Videokursus “Saada A” sisaldab kõiki teemasid, mis on vajalikud matemaatika ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks 60-65 punktiga. Täielikult kõik profiili ühtse riigieksami ülesanded 1-13 matemaatikas. Sobib ka matemaatika ühtse riigieksami põhieksami sooritamiseks. Kui soovid sooritada ühtse riigieksami 90-100 punktiga, tuleb 1. osa lahendada 30 minutiga ja vigadeta!
Ettevalmistuskursus ühtseks riigieksamiks 10.-11.klassidele, samuti õpetajatele. Kõik, mida vajate matemaatika ühtse riigieksami 1. osa (esimesed 12 ülesannet) ja 13. ülesande (trigonomeetria) lahendamiseks. Ja see on ühtsel riigieksamil rohkem kui 70 punkti ja ilma nendeta ei saa hakkama ei 100-punktiline ega humanitaartudeng.
Kogu vajalik teooria. Kiired viisidÜhtse riigieksami lahendused, lõksud ja saladused. Kõik FIPI Task Banki 1. osa praegused ülesanded on analüüsitud. Kursus vastab täielikult ühtse riigieksami 2018 nõuetele.
Kursus sisaldab 5 suurt teemat, igaüks 2,5 tundi. Iga teema on antud nullist, lihtsalt ja selgelt.
Sajad ühtse riigieksami ülesanded. Sõnaülesanded ja tõenäosusteooria. Lihtsad ja kergesti meeldejäävad algoritmid probleemide lahendamiseks. Geomeetria. Teooria, teatmematerjal, igat tüüpi ühtse riigieksami ülesannete analüüs. Stereomeetria. Keerulised lahendused, kasulikud petulehed, ruumilise kujutlusvõime arendamine. Trigonomeetria nullist probleemini 13. Tuupimise asemel mõistmine. Selged selgitused keerukatele mõistetele. Algebra. Juured, astmed ja logaritmid, funktsioon ja tuletis. Ühtse riigieksami 2. osa keerukate ülesannete lahendamise alus.
Erinevate geomeetriliste kujundite hulgast paistab silma nelinurk, näiteks romb. Isegi selle nimi ise ei ole nelinurkade tähistamiseks tüüpiline. Ja kuigi geomeetrias leidub seda palju harvemini kui selliseid lihtsaid kujundeid nagu ring, kolmnurk, ruut või ristkülik, ei saa ka seda tähelepanuta jätta.
Allpool on toodud rombide määratlus, omadused ja omadused.
Definitsioon
Romb on võrdsete külgedega rööpkülik. Rombi nimetatakse ruuduks, kui kõik selle nurgad on täisnurgad. Enamik särav näide Teemant on teemantülikonna kujutis mängukaardil. Lisaks kujutati rombi sageli erinevatel vappidel. Näide teemandist igapäevaelus on korvpalliväljak.
Omadused
- Rombi vastasküljed asuvad paralleelsetel joontel ja on sama pikkusega.
- Rombi diagonaalide lõikepunkt toimub ühes punktis 90° nurga all, mis on nende keskpunkt.
- Rombi diagonaalid poolitavad nurga, millest nad tekkisid.
- Rööpküliku omaduste põhjal saame tuletada diagonaalide ruutude summa. Valemi järgi võrdub see küljega, mis on tõstetud ruutastmeni ja korrutatud neljaga.
Märgid
Peame selgelt aru saama, et iga romb on rööpkülik, kuid samal ajal ei ole igal rööpkülikul kõiki rombi näitajaid. Nende kahe geomeetrilise kujundi eristamiseks peate teadma rombi omadusi. Selle geomeetrilise kujundi iseloomulikud tunnused on järgmised:
- Kõik kaks külge, millel on ühine tipp, on võrdsed.
- Diagonaalid lõikuvad 90°C nurga all.
- Vähemalt üks diagonaal jagab nurgad, mille tipupunktidest ta väljub, pooleks.
Pindala valemid
Põhivalem:
- S = (AC*BD)/2
Rööpküliku omaduste põhjal:
- S = (AB*H AB)
Põhineb rombi kahe külgneva külje vahelise nurga suurusel:
- S = AB2*sinα
Kui teame rombi sisse kirjutatud ringi raadiuse pikkust:
- S = 4r 2 /(sinα), kus:
- S - pindala;
- AB, AC, BD - külgede tähistus;
- H - kõrgus;
- r - ringi raadius;
- sinα - siinus alfa.
Perimeeter
Rombi ümbermõõdu arvutamiseks peate lihtsalt korrutama selle mis tahes külje pikkuse neljaga.
Joonise konstrueerimine
Mõnel inimesel on raskusi teemantmustri ehitamisega. Isegi kui olete juba aru saanud, mis on romb, pole alati selge, kuidas selle joonist täpselt ja vajalikke proportsioone järgides konstrueerida.
Teemantmustri loomiseks on kaks võimalust:
- Esmalt konstrueerige üks diagonaal, seejärel teine diagonaal, mis on sellega risti, ja seejärel ühendage rombi paralleelsete külgede külgnevate paaride segmentide otsad.
- Esmalt eraldage rombi üks külg, seejärel konstrueerige sellega paralleelselt võrdne pikkus ja ühendage ka nende lõikude otsad paralleelselt paarikaupa.
Olge konstrueerimisel ettevaatlik - kui joonisel teete rombi kõigi külgede pikkuse ühesuguseks, ei saa te rombi, vaid ruudu.
Joonisel 1 on $ABCD$ romb, $A B=B C=C D=A D$. Kuna romb on rööpkülik, on sellel kõik rööpküliku omadused, kuid on ka ainult rombile omaseid omadusi.
Ringi saab sobitada igasse rombi. Rombi sisse kirjutatud ringi keskpunkt on selle diagonaalide lõikepunkt. Ringjoone raadius võrdub poolega rombi kõrgusest $r=\frac(A H)(2)$ (joonis 1)
Rombi omadused
- Rombi diagonaalid on risti;
- Rombi diagonaalid on selle nurkade poolitajad.
Teemandi märgid
- Rööpkülik, mille diagonaalid lõikuvad täisnurga all, on romb;
- Rööpkülik, mille diagonaalid on nurkade poolitajad, on romb.
Näited probleemide lahendamisest
Näide
Harjutus. Rombi $ABCD$ diagonaalid on 6 ja 8 cm Leia rombi külg.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 1). Olgu täpsuse huvides $A C=6$ cm, $B D=8$ cm Rombi omaduse järgi lõikuvad selle diagonaalid täisnurga all. Lõikepunktis jagatakse diagonaalid pooleks (rööpküliku omadus ja romb on rööpküliku erijuhtum).
Vaatleme kolmnurka $A O B$. See on ristkülikukujuline ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Kirjutame selle kolmnurga jaoks Pythagorase teoreemi:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Asendame leitud väärtused $AO$ ja $BO$,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Vastus. Rombi külg on 5 cm.
Näide
Harjutus. Rombis, mille külg on 4 cm, on üks nurkadest võrdne $60^(\circ)$. Leidke rombi diagonaalid.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 2).
Määratluse jaoks olgu $\angle B=60^(\circ)$. Seejärel on rombi omaduse järgi diagonaal $BD$ nurga $B$ poolitaja, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Vaatleme $\Delta O B C$, see on ristkülikukujuline ($\angle B O C=90^(\circ)$), kuna rombi diagonaalid lõikuvad täisnurga all. Kuna $\angle O B C=30^(\circ), siis O C=\frac(B C)(2)=2$ dm on jalg, mis asub nurga $30^(\circ)$ vastas. Pythagorase teoreemi kasutades leiame $B O$:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
Rombi diagonaalid jagatakse lõikepunktis pooleks, seega
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Vastus.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Näide
Harjutus. Rombis on ühe diagonaali ja rombi külje moodustatud nurk võrdne $27^(\circ)$. Leidke rombi nurgad.
Lahendus. Teeme joonise (joon. 3)
Täpsemalt $\angle K L O=27^(\circ)$. Rombi diagonaalid on selle nurkade poolitajad, seega $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Kuna romb on rööpkülik, kehtivad sellele järgmised omadused: ühe küljega külgnevate nurkade summa on võrdne $180^(\circ)$ ja vastasnurgad on võrdsed. Sellepärast,
$\angle M=\angle K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Vastus.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$
$\nurk M=\nurk K=126^(\circ)$
võrdsete külgedega. Täisnurgaga romb on ruut .
Rombi peetakse rööpküliku tüübiks, millel on kaks kõrvuti asetsevat võrdset külge kas üksteisega risti asetsevate diagonaalidega või diagonaalidega, mis jagavad nurga kaheks võrdseks osaks.
Rombi omadused.
1. Romb on rööpkülik, seega on vastasküljed sama pikkusega ja paarikaupa paralleelsed, AB || CD, AD || Päike.
2. Diagonaalide lõikenurk romb on sirge (AC⊥ BD) ja lõikepunkt on jagatud kaheks identseks osaks. See tähendab, et diagonaalid jagavad rombi neljaks ristkülikukujuliseks kolmnurgaks.
3. Rombi diagonaalid on selle nurkade poolitajad (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD jne. ).
4. Diagonaalide ruutude summa võrdub külje ruuduga, mis on korrutatud neljaga (tuletatud rööpküliku identiteedist).
Teemandi märgid.
Parallelogramm ABCD nimetatakse rombiks ainult siis, kui on täidetud vähemalt üks järgmistest tingimustest:
1. Selle kaks külgnevat külge on ühepikkused (st rombi kõik küljed on võrdsed, AB=BC=CD=AD).
2. Sirge diagonaalide lõikenurk ( A.C.⊥ BD).
3. 1 diagonaalidest jagab seda sisaldavad nurgad pooleks.
Me ei pruugi ette teada, et nelinurk osutub rööpkülikuks, kuid teame, et selle kõik küljed on võrdsed. Nii et see nelinurk on romb.
Rombi sümmeetria.
Romb on sümmeetriline kõigi diagonaalide suhtes kasutatakse seda sageli kaunistustes ja parkettpõrandates.
Rombi ümbermõõt.
Geomeetrilise kujundi ümbermõõt- tasase geomeetrilise kujundi piiride kogupikkus. Ümbermõõt on pikkusega sama suur.
AB \parallel CD,\;BC \parallel AD
AB = CD,\;BC = AD
2. Rombi diagonaalid on risti.
AC\perp BD
Tõestus
Kuna romb on rööpkülik, jagatakse selle diagonaalid pooleks.
See tähendab, et \kolmnurk BOC = \kolmnurk DOC kolmel küljel (BO = OD, OC - liigend, BC = CD). Saame, et \angle BOC = \angle COD ja need on kõrvuti.
\Paremnool \nurk BOC = 90^(\circ) ja \angle COD = 90^(\circ) .
3. Diagonaalide lõikepunkt jagab need pooleks.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Rombi diagonaalid on tema nurkade poolitajad.
\nurk 1 = \nurk 2; \; \nurk 5 = \nurk 6;
\nurk 3 = \nurk 4; \; \nurk 7 = \nurk 8.
Tõestus
Tulenevalt asjaolust, et diagonaalid jagatakse lõikepunktiga pooleks ja rombi kõik küljed on üksteisega võrdsed, jagatakse kogu joonis diagonaalide abil 4 võrdseks kolmnurgaks:
\kolmnurk BOC,\; \kolmnurk BOA,\; \kolmnurk AOD,\; \kolmnurk COD.
See tähendab, et BD, AC on poolitajad.
5. Diagonaalid moodustavad rombist 4 täisnurkset kolmnurka.
6. Iga romb võib sisaldada ringi, mille keskpunkt on diagonaalide lõikepunktis.
7. Diagonaalide ruutude summa võrdub rombi ühe külje ruudu korrutisega neljaga
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Teemandi märgid
1. Ristdiagonaalidega rööpkülik on romb.
\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- rööpkülik, \Paremnool ABCD - romb.
Tõestus
ABCD on rööpkülik \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Samuti on öeldud, et AC \perp BD \Paremnool \kolmnurk AOB = \kolmnurk BOC = \kolmnurk COD = \kolmnurk AOD- kahel jalal.
Selgub, et AB = BC = CD = AD.
Tõestatud!
2. Kui rööpküliku vähemalt üks diagonaalidest jagab mõlemad nurgad (millest see läbib) pooleks, siis on see kujund romb.
Tõestus
Märkusele: mitte iga risti asetseva diagonaaliga kujund (nelinurk) ei ole romb.
Nt:
Vaatamata diagonaalide perpendikulaarsusele pole see enam romb.
Eristamiseks tasub meeles pidada, et esmalt peab nelinurk olema rööpkülik ja omama