Definiția statistică a probabilității
Sarcina 2. Trăgătorul trage o singură lovitură în țintă. Estimați probabilitatea ca acesta să lovească ținta.
Soluţie. În acest experiment, sunt posibile două rezultate: fie trăgătorul a lovit ținta (evenimentul A), sau a ratat (evenimentul). Evenimente Ași sunt incompatibile și formează un grup complet. Cu toate acestea, în cazul general, nu se știe dacă sunt la fel de posibile sau nu. Prin urmare, în acest caz, definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu nu poate fi utilizată. Puteți rezolva problema folosind definiția statistică a probabilității unui eveniment aleatoriu.
Definiția 1.12. Frecvența relativă a evenimentelor A numit raportul dintre numărul de încercări în care evenimentul A a apărut, la numărul total de teste efectiv efectuate.
Astfel, frecvența relativă a evenimentului A poate fi calculat prin formula
Unde k– numărul de apariții ale evenimentului A, l este numărul total de încercări.
Observație 1.2. Principala diferență în frecvența relativă a evenimentului A din probabilitatea sa clasică rezidă în faptul că frecvența relativă se găsește întotdeauna în funcție de rezultatele testelor. Pentru a calcula probabilitatea clasică, nu este necesară configurarea unui experiment.
Observațiile pe termen lung au arătat că, dacă o serie de experimente sunt efectuate în condiții identice, în fiecare dintre acestea numărul de teste este suficient de mare, atunci frecvența relativă dezvăluie proprietate de stabilitate. Această proprietate constă în faptul că în diferite serii de experimente frecvența relativă W( A) se modifică puțin (cu cât sunt mai puține, cu atât se efectuează mai multe teste), oscilând în jurul unui anumit număr constant.
La fel de probabilitatea statistică a unui eveniment luați o frecvență relativă sau un număr apropiat de aceasta.
Să revenim la problema 2 despre calcularea probabilității unui eveniment A(trăgătorul va lovi ținta). Pentru a o rezolva, este necesar să efectuați mai multe serii dintr-un număr suficient de mare de lovituri la țintă în aceleași condiții. Acest lucru vă va permite să calculați frecvența relativă și să estimați probabilitatea unui eveniment A.
Dezavantajul definiției statistice este ambiguitatea probabilității statistice. De exemplu, dacă W( A)»0,4, apoi ca probabilitatea evenimentului A puteți lua 0,4 și 0,39 și 0,41.
Observație 1.3. Definiția statistică a probabilității depășește al doilea neajuns al definiției clasice a probabilității.
Să fie figuri în avion GȘi g, și gÌ G(Fig. 1.1).
|
Observație 1.4.În cazul când gȘi G- segmente drepte, probabilitatea unui eveniment A este egal cu raportul dintre lungimile acestor segmente. Dacă gȘi G sunt corpuri din spațiul tridimensional, apoi probabilitatea unui eveniment A se găseşte ca raport dintre volumele acestor corpuri. Prin urmare, în cazul general Unde mes este metrica spațiului luat în considerare. Observația 1.5. Definiția geometrică a probabilității se aplică încercărilor cu un număr infinit de rezultate. Exemplul 1.13. Două persoane au convenit să se întâlnească la un anumit loc între orele 12 și 13, iar fiecare persoană care a venit la întâlnire o așteaptă pe cealaltă 20 de minute, dar nu mai mult decât până la ora 13.00, după care pleacă. Găsiți probabilitatea de a întâlni aceste persoane dacă fiecare dintre ele ajunge într-un moment de timp aleatoriu, necoordonat cu momentul sosirii celeilalte. Soluţie. Lasă evenimentul A- a avut loc întâlnirea. Notează prin X- ora sosirii primei persoane la întâlnire, y- ora sosirii celei de-a doua persoane. Atunci setul tuturor rezultatelor posibile ale experienței este setul tuturor perechilor ( X, y), Unde X, yО . Iar setul de rezultate favorabile este determinat de inegalitate |X – y| 20 GBP (min). Ambele seturi sunt infinite, astfel încât definiția clasică pentru calcularea probabilității nu poate fi aplicată. Să folosim definiția geometrică. Pe fig. 1.2 arată seturile tuturor rezultatelor posibile (pătrat OKMT) și rezultate favorabile (hexagon OSLMNR). Folosind Definiția 1.13, obținem Suma și produsul evenimentelor. Teoreme privind probabilitatea sumei și produsului evenimentelor Definiția 1.14.Suma evenimentelor AȘi B denumește evenimentul constând în apariția a cel puțin unuia dintre ei. Desemnare: A + B. Definiția 1.15.Produsul evenimentelor AȘi B numiți un eveniment constând în apariția simultană a acestor evenimente în aceeași experiență. Desemnare: AB. Exemplul 1.14. Dintr-un pachet de 36 de cărți, o carte este extrasă la întâmplare. Să introducem notația: A- cartea extrasă s-a dovedit a fi o doamnă, B- au scos o carte de pică. Găsiți probabilități de evenimente A + BȘi AB. Soluţie. Eveniment A + B se întâmplă dacă cartea extrasă este de pică sau o regină. Aceasta înseamnă că evenimentul luat în considerare este favorizat de 13 rezultate (oricare dintre cele 9 cărți de pică, oricare dintre cele 3 regine ale unui alt costum) din 36 posibile. Folosind definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu, obținem Eveniment AB apare dacă cartea extrasă este din pică și o regină. Prin urmare, evenimentul AB favorizează un singur rezultat al experienței (Regina de pică) din 36 posibile. Ținând cont de Definiția 1.11, obținem Observația 1.6. Definițiile sumei și produsului evenimentelor pot fi extinse la orice număr de evenimente. La calcularea probabilității sumei și produsului evenimentelor, este convenabil să folosiți următoarele afirmații. Teorema 1.1. Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. P( A+B)=P( A)+P( B). Corolarul 1.1. Probabilitatea de apariție a unuia dintre mai multe evenimente incompatibile în perechi, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente. P( A 1 +A 2 +…+A n)=P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n). Corolarul 1.2. Suma probabilităților de evenimente incompatibile în perechi A 1 , A 2 ,…, A n, formând un grup complet, este egal cu unu P( A 1)+P( A 2)+…+P( A n)=1. Corolarul 1.3. Probabilitatea evenimentului opus Un eveniment aleatoriu a fost definit ca un eveniment care, ca urmare a experienței, poate sau nu să apară. Dacă la calcularea probabilității unui eveniment nu sunt impuse alte restricții (cu excepția condițiilor experimentale), atunci o astfel de probabilitate se numește necondiționată. Dacă sunt impuse alte condiții suplimentare, atunci probabilitatea evenimentului se numește condiționată. Definiția 1.16.Probabilitate condițională P B(A) (sau P( A|B)) se numește probabilitatea unui eveniment A, calculat în ipoteza că evenimentul B sa întâmplat deja. Folosind conceptul de probabilitate condiționată, oferim o definiție a independenței evenimentelor care diferă de cea dată mai devreme. Definiția 1.17. Evenimentul A este independent de evenimentul B dacă egalitatea În întrebările practice, pentru a determina independența acestor evenimente, rareori se apelează la verificarea îndeplinirii egalităților (1.3) și (1.4) pentru acestea. De obicei, pentru aceasta ei folosesc considerații intuitive bazate pe experiență. Definiția 1.18. Sunt numite mai multe evenimente independent pe perechi dacă fiecare doi dintre ei sunt independenţi. Definiția 1.19. Sunt numite mai multe evenimente colectiv independent dacă sunt independente perechi și fiecare eveniment și toate produsele posibile ale celorlalți sunt independente. Teorema 1.2. Probabilitatea producerii comune a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată din ipoteza că primul eveniment a avut deja loc. În funcție de alegerea succesiunii de evenimente, Teorema 1.2 poate fi scrisă ca P( AB) = P( A)P A(B) P( AB) = P( B)P B(A). Corolarul 1.4. Probabilitatea apariției în comun a mai multor evenimente este egală cu produsul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitățile condiționate ale tuturor celorlalte, iar probabilitatea fiecărui eveniment ulterior este calculată din ipoteza că toate evenimentele anterioare au apărut deja. În acest caz, ordinea în care se află evenimentele poate fi aleasă în orice ordine. Exemplul 1.15. O urnă conține 6 bile albe și 3 negre. Din urnă se extrage la întâmplare o minge până când apare una neagră. Găsiți probabilitatea ca a patra retragere să fie efectuată dacă bilele nu sunt returnate în urnă. Soluţie.În experimentul luat în considerare, este necesar să se efectueze a patra îndepărtare dacă primele trei bile se dovedesc a fi albe. Notează prin Ai un eveniment care i-a extragere va apărea o minge albă ( i= 1, 2, 3). Problema este de a afla probabilitatea unui eveniment A 1 A 2 A 3 . Din moment ce bilele extrase nu se întorc înapoi, evenimentele A 1 , A 2 și A 3 sunt dependente (fiecare precedent afectează posibilitatea următorului). Pentru a calcula probabilitatea, folosim Corolarul 1.4 și definiția clasică a probabilității unui eveniment aleatoriu, și anume Corolarul 1.5. Probabilitatea apariției comune a două evenimente independente este egală cu produsul probabilităților acestora P( AB)=P( A)P( B). Corolarul 1.6. Probabilitatea de apariție în comun a mai multor evenimente care sunt independente în agregat este egală cu produsul probabilităților acestora P( A 1 A 2 …A n)=P( A 1)P( A 2)…P( A n). Exemplul 1.16. Rezolvați problema din exemplul 1.15, presupunând că după fiecare îndepărtare bilele sunt returnate înapoi în urnă. Soluţie. Ca și înainte (Exemplu 1.15), trebuie să găsim P( A 1 A 2 A 3). Cu toate acestea, evenimentele A 1 , A 2 și A 3 sunt independente în agregat, deoarece compoziția urnei este aceeași pentru fiecare îndepărtare și, prin urmare, rezultatul unui singur test nu le afectează pe celelalte. Prin urmare, pentru a calcula probabilitatea, folosim Corolarul 1.6 și Definiția 1.11 ale probabilității unui eveniment aleatoriu, și anume P( A 1 A 2 A 3)=P( A 1)P( A 2)P( A 3)= = . Teorema 1.3. Probabilitatea apariției a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente fără probabilitatea apariției lor comune.
Observația 1.7. Când folosiți formula (1.5), trebuie să aveți în vedere că evenimentele AȘi B poate fi dependentă sau independentă. Exemplul 1.17. Doi trăgători au tras câte o lovitură în țintă. Se știe că probabilitatea de a lovi ținta pentru unul dintre trăgători este de 0,6, iar pentru celălalt - 0,7. Găsiți probabilitatea ca a) ambii trăgători au lovit ținta (eveniment D); b) doar unul dintre trăgători va lovi ținta (eveniment E); c) cel puțin unul dintre trăgători va lovi ținta (evenimentul F). Soluţie. Să introducem notația: A- primul trăgător a lovit ținta, B Al doilea trăgător a lovit ținta. După condiția P( A) = 0,6 și P( B) = 0,7. Vom răspunde la întrebări. a) Eveniment D se va întâmpla dacă are loc un eveniment AB. Pentru că evenimentele AȘi B sunt independente, atunci, ținând cont de Corolarul 1.5, obținem P( D) = P( AB) = P( A)P( B) = 0,6×0,7 = 0,42. b) Eveniment E se întâmplă dacă are loc unul dintre evenimente A sau B. Aceste evenimente sunt incompatibile, iar evenimentele A() Și B() sunt independente, prin urmare, prin Teorema 1.1, Corolarele 1.3 și 1.5, avem P( E) = P( A+ B) = P( A) + P( B) = P( A)P() + P()P( B) = 0,6×0,3 + 0,4×0,7 = 0,46. c) Eveniment F va avea loc dacă cel puțin unul dintre evenimente are loc A sau B. Aceste evenimente sunt partajate. Prin urmare, prin teorema 1.3, avem P( F) = P( A+B) = P( A) + P( B) - P( AB) = 0,6 + 0,7 - 0,42 = 0,88. Rețineți că probabilitatea unui eveniment F ar fi putut fi calculat diferit. Și anume P( F) = P( A+ B + AB) = P( A) + P( B) + P( AB) = 0,88 P( F) = 1 - P() = 1 - P()P() = 1 - 0,4×0,3 = 0,88. Formula probabilității totale. Formule Bayes Lasă evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B 1 , B 2 ,…, B n, formând un grup complet. Deoarece nu se știe dinainte care dintre aceste evenimente vor avea loc, ele sunt numite ipoteze. Estimați probabilitatea ca un eveniment să se producă Aînainte de experiment, puteți folosi următoarea afirmație. Teorema 1.4. Probabilitatea evenimentului A, care poate apărea numai dacă are loc unul dintre evenimentele incompatibile B 1 , B 2 ,…, B n, formând un grup complet, este egal cu
Formula (1.6) se numește formule de probabilitate totală. Exemplul 1.18. Pentru a promova examenul, elevii au trebuit să pregătească 30 de întrebări. Din 25 de studenți, 10 au pregătit toate întrebările, 8 - 25 întrebări, 5 - 20 întrebări și 2 - 15 întrebări. Găsiți probabilitatea ca un elev ales aleatoriu să răspundă la întrebarea dată. Soluţie. Să introducem următoarea notație: A- un eveniment constând în faptul că un elev chemat la întâmplare a răspuns la întrebarea pusă, B 1 - elevul chemat la întâmplare știe răspunsurile la toate întrebările, B 2 - studentul chemat la întâmplare știe răspunsurile la 25 de întrebări, B 3 - student chemat la întâmplare știe răspunsurile la 20 de întrebări și B 4 - elevul chemat la întâmplare știe răspunsurile la 15 întrebări. Rețineți că evenimentele B 1 ,B 2 ,B 3 și B 4 sunt incompatibile, formează un grup complet și evenimentul A poate apărea dacă are loc unul dintre aceste evenimente. Prin urmare, pentru a calcula probabilitatea unui eveniment A putem folosi formula probabilității totale (1.6): După starea problemei, se cunosc probabilitățile ipotezelor P( B 1) = , P( B 2) = , P( B 3) = , P( B 4) = și probabilități condiționate (probabilități ca elevii din fiecare dintre cele patru grupuri să răspundă la întrebare) 1, = , = , = . Prin urmare, P( A) = ×1 + × + × + × = . Să presupunem că a fost efectuat un test, în urma căruia a avut loc un eveniment A, și care dintre evenimente B i (i =1, 2,…, n) a avut loc nu este cunoscut cercetătorului. Pentru a estima probabilitățile ipotezelor după ce rezultatul testului devine cunoscut, puteți utiliza Formule Bayes
Aici P( A) se calculează prin formula probabilității totale (1.6). Exemplul 1.19.Într-o anumită fabrică, mașina I produce 40% din toată producția, iar mașina II produce 60%. În medie, 9 din 1.000 de unități produse de mașina I sunt defecte, iar mașina II are 4 din 500 de unități defecte. Care este probabilitatea ca acesta să fi fost produs de mașina II? Soluţie. Să introducem notația: A- un eveniment constând în faptul că o unitate de producție, selectată la întâmplare dintr-o producție zilnică, s-a dovedit a fi un defect, B i- o unitate de producție, aleasă la întâmplare, este realizată de o mașină i(i= I, II). Evenimente B 1 și B 2 sunt incompatibile și formează un grup complet, iar evenimentul A poate apărea numai ca urmare a producerii unuia dintre aceste evenimente. Se știe că evenimentul A sa întâmplat (o unitate de producție aleasă aleatoriu s-a dovedit a fi un defect). Care dintre evenimente B 1 sau B 2 în același timp, este necunoscut, deoarece nu se știe pe care dintre cele două mașini a fost realizat articolul selectat. Estimarea probabilității unei ipoteze B 2 poate fi realizat folosind formula Bayes (1.7): unde probabilitatea de selecție aleatorie a unui produs defect este calculată prin formula probabilității totale (1.6): Având în vedere că, după starea problemei P( B 1) = 0,40, P( B 2) = 0,60, = 0,009, = 0,008, Secvența de încercări independente În activitățile științifice și practice, este în mod constant necesar să se efectueze teste repetate în condiții similare. De regulă, rezultatele testelor anterioare nu le afectează pe cele ulterioare. Cel mai simplu tip de astfel de teste este foarte important, atunci când în fiecare dintre teste un eveniment A poate apărea cu aceeași probabilitate, iar această probabilitate rămâne aceeași, indiferent de rezultatele testelor anterioare sau ulterioare. Acest tip de test a fost explorat pentru prima dată de Jacob Bernoulli și, prin urmare, este numit Scheme Bernoulli. Schema Bernoulli. Lasă-l să fie produs n teste independente în condiții similare (sau se efectuează același experiment n ori), în fiecare dintre care evenimentul A poate sau nu să apară. În acest caz, probabilitatea de apariție a unui eveniment Aîn fiecare proces este același și egal p. Prin urmare, probabilitatea de neapariție a evenimentului Aîn fiecare test individual este de asemenea constantă și egală cu q= 1 - p. Probabilitatea ca în aceste condiții un eveniment A se va împlini exact k ori (și, prin urmare, nu se vor realiza n – k ori) poate fi găsit de către formula Bernoulli
În acest caz, ordinea producerii evenimentului Aîn cele indicate n testele pot fi arbitrare. Exemplul 1.20. Probabilitatea ca un client să solicite pantofi mărimea 41 este de 0,2. Aflați probabilitatea ca din primii 5 cumpărători să fie nevoie de încălțăminte de această mărime: a) unul; b) cel puțin unul; c) cel puțin trei; d) mai mult de unu și mai puțin de patru. Soluţie.În acest exemplu, aceeași experiență (alegerea pantofilor) este efectuată de 5 ori, iar probabilitatea evenimentului este A- se aleg pantofi de marimea a 41-a - este constanta si egala cu 0,2. În plus, rezultatul fiecărui test individual nu afectează alte experimente, deoarece. cumpărătorii aleg pantofi independent unul de celălalt. Prin urmare, avem o succesiune de teste efectuate conform schemei Bernoulli, în care n = 5, p = 0,2, q= 0,8. Pentru a răspunde la întrebările puse, este necesar să se calculeze probabilitățile P 5 ( k). Folosim formula (1.8). a) P5 (1) = = 0,4096; b) P 5 ( k³ 1) = 1 - P 5 ( k < 1) = 1 - P 5 (0) = 1- = 0,67232; c) P 5 ( k³ 3) \u003d P 5 (3) + P 5 (4) + P 5 (5) \u003d + + \u003d \u003d 0,5792; d) P5 (1< k < 4) = P 5 (2) + P 5 (3) = + = 0,256. Utilizarea formulei Bernoulli (1.32) pentru valori mari ale lui n și m cauzează mari dificultăți, deoarece aceasta implică calcule greoaie. Astfel, la n = 200, m = 116, p = 0,72, formula Bernoulli ia forma P 200 (116) = (0,72) 116 (0,28) 84 . Este aproape imposibil de calculat rezultatul. Calculul lui P n (m) provoacă dificultăți și pentru valori mici ale lui p (q). Este nevoie de a găsi formule aproximative pentru calcularea P n (m), oferind precizia necesară. Astfel de formule ne oferă teoreme limită; ele conțin așa-numitele formule asimptotice, care, pentru valorile de test mari, dau o eroare relativă arbitrar mică. Luați în considerare trei teoreme limită care conțin formule asimptotice pentru calcularea probabilității binomiale P n (m) ca n. Teorema 1.5. Dacă numărul de încercări crește nedefinit (n) și probabilitatea p de apariție a evenimentului A în fiecare încercare scade la nesfârșit (p), dar în așa fel încât produsul lor pr să fie o valoare constantă (pr = a = const) , atunci probabilitatea P n (m) satisface egalitatea limită Expresia (1.9) se numește formula Poisson asimptotică. Din egalitatea limită (1.9) pentru n mare și p mic urmează formula aproximativă Poisson Formula (1.10) este folosită atunci când probabilitatea p = const de succes este extrem de mică, adică succesul în sine (apariția evenimentului A) este un eveniment rar (de exemplu, câștigarea unei mașini cu un bilet de loterie), dar numărul de încercări n este mare, numărul mediu de reușite pr = a ușor. Formula aproximativă (1.10) este utilizată de obicei când n 50 și pr 10. Formula lui Poisson își găsește aplicare în teoria cozilor. Un flux de evenimente este o secvență de evenimente care au loc în momente aleatorii (de exemplu, un flux de vizitatori într-o coaforă, un flux de apeluri la o centrală telefonică, un flux de defecțiuni ale elementelor, un flux de abonați serviți etc.). Fluxul de evenimente, care are proprietățile staționarității, ordinarității și absenței consecințelor, se numește cel mai simplu flux (Poisson). Proprietatea staționarității înseamnă că probabilitatea de apariție a k evenimente într-un interval de timp de lungime depinde numai de lungimea acestuia (adică nu depinde de originea sa). În consecință, numărul mediu de evenimente care apar pe unitatea de timp, așa-numita intensitate a fluxului, este o valoare constantă: ( t) = . Proprietatea de ordinar înseamnă că evenimentul nu apare în grupuri, ci unul câte unul. Cu alte cuvinte, probabilitatea de apariție a mai multor evenimente pentru o perioadă mică de timp t este neglijabil de mică în comparație cu probabilitatea de apariție a unui singur eveniment (de exemplu, fluxul de bărci care se apropie de dig este obișnuit). Proprietatea absenței unei consecințe înseamnă că probabilitatea de apariție k a evenimentelor în orice segment de timp de lungime nu depinde de câte evenimente au apărut în orice alt segment care nu se intersectează cu acesta (se spune: „viitorul” a fluxului nu depinde de „trecut”, de exemplu, fluxul de oameni, inclus în supermarket). Se poate demonstra că probabilitatea apariției m evenimente ale celui mai simplu flux într-un timp de durata t este determinată de formula Poisson. Utilizați formula Bernoulli pentru valori mari n destul de dificil, pentru că în acest caz, trebuie să efectuați operații pe un număr mare. Puteți simplifica calculele folosind tabele factoriale sau prin aplicare mijloace tehnice(calculator, calculator). Dar în acest caz, erorile se acumulează în procesul de calcul. Prin urmare, rezultatul final poate diferi semnificativ de cel adevărat. Este nevoie de a aplica aproximativ (asimptotic) formule. Observația 1.8. Funcţie g(X) sunt numite aproximarea asimptotică a funcției f(X), Dacă. Teorema 1.6. (Teorema locală Moivre-Laplace) Dacă probabilitatea p producerea unui eveniment Aîn fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, iar numărul de încercări independente este suficient de mare, atunci probabilitatea ca evenimentul A va apărea în n teste efectuate conform schemei Bernoulli, exact k ori, aproximativ egale (cu cât mai precis, cu atât mai mult n) Graficul funcției are forma prezentată în Fig. 1.3. Trebuie avut în vedere faptul că: a) funcția φ(x) este pară, adică φ(-x) = φ(x); Pentru funcție j(X) tabelele de valori sunt compilate pentru X³ 0. Pentru X< 0 пользуются теми же таблицами, т.к. функция j(X) este chiar. Teorema 1.7. (Teorema integrală Moivre-Laplace) Dacă probabilitatea p eveniment Aîn fiecare încercare este constantă și diferită de 0 și 1, atunci probabilitatea P n(k 1 , k 2) că evenimentul A va apărea în n teste efectuate conform schemei Bernoulli, din k 1 la k de 2 ori, aproximativ egal Aici z 1 și z 2 sunt definite în (1.14). Exemplul 1.21. Germinarea semințelor este estimată cu o probabilitate de 0,85. Aflați probabilitatea ca din 500 de semințe semănate să încolțească: a) 425 de semințe; b) de la 425 la 450 de semințe. Soluţie. Aici, ca și în exemplul anterior, există o secvență de teste independente efectuate conform schemei Bernoulli (experiment - plantarea unei sămânțe, eveniment A- sămânța încolțită n = 500, p = 0,85, q= 0,15. Deoarece numărul de încercări este mare ( n> 100), folosim formulele asimptotice (1.10) și (1.13) pentru a calcula probabilitățile necesare. b) »F(3,13)–F(0)»0,49. Dacă numărul de încercări n, realizat conform schemei Bernoulli, este mare, iar probabilitatea p producerea unui eveniment Aîn fiecare dintre ele este mic ( p£ 0,1), atunci formula asimptotică a lui Laplace este nepotrivită. În acest caz, utilizați formula Poisson asimptotică
unde l = np. Exemplul 1.22. Magazinul a primit 1000 de sticle apă minerală. Probabilitatea ca o sticlă să fie spartă în tranzit este de 0,003. Aflați probabilitatea ca magazinul să primească sticle sparte: a) exact 2; b) mai mic de 2; c) cel puţin unul. Soluţie.În această problemă, există o secvență de teste independente efectuate conform schemei Bernoulli (experiment - verificarea integrității unei sticle, eveniment A- sticla este sparta n = 1000, p = 0,003, q= 0,997. Deoarece numărul de încercări este mare ( n> 100), și probabilitatea p mic ( p < 0,1) воспользуемся при вычислении требуемых вероятностей формулой Пуассона (1.14), учитывая, что l=3. a) = 4,5 e-3 » 0,224; b) P 1000 ( k < 2) = P 1000 (0) + P 1000 (1) » + = 4e-3 » 0,199; c) P 1000 ( k³ 1) = 1 - P 1000 ( k < 1) = 1 - P 1000 (0) » 1 - = 1 - e-3 » 0,95. Teoremele Moivre–Laplace locale și integrale sunt corolare ale unei mai generale teorema limitei centrale. Multe variabile aleatoare continue au normal distributie. Această împrejurare este determinată în mare măsură de faptul că însumarea unui număr mare de variabile aleatoare cu legi de distribuție foarte diferite conduce la distribuția normală a acestei sume. Teorema . Dacă o variabilă aleatoare este suma unui număr foarte mare de variabile aleatoare reciproc independente, influența fiecăreia dintre acestea fiind neglijabilă asupra întregii sume, atunci are o distribuție apropiată de normală. . Teorema limitei centrale este de mare importanță practică. Să presupunem că se determină un indicator economic, de exemplu, consumul de energie electrică în oraș pentru anul. Valoarea consumului total este suma consumului de energie de către consumatorii individuali, care are valori aleatorii cu distribuții diferite. Teorema afirmă că în acest caz, indiferent de distribuția componentelor individuale, distribuția consumului rezultat va fi apropiată de normal. |
Definiția clasică a probabilității
Conceptul de bază al teoriei probabilităților este conceptul de eveniment aleatoriu. Un eveniment aleatoriu este de obicei numit eveniment, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ, în anumite condiții, poate sau nu să apară. De exemplu, lovirea sau ratarea unui obiect când trageți în acest obiect cu o anumită armă este un eveniment aleatoriu.
Un eveniment este de obicei numit de încredere dacă, în urma testului, are loc în mod necesar. Se obișnuiește să se numească un eveniment imposibil, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ nu se poate întâmpla ca urmare a unui test.
Se spune că evenimentele aleatoare sunt inconsecvente într-un proces dat dacă nu pot apărea două dintre ele împreună.
Evenimentele aleatoare formează un grup complet dacă oricare dintre ele poate apărea în fiecare probă și nu poate apărea niciun alt eveniment care nu este în concordanță cu ele.
Luați în considerare grupul complet de evenimente aleatoare incompatibile la fel de posibile. Astfel de evenimente vor fi numite rezultate. Se spune că un rezultat este favorabil apariției evenimentului A dacă apariția acestui eveniment implică apariția evenimentului A.
Definiția geometrică a probabilității
Să fie considerat un test aleatoriu ca aruncând un punct la întâmplare într-o regiune geometrică G (pe o linie, un plan sau un spațiu). Rezultatele elementare sunt ϶ᴛᴏ puncte individuale ale lui G, orice eveniment este o submulțime ϶ᴛᴏ a acestei zone, spațiul rezultatelor elementare G. Putem presupune că toate punctele lui G sunt ʼʼegaleʼʼ și apoi probabilitatea ca un punct să cadă într-unul dintre Submulțimea ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ este proporțională cu măsura sa (lungime, suprafață, volum) și nu depinde de locația și forma sa.
probabilitate geometrică evenimentul A este determinat de relația: , unde m(G), m(A) sunt măsuri geometrice (lungimi, arii sau volume) ale întregului spațiu al rezultatelor elementare și evenimentul A.
Exemplu. Un cerc cu raza r () este aruncat aleatoriu pe un plan delimitat de benzi paralele de lățime 2d, a căror distanță dintre liniile axiale este egală cu 2D. Găsiți probabilitatea ca cercul să intersecteze o bandă.
Soluţie. Ca rezultat elementar al acestui test, vom lua în considerare distanța X de la centrul cercului la linia centrală a benzii cea mai apropiată de cerc. Atunci întregul spațiu al rezultatelor elementare este un segment ϶ᴛᴏ. Intersecția cercului cu banda va avea loc dacă centrul acestuia cade în bandă, ᴛ.ᴇ. , sau va fi situat de la marginea benzii la o distanță mai mică decât raza, ᴛ.ᴇ. .
Pentru probabilitatea dorită, obținem: .
5. Frecvența relativă a unui eveniment este raportul dintre numărul de încercări în care a avut loc evenimentul și numărul total de încercări efectuate practic. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, frecvența relativă A este dată de:
(2)unde m este numărul de apariții ale evenimentului, n este numărul total de încercări. Comparând definiția probabilității și frecvența relativă, concluzionăm: definiția probabilității nu necesită ca testele să fie efectuate în realitate; determinarea frecvenţei relative presupune că testele au fost efectiv efectuate. Cu alte cuvinte, probabilitatea este calculată înainte de experiență, iar frecvența relativă este calculată după experiență.
Exemplul 2. Din 80 de angajați selectați aleatoriu, 3 persoane au tulburări cardiace grave. Frecvența relativă a persoanelor cu boli de inimă
Frecvența relativă sau un număr apropiat de aceasta este luată ca probabilitate statică.
DEFINIȚIE (prin definiția statistică a probabilității). Numărul la care tinde frecvența relativă stabilă se numește în mod obișnuit probabilitatea statistică a acestui eveniment.
6. sumă A+B două evenimente A și B denumesc un eveniment care constă în apariția evenimentului A sau B sau a ambelor evenimente. De exemplu, dacă s-au tras două focuri de armă și A - a lovit la prima lovitură, B - a lovit la a doua împușcătură, apoi A + B - a lovit la prima împușcătură sau a doua sau ambele focuri.
În special, dacă două evenimente A și B sunt incompatibile, atunci A + B este un eveniment constând în apariția unuia dintre aceste evenimente, indiferent care. Suma mai multor evenimente numit eveniment, ĸᴏᴛᴏᴩᴏᴇ constă în apariția a cel puțin unuia dintre aceste evenimente. De exemplu, evenimentul A + B + C constă în apariția unuia dintre următoarele evenimente: A, B, C, A și B, A și C, B și C, A și B și C. Fie evenimentele A și B să fie incompatibile, iar probabilitățile acestor evenimente sunt cunoscute. Cum să găsiți probabilitatea ca evenimentul A sau evenimentul B să se producă? Răspunsul la această întrebare este dat de teorema adunării. Teorema. Probabilitatea de apariție a unuia dintre cele două evenimente incompatibile, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P (A + B) = P (A) + P (B).Dovada
Corolar. Probabilitatea de apariție a unuia dintre mai multe evenimente incompatibile pe perechi, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:
P (A 1 + A 2 + ... + A n) \u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n).
Definiția geometrică a probabilității - concept și tipuri. Clasificarea și caracteristicile categoriei „Definiția geometrică a probabilității” 2017, 2018.
În practică, astfel de încercări sunt foarte des întâlnite, al căror număr de rezultate posibile este infinit. Uneori, în astfel de cazuri, este posibil să se folosească metoda de calcul a probabilității, în care conceptul de echiprobabilitate a anumitor evenimente joacă încă rolul principal .... .
Într-un anumit pătrat, un punct este selectat aleatoriu, care este probabilitatea ca acest punct să fie în interiorul regiunii D., unde SD este aria regiunii D, S este aria întregului pătrat pătrat. Sub clasicul, o anumită probabilitate zero avea ... .
Pentru a depăși dezavantajul definiției clasice a probabilității, care este că nu este aplicabilă încercărilor cu un număr infinit de rezultate, sunt introduse probabilități geometrice - probabilitățile ca un punct să cadă într-o zonă. Fie o figură plată g (segment sau corp)... .
Definiția clasică a probabilității PRELEȚIA 1. TEORIILE PROBABILITĂȚII. ISTORIA ORIGINII. DEFINIȚIA CLASICĂ A PROBABILITĂȚII A.A. Khalafyan REFERINȚE BIBLIOGRAFICE 1. Kolemaev V.A., Staroverov O.V., Turundaevsky V.B. Teoria ... .[citește mai mult] .
Această definiție este folosită atunci când o experiență are un set nenumărat de rezultate la fel de posibile. În acest caz, spațiul evenimentelor elementare poate fi reprezentat ca o anumită regiune G. Fiecare punct al acestei regiuni corespunde unui eveniment elementar. Lovit... .
Definiția geometrică a probabilității este o extensie a conceptului de probabilitate clasică la cazul unui set nenumărat de evenimente elementare. În cazul în care este o mulțime nenumărabilă, probabilitatea este determinată nu pe evenimente elementare, ci pe mulțimile lor.... .
Definiția clasică a probabilității PROBABILITATEA UNUI EVENIMENT ALEATORIT Interpretarea teoretică a mulțimilor a operațiilor pe evenimente Să se efectueze un experiment cu un rezultat aleatoriu. O multime de &... .
Definiția clasică a probabilității presupune că numărul de rezultate elementare este finit. În practică, există experimente pentru care setul de astfel de rezultate este infinit.
Pentru a depăși dezavantajul definiției clasice a probabilității, care este că nu este aplicabilă încercărilor cu un număr infinit de rezultate, se introduce probabilități geometrice - probabilitățile ca un punct să cadă într-o zonă.
Pe plan este dată o regiune la pătrat, adică. o zonă care are o zonă. Notăm această zonă cu litera și aria ei. Zona conține zonă
(Fig. 1.1). Un punct este aruncat aleatoriu în zonă. Vom presupune că un punct abandonat poate cădea într-o parte a regiunii cu o probabilitate proporțională cu aria acestei părți și independent de forma și locația sa. Lăsați - loviți punctul aruncat în zonă, apoi probabilitatea geometrică a acestui eveniment este determinată de formula
. (1.5.1)
În mod similar, conceptul de probabilitate geometrică este introdus atunci când un punct este aruncat într-o regiune spațială G a volumului V G, conţinând aria g a volumului Vg:
. (1.5.2)
În cazul general, conceptul de probabilitate geometrică este introdus după cum urmează. Indicați măsura suprafeței (lungime, suprafață, volum) prin mes g, și măsura domeniului G - through mes G (mes- primele trei litere ale unui cuvânt francez mizerie, care înseamnă măsură); notați cu litera A evenimentul „punctul aruncat lovește regiunea g, care este conținută în regiunea G". Probabilitatea ca un punct aruncat în regiunea G să cadă în regiunea g este determinată de formula
. (1.5.3)
Exemplul 1 Un pătrat este înscris într-un cerc (Figura 1.2). Un punct este aruncat aleatoriu în cerc. Care este probabilitatea ca punctul să cadă în pătrat?
Soluţie.
Să introducem notația: R- raza cercului, A- latura pătratului înscris, A- lovirea unui punct într-un pătrat, S- aria unui cerc, S 1 este aria pătratului înscris. După cum știți, aria unui cerc este . Latura pătratului înscris prin raza cercului circumscris este exprimată prin formula, deci aria pătratului.
Presupunând în formula (1.5.1) , , găsim probabilitatea dorită 
.
Exemplul 2. Într-un pătrat (Fig. 1.3) cu vârfuri în puncte O(0, 0), LA(0, 1), L( 1, 1), M(1, 0) punct aruncat aleatoriu Q(x, y). Aflați probabilitatea ca coordonatele acestui punct să satisfacă inegalitatea > .
Soluţie.
Să desenăm o linie dreaptă, aceasta va intersecta segmentul ML la punct N( 1;
1/2). Această dreaptă taie planul în două semiplane: pentru coordonatele punctelor primului dintre ele (sus) se va îndeplini inegalitatea y > x/2, pentru al doilea (inferior) - inegalitatea y< х/2.
Toate punctele din pătrat OKLMși ale căror coordonate satisfac inegalitatea y > x/2 sunt în poligon OKLN. Acest poligon este format dintr-un dreptunghi CKLNși triunghi ocn, zona sa S 1 \u003d 1/2 + 1/4 \u003d 3/4. Pătrat S pătrat OKLM este egal cu unu: S= 1. În conformitate cu formula (1.5.1), presupunând , , găsim probabilitatea necesară 
.
Exemplul 3(problema lui Buffon). Planul este trasat prin linii paralele, distanța dintre care este egală cu A. Un segment de lungime este aruncat aleatoriu pe acest plan ll< A). Care este probabilitatea ca segmentul de dreaptă să intersecteze cel puțin una dintre liniile din familie?
Soluţie.
Distanța de la capătul superior al segmentului până la cea mai apropiată linie dreaptă de jos este notă cu (Fig. 1.4). Unghiul dintre segment și
rază paralelă cu liniile drepte ale familiei, al cărei început coincide cu capătul superior al segmentului, notat cu . Evident, și Pentru ca un segment să intersecteze cel puțin una dintre liniile familiei, este necesar și suficient ca sau . Expresia „un segment este aruncat la întâmplare” va fi înțeleasă astfel: un punct (x, y) este aruncat aleatoriu pe un dreptunghi: , . Punctele ale căror coordonate satisfac inegalitatea formează o cifră umbrită în Figura 1.5.
Zona acestei figuri 
.
Aria întregului dreptunghi este .
Prin formula (1.5.1), presupunând , , găsim probabilitatea dorită 
, unde A este evenimentul „segmentul se intersectează cu cel puțin o dreaptă”.
Exemplul 4 Un cub este înscris într-o sferă. Un punct este fixat aleatoriu într-o minge. Găsiți probabilitatea ca punctul să cadă în cub.
Soluţie. Să introducem notația: evenimentul A - „lovirea unui punct într-un cub”; R- raza bilei, A- marginea cubului, V- volumul sferei, V 1
este volumul cubului înscris.
După cum se știe, . De când și , atunci . În conformitate cu formula (1.5.2), presupunând și , obținem
Sarcini
- Pe plan sunt desenate două cercuri concentrice, ale căror raze sunt de 6, respectiv 12 cm. Care este probabilitatea ca un punct aruncat la întâmplare într-un cerc mare să cadă în inelul format din cercurile indicate?
- Într-un cerc de rază R este înscris un triunghi regulat. Găsiți probabilitatea ca un punct aruncat în acest cerc să cadă în triunghiul dat.
- La un pătrat cu vârfurile O ( 0, 0 ), K(0, 1), L(1, 1), M(1, 0) un punct este aruncat aleatoriu Q(x, y). Care este probabilitatea ca coordonatele acestui punct să satisfacă inegalitatea y > 2x?
- O piramidă triunghiulară regulată este înscrisă într-o sferă. Un punct este fixat aleatoriu într-o minge. Aflați probabilitatea ca un punct să cadă într-o piramidă.
- Lungimea tijei l rupt la întâmplare în trei bucăți. Care este probabilitatea ca aceste părți să formeze un triunghi?
- În plan, domeniul G este mărginit de o elipsă, iar domeniul de acea elipsă și elipsă. Se aruncă un punct în zonă. Care este probabilitatea ca punctul să cadă în zonă?
- Într-un dreptunghi cu vârfuri LA(-2, 0),L(-2, 5), M(1, 5), N( 1, 0) se aruncă un punct. Care este probabilitatea ca coordonatele sale (x, y) să satisfacă inegalitățile?
- În regiunea G delimitată de elipsoid
, un punct este fixat la întâmplare. Care este probabilitatea ca coordonatele , , ale acestui punct să satisfacă inegalitatea? - La un dreptunghi cu vârfuri R(-2, 0), L(-2,9), M(4, 9), N( 4, 0) se aruncă un punct. Aflați probabilitatea ca coordonatele sale să satisfacă inegalitățile.
- Aria este delimitată de un cerc, iar aria este delimitată de acel cerc și o parabolă. Se aruncă un punct în zonă. Care este probabilitatea ca acesta să fie în zonă?
IV. PROBABILITATE ȘI MATEMATICĂ
STATISTICI
Material de referință și principii de rezolvare a problemelor
Definiția clasică a probabilității
Prin experiență sau experiment vom înțelege orice implementare a unui set de anumite condiții, în urma cărora va apărea fenomenul care ne interesează.
Exemplul 1 Experiență σ: împușcare la țintă. Evenimentul A - lovirea țintei. Evenimentul B este ratat.
Exemplul 2 Experiență σ: selecția produselor dintr-un lot finit. Evenimentul A - produsul este defect. Evenimentul B este un produs standard.
Un eveniment elementar (sau rezultat elementar) este orice simplu, adică indivizibil în cadrul unui experiment dat, rezultatul unei experiențe. Setul tuturor rezultatelor elementare va fi numit spațiu de eveniment elementarși notăm Ω. Adică, setul de rezultate ale experimentelor formează spațiul evenimentelor elementare dacă:
Ca rezultat al experienței, unul dintre rezultate apare în mod necesar;
Apariția unuia dintre rezultatele experienței exclude apariția celorlalte;
În cadrul acestei experiențe, este imposibil să împărțim un rezultat elementar în componente mai mici.
Scrie-l astfel:
Ω =(w 1, w 2, …w n ,…)=(w k , k=1…n, …).
Exemplul 3 Experiență: aruncare de monede 1 dată.
Aici Ω=(w g, w c ), unde w g este pierderea stemei, w c este pierderea numărului.
Experiență: O monedă este aruncată de 2 ori. În acest caz, spațiul evenimentelor elementare Ω=(w g g, w g c, w c g, w c c ).
Experimentul constă în determinarea numărului de apeluri primite de centrala telefonică în timpul T. Aici Ω=(0,1,2.…n,… ).
Se numește orice set de rezultate elementare sau o submulțime arbitrară A Ω eveniment aleatoriu.
Fie Ω spațiul evenimentelor elementare, S o submulțime de evenimente aleatoare care îndeplinesc următoarele condiții:
Mulțimea S este închisă sub operațiile de adunare, înmulțire și negație.
Anumite evenimente E și imposibile aparțin lui S.
Uneori este nevoie de mai mult: pentru orice succesiune infinită de evenimente 
Se numește o submulțime a lui S care îndeplinește aceste condiții σ - algebră .
Să fie dată o funcție care pentru fiecare eveniment aleatoriu de la S se potrivește cu un număr din interval; R:S → , iar următoarele axiome sunt valabile:
,
P(E)=1, P(Ø)=0,
Pentru orice secvență А 1 ,…А n … evenimente incompatibile în perechi А i нS,
"eu, j, i≠ј,
.
O funcție P care satisface aceste axiome se numește probabilitate, iar valoarea Р(A) se numește probabilitatea evenimentului A.
Definiție. Trei dintre obiecte (Ω, S, P), Unde Ω este spațiul evenimentelor elementare, S– σ-algebră, Р – probabilitate, se numește spațiu de probabilitate.
Definiția clasică a probabilității servește ca un model matematic bun al acelor fenomene aleatorii pentru care rezultatele unui experiment sunt un număr finit n și toate rezultatele sunt la fel de posibile. În definiția clasică a probabilității, se presupune:
;
Probabilitatea unui eveniment egală cu
Cu alte cuvinte, probabilitatea unui eveniment este egală cu raportul dintre numărul de evenimente elementare incluse în și numărul total de evenimente elementare în .
Următoarea formulare a definiției clasice a probabilității este, de asemenea, general acceptată: probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate ale experienței care favorizează apariția unui eveniment și numărul total de rezultate la fel de posibile ale experienței.
Adică, probabilitatea unui eveniment este definită ca .
Exemplul 4 Care este probabilitatea ca stema să apară cel puțin o dată când moneda este aruncată de două ori?
Soluţie. Spațiul evenimentelor elementare la fel de probabile ale acestui experiment este format din următoarele evenimente: Evenimentul = (când o monedă este aruncată de două ori, stema va apărea cel puțin o dată) constă din evenimente elementare incompatibile 
. Prin urmare, .
Prin urmare, 
.
Exemplul 5 Care este probabilitatea ca un număr de două cifre numit aleatoriu să fie divizibil cu unsprezece fără rest?
Soluţie. Deoarece există 90 dintre toate numerele de două cifre, numărul de rezultate la fel de posibile ale acestei experiențe este . Dintre aceste numere, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99 sunt divizibile cu 11 fără rest. Prin urmare, numărul de rezultate care favorizează evenimentul (un număr din două cifre va fi divizibil cu unsprezece). fără rest). Probabilitatea dorită va fi egală cu 
.
Exemplul 6 Care este probabilitatea ca un an ales aleatoriu să aibă 5 duminici în septembrie?
Soluţie. Septembrie a oricărui an are 30 de zile. Numărul de duminici din septembrie depinde de ce zi a săptămânii este 1 septembrie. 1 septembrie poate fi orice zi a săptămânii. Întrucât există 7 zile într-o săptămână, numărul tuturor rezultatelor posibile este de . Dacă septembrie începe luni, marți, miercuri, joi sau vineri, atunci vor fi 4 duminici. Dacă septembrie începe sâmbătă sau duminică, atunci vor fi 5 duminici. Dintre 7 rezultate la fel de posibile, 2 vor fi favorabile evenimentului ( în septembrie, un an ales aleatoriu va avea 5 duminici), deci, . Probabilitatea dorită 
.
Exemplul 7 Există cinci segmente cu lungimea de 3, 5, 6, 9 și 11 cm.Determină probabilitatea ca din trei segmente luate aleatoriu (dintre aceste cinci) să se poată construi un triunghi.
Soluţie. Există rezultate la fel de posibile ale acestei experiențe: , , , , , , , , , .
Pentru ca trei segmente să poată construi un triunghi, este necesar ca segmentul mai mare să fie mai mic decât suma celorlalte două segmente. Această condiție este îndeplinită de următoarele rezultate , , , . Numărul de astfel de rezultate. Prin urmare,
.
În acele cazuri când o enumerare directă a tuturor rezultatelor posibile devine greoaie, se recomandă utilizarea combinatoriei.
Elemente de combinatorie
Să fie dată o mulțime formată din elemente. Există două moduri fundamental diferite de a selecta elemente dintr-un set: selectarea elementelor fără a reveni și selectarea elementelor cu revenire.
Prima modalitate de alegere a elementelor duce la noțiunile de permutări, așezări și combinații fără repetare, sau pur și simplu permutări, așezări și combinații; al doilea - la conceptele de permutări, plasări și combinații cu repetări.
permutare de elemente este orice set ordonat al acestor elemente. Fiecare permutare conține elemente. Permutările diferă doar în ordinea în care sunt aranjate elementele. Numărul de permutări diferite ale elementelor este calculat prin formulă
.
Cazare de elemente prin este orice set ordonat de elemente diferite selectate din setul total de elemente. Plasările diferă unele de altele fie prin ordinea elementelor, fie prin cel puțin un element.
Numărul de plasări este calculat prin formulă 
.
combinaţie de elemente prin este orice set neordonat de elemente diferite selectate din setul total de elemente. Combinațiile diferă unele de altele prin cel puțin un element.
Numărul de combinații este calculat prin formulă
.
Proprietăți combinate:
Exemplul 8 Să fie un set 
din trei elemente. Apoi, toate aranjamentele a două elemente din trei sunt după cum urmează: Toate permutările mulțimii au forma: și Toate combinațiile a două elemente din mulțime sunt după cum urmează: 
Plasamentele și combinațiile cu repetări diferă de plasările și combinațiile fără repetări doar prin aceea că în aceste conexiuni pot fi prezente elemente repetate.
Numărul de plasări din elemente cu repetări se calculează prin formula .
Numărul de combinații de elemente cu repetări se calculează prin formulă 
.
Deoarece toate elementele setului participă la un astfel de tip de conexiuni precum permutările cu repetiții, atunci repetarea elementelor trebuie să fie încorporată în elementele setului. Deci, dacă conține elemente de primul tip, elemente de al doilea tip, ..., elemente de al treilea tip, atunci numărul de permutări cu repetări se calculează prin formula 
.
La rezolvarea problemelor combinatorii pot fi utile următoarele două reguli:
Regula sumei: dacă un obiect poate fi ales în moduri, iar un obiect poate fi ales în moduri, atunci alegerea „ori sau” se poate face în moduri.
Regula produsului: dacă un obiect poate fi ales pe căi, iar după fiecare dintre aceste alegeri, obiectul poate fi ales la rândul său pe căi, atunci alegerea lui " și " în ordinea indicată se poate face pe căi.
Exemplul 9 Să fie grupuri de elemente, iar al-lea grup este format din - elemente. Alegem câte un element din fiecare grupă, apoi numărul total de moduri în care se poate face o astfel de alegere conform regulii produsului
. (1)
Dacă 
, atunci putem presupune că selecția este făcută din același grup, iar elementul după selecție este returnat din nou grupului. Apoi .
Exemplul 10 Profesorul oferă fiecăruia dintre cei trei elevi să se gândească la orice număr de la 1 la 10. Presupunând că alegerea fiecărui elev a oricărui număr dintre cele date este la fel de posibilă, găsiți probabilitatea ca unul dintre cei trei elevi să aibă același număr.
Soluţie. Mai întâi, să calculăm numărul total de rezultate. Primul elev alege unul dintre cele 10 numere, al doilea și al treilea fac la fel, 
Conform formulei (1), numărul total de moduri va fi egal cu Să calculăm numărul de rezultate favorabile. Pentru a face acest lucru, mai întâi găsim numărul total de combinații ale numerelor dorite în care nu există potriviri. Primul elev poate alege oricare dintre cele 10 numere, al doilea elev poate alege oricare dintre cele 9 numere, iar al treilea elev poate alege oricare dintre cele 8 numere rămase. Prin urmare, numărul total de combinații de numere concepute, în care nu există potriviri, conform formulei (1) este egal.Alte cazuri (1000 - 720 = 280) se caracterizează prin prezența a cel puțin o potrivire. Prin urmare, probabilitatea dorită este egală cu 
Exemplul 11. Toate literele alfabetului rus sunt transmise aleatoriu pe linia de comunicare. Găsiți probabilitatea ca o secvență de litere să apară pe bandă care începe cu cuvântul „lume”.
Soluţie. Alfabetul rus conține 33 de litere. Deoarece toate scrisorile sunt transmise pe linia de comunicare, numărul de rezultate la fel de posibile ale experienței 
. Dintre aceste rezultate, favorabile pentru apariția unui eveniment (va apărea o succesiune de litere care începe cu cuvântul „lume”) vor fi toate rezultatele în care cuvântul „lume” va fi în primele trei poziții (un rezultat corespunde cu o astfel de alegere), iar posturile rămase vor fi ocupate în orice mod (numărul de astfel de opțiuni). În conformitate cu regula produsului, numărul de rezultate favorabile 
.
Prin urmare,
Exemplul 12. Dintr-o urnă care conține 3 bile, o bilă este scoasă la întâmplare de trei ori și returnată de fiecare dată. Găsiți probabilitatea ca toate bilele să fie în mână.
Soluţie. După starea problemei, bilele sunt returnate în urnă, prin urmare, avem o schemă de alegere a elementelor cu revenire.
Numărul tuturor rezultatelor posibile ale unei experiențe date este numărul de plasări a trei elemente din trei cu repetări, adică
.
Eveniment favorabil A=( ) vor exista acele rezultate în care elementele (bilele) nu se vor repeta. Numărul de astfel de rezultate este numărul de plasări a trei elemente din trei sau numărul de permutări a trei elemente, adică 
. Deoarece toate rezultatele experimentului sunt la fel de probabile, atunci
.
Exemplul 13 Verificări de control tehnic dintr-un lot de 500 de piese 20 de piese luate la întâmplare. Lotul conține 15 piese non-standard. Care este probabilitatea ca printre piesele testate să fie exact două piese non-standard?
Soluţie. Deoarece, în funcție de starea problemei, 20 de părți din 500 sunt extrase la întâmplare, este firesc să luăm în considerare toate opțiunile posibile pentru extragerea a 20 de părți din 500 la fel de posibile și pentru a găsi probabilitatea necesară, folosiți schema clasică ( definiţia clasică a probabilităţii).
Ordinea pieselor standard și non-standard în cele 20 recuperate nu contează. Ceea ce contează este numărul de piese standard și non-standard. Prin urmare, numărul tuturor modalităților posibile în care se poate face acest lucru este , adică .
Evenimentul = (printre părțile bifate vor fi exact două non-standard) (prin urmare, restul de 18 trebuie să fie standard), va corespunde (regula produsului) a rezultatelor, adică 
. Prin urmare,
.
Exemplul 14 Un număr din trei cifre este compus astfel: se aruncă trei zaruri: alb, albastru și roșu; numărul de puncte aruncate pe zarul alb este numărul de sute, numărul de puncte aruncate pe zarul albastru este numărul de zeci, iar numărul de puncte aruncate pe zarul roșu este numărul de unități ale celor trei cifre număr. Care este probabilitatea ca numărul rezultat să fie mai mare decât 456?
Soluţie. Numărul tuturor numerelor care pot fi obținute în acest mod, în conformitate cu regula produsului, va fi egal cu 
.
Să calculăm numărul de rezultate ale experienței favorabile pentru apariția evenimentului A. Numerele mai mari decât 456 vor fi obținute dacă numărul sutelor este mai mare decât 4, adică 5 sau 6, sau numărul sutelor este 4, iar numărul zecilor este mai mare decât 5, adică 6. Fie numărul sutelor va fi 5. Vor exista astfel de experimente, deoarece numărul zecilor și unităților se poate schimba în mod arbitrar de la 1 la 6. Același raționament este valabil dacă numărul sutelor este 6. Experimente în care primele două cifre ale lui 45 vor fi 6. Folosind regulile produsului și sumei, găsiți numărul acestor numere 
. Deoarece toate rezultatele experimentului sunt la fel de probabile, probabilitatea dorită 
.
Exemplul 15 Trei posturi de radio pot funcționa pe șase frecvențe diferite. Determinați probabilitatea ca cel puțin două posturi de radio să funcționeze pe aceleași frecvențe dacă alegerea frecvențelor se face la întâmplare.
Soluţie. Numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile ale experimentului este numărul de plasări a șase elemente (frecvențe) câte trei cu repetări, adică 
. Eveniment favorabil A= (cel puțin două posturi de radio vor funcționa pe aceleași frecvențe) vor exista rezultate în care elementele (frecvențele) vor fi repetate. Numărul de astfel de rezultate este suma rezultatelor în care două radiouri funcționează pe aceeași frecvență – și trei radiouri funcționează pe aceeași frecvență – . Numărul de rezultate în care două dintre cele trei radiouri pot funcționa pe una dintre cele șase frecvențe este de . Numărul de frecvențe diferite este 6. Al treilea post de radio poate funcționa pe una dintre cele cinci frecvențe „neocupate”. Conform regulii produsului 
. Evident, numărul de rezultate (trei posturi de radio vor funcționa pe aceeași frecvență) este de 6.
Prin urmare, .
Prin urmare, 
.
Definiția geometrică a probabilității
Definiția geometrică generalizează definiția clasică a probabilității în cazul în care spațiul evenimentelor elementare este o submulțime a spațiului.
O altă schemă de descriere a experimentelor cu rezultate prezise în mod ambiguu, care face destul de ușoară introducerea unei caracteristici cantitative a fezabilității unui eveniment, este schema probabilităților geometrice, care, ca și schema cazurilor considerate mai sus, exploatează ideea de posibilitatea egală a rezultatelor experimentului. Așa cum s-a făcut în schema cazurilor, caracteristica cantitativă a fezabilității unui eveniment - probabilitatea acestuia - este definită ca o valoare normalizată într-un fel, proporțională cu stocul de rezultate care favorizează implementarea evenimentului. Fie ca setul de rezultate ale experimentului studiat ca o mulțime P de puncte ale unui „continuum geometric” - fiecare rezultat corespunde unui anumit punct și fiecărui punct îi corespunde un anumit rezultat. „Continuumul geometric” Q poate fi un segment pe o linie dreaptă, un arc de curbă redresabilă pe un plan sau în spațiu, un set de pătrat pe un plan (triunghi, dreptunghi, cerc, elipsă etc.) sau o parte din o suprafață pătrată, un anumit volum în spațiu (un poliedru - o prismă, o piramidă, o bilă, un elipsoid etc.) Un eveniment este orice submulțime pătrată a unei mulțimi (lungime, suprafață, volum) pe care o putem măsura. Presupunând echiprobabilitatea rezultatelor, să numim probabilitatea evenimentului A un număr proporțional cu măsura submulțimii A a mulțimii P: Probabilitățile geometrice în acest caz vor fi între zero - probabilitatea unui eveniment imposibil și unu - probabilitatea unui eveniment de încredere4*. Condiția de normalizare vă permite să găsiți constanta k - coeficientul de proporționalitate care specifică probabilitatea. Se dovedește a fi egal cu Astfel, în schema probabilităților geometrice, probabilitatea oricărui eveniment este definită ca raportul dintre măsura submulțimii A, care descrie evenimentul, și măsura mulțimii il, descriind experimentul ca un întreg: conținut în altul nu poate fi mai mare decât acesta din urmă. Ca și în schema de cazuri, evenimentele din schema probabilităților geometrice pot fi combinate, combinate și construite pe baza lor opuse - în acest caz, vorbind în general, se vor obține evenimente diferite de evenimentele originale. Următoarea proprietate este foarte importantă. 3. Dacă evenimentele sunt incompatibile, atunci, în special, este valabil principiul complementarității: Această proprietate, numită de obicei regula adunării probabilităților, rezultă în mod evident din aditivitatea măsurii5*. În concluzie, observăm că probabilitatea oricărui rezultat în schema probabilităților geometrice este întotdeauna egală cu zero, precum și probabilitatea oricărui eveniment descris de un set de puncte „slăbit”, adică. set, a cărui măsură (respectiv - lungime, suprafață, volum) este egală cu zero. Să luăm în considerare câteva exemple care ilustrează calculul probabilităților în schema probabilităților geometrice. Exemplul 1. Experimentul constă în alegerea aleatorie a unui punct din segmentul [a, 6|. Găsiți probabilitatea ca punctul selectat să se afle în jumătatea stângă a segmentului considerat. 4 Prin definiție, probabilitatea de a alege un punct din orice mulțime de pe segment )