تعیین درجه یک زاویه: حاد، مستقیم، مبهم. زاویه مبهم انواع زوایا و هندسه

در این مقاله به طور جامع یکی از اشکال هندسی اساسی - یک زاویه را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. بیایید با مفاهیم و تعاریف کمکی شروع کنیم که ما را به تعریف زاویه می رساند. پس از این روش های پذیرفته شده تعیین زاویه را ارائه می کنیم. در ادامه، به طور مفصل به فرآیند اندازه گیری زاویه ها خواهیم پرداخت. در پایان، ما نشان خواهیم داد که چگونه می توانید گوشه ها را در نقاشی علامت گذاری کنید. ما تمام تئوری را با نقشه ها و تصاویر گرافیکی لازم برای حفظ بهتر مطالب ارائه کردیم.

پیمایش صفحه.

تعریف زاویه.

زاویه یکی از مهمترین ارقام در هندسه است. تعریف زاویه از طریق تعریف پرتو داده می شود. به نوبه خود، بدون آگاهی از اشکال هندسی مانند یک نقطه، یک خط مستقیم و یک صفحه، نمی توان ایده ای از یک پرتو به دست آورد. بنابراین، قبل از آشنایی با تعریف زاویه، توصیه می کنیم این نظریه را از بخش ها و.

بنابراین، ما از مفاهیم یک نقطه، یک خط در یک صفحه و یک صفحه شروع می کنیم.

اجازه دهید ابتدا تعریف پرتو را بیان کنیم.

اجازه دهید مقداری خط مستقیم در هواپیما به ما داده شود. بیایید آن را با حرف a نشان دهیم. بگذارید O نقطه ای از خط a باشد. نقطه O خط a را به دو قسمت تقسیم می کند. هر یک از این قسمت ها همراه با نقطه O نامیده می شود پرتو، و نقطه O نامیده می شود آغاز پرتو. همچنین می توانید بشنوید که پرتو چه نامیده می شود نیمه مستقیم.

برای اختصار و راحتی، نماد زیر برای پرتوها معرفی شد: یک پرتو یا با یک حرف لاتین کوچک (مثلاً پرتو p یا پرتو k) یا با دو حرف لاتین بزرگ نشان داده می‌شود که اولین آنها مربوط به ابتدای پرتو، و دومی نقطه‌ای از این پرتو را نشان می‌دهد (به عنوان مثال، پرتو OA یا ray CD). اجازه دهید تصویر و تعیین پرتوها را در نقاشی نشان دهیم.

حال می توانیم اولین تعریف از زاویه را ارائه دهیم.

تعریف.

گوشه- این یک شکل هندسی مسطح است (یعنی کاملاً در یک صفحه مشخص قرار دارد) که از دو پرتو واگرا با منشاء مشترک تشکیل شده است. هر یک از پرتوها نامیده می شود کنار گوشه، مبدأ مشترک اضلاع یک زاویه نامیده می شود راس زاویه.

این امکان وجود دارد که اضلاع یک زاویه یک خط مستقیم تشکیل دهند. این زاویه نام خاص خود را دارد.

تعریف.

اگر هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، چنین زاویه ای نامیده می شود منبسط.

ما یک تصویر گرافیکی از یک زاویه چرخش را به توجه شما ارائه می کنیم.

برای نشان دادن یک زاویه، از نماد زاویه "" استفاده کنید. اگر اضلاع یک زاویه با حروف کوچک لاتین مشخص شده باشد (مثلاً یک ضلع زاویه k و دیگری h است)، برای تعیین این زاویه، پس از نماد زاویه، حروف مربوط به اضلاع را به زبان می نویسند. یک ردیف، و ترتیب نوشتن مهم نیست (یعنی یا). اگر اضلاع یک زاویه با دو حرف لاتین بزرگ مشخص شود (مثلاً یک طرف زاویه OA است و طرف دوم زاویه OB)، آنگاه زاویه به صورت زیر تعیین می شود: بعد از نماد زاویه، سه حروفی نوشته می شوند که در تعیین اضلاع زاویه نقش دارند و حرف مربوط به راس زاویه در وسط قرار دارد (در مورد ما زاویه به صورت یا مشخص می شود). اگر راس یک زاویه، راس یک زاویه دیگر نباشد، چنین زاویه ای را می توان با حرفی مطابق با راس آن زاویه نشان داد (مثلاً). گاهی اوقات می توانید ببینید که زوایای نقاشی ها با اعداد (1، 2 و غیره) مشخص شده اند، این زوایا به صورت و غیره مشخص می شوند. برای وضوح، نقاشی را ارائه می دهیم که در آن زوایای به تصویر کشیده شده و نشان داده شده است.

هر زاویه ای صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. علاوه بر این، اگر زاویه چرخانده نشود، یک قسمت از صفحه نامیده می شود منطقه گوشه داخلی، و دیگری - ناحیه گوشه بیرونی. تصویر زیر توضیح می دهد که کدام قسمت از هواپیما با ناحیه داخلی گوشه و کدام قسمت خارجی مطابقت دارد.

هر یک از دو قسمتی که زاویه باز شده صفحه را به آن تقسیم می کند، می تواند ناحیه داخلی زاویه باز شده در نظر گرفته شود.

تعریف ناحیه داخلی یک زاویه ما را به تعریف دوم از زاویه می رساند.

تعریف.

گوشهشکل هندسی است که از دو پرتو واگرا با منشا مشترک و مساحت داخلی مربوط به زاویه تشکیل شده است.

لازم به ذکر است که تعریف دوم از زاویه سخت تر از تعریف اول است، زیرا دارای شرایط بیشتری است. با این حال، تعریف اول از زاویه را نباید نادیده گرفت و همچنین نباید تعریف اول و دوم از زاویه را جداگانه بررسی کرد. بیایید این نکته را روشن کنیم. وقتی از یک زاویه به عنوان یک شکل هندسی صحبت می کنیم، آنگاه زاویه به صورت شکلی متشکل از دو پرتو با منشاء مشترک درک می شود. اگر نیاز به انجام هر کاری با این زاویه باشد (مثلاً اندازه گیری زاویه)، آنگاه باید زاویه را قبلاً به صورت دو پرتو با یک شروع مشترک و یک ناحیه داخلی درک کرد (در غیر این صورت یک وضعیت دوگانه به دلیل وجود هر دو ناحیه داخلی و خارجی زاویه).

اجازه دهید تعاریفی از زوایای مجاور و عمودی نیز ارائه دهیم.

تعریف.

زوایای مجاور- اینها دو زاویه هستند که یک ضلع آنها مشترک است و دو زاویه دیگر یک زاویه باز شده را تشکیل می دهند.

از تعریف به دست می آید که زوایای مجاور یکدیگر را تکمیل می کنند تا زمانی که زاویه چرخیده شود.

تعریف.

زوایای عمودی- این دو زاویه هستند که اضلاع یک زاویه ادامه اضلاع زاویه دیگر است.

شکل زوایای عمودی را نشان می دهد.

بدیهی است که دو خط متقاطع چهار جفت زاویه مجاور و دو جفت زاویه عمودی را تشکیل می دهند.

مقایسه زوایا

در این بند از مقاله به تعاریف زوایای مساوی و نامساوی می پردازیم و همچنین در مورد زوایای نامساوی توضیح می دهیم که کدام زاویه بزرگتر و کدام کوچکتر در نظر گرفته می شود.

به یاد بیاورید که اگر بتوان دو شکل هندسی را با یکدیگر ترکیب کرد، مساوی نامیده می شوند.

اجازه دهید دو زاویه به ما داده شود. اجازه دهید استدلالی ارائه کنیم که به ما کمک کند به این سؤال پاسخ دهیم: "آیا این دو زاویه برابر هستند یا خیر؟"

بدیهی است که همیشه می توانیم رئوس دو گوشه و همچنین یک طرف گوشه اول را با هر دو طرف گوشه دوم مطابقت دهیم. بیایید ضلع زاویه اول را با آن طرف زاویه دوم تراز کنیم تا اضلاع باقیمانده زوایا در همان سمت خط مستقیمی قرار گیرند که اضلاع ترکیبی زوایا روی آن قرار دارند. سپس، اگر دو ضلع دیگر زوایا بر هم منطبق باشند، آنگاه زاویه نامیده می شود برابر.

اگر دو ضلع دیگر زوایا بر هم منطبق نباشند، آنگاه زوایا نامیده می شوند نابرابر، و کوچکترزاویه ای که بخشی از دیگری را تشکیل می دهد در نظر گرفته می شود ( بزرگزاویه ای است که کاملاً شامل زاویه دیگری است).

بدیهی است که دو زاویه مستقیم برابر هستند. همچنین واضح است که یک زاویه توسعه یافته از هر زاویه توسعه نیافته بیشتر است.

اندازه گیری زاویه

اندازه گیری زاویه ها بر اساس مقایسه زاویه اندازه گیری شده با زاویه ای است که به عنوان واحد اندازه گیری در نظر گرفته شده است. روند اندازه گیری زاویه ها به این صورت است: با شروع از یکی از اضلاع زاویه مورد اندازه گیری، ناحیه داخلی آن به طور متوالی با زوایای منفرد پر می شود و آنها را محکم در کنار یکدیگر قرار می دهند. در همان زمان، تعداد زوایای گذاشته شده به خاطر سپرده می شود که اندازه گیری زاویه اندازه گیری شده را نشان می دهد.

در واقع، هر زاویه ای را می توان به عنوان واحد اندازه گیری زوایا در نظر گرفت. با این حال، بسیاری از واحدهای پذیرفته شده اندازه گیری زوایای مربوط به رشته های مختلف علم و فناوری وجود دارد که نام های خاصی را دریافت کرده اند.

یکی از واحدهای اندازه گیری زاویه می باشد درجه.

تعریف.

یک درجه- این یک زاویه برابر با یکصد و هشتادم زاویه چرخش است.

یک درجه با علامت "" نشان داده می شود، بنابراین یک درجه به عنوان نشان داده می شود.

بنابراین، در یک زاویه چرخشی می توانیم 180 زاویه را در یک درجه قرار دهیم. به نظر می رسد نصف پای گرد بریده شده به 180 قطعه مساوی. بسیار مهم: «تکه‌های پای» محکم با هم قرار می‌گیرند (یعنی کناره‌های گوشه‌ها در یک راستا قرار دارند)، به طوری که ضلع گوشه اول با یک طرف زاویه باز شده و ضلع آخرین زاویه واحد تراز شده است. با طرف دیگر زاویه باز شده منطبق است.

هنگام اندازه‌گیری زاویه‌ها، متوجه شوید که چند بار یک درجه (یا واحد اندازه‌گیری دیگر زاویه‌ها) در زاویه مورد اندازه‌گیری قرار می‌گیرد تا زمانی که سطح داخلی زاویه اندازه‌گیری شده کاملاً پوشانده شود. همانطور که قبلاً دیدیم، در یک زاویه چرخش درجه دقیقاً 180 برابر است. در زیر نمونه هایی از زوایایی آورده شده است که در آنها زاویه یک درجه دقیقاً 30 برابر (چنین زاویه ای یک ششم زاویه باز شده است) و دقیقاً 90 برابر (نیمی از زاویه باز شده) مطابقت دارد.

برای اندازه‌گیری زوایای کمتر از یک درجه (یا واحد اندازه‌گیری دیگر زاویه‌ها) و در مواردی که نمی‌توان زاویه را با تعداد درجه کامل اندازه‌گیری کرد (واحدهای اندازه‌گیری شده)، باید از قسمت‌های یک درجه (بخش‌هایی از واحدهای اندازه گیری گرفته شده). به قسمت های خاصی از یک مدرک نام های ویژه داده می شود. رایج ترین آنها به اصطلاح دقیقه و ثانیه است.

تعریف.

دقیقهیک شصتم درجه است.

تعریف.

دومینیک شصتم دقیقه است.

به عبارت دیگر، در یک دقیقه شصت ثانیه و در یک درجه شصت دقیقه (3600 ثانیه) وجود دارد. علامت "" برای نشان دادن دقیقه و نماد "" برای نشان دادن ثانیه استفاده می شود (با علائم مشتق و مشتق دوم اشتباه نگیرید). سپس با تعاریف و نمادهای معرفی شده داریم و زاویه 17 درجه و 3 دقیقه و 59 ثانیه را می توان به صورت .

تعریف.

درجه اندازه گیری زاویهعددی مثبت است که نشان می دهد یک درجه و اجزای آن چند بار در یک زاویه معین قرار می گیرند.

برای مثال، درجه یک زاویه توسعه یافته صد و هشتاد و درجه یک زاویه برابر است .

ابزارهای اندازه گیری خاصی برای اندازه گیری زاویه وجود دارد که معروف ترین آنها نقاله است.

اگر هم نام زاویه (مثلاً ) و هم اندازه درجه آن (بگذارید 110) مشخص باشد، از یک نماد کوتاه از شکل استفاده کنید. و می گویند: زاویه AOB برابر با صد و ده درجه است.

از تعاریف زاویه و درجه یک زاویه، چنین بر می آید که در هندسه، اندازه زاویه بر حسب درجه با یک عدد واقعی از بازه (0، 180] (در مثلثات، زوایای با درجه دلخواه بیان می شود. اندازه گیری در نظر گرفته می شوند، نامیده می شوند) زاویه نود درجه نام خاصی دارد، به آن می گویند زاویه راست. زاویه کمتر از 90 درجه نامیده می شود زاویه حاد. زاویه بزرگتر از نود درجه نامیده می شود زاویه مبهم. بنابراین، اندازه یک زاویه تند بر حسب درجه با عددی از بازه (0، 90)، اندازه یک زاویه مبهم با عددی از فاصله (90، 180)، یک زاویه قائم برابر است با نود درجه در اینجا تصاویری از یک زاویه تند، یک زاویه مبهم و زاویه راست.

از اصل اندازه‌گیری زاویه‌ها چنین استنباط می‌شود که اندازه‌های درجه زاویه‌های مساوی یکسان است، درجه یک زاویه بزرگ‌تر از اندازه‌گیری درجه یک زاویه کوچک‌تر، و اندازه‌گیری درجه زاویه‌ای است که توسط چندین زاویه ساخته شده است. زاویه ها برابر است با مجموع درجه های زوایای اجزا. شکل زیر زاویه AOB را نشان می دهد که در این حالت توسط زوایای AOC، COD و DOB ساخته شده است.

بدین ترتیب، مجموع زوایای مجاور یکصد و هشتاد درجه است، زیرا آنها یک زاویه مستقیم را تشکیل می دهند.

از این بیان چنین برمی آید که. در واقع، اگر زوایای AOB و COD عمودی باشند، زوایای AOB و BOC مجاور و زوایای COD و BOC نیز مجاور هستند، بنابراین، تساوی و معتبر هستند که بر تساوی دلالت دارد.

همراه با درجه، یک واحد اندازه گیری مناسب برای زاویه نامیده می شود رادیان. اندازه گیری رادیان به طور گسترده ای در مثلثات استفاده می شود. بیایید رادیان را تعریف کنیم.

تعریف.

زاویه یک رادیان- این زاویه مرکزی، که با طول قوس برابر با طول شعاع دایره مربوطه مطابقت دارد.

بیایید یک تصویر گرافیکی از زاویه یک رادیان ارائه دهیم. در نقاشی، طول شعاع OA (و همچنین شعاع OB) برابر با طول قوس AB است، بنابراین، طبق تعریف، زاویه AOB برابر با یک رادیان است.

مخفف "rad" برای نشان دادن رادیان استفاده می شود. مثلا ورودی 5 راد یعنی 5 رادیان. با این حال، در نوشتن نام "راد" اغلب حذف می شود. مثلاً وقتی نوشته می شود زاویه برابر با پی است یعنی پی راد.

شایان ذکر است که بزرگی زاویه، که بر حسب رادیان بیان می شود، به طول شعاع دایره بستگی ندارد. این به دلیل این واقعیت است که اشکال محدود شده توسط یک زاویه مشخص و یک کمان دایره با مرکز در راس یک زاویه مشخص به یکدیگر شبیه هستند.

اندازه گیری زوایای رادیان را می توان به همان روشی که اندازه گیری زاویه بر حسب درجه انجام داد: مشخص کنید که زاویه یک رادیان (و اجزای آن) چند بار در یک زاویه معین قرار می گیرد. یا می توانید طول قوس زاویه مرکزی مربوطه را محاسبه کنید و سپس آن را بر طول شعاع تقسیم کنید.

برای اهداف عملی، دانستن چگونگی ارتباط درجه و رادیان با یکدیگر مفید است، زیرا تعداد زیادی از آنها باید انجام شوند. این مقاله ارتباطی بین درجه و اندازه‌های رادیان زاویه برقرار می‌کند و نمونه‌هایی از تبدیل درجه به رادیان و بالعکس را ارائه می‌دهد.

تعیین زاویه در نقاشی.

در نقشه ها، برای راحتی و وضوح، می توان گوشه ها را با کمان هایی مشخص کرد که معمولاً در قسمت داخلی گوشه از یک طرف گوشه به طرف دیگر کشیده می شوند. زوایای مساوی با تعداد کمان یکسان، زوایای نابرابر با تعداد کمان متفاوت مشخص می شوند. زوایای راست در نقاشی با نمادی از شکل "" نشان داده شده است، که در ناحیه داخلی زاویه سمت راست از یک طرف زاویه به سمت دیگر نشان داده شده است.

اگر مجبور هستید زوایای مختلف زیادی را در یک نقاشی علامت گذاری کنید (معمولاً بیش از سه)، پس هنگام علامت گذاری زوایای، علاوه بر قوس های معمولی، استفاده از قوس هایی از نوع خاصی مجاز است. به عنوان مثال، می توانید قوس های ناهموار یا چیزی مشابه را به تصویر بکشید.

لازم به ذکر است که نباید از تعیین زوایای نقشه ها غافلگیر شوید و نقشه ها را به هم نریزید. توصیه می کنیم فقط آن زاویه هایی را که در فرآیند حل یا اثبات ضروری هستند علامت گذاری کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب.

Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Poznyak E.G.، Yudina I.I. هندسه. پایه های 7 تا 9: کتاب درسی برای موسسات آموزش عمومی.
Atanasyan L.S.، Butuzov V.F.، Kadomtsev S.B.، Kiseleva L.S.، Poznyak E.G. هندسه. کتاب درسی 10 تا 11 دوره متوسطه.
Pogorelov A.V.، هندسه. کتاب درسی پایه های 7-11 در موسسات آموزش عمومی.

26 ژوئن 2013

بیایید با تعریف زاویه شروع کنیم. اولاً این یک شکل هندسی است. ثانیاً توسط دو پرتو تشکیل می شود که به آنها اضلاع زاویه می گویند. ثالثاً دومی ها از یک نقطه بیرون می آیند که به آن راس زاویه می گویند. بر اساس این ویژگی‌ها، می‌توان تعریفی ایجاد کرد: زاویه یک شکل هندسی است که از دو پرتو (ضلع) تشکیل شده است که از یک نقطه (راس) بیرون می‌آیند.

آنها بر اساس مقدار درجه، مکان نسبت به یکدیگر و نسبت به دایره طبقه بندی می شوند. بیایید با انواع زاویه ها با توجه به بزرگی آنها شروع کنیم.

انواع مختلفی از آنها وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به هر نوع بیندازیم.

تنها چهار نوع اصلی از زاویه وجود دارد - زاویه مستقیم، مبهم، حاد و مستقیم.

سر راست

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه آن همیشه 90 درجه است، به عبارت دیگر زاویه قائمه زاویه 90 درجه است. فقط چهار ضلعی مانند مربع و مستطیل آنها را دارند.

بلانت

به نظر می رسد این است:

درجه یک زاویه منفرد همیشه بزرگتر از 90 درجه، اما کمتر از 180 درجه است. می توان آن را در چهار ضلعی مانند لوزی، متوازی الاضلاع دلخواه و در چندضلعی ها یافت.

تند

به نظر می رسد این است:

درجه یک زاویه حاد همیشه کمتر از 90 درجه است. در تمام چهار ضلعی ها به جز مربع و هر متوازی الاضلاع یافت می شود.

منبسط

زاویه باز شده به شکل زیر است:

در چند ضلعی ها رخ نمی دهد، اما اهمیت آن کمتر از بقیه نیست. زاویه مستقیم یک شکل هندسی است که درجه آن همیشه 180 درجه است. می توانید با کشیدن یک یا چند پرتو از راس آن در هر جهت، زوایای مجاور را روی آن بسازید.

چندین نوع کوچک دیگر از زاویه وجود دارد. آنها در مدارس مطالعه نمی شوند، اما حداقل باید از وجود آنها اطلاع داشت. فقط پنج نوع ثانویه زاویه وجود دارد:

1. صفر

به نظر می رسد این است:

نام خود زاویه قبلاً اندازه آن را نشان می دهد. مساحت داخلی آن 0 درجه است و اضلاع آن مانند شکل روی هم قرار می گیرند.

2. مایل

یک زاویه مایل می تواند یک زاویه مستقیم، یک زاویه مبهم، یک زاویه تند یا یک زاویه مستقیم باشد. شرط اصلی آن این است که برابر 0 o، 90 o، 180 o، 270 o نباشد.

3. محدب

زوایای محدب زوایای صفر، مستقیم، منفرد، تند و مستقیم هستند. همانطور که قبلاً فهمیدید، درجه یک زاویه محدب از 0 تا 180 درجه است.

4. غیر محدب

زوایای با اندازه گیری درجه از 181 درجه تا 359 درجه شامل غیر محدب هستند.

5. پر

زاویه کامل 360 درجه است.

اینها همه انواع زاویه ها با توجه به بزرگی آنها هستند. حال بیایید انواع آنها را با توجه به موقعیت آنها در هواپیما نسبت به یکدیگر بررسی کنیم.

1. اضافی

اینها دو زاویه حاد هستند که یک خط مستقیم را تشکیل می دهند، یعنی. مجموع آنها 90 درجه است.

2. مجاورت

زوایای مجاور تشکیل می شوند اگر یک پرتو از زاویه باز شده یا بهتر است بگوییم از رأس آن در هر جهتی عبور داده شود. مجموع آنها 180 درجه است.

3. عمودی

زوایای عمودی زمانی تشکیل می شوند که دو خط مستقیم را قطع کنند. معیارهای درجه آنها برابر است.

حالا بیایید به انواع زاویه های قرار گرفته نسبت به دایره بپردازیم. تنها دو مورد از آنها وجود دارد: مرکزی و کتیبه.

1. مرکزی

زاویه مرکزی زاویه ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد. اندازه درجه آن برابر است با درجه اندازه گیری قوس کوچکتر که توسط طرفین فرو رفته است.

2. نوشته شده

زاویه محاطی، زاویه ای است که راس آن روی دایره قرار دارد و اضلاع آن آن را قطع می کنند. اندازه درجه آن برابر است با نصف قوسی که روی آن قرار گرفته است.

برای زوایا همین است. اکنون می دانید که علاوه بر معروف ترین آنها - حاد، مبهم، مستقیم و مستقر - انواع دیگری از آنها در هندسه وجود دارد.

منبع: fb.ru

جاری

متفرقه
متفرقه

زاویه یک شکل هندسی است که از دو پرتو متفاوت تشکیل شده است که از یک نقطه ساطع می شوند. در این حالت به این پرتوها اضلاع زاویه می گویند. نقطه ای که ابتدای پرتوها است، راس زاویه نامیده می شود. در تصویر می توانید زاویه راس را در نقطه مشاهده کنید در باره، و احزاب کو متر.

نقاط A و C در طرفین زاویه مشخص شده اند.این زاویه را می توان به عنوان زاویه AOC تعیین کرد. در وسط باید نام نقطه ای که راس زاویه در آن قرار دارد وجود داشته باشد. همچنین عناوین دیگری نیز وجود دارد، زاویه O یا زاویه کیلومتر. در هندسه اغلب به جای کلمه زاویه، علامت خاصی نوشته می شود.

زاویه توسعه یافته و غیر منبسط شده

اگر هر دو طرف یک زاویه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، چنین زاویه ای نامیده می شود منبسطزاویه یعنی یک طرف زاویه ادامه ضلع دیگر زاویه است. شکل زیر زاویه منبسط شده O را نشان می دهد.

لازم به ذکر است که هر زاویه ای صفحه را به دو قسمت تقسیم می کند. اگر زاویه باز نشود، یکی از قسمت ها ناحیه داخلی زاویه و دیگری ناحیه خارجی این زاویه نامیده می شود. شکل زیر یک زاویه توسعه نیافته را نشان می دهد و نواحی بیرونی و داخلی این زاویه را مشخص می کند.

در مورد زاویه توسعه یافته، هر یک از دو قسمتی که صفحه را به آن تقسیم می کند، می تواند ناحیه بیرونی زاویه در نظر گرفته شود. می توانیم در مورد موقعیت یک نقطه نسبت به یک زاویه صحبت کنیم. یک نقطه می تواند در خارج از گوشه (در ناحیه بیرونی) قرار گیرد، می تواند در یک طرف آن قرار گیرد، یا می تواند در داخل گوشه (در ناحیه داخلی) قرار گیرد.

در شکل زیر، نقطه A خارج از زاویه O، نقطه B در یک طرف زاویه و نقطه C در داخل زاویه قرار دارد.

اندازه گیری زاویه

برای اندازه گیری زاویه ها دستگاهی به نام نقاله وجود دارد. واحد زاویه است درجه. لازم به ذکر است که هر زاویه دارای درجه خاصی است که بزرگتر از صفر است.

بسته به اندازه گیری درجه، زاویه ها به چند گروه تقسیم می شوند.

بیایید با تعریف زاویه شروع کنیم. اولاً، ثانیاً توسط دو پرتو تشکیل شده است که به آنها اضلاع زاویه می گویند. ثالثاً دومی ها از یک نقطه بیرون می آیند که به آن راس زاویه می گویند. بر اساس این ویژگی‌ها، می‌توان تعریفی ایجاد کرد: زاویه یک شکل هندسی است که از دو پرتو (ضلع) تشکیل شده است که از یک نقطه (راس) بیرون می‌آیند.

انواع مختلفی از آنها وجود دارد. بیایید نگاهی دقیق تر به هر نوع بیندازیم.

تنها چهار نوع اصلی از زاویه وجود دارد - زاویه مستقیم، مبهم، حاد و مستقیم.

سر راست

به نظر می رسد این است:

بلانت

به نظر می رسد این است:

اندازه گیری درجه همیشه بیشتر از 90 درجه است، اما کمتر از 180 درجه است. می توان آن را در چهار ضلعی مانند لوزی، متوازی الاضلاع دلخواه و در چندضلعی ها یافت.

تند

به نظر می رسد این است:

درجه یک زاویه حاد همیشه کمتر از 90 درجه است. در تمام چهار ضلعی ها به جز مربع و هر متوازی الاضلاع یافت می شود.

منبسط

زاویه باز شده به شکل زیر است:

در چند ضلعی ها رخ نمی دهد، اما اهمیت آن کمتر از بقیه نیست. زاویه مستقیم یک شکل هندسی است که درجه آن همیشه 180 درجه است. می توانید با کشیدن یک یا چند پرتو از بالای آن در هر جهتی روی آن بسازید.

1. صفر

به نظر می رسد این است:

نام خود زاویه قبلاً اندازه آن را نشان می دهد. مساحت داخلی آن 0 درجه است و اضلاع آن مانند شکل روی هم قرار می گیرند.

2. مایل

3. محدب

4. غیر محدب

زوایای با اندازه گیری درجه از 181 درجه تا 359 درجه شامل غیر محدب هستند.

5. پر

زاویه کامل 360 درجه است.

1. اضافی

اینها دو زاویه حاد هستند که یک خط مستقیم را تشکیل می دهند، یعنی. مجموع آنها 90 درجه است.

2. مجاورت

3. عمودی

زوایای عمودی زمانی تشکیل می شوند که دو خط مستقیم را قطع کنند. معیارهای درجه آنها برابر است.

حالا بیایید به انواع زاویه های قرار گرفته نسبت به دایره بپردازیم. تنها دو مورد از آنها وجود دارد: مرکزی و کتیبه.

1. مرکزی

2. نوشته شده

هر زاویه بسته به اندازه آن نام خاص خود را دارد:

نوع زاویه	اندازه بر حسب درجه	مثال
تند	کمتر از 90 درجه
سر راست	برابر 90 درجه در نقاشی، زاویه قائمه معمولاً با نمادی که از یک طرف زاویه به سمت دیگر کشیده می شود نشان داده می شود.
بلانت	بیش از 90 درجه اما کمتر از 180 درجه
منبسط	برابر با 180 درجه یک زاویه مستقیم برابر است با مجموع دو زاویه قائمه و یک زاویه قائمه نصف یک زاویه مستقیم است.
محدب	بیش از 180 درجه اما کمتر از 360 درجه
پر شده	برابر با 360 درجه

دو زاویه نامیده می شود مجاوراگر یک طرف مشترک باشد و دو طرف دیگر یک خط مستقیم تشکیل دهند:

زاویه MOPو PONمجاور، از پرتو OP- طرف مشترک و دو طرف دیگر - OMو بریک خط مستقیم تشکیل دهید

ضلع مشترک زوایای مجاور نامیده می شود مایل به راست، که دو ضلع دیگر روی آن قرار می گیرند، فقط در صورتی که زوایای مجاور با یکدیگر مساوی نباشند. اگر زوایای مجاور مساوی باشند، ضلع مشترک آنها خواهد بود عمود بر.

مجموع زوایای مجاور 180 درجه است.

دو زاویه نامیده می شود عمودی، اگر اضلاع یک زاویه مکمل اضلاع زاویه دیگر با خطوط مستقیم باشد:

زوایای 1 و 3 و همچنین زوایای 2 و 4 عمودی هستند.

زوایای عمودی برابر هستند.

اجازه دهید ثابت کنیم که زوایای عمودی برابر هستند:

مجموع ∠1 و ∠2 یک زاویه مستقیم است. و مجموع ∠3 و ∠2 یک زاویه مستقیم است. پس این دو مقدار برابرند:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

در این برابری، یک عبارت یکسان در سمت چپ و راست وجود دارد - ∠2. اگر این عبارت سمت چپ و راست حذف شود، تساوی نقض نمی شود. سپس آن را دریافت می کنیم.