilalim ng integral sign ay tuloy-tuloy, na nangangahulugang ito ay integrable. Mula dito makikita natin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na y = 4 x 3 + 2 x 2. Nakukuha namin iyon

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Kinakailangang kunin ang antiderivative F (x) = 2 x 2 - 2 x, pagkatapos, paglalapat ng Newton-Leibniz formula, nakuha namin ang integral, na aming kinakalkula:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Nagpapatuloy kami sa pagkalkula ng pangalawang integral.

Mula sa segment [ - 1 ; 1 ] mayroon kaming na ang integrand ay itinuturing na walang hangganan, dahil lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , pagkatapos ay sumusunod na isang kinakailangang kondisyon para sa integrability mula sa segment. Kung gayon ang F (x) = 2 x 2 - 2 x ay hindi antiderivative para sa y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ], dahil ang punto O ay kabilang sa segment, ngunit hindi kasama sa domain ng kahulugan. Nangangahulugan ito na mayroong isang tiyak na Riemann at Newton-Leibniz integral para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ] .

Sagot: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , mayroong isang tiyak na Riemann at Newton-Leibniz integral para sa function na y = 4 x 3 + 2 x 2 mula sa pagitan [ - 1 ; 1 ] .

Bago gamitin ang formula ng Newton-Leibniz, kailangan mong malaman nang eksakto ang tungkol sa pagkakaroon ng isang tiyak na integral.

Pagbabago ng variable sa isang tiyak na integral

Kapag ang function na y = f (x) ay tinukoy at tuloy-tuloy mula sa pagitan [ a ; b], pagkatapos ay ang magagamit na hanay [a; b] ay itinuturing na hanay ng mga halaga ng function na x = g (z), na tinukoy sa segment na α; β kasama ang umiiral na tuloy-tuloy na derivative, kung saan ang g (α) = a at g β = b, nakukuha natin mula rito na ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Ginagamit ang formula na ito kapag kailangan mong kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x, kung saan ang indefinite integral ay may anyo na ∫ f (x) d x, kinakalkula namin gamit ang paraan ng pagpapalit.

Halimbawa 4

Kalkulahin ang isang tiyak na integral ng anyo ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Solusyon

Ang integrand function ay itinuturing na tuloy-tuloy sa pagitan ng integration, na nangangahulugang mayroong isang tiyak na integral. Ibigay natin ang notasyon na 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Ang halaga ng x = 9 ay nangangahulugang z = 2 9 - 9 = 9 = 3, at para sa x = 18 makuha natin na z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, pagkatapos g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Kapag pinapalitan ang mga nakuhang halaga sa formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z nakukuha natin iyon

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Ayon sa talahanayan ng mga indefinite integral, mayroon tayong isa sa mga antiderivatives ng function na 2 z 2 + 9 na kumukuha ng value na 2 3 a r c t g z 3 . Pagkatapos, kapag inilalapat ang formula ng Newton-Leibniz, nakukuha natin iyon

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π π 1 = 2 3 π

Ang paghahanap ay maaaring gawin nang hindi gumagamit ng formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Kung ginagamit ang paraan ng pagpapalit ay gumagamit tayo ng integral ng form na ∫ 1 x 2 x - 9 d x, kung gayon maaari nating makuha ang resulta ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Mula dito magsasagawa kami ng mga kalkulasyon gamit ang Newton-Leibniz formula at kalkulahin ang tiyak na integral. Nakukuha namin iyon

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 = π 18

Ang mga resulta ay pareho.

Sagot: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Pagsasama ng mga bahagi kapag kinakalkula ang isang tiyak na integral

Kung sa segment [a ; b ] ang mga function na u (x) at v (x) ay tinukoy at tuluy-tuloy, pagkatapos ang kanilang mga first-order derivatives na v " (x) · u (x) ay mapagsasama, kaya mula sa segment na ito para sa integrable function na u " (x) · v ( x) ang pagkakapantay-pantay ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x ay totoo.

Ang formula ay maaaring gamitin pagkatapos, ito ay kinakailangan upang kalkulahin ang integral ∫ a b f (x) d x, at ∫ f (x) d x ito ay kinakailangan upang hanapin ito gamit ang integration sa pamamagitan ng mga bahagi.

Halimbawa 5

Kalkulahin ang tiyak na integral ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Solusyon

Ang function na x · sin x 3 + π 6 ay maisasama sa pagitan - π 2 ; 3 π 2, na nangangahulugang ito ay tuloy-tuloy.

Hayaan ang u (x) = x, pagkatapos ay d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, at d (u (x)) = u " (x) d x = d x, at v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Mula sa formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x makuha natin iyon

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Ang halimbawa ay maaaring malutas sa ibang paraan.

Hanapin ang hanay ng mga antiderivatives ng function na x · sin x 3 + π 6 gamit ang integration ng mga bahagi gamit ang Newton-Leibniz formula:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Sagot: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Kung may napansin kang error sa text, paki-highlight ito at pindutin ang Ctrl+Enter