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Parmi la variété de formes géométriques, un quadrilatère tel qu'un losange se démarque nettement. Même son nom lui-même n'est pas typique pour la désignation des quadrilatères. Et bien qu’en géométrie on le trouve beaucoup moins fréquemment que des figures aussi simples qu’un cercle, un triangle, un carré ou un rectangle, on ne peut pas non plus l’ignorer.
Vous trouverez ci-dessous la définition, les propriétés et les caractéristiques des losanges.
Définition
Un losange est un parallélogramme à côtés égaux. Un losange est appelé carré si tous ses angles sont droits. L’exemple le plus frappant d’un diamant est l’image de la suite de diamants sur une carte à jouer. De plus, le losange était souvent représenté sur diverses armoiries. Un exemple de diamant dans la vie quotidienne est un terrain de basket.
Propriétés
- Les côtés opposés d’un losange se trouvent sur des lignes parallèles et ont la même longueur.
- L'intersection des diagonales d'un losange se produit sous un angle de 90° en un point, qui est leur milieu.
- Les diagonales d’un losange coupent en deux l’angle d’où elles proviennent.
- Sur la base des propriétés d’un parallélogramme, nous pouvons déduire la somme des carrés des diagonales. Selon la formule, il est égal au côté élevé à une puissance quadratique et multiplié par quatre.
Panneaux
Nous devons clairement comprendre que tout losange est un parallélogramme, mais en même temps, tous les parallélogrammes n'ont pas tous les indicateurs d'un losange. Pour distinguer ces deux formes géométriques, il faut connaître les caractéristiques d’un losange. Voici les traits caractéristiques de cette figure géométrique :
- Deux côtés ayant un sommet commun sont égaux.
- Les diagonales se coupent selon un angle de 90°C.
- Au moins une diagonale divise en deux les angles dont elle émerge.
Formules de superficie
Formule de base :
- S = (AC*BD)/2
Basé sur les propriétés d'un parallélogramme :
- S = (AB*HAB)
Basé sur la taille de l'angle entre deux côtés adjacents du losange :
- S = AB2*sinα
Si l'on connaît la longueur du rayon d'un cercle inscrit dans un losange :
- S = 4r 2 /(sinα), où :
- S - zone ;
- AB, AC, BD - désignation des côtés ;
- H - hauteur ;
- r - rayon du cercle ;
- sinα - sinus alpha.
Périmètre
Pour calculer le périmètre d'un losange, il suffit de multiplier la longueur de l'un de ses côtés par quatre.
Construction du dessin
Certaines personnes ont du mal à construire un motif en losange. Même si vous avez déjà compris ce qu'est un losange, il n'est pas toujours clair comment construire son dessin avec précision et dans le respect des proportions nécessaires.
Il existe deux manières de créer un motif en losange :
- Construisez d'abord une diagonale, puis une deuxième diagonale perpendiculaire à celle-ci, puis reliez les extrémités des segments de paires adjacentes de côtés parallèles du losange.
- Mettez d'abord de côté un côté du losange, puis construisez un segment de longueur égale parallèlement à celui-ci et connectez les extrémités de ces segments également par paires en parallèle.
Soyez prudent lors de la construction - si dans le dessin vous faites en sorte que la longueur de tous les côtés du losange soit la même, vous n'obtiendrez pas un losange, mais un carré.
Sur la figure 1, $ABCD$ est un losange, $A B=B C=C D=A D$. Puisqu'un losange est un parallélogramme, il possède toutes les propriétés d'un parallélogramme, mais il existe également des propriétés inhérentes uniquement à un losange.
Vous pouvez insérer un cercle dans n’importe quel losange. Le centre d'un cercle inscrit dans un losange est le point d'intersection de ses diagonales. Le rayon du cercle est égal à la moitié de la hauteur du losange $r=\frac(A H)(2)$ (Fig. 1)
Propriétés d'un losange
- Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires ;
- Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.
Signes d'un diamant
- Un parallélogramme dont les diagonales se coupent à angle droit est un losange ;
- Un parallélogramme dont les diagonales sont les bissectrices de ses angles est un losange.
Exemples de résolution de problèmes
Exemple
Exercice. Les diagonales du losange $ABCD$ sont de 6 et 8 cm. Trouvez le côté du losange.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 1). Soit, pour être précis, $A C=6$ cm, $B D=8$ cm. Par la propriété d'un losange, ses diagonales se coupent à angle droit. Au point d'intersection, les diagonales sont divisées en deux (propriété d'un parallélogramme, et un losange est un cas particulier d'un parallélogramme).
Considérons le triangle $A O B$. Il est rectangulaire ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Écrivons le théorème de Pythagore pour ce triangle :
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Remplaçons les valeurs trouvées de $AO$ et $BO$,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Répondre. Le côté d'un losange mesure 5 cm.
Exemple
Exercice. Dans un losange de 4 cm de côté, l'un des angles est égal à $60^(\circ)$. Trouvez les diagonales du losange.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 2).
Soit $\angle B=60^(\circ)$ pour plus de précision. Alors, par la propriété d'un losange, la diagonale $BD$ est la bissectrice de l'angle $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Considérons $\Delta O B C$, il est rectangulaire ($\angle B O C=90^(\circ)$) car les diagonales d'un losange se coupent à angle droit. Puisque $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm est la jambe située en face de l'angle de $30^(\circ)$. En utilisant le théorème de Pythagore on trouve $B O$ :
$$B O=\sqrt(BC^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
Les diagonales d'un losange sont divisées en deux au point d'intersection, donc
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Répondre.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Exemple
Exercice. Dans un losange, l'angle formé par l'une des diagonales et le côté du losange est égal à $27^(\circ)$. Trouvez les angles du losange.
Solution. Faisons un dessin (Fig. 3)
Pour être précis, $\angle K L O=27^(\circ)$. Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles, donc $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Puisqu'un losange est un parallélogramme, les propriétés suivantes s'appliquent à lui : la somme des angles adjacents à un côté est égale à $180^(\circ)$ et les angles opposés sont égaux. C'est pourquoi,
$\angle M=\angle K=180^(\circ)-\angle L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Répondre.$\angle N=\angle L=54^(\circ)$
$\angle M=\angle K=126^(\circ)$
avec des côtés égaux. Un losange à angles droits est carré .
Un losange est considéré comme un type de parallélogramme, avec deux côtés égaux adjacents soit avec des diagonales perpendiculaires entre elles, soit avec des diagonales divisant l'angle en 2 parties égales.
Propriétés d'un losange.
1. Rhombe est un parallélogramme, donc les côtés opposés ont la même longueur et sont parallèles deux à deux, AB || CD, AD || Soleil.
2. Angle d'intersection des diagonales le losange est droit (C.A.⊥ BD) et le point d'intersection sont divisés en deux parties identiques. C'est-à-dire que les diagonales divisent le losange en 4 triangles rectangulaires.
3. Diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD etc. ).
4. Somme des carrés des diagonales est égal au carré du côté multiplié par quatre (dérivé de l'identité du parallélogramme).
Signes d'un diamant.
Parallélogramme A B C D ne sera appelé losange que si au moins une des conditions est remplie :
1. Ses 2 côtés adjacents ont la même longueur (c'est-à-dire que tous les côtés d'un losange sont égaux, AB = BC = CD = AD).
2. L'angle d'intersection des diagonales d'une ligne droite ( A.C.⊥ BD).
3. 1 des diagonales divise les angles qui la contiennent en deux.
On ne sait peut-être pas à l’avance que le quadrilatère s’avère être un parallélogramme, mais on sait que tous ses côtés sont égaux. Ce quadrilatère est donc un losange.
Symétrie d'un losange.
Le losange est symétrique par rapport à toutes ses diagonales, il est souvent utilisé dans les ornements et les parquets.
Périmètre d'un losange.
Périmètre d'une figure géométrique- la longueur totale des limites d'une figure géométrique plate. Le périmètre a la même dimension que la longueur.
AB \parallèle CD,\;BC \parallèle AD
AB = CD,\;BC = AD
2. Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires.
AC\perp BD
Preuve
Puisqu’un losange est un parallélogramme, ses diagonales sont divisées en deux.
Cela signifie que \triangle BOC = \triangle DOC sur trois côtés (BO = OD, OC - joint, BC = CD). On obtient que \angle BOC = \angle COD et ils sont adjacents.
\Flèche droite \angle BOC = 90^(\circ) et \angle COD = 90^(\circ) .
3. Le point d'intersection des diagonales les divise en deux.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.
\angle 1 = \angle 2; \; \angle 5 = \angle 6;
\angle 3 = \angle 4; \; \angle 7 = \angle 8.
Preuve
Du fait que les diagonales sont divisées en deux par le point d'intersection et que tous les côtés du losange sont égaux les uns aux autres, la figure entière est divisée par les diagonales en 4 triangles égaux :
\triangle BOC,\; \triangle BOA,\; \triangle AOD,\; \triangle COD.
Cela signifie que BD, AC sont des bissectrices.
5. Les diagonales forment 4 triangles rectangles à partir d'un losange.
6. Tout losange peut contenir un cercle dont le centre est le point d'intersection de ses diagonales.
7. La somme des carrés des diagonales est égale au carré d'un des côtés du losange multiplié par quatre
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Signes d'un diamant
1. Un parallélogramme avec des diagonales perpendiculaires est un losange.
\begin(cases) AC \perp BD \\ ABCD \end(cases)- parallélogramme, \Rightarrow ABCD - losange.
Preuve
ABCD est un parallélogramme \Rightarrow AO = CO ; BO = DO. Il est également indiqué que AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- sur 2 pattes.
Il s'avère que AB = BC = CD = AD.
Éprouvé!
2. Lorsque dans un parallélogramme au moins une des diagonales divise les deux angles (par lesquels elle passe) en deux, alors cette figure sera un losange.
Preuve
Sur une note : toutes les figures (quadrilatères) avec des diagonales perpendiculaires ne seront pas un losange.
Par exemple:
Ce n'est plus un losange, malgré la perpendiculaire des diagonales.
Pour différencier, il convient de rappeler que le quadrilatère doit d’abord être un parallélogramme et avoir