La dérivée cos est égale. Trouver la dérivée : algorithme et exemples de solutions. Ce sont les formules

La base de la preuve est la détermination de la limite de la fonction. Vous pouvez utiliser une autre méthode utilisant des formules de réduction trigonométriques pour les angles cosinus et sinus. Exprimez une fonction par une autre - du cosinus au sinus, et différenciez le sinus avec un argument complexe.

Considérons le premier exemple de dérivation de la formule (Cos(x))"

Nous donnons un incrément Δx négligeable à l’argument x de la fonction y = Cos(x). Avec une nouvelle valeur de l'argument x+Δx, on obtient une nouvelle valeur de la fonction Cos(x+Δx). Alors l'incrément de la fonction Δу sera égal à Cos(x+Δx)-Cos(x).
Le rapport de l'incrément de fonction à Δx sera le suivant : (Cos(x+Δx)-Cos(x))/Δx. Effectuons des transformations identiques au numérateur de la fraction résultante. Rappelons la formule de la différence entre les cosinus des angles, le résultat sera le produit -2Sin(Δx/2) multiplié par Sin(x+Δx/2). On retrouve la limite de la limite partielle de ce produit sur Δx lorsque Δx tend vers zéro. On sait que la première limite (appelée remarquable) lim(Sin(Δx/2)/(Δx/2)) est égale à 1, et la limite -Sin(x+Δx/2) est égale à -Sin (x) avec Δx tendant vers zéro.
Écrivons le résultat : la dérivée (Cos(x))" est égale à - Sin(x).

Certaines personnes préfèrent la deuxième façon de dériver la même formule

Grâce au cours de trigonométrie, nous savons : Cos(x) est égal à Sin(0,5·∏-x), de même Sin(x) est égal à Cos(0,5·∏-x). Ensuite, nous différencions la fonction complexe - le sinus de l'angle supplémentaire (au lieu du cosinus x).
On obtient le produit Cos(0.5·∏-х)·(0.5·∏-х)", car la dérivée du sinus x est égale au cosinus x. Passons à la deuxième formule Sin(x) = Cos(0.5·∏ - x) en remplaçant le cosinus par le sinus, on tient compte du fait que (0,5·∏-x)" = -1. Nous obtenons maintenant -Sin(x).
Ainsi, la dérivée du cosinus a été trouvée, y" = -Sin(x) pour la fonction y = Cos(x).

Un exemple fréquemment utilisé où la dérivée du cosinus est utilisée. La fonction y = Cos 2 (x) est complexe. On trouve d'abord la différentielle d'une fonction puissance d'exposant 2, elle sera 2 Cos(x), puis on la multiplie par la dérivée (Cos(x))", qui est égale à -Sin(x). On obtient y" = -2 Cos(x) Péché(x). Lorsqu'on applique la formule Sin(2 x), le sinus de l'angle double, on obtient le résultat simplifié final
réponse y" = -Sin(2 x)

Fonctions hyperboliques

Ils sont utilisés dans l'étude de nombreuses disciplines techniques : en mathématiques par exemple, ils facilitent le calcul d'intégrales, de solutions. Ils s'expriment à travers des fonctions trigonométriques avec un argument imaginaire, par exemple cosinus hyperbolique ch(x) = Cos(i x ), où je est l'unité imaginaire, sinus hyperbolique sh(x) = Sin(i x).

La dérivée du cosinus hyperbolique se calcule assez simplement.
Considérons la fonction y = (e x +e -x)/2, c'est le cosinus hyperbolique ch(x). Nous utilisons la règle pour trouver la dérivée de la somme de deux expressions, la règle pour déplacer le facteur constant (Const) au-delà du signe de la dérivée. Le deuxième terme 0,5 e -x est une fonction complexe (sa dérivée est égale à -0,5 e -x), 0,5 e x est le premier terme. (ch(x)) "=((e x +e - x)/2)" peut s'écrire différemment : (0,5 e x +0,5 e - x)" = 0,5 e x -0,5 e - x, car la dérivée (e - x)" est égal à -1 multiplié par e - x. Le résultat est une différence, et c’est le sinus hyperbolique sh(x).
Conclusion : (ch(x))" = sh(x).
Regardons un exemple de comment calculer la dérivée de la fonction y = ch(x 3 +1).
D'après le cosinus hyperbolique à argument complexe, y" = sh(x 3 +1)·(x 3 +1)", où (x 3 +1)" = 3·x 2 +0.
Réponse : la dérivée de cette fonction est 3 x 2 sh(x 3 +1).

Les dérivées des fonctions considérées y = ch(x) et y = Cos(x) sont tabulées

Lors de la résolution d'exemples, il n'est pas nécessaire de les différencier à chaque fois selon le schéma proposé, il suffit d'utiliser la dérivation.
Exemple. Différenciez la fonction y = Cos(x)+Cos 2 (-x)-Ch(5 x).
C'est facile à calculer (nous utilisons des données tabulaires), y" = -Sin(x)+Sin(2 x)-5 Sh(5 x).

Dans cette leçon, nous apprendrons à appliquer des formules et des règles de différenciation.

Exemples. Trouver des dérivées de fonctions.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Appliquer la règle je, formules 4, 2 et 1. On a:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Nous résolvons de la même manière, en utilisant les mêmes formules et formules 3.

y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Appliquer la règle je, formules 3, 5 Et 6 Et 1.

Appliquer la règle IV, formules 5 Et 1 .

Dans le cinquième exemple, selon la règle je la dérivée de la somme est égale à la somme des dérivées, et on vient de trouver la dérivée du 1er terme (exemple 4 ), on trouvera donc des dérivées 2ème Et 3ème termes et pour le 1er en résumé, nous pouvons immédiatement écrire le résultat.

Différencions 2ème Et 3ème termes selon la formule 4 . Pour ce faire, on transforme les racines des troisième et quatrième puissances des dénominateurs en puissances à exposants négatifs, puis, selon 4 formule, on trouve des dérivées de puissances.

Regardez cet exemple et le résultat. Avez-vous saisi le modèle ? Bien. Cela signifie que nous avons une nouvelle formule et que nous pouvons l'ajouter à notre table de dérivés.

Résolvons le sixième exemple et dérivons une autre formule.

Utilisons la règle IV et formule 4 . Réduisons les fractions résultantes.

Regardons cette fonction et sa dérivée. Bien sûr, vous comprenez le modèle et êtes prêt à nommer la formule :

Apprendre de nouvelles formules !

Exemples.

1. Trouver l'incrément de l'argument et l'incrément de la fonction y= x2, si la valeur initiale de l'argument était égale à 4 , et nouveau - 4,01 .

Solution.

Nouvelle valeur d'argument x=x 0 +Δx. Remplaçons les données : 4.01=4+Δх, d'où l'incrément de l'argument Δx=4,01-4=0,01. L'incrément d'une fonction, par définition, est égal à la différence entre les nouvelles et précédentes valeurs de la fonction, c'est-à-dire Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Puisque nous avons une fonction y=x2, Que Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Répondre: incrément d'argument Δx=0,01 ; incrément de fonction Δу=0,0801.

La fonction incrément pourrait être trouvée différemment : Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trouver l'angle d'inclinaison de la tangente au graphique de la fonction y=f(x)à ce point x0, Si f"(x 0) = 1.

Solution.

La valeur de la dérivée au point de tangence x0 et est la valeur de la tangente de l'angle tangent (la signification géométrique de la dérivée). Nous avons: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, parce que tg45°=1.

Répondre: la tangente au graphique de cette fonction forme un angle avec la direction positive de l'axe Ox égal à 45°.

3. Dériver la formule de la dérivée de la fonction y = x n.

Différenciation est l’action de trouver la dérivée d’une fonction.

Lorsque vous recherchez des dérivées, utilisez des formules dérivées sur la base de la définition d'une dérivée, de la même manière que nous avons dérivé la formule du degré de dérivée : (x n)" = nx n-1.

Ce sont les formules.

Tableau des dérivés Il sera plus facile de mémoriser en prononçant des formulations verbales :

1. La dérivée d'une quantité constante est nulle.

2. X premier est égal à un.

3. Le facteur constant peut être soustrait du signe de la dérivée.

4. La dérivée d'un degré est égale au produit de l'exposant de ce degré par un degré de même base, mais l'exposant est un de moins.

5. La dérivée d’une racine est égale à un divisé par deux racines égales.

6. La dérivée de un divisé par x est égale à moins un divisé par x au carré.

7. La dérivée du sinus est égale au cosinus.

8. La dérivée du cosinus est égale à moins le sinus.

9. La dérivée de la tangente est égale à un divisé par le carré du cosinus.

10. La dérivée de la cotangente est égale à moins un divisé par le carré du sinus.

Nous enseignons règles de différenciation.

1. La dérivée d'une somme algébrique est égale à la somme algébrique des dérivées des termes.

2. La dérivée d'un produit est égale au produit de la dérivée du premier facteur et du second plus le produit du premier facteur et de la dérivée du second.

3. La dérivée de « y » divisée par « ve » est égale à une fraction dont le numérateur est « y premier multiplié par « ve » moins « y multiplié par ve premier » et le dénominateur est « ve au carré ».

4. Un cas particulier de la formule 3.

Apprenons ensemble !

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Calcul dérivé- l'une des opérations les plus importantes du calcul différentiel. Vous trouverez ci-dessous un tableau pour trouver les dérivées de fonctions simples. Pour des règles de différenciation plus complexes, voir d'autres leçons :

Tableau des dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques

Utilisez les formules données comme valeurs de référence. Ils aideront à résoudre des équations et des problèmes différentiels. Sur l'image, dans le tableau des dérivées des fonctions simples, il y a une « aide-mémoire » des principaux cas de recherche d'une dérivée sous une forme compréhensible à l'usage, à côté se trouvent des explications pour chaque cas.

Dérivées de fonctions simples

1. La dérivée d'un nombre est nulle
с´ = 0
Exemple:
5´ = 0

Explication:
La dérivée montre la vitesse à laquelle la valeur d'une fonction change lorsque son argument change. Étant donné que le nombre ne change en aucune façon, sous aucune condition, le taux de sa variation est toujours nul.

2. Dérivée d'une variableégal à un
x´ = 1

Explication:
Avec chaque incrément de un de l'argument (x), la valeur de la fonction (le résultat du calcul) augmente du même montant. Ainsi, le taux de variation de la valeur de la fonction y = x est exactement égal au taux de variation de la valeur de l'argument.

3. La dérivée d'une variable et d'un facteur est égale à ce facteur
сx´ = с
Exemple:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explication:
Dans ce cas, chaque fois que l'argument de la fonction change ( X) sa valeur (y) augmente en Avec une fois. Ainsi, le taux de changement de la valeur de la fonction par rapport au taux de changement de l'argument est exactement égal à la valeur Avec.

D'où il suit que
(cx + b)" = c
c'est-à-dire que la différentielle de la fonction linéaire y=kx+b est égale à la pente de la droite (k).

4. Dérivée modulo d'une variableégal au quotient de cette variable par son module
|x|"= x / |x| à condition que x ≠ 0
Explication:
Puisque la dérivée d'une variable (voir formule 2) est égale à un, la dérivée du module ne diffère que par le fait que la valeur du taux de variation de la fonction change à l'opposé lors du franchissement du point d'origine (essayez de tracer un graphique de la fonction y = |x| et voyez par vous-même. C'est exactement quelle valeur et renvoie l'expression x / |x|. Quand x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - un. C'est-à-dire que pour les valeurs négatives de la variable x, à chaque augmentation de l'argument, la valeur de la fonction diminue exactement de la même valeur, et pour les valeurs positives, au contraire, elle augmente, mais exactement de la même valeur .

5. Dérivée d'une variable en une puissanceégal au produit d'un nombre de cette puissance et d'une variable à la puissance réduite de un
(x c)"= cx c-1, à condition que x c et cx c-1 soient définis et c ≠ 0
Exemple:
(x2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Pour mémoriser la formule:
Déplacez le degré de la variable vers le bas en tant que facteur, puis réduisez le degré lui-même de un. Par exemple, pour x 2 - les deux étaient en avance sur x, et alors la puissance réduite (2-1 = 1) nous a simplement donné 2x. La même chose s'est produite pour x 3 - nous « descendons » le triple, le réduisons de un et au lieu d'un cube nous avons un carré, c'est-à-dire 3x 2. Un peu « non scientifique » mais très facile à retenir.

6.Dérivée d'une fraction 1 fois
(1/x)" = - 1 / x2
Exemple:
Puisqu'une fraction peut être représentée comme élevant à une puissance négative
(1/x)" = (x -1)", alors vous pouvez appliquer la formule de la règle 5 du tableau des dérivées
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x2

7. Dérivée d'une fraction avec une variable de degré arbitraire au dénominateur
(1 / xc)" = - c / xc+1
Exemple:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Dérivé de la racine(dérivée de variable sous racine carrée)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemple:
(√x)" = (x 1/2)" signifie que vous pouvez appliquer la formule de la règle 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Dérivée d'une variable sous la racine d'un degré arbitraire
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Le calcul de la dérivée se retrouve souvent dans les tâches de l'examen d'État unifié. Cette page contient une liste de formules pour trouver des dérivées.

Règles de différenciation

(k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
(f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
(f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
Dérivée d'une fonction complexe. Si y=F(u) et u=u(x), alors la fonction y=f(x)=F(u(x)) est appelée une fonction complexe de x. Égal à y′(x)=Fu′⋅ ux′.
Dérivée d'une fonction implicite. La fonction y=f(x) est appelée fonction implicite définie par la relation F(x,y)=0 si F(x,f(x))≡0.
Dérivée de la fonction inverse. Si g(f(x))=x, alors la fonction g(x) est appelée la fonction inverse de la fonction y=f(x).
Dérivée d'une fonction définie paramétriquement. Soit x et y spécifiés comme fonctions de la variable t : x=x(t), y=y(t). On dit que y=y(x) est une fonction définie paramétriquement sur l'intervalle x∈ (a;b), si sur cet intervalle l'équation x=x(t) peut être exprimée comme t=t(x) et la fonction y=y(t(x))=y(x).
Dérivée d'une fonction puissance-exponentielle. Trouvé en prenant les logarithmes à la base du logarithme népérien.

Nous vous conseillons de sauvegarder le lien, car ce tableau peut être nécessaire plusieurs fois.

La preuve et la dérivation de la formule de la dérivée du cosinus - cos(x) sont présentées. Exemples de calcul des dérivées de cos 2x, cos 3x, cos nx, cosinus au carré, au cube et à la puissance n. Formule pour la dérivée du cosinus du nième ordre.

Contenu

Voir également: Sinus et cosinus - propriétés, graphiques, formules

La dérivée par rapport à la variable x du cosinus de x est égale à moins le sinus de x :
(cos x)′ = - péché x.

Preuve

Pour dériver la formule de la dérivée du cosinus, nous utilisons la définition de la dérivée :
.

Transformons cette expression pour la réduire aux lois et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous devons connaître quatre propriétés.
1) Formules trigonométriques. Nous aurons besoin de la formule suivante :
(1) ;
2) Propriété de continuité de la fonction sinus :
(2) ;
3) La signification de la première limite remarquable :
(3) ;
4) Propriété de la limite du produit de deux fonctions :
Si et, alors
(4) .

Appliquons ces lois à notre limite. Nous transformons d’abord l’expression algébrique
.
Pour ce faire, nous appliquons la formule
(1) ;
Dans notre cas
; . Alors
;
;
;
.

Faisons une substitution. À , . On utilise la propriété de continuité (2) :
.

Faisons la même substitution et appliquons la première limite remarquable (3) :
.

Puisque les limites calculées ci-dessus existent, nous appliquons la propriété (4) :

.

Ainsi, nous avons obtenu la formule de la dérivée du cosinus.

Exemples

Regardons des exemples simples de recherche de dérivées de fonctions contenant un cosinus. Trouvons les dérivées des fonctions suivantes :
y = cos2x ; y = cos 3x ; y = cos nx ; y = parce que 2 x; y = parce que 3x et y = parce que nx.

Exemple 1

Trouver des dérivés de parce que 2x, parce que 3x Et cosx.

Les fonctions originales ont une forme similaire. Nous trouverons donc la dérivée de la fonction y = cosnx. Alors, comme dérivé de cosx, remplacez n = 2 et n = 3 . Et ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivées de parce que 2x Et parce que 3x .

On trouve donc la dérivée de la fonction
y = cosnx .
Imaginons cette fonction de la variable x comme une fonction complexe composée de deux fonctions :
1)
2)
Alors la fonction originale est une fonction complexe (composite) composée de fonctions et :
.

Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouvons la dérivée de la fonction par rapport à la variable :
.
Nous postulons.
.
Remplaçons :
(P1) .

Maintenant, dans la formule (A1), nous substituons et :
;
.

;
;
.

Exemple 2

Trouver les dérivées du cosinus au carré, du cosinus au cube et du cosinus à la puissance n :
y = parce que 2 x; y = parce que 3x; y = parce que nx.

Dans cet exemple, les fonctions ont également une apparence similaire. Nous trouverons donc la dérivée de la fonction la plus générale - cosinus à la puissance n :
y = parce que nx.
Ensuite, nous substituons n = 2 et n = 3. Et ainsi, nous obtenons des formules pour les dérivées du cosinus au carré et du cosinus au cube.

Il faut donc trouver la dérivée de la fonction
.
Réécrivons-le sous une forme plus compréhensible :
.
Imaginons cette fonction comme une fonction complexe composée de deux fonctions :
1) Fonctions dépendant d'une variable : ;
2) Fonctions dépendant d'une variable : .
Alors la fonction originale est une fonction complexe composée de deux fonctions et :
.

Trouver la dérivée de la fonction par rapport à la variable x :
.
Trouver la dérivée de la fonction par rapport à la variable :
.
Nous appliquons la règle de différenciation des fonctions complexes.
.
Remplaçons :
(P2) .

Maintenant, remplaçons et :
;
.

;
;
.

Dérivés d'ordre supérieur

Notez que la dérivée de parce que x le premier ordre peut être exprimé par le cosinus comme suit :
.

Trouvons la dérivée du second ordre en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction complexe :

.
Ici .

Notez que la différenciation parce que x fait augmenter son argument de . Alors la dérivée d’ordre n a la forme :
(5) .

Cette formule peut être prouvée de manière plus stricte en utilisant la méthode d'induction mathématique. La preuve de la nième dérivée du sinus est présentée sur la page « Dérivée du sinus ». Pour la nième dérivée du cosinus, la preuve est exactement la même. Il vous suffit de remplacer sin par cos dans toutes les formules.

Voir également: