مشتقات مرتبه بالاتر

در این درس یاد می گیریم که چگونه مشتقات مرتبه های بالاتر را پیدا کنیم و همچنین فرمول کلی مشتق "n" را بنویسیم. علاوه بر این، فرمول لایب نیتس برای چنین مشتقاتی و بر اساس تقاضای عمومی، مشتقات مرتبه بالاتر از عملکرد ضمنی. من به شما پیشنهاد می کنم فوراً یک تست کوچک انجام دهید:

در اینجا تابع است: و در اینجا اولین مشتق آن است:

اگر در مورد این مثال مشکلی / سردرگمی دارید، لطفاً با دو مقاله اصلی دوره من شروع کنید: چگونه مشتق را پیدا کنیم؟و مشتق تابع مختلط. پس از تسلط بر مشتقات ابتدایی، توصیه می کنم درس را بخوانید ساده ترین مشکلات با مشتقات، که به ویژه به آن پرداختیم مشتق دوم.

حتی حدس زدن اینکه مشتق دوم مشتق مشتق اول است دشوار نیست:

در اصل، مشتق دوم قبلاً یک مشتق مرتبه بالاتر در نظر گرفته می شود.

به همین ترتیب: مشتق سوم مشتق مشتق دوم است:

مشتق چهارم مشتق مشتق سوم است:

مشتق پنجم: و بدیهی است که تمام مشتقات مرتبه بالاتر نیز برابر با صفر خواهند بود:

علاوه بر شماره گذاری رومی، نمادهای زیر اغلب در عمل استفاده می شوند:
، مشتق ترتیب "n" با نشان داده می شود. در این حالت، بالانویس باید در داخل پرانتز قرار گیرد- برای تشخیص مشتق از "y" در درجه.

گاهی اوقات چیزی شبیه به این می بینید: – به ترتیب مشتقات سوم، چهارم، پنجم، ...، nth.

بدون ترس و شک به جلو:

مثال 1

تابع داده شده است. پیدا کردن .

راه حل: چی میتونی بگی... - برو مشتق چهارم :)

دیگر قرار دادن چهار ضربه مرسوم نیست، بنابراین به شاخص های عددی می رویم:

پاسخ:

خوب، حالا بیایید به این سؤال فکر کنیم: اگر شرط مستلزم یافتن نه 4، بلکه برای مثال، مشتق بیستم باشد، چه باید کرد؟ اگر برای مشتق 3-4-5 (حداکثر 6-7)مرتبه بزرگی، راه حل به سرعت رسمیت می یابد، پس ما به زودی به مشتقات مرتبه های بالاتر نخواهیم رسید. در واقع، 20 خط را یادداشت نکنید! در چنین شرایطی، باید چندین مشتق یافت شده را تجزیه و تحلیل کنید، الگو را ببینید و فرمولی برای مشتق «n» ایجاد کنید. بنابراین، در مثال شماره 1 به راحتی می توان فهمید که با هر تمایز بعدی یک "سه" اضافی در مقابل توان نمایان می شود و در هر مرحله درجه "سه" برابر است با تعداد مشتق، بنابراین:

یک عدد طبیعی دلخواه کجاست.

و در واقع، اگر، آنگاه دقیقاً مشتق 1 به دست می آید: ، اگر - سپس 2nd: و غیره. بنابراین، مشتق بیستم فوراً تعیین می شود: - و بدون "ورق های کیلومتری"!

گرم کردن خود به خود:

مثال 2

توابع را پیدا کنید مشتق سفارش را بنویسید

راه حل و پاسخ در پایان درس است.

پس از یک گرم کردن نیروبخش، نمونه های پیچیده تری را در نظر خواهیم گرفت که در آنها الگوریتم راه حل فوق را کار خواهیم کرد. برای کسانی که توانستند با درس آشنا شوند محدودیت توالی، کمی ساده تر خواهد بود:

مثال 3

برای تابع پیدا کنید.

راه حل: برای روشن شدن وضعیت، بیایید چندین مشتق پیدا کنیم:

ما عجله ای برای ضرب اعداد حاصل نداریم! ;-)


شاید همین کافی باشد. ...حتی کمی زیاده روی کردم.

گام بعدی بهتر است فرمول مشتق "n" را ایجاد کنید (اگر شرایط به این نیاز ندارد، می توانید با یک پیش نویس از پس آن برآیید). برای انجام این کار، به نتایج به دست آمده نگاه می کنیم و الگوهایی را که هر مشتق بعدی با آن به دست می آید، شناسایی می کنیم.

اولاً آنها متناوب می شوند. هم ترازی تضمین می کند "چراغ چشمک زن"و از آنجایی که مشتق 1 مثبت است، فاکتور زیر وارد فرمول کلی می شود: . یک گزینه معادل نیز کار می کند، اما شخصا، به عنوان یک خوش بین، من عاشق علامت مثبت =)

ثانیاً ، در صورت حساب "باد بالا می رود" فاکتوریل، و یک واحد از عدد مشتق عقب تر است:

و ثالثاً قدرت "دو" در صورتگر افزایش می یابد که برابر با عدد مشتق است. همین را می توان در مورد درجه مخرج نیز گفت. سرانجام:

برای بررسی، اجازه دهید چند مقدار "en" را جایگزین کنیم، برای مثال، و:

عالی است، اکنون اشتباه کردن به سادگی یک گناه است:

پاسخ:

یک تابع ساده تر برای حل به تنهایی:

مثال 4

توابع را پیدا کنید

و یک مشکل جالب تر:

مثال 5

توابع را پیدا کنید

بیایید یک بار دیگر این روش را تکرار کنیم:

1) ابتدا چندین مشتق پیدا می کنیم. برای گرفتن الگوها معمولاً سه یا چهار مورد کافی است.

2) سپس من به شدت توصیه می کنم آن را درست کنید (حداقل به صورت پیش نویس)مشتق "n" - تضمین شده است که از شما در برابر خطا محافظت می کند. اما شما می توانید بدون آن، یعنی. به طور ذهنی تخمین بزنید و فوراً مثلاً مشتق بیستم یا هشتم را یادداشت کنید. علاوه بر این، برخی از افراد به طور کلی قادر به حل مشکلات مورد بحث به صورت شفاهی هستند. با این حال، باید به یاد داشته باشید که روش های "سریع" پرمشغله هستند و بهتر است ایمن باشید.

3) در مرحله نهایی، مشتق "nth" را بررسی می کنیم - یک جفت مقدار "nth" (ترجیحاً همسایه) را می گیریم و جایگزینی را انجام می دهیم. و بررسی تمام مشتقات قبلاً یافت شده حتی قابل اعتمادتر است. سپس آن را به عنوان مثال با مقدار دلخواه جایگزین می کنیم یا نتیجه را با دقت شانه می کنیم.

حل کوتاهی برای مثال های 4 و 5 در پایان درس.

در برخی از کارها، برای جلوگیری از مشکلات، باید کمی جادو روی عملکرد انجام دهید:

مثال 6

راه حل: من اصلاً نمی‌خواهم تابع پیشنهادی را متمایز کنم، زیرا منجر به یک کسر «بد» می‌شود که یافتن مشتقات بعدی را بسیار پیچیده می‌کند.

در این راستا، انجام تحولات اولیه توصیه می شود: استفاده می کنیم فرمول اختلاف مربعو خاصیت لگاریتم :

موضوع کاملاً متفاوت است:

و دوستان قدیمی:

فکر می کنم همه چیز در حال بررسی است. لطفاً توجه داشته باشید که کسر 2 علامت متناوب دارد، اما کسری 1 نه. مشتق سفارش را می سازیم:

کنترل:

خوب، برای زیبایی، بیایید فاکتوریل را از پرانتز خارج کنیم:

پاسخ:

یک کار جالب برای حل به تنهایی:

مثال 7

فرمول مشتق ترتیب تابع را بنویسید

و اکنون در مورد تضمین متقابل تزلزل ناپذیری که حتی مافیای ایتالیایی نیز به آن حسادت می‌کنند:

مثال 8

تابع داده شده است. پیدا کردن

مشتق هجدهم در نقطه. فقط

راه حل: ابتدا، بدیهی است که باید پیدا کنید. برو:

از سینوس شروع کردیم و به سینوس ختم شدیم. واضح است که با تمایز بیشتر این چرخه به طور نامحدود ادامه خواهد داشت و این سؤال مطرح می شود: بهترین راه برای "رسیدن" به مشتق هجدهم چیست؟

روش "آماتور": به سرعت اعداد مشتقات بعدی را در ستون سمت راست بنویسید:

بدین ترتیب:

اما این کار در صورتی کار می کند که ترتیب مشتق خیلی بزرگ نباشد. اگر می خواهید مثلاً مشتق صدم را پیدا کنید، باید از بخش پذیری بر 4 استفاده کنید. صد بدون باقیمانده بر 4 بخش پذیر است و به راحتی می توان فهمید که چنین اعدادی در خط پایین قرار دارند، بنابراین: .

به هر حال، مشتق 18 را نیز می توان از ملاحظات مشابه تعیین کرد:
خط دوم شامل اعدادی است که با باقیمانده 2 بر 4 بخش پذیرند.

روش آکادمیک‌تر دیگری مبتنی بر آن است تناوب سینوسیو فرمول های کاهش. ما از فرمول آماده برای مشتق "n" سینوس استفاده می کنیم ، که عدد مورد نظر به سادگی جایگزین می شود. مثلا:
(فرمول کاهش ) ;
(فرمول کاهش )

در مورد ما:

(1) از آنجایی که سینوس یک تابع تناوبی با یک نقطه است، آرگومان را می توان بدون دردسر 4 دوره (یعنی) "باز کرد"

مشتق ترتیب حاصل ضرب دو تابع را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

به خصوص:

نیازی به به خاطر سپردن چیزی نیست، زیرا هر چه فرمول های بیشتری را بدانید، کمتر متوجه می شوید. آشنایی با آن بسیار مفیدتر است دوجمله ای نیوتن، از آنجایی که فرمول لایب نیتس بسیار بسیار شبیه به آن است. خوب، آن افراد خوش شانسی که مشتقی از سفارشات هفتم یا بالاتر را دریافت می کنند (که واقعا بعید است)، مجبور به انجام این کار خواهد شد. با این حال، زمانی که نوبت می رسد ترکیبیات- پس هنوز باید =)

بیایید مشتق سوم تابع را پیدا کنیم. ما از فرمول لایب نیتس استفاده می کنیم:

در این مورد: . خواندن مشتقات به صورت شفاهی آسان است:

اکنون با دقت و با دقت تعویض را انجام دهید و نتیجه را ساده کنید:

پاسخ:

یک کار مشابه برای راه حل مستقل:

مثال 11

ویژگی ها را پیدا کنید

اگر در مثال قبلی راه‌حل «هدر رو» همچنان با فرمول لایب‌نیتس رقابت می‌کرد، در اینجا واقعاً ناخوشایند خواهد بود. و حتی ناخوشایندتر - در مورد مشتق مرتبه بالاتر:

مثال 12

مشتق ترتیب مشخص شده را بیابید

راه حل: نکته اول و قابل توجه این است که احتمالاً نیازی نیست اینگونه تصمیم بگیرید =) =)

بیایید توابع را بنویسیم و مشتقات آنها را تا مرتبه 5 فراگیر پیدا کنیم. من فرض می کنم که مشتقات ستون سمت راست برای شما شفاهی شده است:

در ستون سمت چپ، مشتقات "زنده" به سرعت به پایان رسید و این بسیار خوب است - سه عبارت در فرمول لایبنیتس به صفر بازنشانی می شود:

اجازه دهید دوباره روی معضلی که در مقاله در مورد آن ظاهر شد، صحبت کنم مشتقات پیچیده: آیا باید نتیجه را ساده کنم؟ در اصل، شما می توانید آن را به این ترتیب ترک کنید - بررسی آن برای معلم حتی آسان تر خواهد بود. اما او ممکن است خواستار نهایی شدن این تصمیم شود. از سوی دیگر، ساده سازی به ابتکار خود مملو از خطاهای جبری است. با این حال، ما پاسخی داریم که به روش "ابتدایی" به دست آمده است =) (به لینک در ابتدا مراجعه کنید)و امیدوارم درست باشه:

عالیه همه چی جمع شد

پاسخ:

کار مبارک برای راه حل مستقل:

مثال 13

برای عملکرد:
الف) با تمایز مستقیم پیدا کنید.
ب) با استفاده از فرمول لایب نیتس پیدا کنید.
ج) محاسبه کنید.

نه، من اصلاً سادیست نیستم - نقطه "الف" در اینجا بسیار ساده است =)

اما به طور جدی، راه حل "مستقیم" با تمایز متوالی نیز "حق زندگی" دارد - در برخی موارد پیچیدگی آن با پیچیدگی استفاده از فرمول لایب نیتس قابل مقایسه است. اگر مناسب می دانید استفاده کنید - بعید است که این دلیلی برای شکست دادن تکلیف باشد.

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

برای بالا بردن پاراگراف پایانی باید بتوانید تمایز توابع ضمنی:

مشتقات مرتبه بالاتر توابع به طور ضمنی مشخص شده اند

بسیاری از ما ساعت ها، روزها و هفته های طولانی از زندگی خود را صرف مطالعه کرده ایم حلقه ها, سهمی ها, هایپربولی- و گاهی اوقات حتی یک مجازات واقعی به نظر می رسید. پس بیایید انتقام بگیریم و آنها را به درستی متمایز کنیم!

بیایید با سهمی "مدرسه" در آن شروع کنیم موقعیت متعارف:

مثال 14

معادله داده شده است. پیدا کردن .

راه حل: قدم اول آشناست:

این که تابع و مشتق آن به طور ضمنی بیان می شود، جوهر موضوع را تغییر نمی دهد؛ مشتق دوم مشتق مشتق اول است:

با این حال، قوانین بازی وجود دارد: معمولاً مشتقات مرتبه دوم و بالاتر بیان می شوند فقط از طریق "X" و "Y". بنابراین، : را با مشتق دوم به دست آمده جایگزین می کنیم:

مشتق سوم مشتق مشتق دوم است:

به طور مشابه، بیایید جایگزین کنیم:

پاسخ:

"مدرسه" هذلولی در موقعیت متعارف- برای کار مستقل:

مثال 15

معادله داده شده است. پیدا کردن .

تکرار می کنم که مشتق دوم و نتیجه را فقط باید از طریق "x" / "y" بیان کرد!

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

پس از شوخی های کودکان، اجازه دهید نگاهی به پورنوگرافی آلمانی بیندازیم، بیایید به نمونه های بزرگسالان بیشتری نگاه کنیم، که از آنها راه حل مهم دیگری را یاد خواهیم گرفت:

مثال 16

بیضیخودش

راه حل: بیایید مشتق 1 را پیدا کنیم:

حالا بیایید بایستیم و نکته بعدی را تحلیل کنیم: اکنون باید کسری را متمایز کنیم که اصلاً خوشایند نیست. در این مورد، البته، ساده است، اما در مشکلات زندگی واقعی، چنین هدایایی بسیار کم است. آیا راهی برای جلوگیری از یافتن مشتق دست و پا گیر وجود دارد؟ وجود دارد! ما معادله را می گیریم و از همان تکنیکی استفاده می کنیم که مشتق اول را پیدا می کنیم - ضربات را از هر دو طرف "آویزان" می کنیم:

مشتق دوم باید فقط بر حسب و بیان شود، بنابراین اکنون (همین الان)خلاص شدن از شر مشتق 1 راحت است. برای انجام این کار، معادله حاصل را جایگزین کنید:

برای جلوگیری از مشکلات فنی غیر ضروری، بیایید هر دو بخش را در:

و فقط در مرحله آخر کسر را فرموله می کنیم:

اکنون به معادله اصلی نگاه می کنیم و متوجه می شویم که نتیجه به دست آمده را می توان ساده کرد:

پاسخ:

چگونه می توان مقدار مشتق دوم را در هر نقطه پیدا کرد (که البته متعلق به بیضی است)به عنوان مثال، در نقطه ? بسیار آسان! این انگیزه قبلاً در درس در مورد مواجه شده است معادله نرمال: باید مشتق دوم را جایگزین عبارت کنید :

البته در هر سه مورد می‌توان کارکردهایی را که به صراحت تعریف شده است به دست آورد و آن‌ها را متمایز کرد، اما پس از آن آمادگی ذهنی برای کار با دو کارکردی که حاوی ریشه هستند را داشته باشید. به نظر من، راحت تر است که راه حل را به "روش ضمنی" انجام دهیم.

یک مثال نهایی برای حل به تنهایی:

مثال 17

یک تابع مشخص شده به طور ضمنی پیدا کنید

متن اثر بدون تصویر و فرمول درج شده است.
نسخه کامل اثر در برگه «فایل‌های کاری» با فرمت PDF موجود است

"من هم دوجمله ای نیوتن!»

از رمان "استاد و مارگاریتا"

مثلث پاسکال آنقدر ساده است که حتی یک کودک ده ساله هم می تواند آن را بنویسد. در عین حال، گنجینه های تمام نشدنی را پنهان می کند و جنبه های مختلف ریاضیات را که در نگاه اول هیچ شباهتی با یکدیگر ندارند، به هم متصل می کند. چنین ویژگی‌های غیرعادی به ما این امکان را می‌دهد که مثلث پاسکال را یکی از زیباترین نمودارها در تمام ریاضیات در نظر بگیریم.

مارتین گاردنر.

هدف کار:فرمول های ضرب اختصاری را تعمیم دهید و کاربرد آنها را در حل مسئله نشان دهید.

وظایف:

1) مطالعه و نظام مند کردن اطلاعات در مورد این موضوع؛

2) نمونه هایی از مسائل را با استفاده از دوجمله ای نیوتن و فرمول های مجموع و اختلاف توان ها تجزیه و تحلیل کنید.

موضوعات مورد مطالعه:دوجمله ای نیوتن، فرمول های حاصل از مجموع و اختلاف توان ها.

روش های پژوهش:

کار با ادبیات آموزشی و علمی عامه پسند، منابع اینترنتی.

محاسبات، مقایسه، تجزیه و تحلیل، قیاس.

ارتباط.یک فرد اغلب مجبور است با مشکلاتی دست و پنجه نرم کند که در آنها باید تعداد همه راه های ممکن برای قرار دادن برخی اشیاء یا تعداد همه راه های ممکن برای انجام یک عمل را بشمارد. مسیرها یا گزینه‌های مختلفی که یک فرد باید انتخاب کند، ترکیب‌های بسیار متنوعی را تشکیل می‌دهد. و یک شاخه کامل از ریاضیات، به نام ترکیبیات، مشغول جستجو برای پاسخ به سؤالات است: در یک مورد معین چند ترکیب وجود دارد؟

نمایندگان بسیاری از تخصص ها باید با مقادیر ترکیبی سر و کار داشته باشند: دانشمند شیمی، زیست شناس، طراح، توزیع کننده، و غیره. افزایش علاقه به ترکیب شناسی اخیراً به دلیل توسعه سریع سایبرنتیک و فناوری رایانه ایجاد شده است.

معرفی

وقتی می‌خواهند تاکید کنند که طرف مقابل در حال اغراق در پیچیدگی مشکلاتی است که با آن مواجه است، می‌گویند: "من هم دو جمله ای نیوتن را دوست دارم!" آنها می گویند، این دو جمله ای نیوتن است، پیچیده است، اما شما چه مشکلاتی دارید! حتی آن دسته از افرادی که علایقشان هیچ ربطی به ریاضیات ندارد، درباره دوجمله ای نیوتن شنیده اند.

کلمه دوجمله ای به معنای دوجمله ای است، یعنی. مجموع دو جمله به اصطلاح فرمول های ضرب مختصر از دوره مدرسه شناخته شده است:

( آ+ ب) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ، (الف + ب) 3 = a 3 +3a 2 b + 3ab 2 +b 3 .

تعمیم این فرمول ها فرمولی به نام فرمول دو جمله ای نیوتن است. از فرمول های فاکتورگیری تفاوت مربع ها، مجموع و تفاوت های مکعب ها نیز در مدرسه استفاده می شود. آیا آنها به درجات دیگری تعمیم می دهند؟ بله، چنین فرمول هایی وجود دارد، آنها اغلب در حل مسائل مختلف استفاده می شوند: اثبات بخش پذیری، کاهش کسر، محاسبات تقریبی.

مطالعه فرمول های تعمیم دهنده، تفکر قیاسی-ریاضی و توانایی های تفکر عمومی را توسعه می دهد.

بخش 1. فرمول دوومی نیوتن

ترکیبات و خواص آنها

فرض کنید X مجموعه ای متشکل از n عنصر باشد. هر زیرمجموعه Y از مجموعه X که حاوی k عنصر باشد، ترکیبی از k عناصر از n با k≤ n نامیده می شود.

تعداد ترکیبات مختلف k عناصر از n با C n k نشان داده می شود. یکی از مهم ترین فرمول های ترکیبیات فرمول زیر برای عدد C n k است:

پس از اختصارات آشکار می توان آن را به صورت زیر نوشت:

به خصوص،

این کاملاً با این واقعیت سازگار است که در مجموعه X فقط یک زیر مجموعه از 0 عنصر وجود دارد - زیر مجموعه خالی.

اعداد C n k دارای تعدادی ویژگی قابل توجه هستند.

فرمول صحیح است: С n k = С n - k n , (3)

معنای فرمول (3) این است که بین مجموعه همه زیرمجموعه‌های k عضو X و مجموعه زیر مجموعه‌های (n - k) - عضو X مطابقت یک به یک وجود دارد: برای ایجاد این تناظر، برای هر زیر مجموعه k-عضو Y کافی است مکمل آن را در مجموعه X مقایسه کنید.

فرمول صحیح С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n است (4)

مجموع سمت چپ تعداد تمام زیر مجموعه های مجموعه X را بیان می کند (C 0 n تعداد زیر مجموعه های 0 عضوی، C 1 n تعداد زیر مجموعه های یک عضوی و غیره است).

برای هر k، 1≤ k≤ n، برابری درست است

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

این برابری با استفاده از فرمول (1) آسان است. در واقع،

1.2. استخراج فرمول دو جمله ای نیوتن

قدرت های دوجمله ای را در نظر بگیرید یک +ب .

n = 0، (a +ب ) 0 = 1

n = 1، (a +ب ) 1 = 1a+1ب

n = 2،(a +ب ) 2 = 1a 2 + 2aب +1 ب 2

n = 3،(a +ب ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 ب + 3aب 2 +1 ب 3

n = 4،(a +ب ) 4 = 1a 4 + 4a 3 ب + 6a 2 ب 2 +4aب 3 +1 ب 4

n = 5،(a +ب ) 5 = 1a 5 + 5a 4 ب + ساعت 10 3 ب 2 + ساعت 10 2 ب 3 + 5aب 4 + 1 ب 5

بیایید به الگوهای زیر توجه کنیم:

تعداد عبارت های چند جمله ای حاصل یک بزرگتر از توان دو جمله ای است.

توان جمله اول از n به 0 کاهش می یابد، توان جمله دوم از 0 به n افزایش می یابد.

درجات همه تک جمله ها برابر است با درجه دوجمله ای در شرط.

هر تک جمله ای حاصل ضرب عبارات اول و دوم در توان های مختلف و یک عدد معین - یک ضریب دو جمله ای است.

ضرایب دوجمله ای که از ابتدا و انتهای انبساط مساوی هستند با هم برابر هستند.

تعمیم این فرمول ها فرمول زیر است که فرمول دو جمله ای نیوتن نامیده می شود:

(آ + ب ) n = سی 0 n آ n ب 0 + سی 1 n آ n -1 ب + سی 2 n آ n -2 ب 2 + ... + سی n -1 n ab n -1 + سی n n آ 0 ب n . (6)

در این فرمول nمی تواند هر عدد طبیعی باشد.

اجازه دهید فرمول (6) را استخراج کنیم. اول از همه بنویسیم:

(آ + ب ) n = (آ + ب )(آ + ب ) ... (آ + ب ), (7)

که در آن تعداد براکت هایی که باید ضرب شوند برابر است n. از قاعده معمول ضرب یک مجموع در مجموع نتیجه می‌شود که عبارت (7) برابر است با مجموع همه حاصل‌های ممکن که می‌توان به صورت زیر ترکیب کرد: هر جمله از اولین مجموع. a + bضرب در هر جمله از مجموع دوم a+b، به هر ترم از مجموع سوم و غیره.

از مطالب فوق معلوم می شود که اصطلاح در بیان برای (آ + ب ) nمطابق (یک به یک) رشته هایی با طول n متشکل از حروف الف و بدر میان اصطلاحات، اصطلاحات مشابهی وجود خواهد داشت. بدیهی است که چنین اعضایی با رشته هایی با همان تعداد حروف مطابقت دارند آ. اما تعداد خطوطی که دقیقاً k برابر حرف هستند آ، برابر با C n k است. این بدان معنی است که مجموع تمام عبارت های حاوی حرف a با ضریب دقیقا k برابر با C n k است. آ n - ک ب ک . از آنجایی که k می تواند مقادیر 0، 1، 2، ...، n-1، n را بگیرد، پس فرمول (6) از استدلال ما به دست می آید. توجه داشته باشید که (6) را می توان کوتاهتر نوشت: (8)

اگرچه فرمول (6) به نام نیوتن نامیده می شود، در واقع حتی قبل از نیوتن کشف شده است (مثلاً پاسکال آن را می دانست). شایستگی نیوتن در این واقعیت نهفته است که او یک تعمیم این فرمول را برای حالت نماهای غیر صحیح یافت. I. Newton در 1664-1665 بود. فرمولی را به دست آورد که درجه دوجمله ای را برای توان های کسری و منفی دلخواه بیان می کند.

اعداد C 0 n ، C 1 n ، ... ، C n n موجود در فرمول (6) معمولاً ضرایب دو جمله ای نامیده می شوند که به صورت زیر تعریف می شوند:

از فرمول (6) می توان تعدادی از خواص این ضرایب را به دست آورد. مثلا با فرض آ=1، b = 1، به دست می آوریم:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n،

آن ها فرمول (4). اگر قرار دهید آ= 1، b = -1، سپس خواهیم داشت:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

یا C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

این بدان معناست که مجموع ضرایب احکام زوج انبساط برابر است با مجموع ضرایب ضرایب عبارات فرد بسط; هر یک از آنها برابر با 2 n -1 است.

ضرایب عبارت های مساوی از انتهای بسط برابر است. این ویژگی ها از رابطه به دست می آیند: C n k = C n n - k

یک مورد خاص جالب

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

یا کوتاهتر (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. قضیه چند جمله ای

قضیه.

اثبات

برای به دست آوردن یک تک نام پس از باز کردن براکت ها، باید آن براکت هایی را که از آنها گرفته شده است، براکت هایی که از آنها گرفته شده است و غیره را انتخاب کنید. و آن براکت هایی که از آن گرفته شده است. ضریب این تک جمله پس از آوردن عبارت های مشابه برابر است با تعداد راه هایی که می توان چنین انتخابی را انجام داد. گام اول توالی انتخابات را می توان به روش هایی انجام داد، گام دوم - به داخل، سوم - و غیره، گام سوم - به روش هایی. ضریب مورد نیاز برابر با حاصلضرب است

بخش 2. مشتقات مرتبه بالاتر.

مفهوم مشتقات مرتبه بالاتر.

اجازه دهید تابع در برخی بازه های زمانی متمایز شود. سپس مشتق آن، به طور کلی، بستگی دارد ایکس، یعنی تابعی از ایکس. در نتیجه، در رابطه با آن، دوباره می توان بحث وجود مشتق را مطرح کرد.

تعریف . مشتق مشتق اول نامیده می شود مشتق مرتبه دوم یا مشتق دوم و با نماد یا، یعنی

تعریف . مشتق مشتق دوم را مشتق مرتبه سوم یا مشتق سوم می نامند و با علامت یا نشان داده می شود.

تعریف . مشتقn - مرتبهکارکرد اولین مشتق مشتق نامیده می شود (n -1) مرتبه این تابع و با علامت یا نشان داده می شود:

تعریف . مشتقات مرتبه بالاتر از اول نامیده می شوند مشتقات بالاتر

اظهار نظر. به طور مشابه، ما می توانیم فرمول را بدست آوریم nمشتق -امین تابع:

مشتق دوم یک تابع تعریف شده به صورت پارامتری

اگر تابعی به صورت پارامتریک توسط معادلات داده شود، برای یافتن مشتق مرتبه دوم لازم است که عبارت مشتق اول آن را به عنوان یک تابع مختلط از متغیر مستقل متمایز کنیم.

از آن به بعد

و با در نظر گرفتن اینکه،

ما آن را دریافت می کنیم، یعنی.

مشتق سوم را می توان به طور مشابه یافت.

دیفرانسیل جمع، حاصلضرب و ضریب.

از آنجایی که دیفرانسیل با ضرب آن در دیفرانسیل متغیر مستقل از مشتق به دست می آید، پس با دانستن مشتقات توابع ابتدایی پایه و همچنین قوانین یافتن مشتقات، می توان به قوانین مشابهی برای یافتن دیفرانسیل رسید.

1 0 . دیفرانسیل ثابت صفر است.

2 0 . دیفرانسیل مجموع جبری تعداد محدودی از توابع متمایز برابر با مجموع جبری دیفرانسیل این توابع است. .

3 0 . دیفرانسیل حاصلضرب دو تابع متمایز برابر با مجموع حاصلضربهای تابع اول با دیفرانسیل تابع دوم و تابع دوم با دیفرانسیل تابع اول است. .

نتیجه. ضریب ثابت را می توان از علامت دیفرانسیل خارج کرد.

2.3. توابع تعریف شده به صورت پارامتری، تمایز آنها.

تعریف . به یک تابع گفته می شود که اگر هر دو متغیر باشد به صورت پارامتری مشخص می شود ایکس و y هر کدام به طور جداگانه به عنوان توابع تک مقداری از یک متغیر کمکی - پارامتر تعریف می شوند.تی :

جایی کهتی در داخل متفاوت است

اظهار نظر . اجازه دهید معادلات پارامتریک یک دایره و یک بیضی را ارائه کنیم.

الف) دایره ای با مرکز در مبدا و شعاع rمعادلات پارامتری دارد:

ب) معادلات پارامتری بیضی را بنویسیم:

با حذف پارامتر تیاز معادلات پارامتریک خطوط مورد بررسی می توان به معادلات متعارف آنها رسید.

قضیه . اگر تابع y از استدلال x به صورت پارامتریک توسط معادلاتی که در آن و با توجه به آن قابل تفکیک هستند داده می شودتی توابع و سپس.

2.4. فرمول لایب نیتس

برای یافتن مشتق nدر مرتبه هفتم حاصل ضرب دو تابع، فرمول لایب نیتس اهمیت عملی زیادی دارد.

اجازه دهید توو v- برخی از توابع از یک متغیر ایکس، داشتن مشتقات از هر مرتبه و y = uv. بیان کنیم n-ام مشتق از طریق مشتقات توابع توو v .

به طور مداوم داریم

به راحتی می توان به تشابه بین عبارات مشتق دوم و سوم و بسط دوجمله ای نیوتن در توان های دوم و سوم توجه کرد، اما به جای توان ها اعدادی وجود دارند که ترتیب مشتق و خود توابع را تعیین می کنند. را می توان به عنوان "مشتقات مرتبه صفر" در نظر گرفت. با در نظر گرفتن این موضوع، فرمول لایب نیتس را به دست می آوریم:

این فرمول را می توان با استقراء ریاضی اثبات کرد.

بخش 3. کاربرد فرمول لایبنیتز.

برای محاسبه مشتق هر ترتیب از حاصل ضرب دو تابع، با دور زدن کاربرد متوالی فرمول محاسبه مشتق حاصل ضرب دو تابع، از فرمول لایب نیتس.

با استفاده از این فرمول نمونه هایی از محاسبه مشتق مرتبه n حاصلضرب دو تابع را در نظر خواهیم گرفت.

مثال 1.

مشتق مرتبه دوم یک تابع را پیدا کنید

طبق تعریف، مشتق دوم، مشتق اول مشتق اول است، یعنی

بنابراین، ابتدا مشتق مرتبه اول تابع داده شده را مطابق با آن پیدا می کنیم قوانین تمایزو با استفاده از جدول مشتقات:

حال بیایید مشتق مشتق مرتبه اول را پیدا کنیم. این مشتق مرتبه دوم مورد نظر خواهد بود:

پاسخ:

مثال 2.

مشتق مرتبه هفتم تابع را پیدا کنید

راه حل.

ما به ترتیب مشتقات اول، دوم، سوم و غیره را از یک تابع معین پیدا خواهیم کرد تا الگویی را ایجاد کنیم که بتوان آن را به مشتق هفتم تعمیم داد.

مشتق مرتبه اول را به عنوان پیدا می کنیم مشتق از ضریب:

در اینجا عبارت فاکتوریل یک عدد نامیده می شود. فاکتوریل یک عدد برابر است با حاصل ضرب اعداد از یک به، یعنی

مشتق مرتبه دوم مشتق اول مشتق اول است یعنی

مشتق مرتبه سوم:

مشتق چهارم:

به الگو توجه کنید: در صورت فاکتوریل عددی برابر با مرتبه مشتق است و در مخرج عبارت توان یک بزرگتر از مرتبه مشتق است، یعنی

پاسخ.

مثال 3.

مقدار مشتق سوم تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل.

مطابق با جدول مشتقات مرتبه بالاتر، ما داریم:

در مثال مورد بررسی یعنی می گیریم

توجه داشته باشید که یک نتیجه مشابه را می توان با یافتن متوالی مشتقات به دست آورد.

در یک نقطه مشخص، مشتق سوم برابر است با:

پاسخ:

مثال 4.

مشتق دوم یک تابع را پیدا کنید

راه حل.ابتدا بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم:

برای یافتن مشتق دوم، عبارت مشتق اول را دوباره متمایز می کنیم:

پاسخ:

مثال 5.

پیدا کنید اگر

از آنجایی که تابع داده شده حاصل ضرب دو تابع است، برای یافتن مشتق مرتبه چهارم توصیه می شود از فرمول لایب نیتس استفاده کنید:

بیایید تمام مشتقات را پیدا کنیم و ضرایب عبارت ها را محاسبه کنیم.

1) بیایید ضرایب عبارت ها را محاسبه کنیم:

2) مشتقات تابع را بیابید:

3) مشتقات تابع را بیابید:

پاسخ:

مثال 6.

با توجه به تابع y=x 2 cos3x. مشتق مرتبه سوم را بیابید.

اجازه دهید u=cos3x، v=x 2 . سپس با استفاده از فرمول لایب نیتس، متوجه می شویم:

مشتقات این عبارت به شکل زیر هستند:

(cos3x)′=-3sin3x،

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x،

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x،

(x2)′′=2،

(x2)′′=0.

بنابراین، مشتق سوم تابع داده شده برابر است با

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

مثال 7.

مشتق را پیدا کنید n تابع مرتبه هفتم y=x 2 cosx.

اجازه دهید از فرمول لایب نیتس با فرض استفاده کنیمu=cosx, v=x 2 . سپس

شرایط باقی مانده از سری برابر با صفر است، زیرا(x2)(i)=0 برای i>2.

مشتق n مرتبه دوم تابع کسینوس:

بنابراین مشتق تابع ما برابر است با

نتیجه

در مدرسه به اصطلاح فرمول های ضرب اختصاری مطالعه و استفاده می شود: مربع ها و مکعب های حاصل جمع و تفاضل دو عبارت و فرمول های فاکتورگیری اختلاف مربع ها، مجموع و تفاضل مکعب های دو عبارت. تعمیم این فرمول ها فرمولی به نام فرمول دوجمله ای نیوتن و فرمول فاکتورگیری مجموع و اختلاف توان ها است. این فرمول ها اغلب در حل مسائل مختلف استفاده می شوند: اثبات بخش پذیری، کاهش کسر، محاسبات تقریبی. خواص جالب مثلث پاسکال که ارتباط نزدیکی با دوجمله ای نیوتن دارد در نظر گرفته شده است.

این کار اطلاعات مربوط به موضوع را نظام‌بندی می‌کند، نمونه‌هایی از مسائل را با استفاده از دوجمله‌ای نیوتن و فرمول‌هایی برای مجموع و تفاوت توان‌ها ارائه می‌کند. این کار را می توان در کار یک دایره ریاضی و همچنین برای استفاده کرد خودخوانکسانی که به ریاضیات علاقه دارند.

فهرست منابع مورد استفاده

1.Vilenkin N.Ya. ترکیبیات - ویرایش. "علم". - م.، 1969

2. نیکولسکی اس.ام.، پوتاپوف م.ک.، رشتنیکوف ن.ن.، شوکین آ.و. جبر و شروع تحلیل ریاضی. پایه دهم: کتاب درسی. برای آموزش عمومی سطوح پایه و پیشرفته سازمان ها - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. حل مسائل در آمار، ترکیبات و نظریه احتمال. پایه های 7-9 / نویسنده - کامپایلر V.N. استودنتتسکایا. - اد. 2، تجدید نظر شده، - ولگوگراد: معلم، 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. معادلات جبری درجات بالاتر/راهنمای روش شناسی برای دانشجویان گروه مقدماتی بین دانشگاهی. - سن پترزبورگ، 2001.

5. شاریگین آی.ف. درس اختیاری در ریاضیات: حل مسئله. کتاب درسی پایه دهم. دبیرستان. - م.: آموزش و پرورش، 1368.

6.علم و زندگی، دوجمله ای نیوتن و مثلث پاسکال[منبع الکترونیکی]. - حالت دسترسی: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

فرمول لایب نیتس برای آن آورده شده است n ام محاسباتمشتق حاصلضرب دو تابع اثبات آن به دو صورت ارائه می شود. نمونه ای از محاسبه مشتق مرتبه n در نظر گرفته شده است.

محتوا

همچنین ببینید: مشتق حاصل ضرب دو تابع

فرمول لایب نیتس

با استفاده از فرمول لایب نیتس می توانید مشتق مرتبه n حاصلضرب دو تابع را محاسبه کنید. به نظر می رسد این است:
(1) ,
جایی که
- ضرایب دو جمله ای

ضرایب دو جمله ای ضرایب بسط یک دوجمله ای در توان و:
.
همچنین عدد، تعداد ترکیبات n تا k است.

اثبات فرمول لایب نیتس

مناسب فرمول مشتق حاصلضرب دو تابع :
(2) .
اجازه دهید فرمول (2) را به شکل زیر بازنویسی کنیم:
.
یعنی در نظر می گیریم که یک تابع به متغیر x و دیگری به متغیر y بستگی دارد. در پایان محاسبه فرض می کنیم. سپس فرمول قبلی را می توان به صورت زیر نوشت:
(3) .
از آنجایی که مشتق برابر با مجموع عبارات است و هر جمله حاصل ضرب دو تابع است، بنابراین برای محاسبه مشتقات مرتبه بالاتر می توان قانون (3) را به طور پیوسته اعمال کرد.

سپس برای مشتق مرتبه nام داریم:

.
با در نظر گرفتن این و فرمول لایب نیتس را به دست می آوریم:
(1) .

اثبات با استقرا

اجازه دهید با استفاده از روش استقراء ریاضی، اثبات فرمول لایب نیتس را ارائه کنیم.

اجازه دهید یک بار دیگر فرمول لایب نیتس را بنویسیم:
(4) .
برای n = 1 داریم:
.
این فرمول مشتق حاصلضرب دو تابع است. او منصف است.

فرض کنید فرمول (4) برای مشتق مرتبه n معتبر است. اجازه دهید ثابت کنیم که برای مشتق n + معتبر است 1 - مرتبه

بیایید (4) را متمایز کنیم:
;



.
بنابراین یافتیم:
(5) .

بیایید (5) را جایگزین کنیم و در نظر بگیریم که:

.
این نشان می دهد که فرمول (4) برای مشتق n + شکل یکسانی دارد 1 - مرتبه

بنابراین، فرمول (4) برای n = معتبر است 1 . از این فرض که برای مقداری n = m برقرار است، نتیجه می شود که برای n = m + برقرار است. 1 .
فرمول لایب نیتس ثابت شده است.

مثال

مشتق nام یک تابع را محاسبه کنید
.

بیایید فرمول لایب نیتس را اعمال کنیم
(2) .
در مورد ما
;
.

توسط جدول مشتقما داریم:
.
درخواست می کنیم ویژگی های توابع مثلثاتی :
.
سپس
.
این نشان می دهد که تمایز تابع سینوسی منجر به جابجایی آن توسط . سپس
.

یافتن مشتقات تابع
;
;
;
, .

از آنجایی که برای، پس در فرمول لایب نیتس فقط سه جمله اول غیر صفر هستند. یافتن ضرایب دو جمله ای
;
.

طبق فرمول لایب نیتس داریم:

.

همچنین ببینید:

حل مسائل کاربردی به محاسبه انتگرال ختم می شود، اما همیشه نمی توان این کار را به طور دقیق انجام داد. گاهی لازم است مقدار یک انتگرال معین را با درجه ای از دقت، مثلاً تا هزارم بدانیم.

هنگامی که لازم است مقدار تقریبی یک انتگرال خاص را با دقت مورد نیاز پیدا کنیم، مشکلاتی وجود دارد، سپس از انتگرال گیری عددی مانند روش سیمپونی، ذوزنقه ها و مستطیل ها استفاده می شود. همه موارد به ما اجازه نمی دهند که آن را با دقت خاصی محاسبه کنیم.

این مقاله به بررسی کاربرد فرمول نیوتن-لایبنیتس می پردازد. این برای محاسبه دقیق انتگرال معین ضروری است. مثال‌های دقیقی ارائه می‌دهیم، تغییرات متغیر را در انتگرال معین در نظر می‌گیریم و مقادیر انتگرال معین را هنگام ادغام با قطعات پیدا می‌کنیم.

فرمول نیوتن لایب نیتس

تعریف 1

وقتی تابع y = y (x) از بازه [ a ; b ] و F (x) یکی از ضد مشتقات تابع این بخش است، پس فرمول نیوتن لایب نیتسمنصفانه در نظر گرفته شده است. بیایید آن را به این صورت بنویسیم: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

این فرمول در نظر گرفته شده است فرمول اصلی حساب انتگرال

برای اثبات این فرمول، لازم است از مفهوم انتگرال با حد بالایی متغیر موجود استفاده شود.

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b ]، سپس مقدار آرگومان x ∈ a; b ، و انتگرال به شکل ∫ a x f (t) d t است و تابعی از حد بالایی در نظر گرفته می شود. لازم است نماد تابع را به شکل ∫ a x f (t) d t = Φ (x) به خود بگیرد، پیوسته است، و یک نابرابری از شکل ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) برای آن معتبر است.

اجازه دهید ثابت کنیم که افزایش تابع Φ (x) با افزایش آرگومان ∆ x مطابقت دارد، لازم است از پنجمین خاصیت اصلی انتگرال معین استفاده کنیم و به دست آوریم.

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

که در آن مقدار c∈ x; x + ∆ x .

اجازه دهید تساوی را به شکل Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) ثابت کنیم. با تعریف مشتق یک تابع، باید به حد Δ x → 0 برویم، سپس فرمولی به شکل Φ" (x) = f (x) به دست می آوریم. دریافتیم که Φ (x) برابر است. یکی از پاد مشتق ها برای تابعی به شکل y = f (x)، واقع در [a;b]. در غیر این صورت عبارت را می توان نوشت.

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C، که در آن مقدار C ثابت است.

بیایید F (a) را با استفاده از اولین خاصیت انتگرال معین محاسبه کنیم. سپس ما آن را دریافت می کنیم

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C، از این رو دریافت می کنیم که C = F (a). نتیجه هنگام محاسبه F (b) قابل استفاده است و به دست می آوریم:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a)، به عبارت دیگر، F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (الف). برابری با فرمول نیوتن-لایبنیتس ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) ثابت می شود.

افزایش تابع را به صورت F x a b = F (b) - F (a) می گیریم. با استفاده از علامت گذاری، فرمول نیوتن-لایبنیتس به شکل ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) می باشد.

برای اعمال فرمول، لازم است یکی از پاد مشتق های y = F (x) تابع انتگرال y = f (x) را از قطعه [a ; b ]، افزایش ضد مشتق را از این بخش محاسبه کنید. بیایید به چند نمونه از محاسبات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس نگاه کنیم.

مثال 1

انتگرال معین ∫ 1 3 x 2 d x را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

در نظر بگیرید که انتگرال شکل y = x 2 از بازه [ 1 ; 3]، سپس در این بازه قابل ادغام است. از جدول انتگرال های نامعین می بینیم که تابع y = x 2 دارای مجموعه ای از پاد مشتق ها برای تمام مقادیر واقعی x است که به معنای x ∈ 1 است. 3 به صورت F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C نوشته می شود. لازم است که ضد مشتق را با C = 0 بگیریم، سپس به دست می آوریم که F (x) = x 3 3.

از فرمول نیوتن-لایبنیتس استفاده می کنیم و متوجه می شویم که محاسبه انتگرال معین به شکل ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3 است.

پاسخ:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

مثال 2

انتگرال معین ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه کنید.

راه حل

تابع داده شده از بخش [ - 1 ; 2 ]، به این معنی که روی آن قابل ادغام است. لازم است مقدار انتگرال نامعین ∫ x · e x 2 + 1 d x را با استفاده از روش جمع کردن زیر علامت دیفرانسیل پیدا کنیم، سپس ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

از این رو ما مجموعه ای از ضد مشتقات تابع y = x · e x 2 + 1 را داریم که برای همه x، x ∈ - 1 معتبر است. 2.

لازم است که ضد مشتق را در C = 0 گرفته و فرمول نیوتن-لایب نیتس را اعمال کنیم. سپس یک عبارت از فرم را دریافت می کنیم

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

پاسخ:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

مثال 3

انتگرال های ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x و ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x را محاسبه کنید.

راه حل

بخش - 4; - 1 2 می گوید که تابع زیر علامت انتگرال پیوسته است، یعنی انتگرال پذیر است. از اینجا مجموعه ضد مشتق های تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 را می یابیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

لازم است که ضد مشتق F (x) = 2 x 2 - 2 x را بگیریم، سپس با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، انتگرال را بدست می آوریم که محاسبه می کنیم:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

ما به محاسبه انتگرال دوم می رویم.

از بخش [ - 1 ; 1 ] داریم که انتگرال نامحدود در نظر گرفته می شود، زیرا lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , پس از آن نتیجه می شود که شرط لازم برای یکپارچگی از بخش است. سپس F (x) = 2 x 2 - 2 x برای y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1]، از آنجایی که نقطه O متعلق به بخش است، اما در حوزه تعریف گنجانده نشده است. این بدان معنی است که یک انتگرال ریمان و نیوتن-لایبنیتس برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1 ] .

پاسخ: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 ,برای تابع y = 4 x 3 + 2 x 2 از بازه [ - 1 ; 1 ] .

قبل از استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس، باید دقیقاً در مورد وجود یک انتگرال معین بدانید.

تغییر یک متغیر در یک انتگرال معین

وقتی تابع y = f (x) از بازه [ a ; b]، سپس مجموعه موجود [a; b] به عنوان محدوده مقادیر تابع x = g (z) تعریف شده در بخش α در نظر گرفته می شود. β با مشتق پیوسته موجود، که در آن g (α) = a و g β = b، از این نتیجه می گیریم که ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g "(z) d z.

این فرمول زمانی استفاده می شود که شما باید انتگرال ∫ a b f (x) d x را محاسبه کنید، جایی که انتگرال نامعین شکل ∫ f (x) d x را دارد، ما با استفاده از روش جایگزینی محاسبه می کنیم.

مثال 4

یک انتگرال معین از شکل ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع انتگرال در بازه ادغام پیوسته در نظر گرفته می شود، به این معنی که یک انتگرال معین وجود دارد. بیایید علامت گذاری کنیم که 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. مقدار x = 9 به این معنی است که z = 2 9 - 9 = 9 = 3، و برای x = 18 ما دریافت می کنیم که z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3، سپس g α = g (3) = 9، g β = g 3 3 = 18. وقتی مقادیر به دست آمده را به فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z به دست می آوریم که

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 "d z = = ∫ 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

با توجه به جدول انتگرال های نامعین، داریم که یکی از پاد مشتق های تابع 2 z 2 + 9 مقدار 2 3 a r c t g z 3 را می گیرد. سپس، هنگام اعمال فرمول نیوتن-لایبنیتس، آن را به دست می آوریم

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 π4 π4 =

این یافته را می توان بدون استفاده از فرمول ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z انجام داد.

اگر با استفاده از روش جایگزینی از یک انتگرال به شکل ∫ 1 x 2 x - 9 d x استفاده کنیم، می توانیم به نتیجه ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C برسیم.

از اینجا با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس محاسبات را انجام می دهیم و انتگرال قطعی را محاسبه می کنیم. ما آن را دریافت می کنیم

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 1 = = π 18

نتایج یکسان بود.

پاسخ: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

ادغام توسط قطعات هنگام محاسبه یک انتگرال معین

اگر در قطعه [a; b ] توابع u (x) و v (x) تعریف شده و پیوسته هستند، سپس مشتقات مرتبه اول آنها v "(x) · u (x) قابل انتگرال هستند، بنابراین از این بخش برای تابع قابل انتگرال u" (x) · v ( x) برابری ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x درست است.

سپس می توان از فرمول استفاده کرد، لازم است انتگرال ∫ a b f (x) d x محاسبه شود و ∫ f (x) d x لازم است با استفاده از ادغام توسط قطعات به دنبال آن بگردیم.

مثال 5

انتگرال معین ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x را محاسبه کنید.

راه حل

تابع x · sin x 3 + π 6 در بازه - π 2 قابل ادغام است. 3 π 2، یعنی پیوسته است.

اجازه دهید u (x) = x، سپس d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x، و d (u (x)) = u " (x) d x = d x، و v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . از فرمول ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x به دست می آوریم که

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

مثال را می توان به روش دیگری حل کرد.

مجموعه پاد مشتق های تابع x · sin x 3 + π 6 را با استفاده از ادغام قطعات با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس پیدا کنید:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

پاسخ: ∫ x · گناه x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید