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Entre a variedade de formas geométricas, um quadrilátero como um losango se destaca. Mesmo o seu próprio nome não é típico para a designação de quadriláteros. E embora na geometria seja encontrado com muito menos frequência do que figuras simples como círculo, triângulo, quadrado ou retângulo, também não pode ser ignorado.
Abaixo estão a definição, propriedades e características dos losangos.
Definição
Um losango é um paralelogramo com lados iguais. Um losango é chamado de quadrado se todos os seus ângulos forem retos. Maioria um exemplo brilhante O diamante é a imagem do naipe de diamantes em uma carta de baralho. Além disso, o losango era frequentemente representado em vários brasões. Um exemplo de diamante na vida cotidiana é uma quadra de basquete.
Propriedades
- Os lados opostos de um losango estão em linhas paralelas e têm o mesmo comprimento.
- A intersecção das diagonais de um losango ocorre em um ângulo de 90° em um ponto, que é o seu ponto médio.
- As diagonais de um losango dividem ao meio o ângulo de onde se originaram.
- Com base nas propriedades de um paralelogramo, podemos derivar a soma dos quadrados das diagonais. De acordo com a fórmula, é igual ao lado elevado a uma potência quadrática e multiplicado por quatro.
Sinais
Devemos entender claramente que qualquer losango é um paralelogramo, mas, ao mesmo tempo, nem todo paralelogramo possui todos os indicadores de um losango. Para distinguir essas duas formas geométricas, é necessário conhecer as características de um losango. A seguir estão as características desta figura geométrica:
- Quaisquer dois lados com um vértice comum são iguais.
- As diagonais se cruzam em um ângulo de 90°C.
- Pelo menos uma diagonal divide ao meio os ângulos de cujos vértices ela emerge.
Fórmulas de área
Fórmula básica:
- S = (AC*BD)/2
Com base nas propriedades de um paralelogramo:
- S = (AB*HAB)
Com base no tamanho do ângulo entre dois lados adjacentes do losango:
- S = AB2*sinα
Se conhecermos o comprimento do raio de um círculo inscrito em um losango:
- S = 4r 2 /(sinα), onde:
- S - área;
- AB, AC, BD - designação dos lados;
- H - altura;
- r - raio do círculo;
- sinα - seno alfa.
Perímetro
Para calcular o perímetro de um losango, basta multiplicar o comprimento de qualquer um dos seus lados por quatro.
Construção do desenho
Algumas pessoas têm dificuldade em construir um padrão de diamante. Mesmo que você já tenha descoberto o que é um losango, nem sempre fica claro como construir seu desenho com precisão e obedecendo às proporções necessárias.
Existem duas maneiras de construir um padrão de diamante:
- Primeiro construa uma diagonal, depois uma segunda diagonal perpendicular a ela e, a seguir, conecte as extremidades dos segmentos de pares adjacentes de lados paralelos do losango.
- Primeiro, separe um lado do losango, depois construa um segmento de igual comprimento paralelo a ele e conecte as extremidades desses segmentos também aos pares em paralelo.
Tenha cuidado ao construir - se no desenho você igualar o comprimento de todos os lados do losango, não obterá um losango, mas um quadrado.
Na Figura 1, $ABCD$ é um losango, $A B=B C=C D=A D$. Como um losango é um paralelogramo, ele possui todas as propriedades de um paralelogramo, mas também existem propriedades inerentes apenas a um losango.
Você pode encaixar um círculo em qualquer losango. O centro de um círculo inscrito em um losango é o ponto de intersecção de suas diagonais. O raio do círculo é igual à metade da altura do losango $r=\frac(A H)(2)$ (Fig. 1)
Propriedades de um losango
- As diagonais de um losango são perpendiculares;
- As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos.
Sinais de um diamante
- Um paralelogramo cujas diagonais se cruzam em ângulos retos é um losango;
- Um paralelogramo cujas diagonais são bissetrizes de seus ângulos é um losango.
Exemplos de resolução de problemas
Exemplo
Exercício. As diagonais do losango $ABCD$ medem 6 e 8 cm. Encontre o lado do losango.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 1). Seja, para definição, $A C=6$ cm, $B D=8$ cm. Pela propriedade de um losango, suas diagonais se cruzam em ângulos retos. No ponto de intersecção, as diagonais são divididas ao meio (uma propriedade de um paralelogramo, e um losango é um caso especial de paralelogramo).
Considere o triângulo $A O B$. É retangular ($\angle O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm. Vamos escrever o teorema de Pitágoras para este triângulo:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Vamos substituir os valores encontrados de $AO$ e $BO$,
$AB^(2)=3^(2)+4^(2)$
Responder. O lado de um losango mede 5 cm.
Exemplo
Exercício. Em um losango com 4 cm de lado, um dos ângulos é igual a $60^(\circ)$. Encontre as diagonais do losango.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 2).
Seja $\angle B=60^(\circ)$ para definição. Então, pela propriedade de um losango, a diagonal $BD$ é a bissetriz do ângulo $B$, $\angle A B O=\angle O B C=\frac(\angle B)(2)=30^(\circ) $. Considere $\Delta O B C$, é retangular ($\angle B O C=90^(\circ)$) porque as diagonais de um losango se cruzam em ângulos retos. Como $\angle O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm é a perna oposta ao ângulo de $30^(\circ)$. Usando o teorema de Pitágoras encontramos $B O$:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
As diagonais de um losango são divididas ao meio no ponto de intersecção, então
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Responder.$B D=4 \sqrt(3)$dm, $A C=4$dm
Exemplo
Exercício. Em um losango, o ângulo formado por uma das diagonais e o lado do losango é igual a $27^(\circ)$. Encontre os ângulos do losango.
Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 3)
Para ser mais específico, $\angle K L O=27^(\circ)$. As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos, então $\angle L=2 \cdot \angle K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Como um losango é um paralelogramo, as seguintes propriedades se aplicam a ele: a soma dos ângulos adjacentes a um lado é igual a $180^(\circ)$ e os ângulos opostos são iguais. É por isso,
$\ângulo M=\ângulo K=180^(\circ)-\ângulo L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Responder.$\ângulo N=\ângulo L=54^(\circ)$
$\ângulo M=\ângulo K=126^(\circ)$
com lados iguais. Um losango com ângulos retos é quadrado .
Um losango é considerado um tipo de paralelogramo, com dois lados adjacentes iguais com diagonais perpendiculares entre si ou com diagonais dividindo o ângulo em 2 partes iguais.
Propriedades de um losango.
1. Losangoé um paralelogramo, então os lados opostos têm o mesmo comprimento e são paralelos aos pares, AB || CD, AD || Sol.
2. Ângulo de intersecção das diagonais losango é reto (AC⊥ BD) e o ponto de intersecção são divididos em duas partes idênticas. Ou seja, as diagonais dividem o losango em 4 triângulos retângulos.
3. Diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CDB etc. ).
4. Soma dos quadrados das diagonaisé igual ao quadrado do lado multiplicado por quatro (derivado da identidade do paralelogramo).
Sinais de um diamante.
Paralelogramo ABCD será chamado de losango somente se pelo menos uma das condições for atendida:
1. Seus 2 lados adjacentes têm o mesmo comprimento (ou seja, todos os lados de um losango são iguais, AB=BC=CD=AD).
2. O ângulo de intersecção das diagonais de uma linha reta ( A.C.⊥ BD).
3. 1 das diagonais divide os ângulos que a contém pela metade.
Podemos não saber de antemão que o quadrilátero é um paralelogramo, mas sabemos que todos os seus lados são iguais. Portanto, este quadrilátero é um losango.
Simetria de um losango.
O losango é simétrico em relação a todas as suas diagonais, é frequentemente utilizado em ornamentos e pisos de parquete.
Perímetro de um losango.
Perímetro de uma figura geométrica- o comprimento total dos limites de uma figura geométrica plana. O perímetro tem a mesma dimensão que o comprimento.
AB \paralelo CD,\;BC \paralelo AD
AB = CD,\;BC = AD
2. As diagonais de um losango são perpendiculares.
AC\perp BD
Prova
Como o losango é um paralelogramo, suas diagonais são divididas ao meio.
Isso significa que \triangle BOC = \triangle DOC em três lados (BO = OD, OC - junta, BC = CD). Obtemos que \angle BOC = \angle COD e eles são adjacentes.
\Rightarrow \ângulo BOC = 90^(\circ) e \ângulo COD = 90^(\circ) .
3. O ponto de intersecção das diagonais as divide ao meio.
AC=2\cponto AO=2\cponto CO
BD=2\cponto BO=2\cponto DO
4. As diagonais de um losango são as bissetrizes de seus ângulos.
\ângulo 1 = \ângulo 2; \; \ângulo 5 = \ângulo 6;
\ângulo 3 = \ângulo 4; \; \ângulo 7 = \ângulo 8.
Prova
Devido ao fato de as diagonais serem divididas ao meio pelo ponto de intersecção e todos os lados do losango serem iguais entre si, a figura inteira é dividida pelas diagonais em 4 triângulos iguais:
\triângulo BOC,\; \triângulo BOA,\; \triângulo AOD,\; \triângulo COD.
Isso significa que BD e AC são bissetoras.
5. As diagonais formam 4 triângulos retângulos a partir de um losango.
6. Qualquer losango pode conter um círculo com centro no ponto de intersecção de suas diagonais.
7. A soma dos quadrados das diagonais é igual ao quadrado de um dos lados do losango multiplicado por quatro
AC^2 + BD^2 = 4\cponto AB^2
Sinais de um diamante
1. Um paralelogramo com diagonais perpendiculares é um losango.
\begin(casos) AC \perp BD \\ ABCD \end(casos)- paralelogramo, \Rightarrow ABCD - losango.
Prova
ABCD é um paralelogramo \Rightarrow AO = CO ; BO = OD. Afirma-se também que AC \perp BD \Rightarrow \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD- em 2 pernas.
Acontece que AB = BC = CD = AD.
Comprovado!
2. Quando em um paralelogramo pelo menos uma das diagonais divide ambos os ângulos (pelos quais passa) ao meio, então esta figura será um losango.
Prova
Em uma nota: nem toda figura (quadriângulo) com diagonais perpendiculares será um losango.
Por exemplo:
Este não é mais um losango, apesar da perpendicularidade das diagonais.
Para diferenciar, vale lembrar que primeiro o quadrilátero deve ser um paralelogramo e ter