Derivate de ordin superior

În această lecție vom învăța cum să găsim derivate de ordin superior, precum și să scriem formula generală pentru derivata „a n-a”. În plus, formula lui Leibniz pentru un astfel de derivat și, la cererea populară, derivate de ordin superior ale funcţie implicită. Vă sugerez să faceți imediat un mini-test:

Iată funcția: și iată prima sa derivată:

În cazul în care aveți dificultăți/confuzii în legătură cu acest exemplu, vă rugăm să începeți cu cele două articole de bază ale cursului meu: Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. După stăpânirea derivatelor elementare, vă recomand să citiți lecția Cele mai simple probleme cu derivatele, despre care ne-am ocupat, în special derivata a doua.

Nu este greu să ghicim că a doua derivată este derivata primei derivate:

În principiu, derivata a doua este deja considerată o derivată de ordin superior.

În mod similar: a treia derivată este derivata a doua a:

A patra derivată este derivata a treia:

Derivata a cincea: , și este evident că toate derivatele de ordin superior vor fi, de asemenea, egale cu zero:

Pe lângă numerotarea romană, următoarele notații sunt adesea folosite în practică:
, derivata ordinului „n-lea” se notează cu . În acest caz, superscriptul trebuie să fie cuprins între paranteze– pentru a distinge derivata de „y” în grad.

Uneori vezi ceva de genul asta: – a treia, a patra, a cincea, ..., respectiv derivate „a n-a”.

Înainte fără teamă și îndoială:

Exemplul 1

Funcția este dată. Găsi .

Soluţie: ce poți să spui... - mergi înainte pentru a patra derivată :)

Nu mai este obișnuit să punem patru linii, așa că trecem la indici numerici:

Răspuns:

Bine, acum să ne gândim la această întrebare: ce să facem dacă condiția necesită găsirea nu a celei de-a patra, ci, de exemplu, a celei de-a 20-a derivate? Dacă pentru derivata 3-4-5 (maximum 6-7) de mărime, soluția este oficializată destul de repede, atunci nu vom „ajunge” foarte curând la derivate de ordine superioară. De fapt, nu scrieți 20 de rânduri! Într-o astfel de situație, trebuie să analizați mai multe derivate găsite, să vedeți modelul și să creați o formulă pentru „n-a” derivată. Deci, în exemplul nr. 1 este ușor de înțeles că, cu fiecare diferențiere ulterioară, un „trei” suplimentar va „apari” în fața exponentului și, în orice pas, gradul „trei” este egal cu numărul de derivata, prin urmare:

Unde este un număr natural arbitrar.

Și într-adevăr, dacă , atunci se obține exact derivata 1: , dacă – atunci al 2-lea: etc. Astfel, derivata a douăzecea se determină instantaneu: – și fără „coli lungi de kilometri”!

Încălzirea pe cont propriu:

Exemplul 2

Găsiți funcții. Scrieți derivata de ordine

Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

După o încălzire revigorantă, vom lua în considerare exemple mai complexe în care vom elabora algoritmul de soluție de mai sus. Pentru cei care au reușit să se familiarizeze cu lecția Limită de secvență, va fi puțin mai ușor:

Exemplul 3

Găsiți pentru funcție.

Soluţie: pentru a clarifica situația, să găsim mai multe derivate:

Nu ne grăbim să înmulțim cifrele rezultate! ;-)


Poate că este suficient. ... chiar am trecut puțin peste bord.

Următorul pas este cel mai bine să creați formula pentru „a-a” derivată (dacă condiția nu necesită acest lucru, atunci vă puteți descurca cu un draft). Pentru a face acest lucru, ne uităm la rezultatele obținute și identificăm modelele cu care se obține fiecare derivată ulterioară.

În primul rând, se alternează. Alinierea asigură "lumină intermitentă", și deoarece derivata 1 este pozitivă, formula generală va include următorul factor: . Ar funcționa și o opțiune echivalentă, dar personal, ca optimist, îmi place semnul plus =)

În al doilea rând, la numărător „se termină” factorial, și „rămîne” în urma numărului derivat cu o unitate:

Și în al treilea rând, puterea lui „doi” în numărător crește, ceea ce este egal cu numărul derivatului. Același lucru se poate spune despre gradul numitorului. In cele din urma:

Pentru a verifica, să înlocuim câteva valori „en”, de exemplu, și:

Grozav, acum a face o greșeală este pur și simplu un păcat:

Răspuns:

O funcție mai simplă de rezolvat singur:

Exemplul 4

Găsiți funcții.

Și o problemă mai interesantă:

Exemplul 5

Găsiți funcții.

Să repetăm ​​procedura încă o dată:

1) Mai întâi găsim mai multe derivate. Pentru a prinde modele, trei sau patru sunt de obicei suficiente.

2) Atunci recomand cu tărie să faci (cel puțin în formă de schiță) Derivatul „a n-a” – este garantat să vă protejeze de erori. Dar te poți descurca fără ea, adică. estimați mental și notați imediat, de exemplu, derivata a douăzecea sau a opta. Mai mult decât atât, unii oameni sunt în general capabili să rezolve problemele în cauză oral. Cu toate acestea, ar trebui să vă amintiți că metodele „rapide” sunt grele și este mai bine să fiți în siguranță.

3) În etapa finală, verificăm derivata „n-a” - luăm o pereche de valori „n-a” (de preferință cele vecine) și efectuăm înlocuirea. Și este și mai fiabil să verificați toate derivatele găsite anterior. Apoi o înlocuim în valoarea dorită, de exemplu, sau și pieptănăm cu atenție rezultatul.

O scurtă soluție la exemplele 4 și 5 la sfârșitul lecției.

În unele sarcini, pentru a evita problemele, trebuie să lucrați puțin asupra funcției:

Exemplul 6

Soluţie: Nu vreau să diferențiez deloc funcția propusă, deoarece va avea ca rezultat o fracție „rea”, ceea ce va complica foarte mult găsirea derivatelor ulterioare.

În acest sens, este indicat să se efectueze transformări preliminare: folosim formula diferenței pătrateȘi proprietatea logaritmului :

Este cu totul alta chestiune:

Și vechi prieteni:

Cred că totul este privit. Vă rugăm să rețineți că a doua fracție alternează semnul, dar prima fracție nu. Construim derivata de ordin:

Control:

Ei bine, de dragul frumuseții, să scoatem factorialul dintre paranteze:

Răspuns:

O sarcină interesantă de rezolvat pe cont propriu:

Exemplul 7

Scrieți formula derivată de ordine pentru funcție

Și acum despre garanția reciprocă de nezdruncinat pe care chiar și mafia italiană ar invidia:

Exemplul 8

Funcția este dată. Găsi

Derivata a optsprezecea la punct. Doar.

Soluţie: mai întâi, evident, trebuie să găsiți . Merge:

Am început cu sinusul și am terminat cu sinusul. Este clar că, odată cu o diferențiere suplimentară, acest ciclu va continua la nesfârșit și apare următoarea întrebare: care este cea mai bună modalitate de a „a ajunge” la derivata a optsprezecea?

Metoda „amator”: notează rapid numărul de derivate ulterioare în coloana din dreapta:

Prin urmare:

Dar acest lucru funcționează dacă ordinea derivatei nu este prea mare. Dacă trebuie să găsiți, să zicem, derivata a sutei, atunci ar trebui să utilizați divizibilitatea cu 4. O sută este divizibil cu 4 fără rest și este ușor de observat că astfel de numere sunt situate în linia de jos, prin urmare: .

Apropo, derivata a 18-a poate fi determinată și din considerente similare:
A doua linie conține numere care sunt divizibile cu 4 cu restul de 2.

Pe o altă metodă, mai academică, se bazează periodicitatea sinusuluiȘi formule de reducere. Folosim formula gata făcută pentru „n-a” derivată a sinusului , în care numărul dorit este pur și simplu înlocuit. De exemplu:
(formula de reducere ) ;
(formula de reducere )

În cazul nostru:

(1) Deoarece sinusul este o funcție periodică cu o perioadă, argumentul poate fi „deșurubat” fără durere 4 perioade (adică).

Derivata de ordine a produsului a doua functii poate fi gasita folosind formula:

În special:

Nu este nevoie să vă amintiți nimic în mod specific, deoarece cu cât cunoașteți mai multe formule, cu atât înțelegeți mai puțin. Este mult mai util să te familiarizezi cu Binomul lui Newton, deoarece formula lui Leibniz este foarte, foarte asemănătoare cu ea. Ei bine, acei norocoși care vor primi un derivat al ordinului 7 sau mai mare (ceea ce este cu adevărat puțin probabil), va fi obligat să facă acest lucru. Cu toate acestea, când vine rândul combinatorică– atunci mai trebuie =)

Să găsim derivata a treia a funcției. Folosim formula lui Leibniz:

În acest caz: . Derivatele sunt ușor de recitat oral:

Acum efectuați cu atenție și cu ATENȚIE înlocuirea și simplificați rezultatul:

Răspuns:

O sarcină similară pentru o soluție independentă:

Exemplul 11

Găsiți caracteristici

Dacă în exemplul anterior soluția „front-on” a concurat în continuare cu formula lui Leibniz, atunci aici va fi cu adevărat neplăcut. Și chiar mai neplăcut - în cazul unei derivate de ordin superior:

Exemplul 12

Găsiți derivata ordinului specificat

Soluţie: prima și semnificativă remarcă este că probabil nu trebuie să decideți așa =) =)

Să notăm funcțiile și să le găsim derivatele până la ordinul 5 inclusiv. Presupun că derivatele coloanei din dreapta au devenit orale pentru tine:

În coloana din stânga, derivatele „vii” s-au „terminat” rapid și acest lucru este foarte bine - trei termeni din formula lui Leibniz vor fi resetati la zero:

Permiteți-mi să mă opresc din nou asupra dilemei care a apărut în articolul despre derivate complexe: Ar trebui să simplific rezultatul? În principiu, o puteți lăsa așa - va fi și mai ușor pentru profesor să verifice. Dar poate cere ca decizia să fie definitivată. Pe de altă parte, simplificarea din proprie inițiativă este plină de erori algebrice. Totuși, avem un răspuns obținut într-un mod „primitiv” =) (vezi linkul de la inceput) si sper sa fie corect:

Grozav, totul a venit împreună.

Răspuns:

Sarcină fericită pentru o soluție independentă:

Exemplul 13

Pentru functie:
a) afla prin diferentiere directa;
b) găsiți folosind formula lui Leibniz;
c) calcula .

Nu, nu sunt deloc un sadic – punctul „a” aici este destul de simplu =)

Dar serios, soluția „directă” prin diferențiere succesivă are și „drept la viață” - în unele cazuri complexitatea ei este comparabilă cu complexitatea aplicării formulei Leibniz. Utilizați dacă considerați că este adecvat - este puțin probabil ca acesta să fie un motiv pentru eșecul sarcinii.

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Pentru a ridica ultimul paragraf trebuie să fii capabil diferențierea funcțiilor implicite:

Derivate de ordin superior ale funcțiilor specificate implicit

Mulți dintre noi am petrecut ore lungi, zile și săptămâni din viața noastră studiind cercuri, parabole, hiperbolă– și uneori chiar părea o adevărată pedeapsă. Așa că haideți să ne răzbunăm și să le diferențiem în mod corespunzător!

Să începem cu parabola „școală” în ea poziție canonică:

Exemplul 14

Ecuația este dată. Găsi .

Soluţie: Primul pas este familiar:

Faptul că funcția și derivata ei sunt exprimate implicit nu schimbă esența materiei; a doua derivată este derivata primei derivate:

Cu toate acestea, există reguli ale jocului: derivatele de ordinul 2 și superior sunt de obicei exprimate doar prin „X” și „Y”. Prin urmare, substituim : în derivata a 2-a rezultată:

A treia derivată este derivata a doua:

În mod similar, să înlocuim:

Răspuns:

Hiperbola „Școală” în poziție canonică- pentru munca independenta:

Exemplul 15

Ecuația este dată. Găsi .

Repet că derivata a 2-a și rezultatul ar trebui exprimate doar prin „x”/“y”!

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

După farsele copiilor, să ne uităm la pornografia germană, să ne uităm la mai multe exemple pentru adulți, din care vom afla o altă soluție importantă:

Exemplul 16

Elipsă se.

Soluţie: haideti sa gasim derivata 1:

Acum să ne oprim și să analizăm următorul punct: acum trebuie să diferențiem fracția, ceea ce nu este deloc plăcut. În acest caz, este, desigur, simplu, dar în problemele din viața reală astfel de cadouri sunt prea puține și îndepărtate. Există vreo modalitate de a evita găsirea derivatului greoi? Există! Luăm ecuația și folosim aceeași tehnică ca atunci când găsim derivata 1 - „atârnăm” lovituri de ambele părți:

A doua derivată trebuie exprimată numai în termeni de și , deci acum (chiar acum) Este convenabil să scapi de derivata 1. Pentru a face acest lucru, înlocuiți în ecuația rezultată:

Pentru a evita dificultățile tehnice inutile, să înmulțim ambele părți prin:

Și numai în etapa finală formulăm fracția:

Acum ne uităm la ecuația inițială și observăm că rezultatul obținut poate fi simplificat:

Răspuns:

Cum să găsiți valoarea derivatei a 2-a în orice moment (care, desigur, aparține elipsei), de exemplu, la punct ? Foarte usor! Acest motiv a fost deja întâlnit în lecția despre ecuația normală: trebuie să înlocuiți derivata a 2-a în expresie :

Desigur, în toate cele trei cazuri este posibil să se obțină funcții definite în mod explicit și să le diferențieze, dar apoi să fii pregătit mental să lucrezi cu două funcții care conțin rădăcini. În opinia mea, este mai convenabil să duci soluția într-un „mod implicit”.

Un ultim exemplu de rezolvat singur:

Exemplul 17

Găsiți o funcție specificată implicit

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completă a lucrării este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

"Și eu, binomul lui Newton!»

din romanul „Maestrul și Margareta”

„Triunghiul lui Pascal este atât de simplu încât chiar și un copil de zece ani îl poate scrie. În același timp, ascunde comori inepuizabile și leagă între ele diverse aspecte ale matematicii care la prima vedere nu au nimic în comun între ele. Astfel de proprietăți neobișnuite ne permit să considerăm triunghiul lui Pascal una dintre cele mai elegante diagrame din întreaga matematică.”

Martin Gardner.

Scopul lucrării: generalizează formulele de înmulțire prescurtate și arată aplicarea lor la rezolvarea problemelor.

Sarcini:

1) studiază și sistematizează informațiile despre această problemă;

2) analizați exemple de probleme folosind binomul lui Newton și formulele pentru suma și diferența de puteri.

Obiecte de studiu: Binomul lui Newton, formule pentru sume și diferențe de puteri.

Metode de cercetare:

Lucrați cu literatură educațională și populară, resurse de pe Internet.

Calcule, comparație, analiză, analogie.

Relevanţă. O persoană trebuie adesea să se confrunte cu probleme în care trebuie să numere numărul tuturor modalităților posibile de plasare a unor obiecte sau numărul tuturor modalităților posibile de a efectua o acțiune. Diferitele căi sau opțiuni pe care o persoană trebuie să le aleagă se adaugă la o mare varietate de combinații. Și o întreagă ramură a matematicii, numită combinatorică, este ocupată să caute răspunsuri la întrebările: câte combinații există într-un caz dat?

Reprezentanții multor specialități au de-a face cu cantități combinatorii: chimist, biolog, proiectant, dispecer etc. Interesul sporit pentru combinatorică a fost cauzat recent de dezvoltarea rapidă a ciberneticii și tehnologiei informatice.

Introducere

Când vor să sublinieze că interlocutorul exagerează complexitatea problemelor cu care se confruntă, ei spun: „Îmi place și binomul lui Newton!” Se spune, iată binomul lui Newton, este complicat, dar ce probleme aveți! Chiar și acei oameni ale căror interese nu au nimic de-a face cu matematica au auzit despre binomul lui Newton.

Cuvântul „binom” înseamnă binom, adică. suma a doi termeni. Așa-numitele formule de înmulțire abreviate sunt cunoscute din cursul școlar:

( A+ b) 2 =a 2 + 2ab + b 2 , (a + b) 3 =a 3 +3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .

O generalizare a acestor formule este o formulă numită formula binomială a lui Newton. Formulele pentru factorizarea diferențelor de pătrate, sume și diferențe de cuburi sunt de asemenea folosite în școală. Se generalizează la alte grade? Da, există astfel de formule, ele sunt adesea folosite în rezolvarea diferitelor probleme: dovedirea divizibilității, reducerea fracțiilor, calcule aproximative.

Studierea formulelor de generalizare dezvoltă gândirea deductiv-matematică și abilitățile de gândire generală.

SECȚIUNEA 1. FORMULA BINOMALA LUI NEWTON

Combinații și proprietățile lor

Fie X o mulțime formată din n elemente. Orice submulțime Y a unei mulțimi X care conține k elemente se numește o combinație de k elemente din n, cu k ≤ n.

Numărul de combinații diferite de k elemente din n este notat cu C n k. Una dintre cele mai importante formule ale combinatoriei este următoarea formulă pentru numărul C n k:

Se poate scrie, după abrevieri evidente, astfel:

În special,

Acest lucru este destul de în concordanță cu faptul că în mulțimea X există doar un submult de 0 elemente - submulțimea goală.

Numerele C n k au o serie de proprietăți remarcabile.

Formula este corectă: С n k = С n - k n , (3)

Semnificația formulei (3) este că există o corespondență unu-la-unu între mulțimea tuturor k submulțimii de membri ai lui X și mulțimea tuturor (n - k) submulțimii de membri ai lui X: pentru a stabili această corespondență, este suficient pentru fiecare submulțime k-membri a lui Y să-și compare complementul în mulțimea X.

Formula corectă este С 0 n + С 1 n + С 2 n + … + С n n = 2 n (4)

Suma din partea stângă exprimă numărul tuturor submulților ale mulțimii X (C 0 n este numărul de submulțimi cu 0 membri, C 1 n este numărul de submulțimi cu un singur membru etc.).

Pentru orice k, 1≤ k≤ n, egalitatea este adevărată

C k n = C n -1 k + C n -1 k -1 (5)

Această egalitate este ușor de obținut folosind formula (1). Într-adevăr,

1.2. Derivarea formulei binomiale a lui Newton

Luați în considerare puterile binomului un +b .

n = 0, (a +b ) 0 = 1

n = 1, (a +b ) 1 = 1a+1b

n = 2,(a +b ) 2 = 1a 2 + 2ab +1 b 2

n = 3,(a +b ) 3 = 1 a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 +1 b 3

n = 4,(a +b ) 4 = 1a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 +4ab 3 +1 b 4

n = 5,(a +b ) 5 = 1a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + 1 b 5

Să notăm următoarele modele:

Numărul de termeni ai polinomului rezultat este cu unul mai mare decât exponentul binomului;

Exponentul primului termen scade de la n la 0, exponentul celui de-al doilea termen crește de la 0 la n;

Gradele tuturor monomiilor sunt egale cu gradul binomului din condiție;

Fiecare monom este produsul primei și celei de-a doua expresii în diferite puteri și un anumit număr - un coeficient binom;

Coeficienții binomi echidistanți de la începutul și sfârșitul expansiunii sunt egali.

O generalizare a acestor formule este următoarea formulă, numită formulă binomială a lui Newton:

(A + b ) n = C 0 n A n b 0 + C 1 n A n -1 b + C 2 n A n -2 b 2 + ... + C n -1 n ab n -1 + C n n A 0 b n . (6)

În această formulă n poate fi orice număr natural.

Să derivăm formula (6). În primul rând, să scriem:

(A + b ) n = (A + b )(A + b ) ... (A + b ), (7)

unde numărul de paranteze care trebuie înmulțit este egal cu n. Din regula uzuală a înmulțirii unei sume cu o sumă rezultă că expresia (7) este egală cu suma tuturor produselor posibile, care poate fi compusă astfel: orice termen al primei sume a + bînmulțit cu orice termen al celei de-a doua sume a+b, la orice termen al sumei a treia etc.

Din cele de mai sus reiese clar că termenul din expresia pentru (A + b ) n corespund (unu-la-unu) șirurilor de lungime n compuse din litere a și b. Printre termeni vor fi termeni similari; este evident că astfel de membri corespund șirurilor care conțin același număr de litere A. Dar numărul de linii care conțin exact k ori litera A, este egal cu C n k . Aceasta înseamnă că suma tuturor termenilor care conțin litera a cu un factor de exact k ori este egală cu C n k A n - k b k . Deoarece k poate lua valori 0, 1, 2, ..., n-1, n, atunci formula (6) rezultă din raționamentul nostru. Rețineți că (6) poate fi scris mai scurt: (8)

Deși formula (6) se numește după Newton, de fapt a fost descoperită chiar înainte de Newton (de exemplu, Pascal o știa). Meritul lui Newton constă în faptul că a găsit o generalizare a acestei formule pentru cazul exponenților neîntregi. Era I. Newton în 1664-1665. a derivat o formulă care exprimă gradul de binom pentru exponenți fracționali și negativi arbitrari.

Numerele C 0 n, C 1 n, ..., C n n incluse în formula (6) se numesc de obicei coeficienți binomi, care sunt definiți după cum urmează:

Din formula (6) se pot obține o serie de proprietăți ale acestor coeficienți. De exemplu, presupunând A=1, b = 1, obținem:

2 n = C 0 n + C 1 n + C 2 n + C 3 n + ... + C n n,

acestea. formula (4). Daca pui A= 1, b = -1, atunci vom avea:

0 = C 0 n - C 1 n + C 2 n - C 3 n + ... + (-1) n C n n

sau C 0 n + C 2 n + C 4 n + ... = C 1 n + C 3 n + + C 5 n + ... .

Aceasta înseamnă că suma coeficienților termenilor pari ai expansiunii este egală cu suma coeficienților termenilor impari ai expansiunii; fiecare dintre ele este egal cu 2 n -1 .

Coeficienții termenilor echidistanți de capetele expansiunii sunt egali. Aceste proprietăți rezultă din relația: C n k = C n n - k

Un caz special interesant

(x + 1) n = C 0 n x n + C 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + C n n x 0

sau mai scurt (x +1) n = ∑C n k x n - k .

1.3. Teorema polinomială

Teorema.

Dovada.

Pentru a obține un monom după deschiderea parantezelor, trebuie să selectați acele paranteze din care este luat, acele paranteze din care este luat etc. si acele paranteze din care este luata. Coeficientul acestui monom după aducerea unor termeni similari este egal cu numărul de moduri în care se poate face o astfel de alegere. Primul pas al secvenței alegerilor poate fi efectuat în moduri, al doilea pas - în, al treilea - etc., al treilea pas - în moduri. Coeficientul necesar este egal cu produsul

SECȚIUNEA 2. Derivate de ordin superior.

Conceptul de derivate de ordin superior.

Fie ca funcția să fie diferențiabilă într-un anumit interval. Apoi, derivatul său, în general vorbind, depinde de X, adică este o funcție a X. În consecință, în raport cu acesta, se poate ridica din nou problema existenței unui derivat.

Definiție . Derivata primei derivate se numeste derivată de ordinul doi sau derivată a doua și se notează prin simbolul sau, adică

Definiție . Derivata derivatei a doua se numeste derivata de ordinul trei sau derivata a treia si se noteaza prin simbolul sau.

Definiție . Derivatn -a ordine funcții se numește prima derivată a derivatei (n -1) de ordinul acestei funcții și este notat cu simbolul sau:

Definiție . Se numesc derivate de ordin mai mare decât prima derivate superioare.

cometariu. În mod similar, putem obține formula n--a derivata a functiei:

Derivată a doua a unei funcții definite parametric

Dacă o funcție este dată parametric prin ecuații, atunci pentru a găsi derivata de ordinul doi este necesar să se diferențieze expresia derivatei sale ca o funcție complexă a variabilei independente.

De atunci

si tinand cont de asta,

Înțelegem, adică.

A treia derivată poate fi găsită în mod similar.

Diferenţial de sumă, produs şi coeficient.

Întrucât diferența se obține din derivată prin înmulțirea acesteia cu diferența variabilei independente, atunci, cunoscând derivatele funcțiilor elementare de bază, precum și regulile de găsire a derivatelor, se poate ajunge la reguli similare pentru găsirea diferențialelor.

1 0 . Diferenţialul constantei este zero.

2 0 . Diferenţialul unei sume algebrice a unui număr finit de funcţii diferenţiabile este egală cu suma algebrică a diferenţialelor acestor funcţii .

3 0 . Diferenţialul produsului a două funcţii diferenţiabile este egal cu suma produselor primei funcţii prin diferenţialul celei de-a doua şi celei de-a doua funcţii prin diferenţialul primei .

Consecinţă. Multiplicatorul constant poate fi scos din semnul diferenţial.

2.3. Funcții definite parametric, diferențierea lor.

Definiție . Se spune că o funcție este specificată parametric dacă ambele variabile X Și y sunt definite fiecare separat ca funcții cu o singură valoare ale aceleiași variabile auxiliare - parametrut :

Undet variază în interiorul.

cometariu . Să prezentăm ecuațiile parametrice ale unui cerc și ale unei elipse.

a) Cerc cu centrul la origine și rază r are ecuații parametrice:

b) Să scriem ecuațiile parametrice pentru elipsă:

Prin excluderea parametrului t Din ecuațiile parametrice ale dreptelor luate în considerare, se poate ajunge la ecuațiile lor canonice.

Teorema . Dacă funcţia y din argument x este dat parametric de ecuații în care și sunt diferențiabile în raport cut funcții și apoi.

2.4. formula Leibniz

Pentru a găsi derivata n de ordinul al treilea al produsului a două funcții, formula lui Leibniz are o mare importanță practică.

Lăsa uȘi v- unele funcţii dintr-o variabilă X, având derivate de orice ordin și y = uv. Să ne exprimăm n-derivata prin derivate de functii uȘi v .

Avem în mod constant

Este ușor de observat analogia dintre expresiile pentru derivatele a doua și a treia și extinderea binomului lui Newton în a doua și, respectiv, a treia putere, dar în loc de exponenți există numere care determină ordinea derivatei și funcțiile în sine. pot fi considerate „derivate de ordin zero”. Ținând cont de acest lucru, obținem formula lui Leibniz:

Această formulă poate fi dovedită prin inducție matematică.

SECȚIUNEA 3. APLICAREA FORMULEI LEIBNITZ.

Pentru a calcula derivata oricărui ordin din produsul a două funcții, ocolind aplicarea secvențială a formulei de calcul a derivatei produsului a două funcții, utilizați formula Leibniz.

Folosind această formulă, vom lua în considerare exemple de calcul a derivatei de ordinul al n-lea a produsului a două funcții.

Exemplul 1.

Găsiți derivata de ordinul doi a unei funcții

Conform definiției, a doua derivată este prima derivată a primei derivate, adică

Prin urmare, găsim mai întâi derivata de ordinul întâi a funcției date conform reguli de diferențiere si folosind tabelul derivatelor:

Acum să găsim derivata derivatei de ordinul întâi. Aceasta va fi derivata de ordinul doi dorită:

Răspuns:

Exemplul 2.

Aflați derivata de ordinul al-lea a unei funcții

Soluţie.

Vom găsi succesiv derivate ale primei, a doua, a treia și așa mai departe ordine ale unei funcții date pentru a stabili un model care poate fi generalizat la derivata-a.

Găsim derivata de ordinul întâi ca derivată a coeficientului:

Aici expresia se numește factorial unui număr. Factorialul unui număr este egal cu produsul numerelor de la unu la, adică

Derivată de ordinul doi este derivata întâi a derivatei întâi, adică

Derivată de ordinul trei:

Derivata a patra:

Observați modelul: la numărător există un factorial al unui număr care este egal cu ordinul derivatei, iar la numitor expresia puterii este cu unul mai mare decât ordinul derivatei, adică

Răspuns.

Exemplul 3.

Găsiți valoarea derivatei a treia a funcției într-un punct.

Soluţie.

Conform tabelul derivatelor de ordin superior, avem:

În exemplul luat în considerare, adică obținem

Rețineți că un rezultat similar ar putea fi obținut prin găsirea secvenţială a derivatelor.

La un punct dat, derivata a treia este egală cu:

Răspuns:

Exemplul 4.

Găsiți derivata a doua a unei funcții

Soluţie. Mai întâi, să găsim prima derivată:

Pentru a găsi derivata a doua, diferențiam din nou expresia pentru derivata întâi:

Răspuns:

Exemplul 5.

Găsiți dacă

Deoarece funcția dată este un produs al două funcții, pentru a găsi derivata de ordinul al patrulea ar fi recomandabil să aplicați formula Leibniz:

Să găsim toate derivatele și să calculăm coeficienții termenilor.

1) Să calculăm coeficienții termenilor:

2) Aflați derivatele funcției:

3) Aflați derivatele funcției:

Răspuns:

Exemplul 6.

Având în vedere funcția y=x 2 cos3x. Găsiți derivata de ordinul trei.

Fie u=cos3x , v=x 2 . Apoi, folosind formula lui Leibniz, găsim:

Derivatele din această expresie au forma:

(cos3x)′=−3sin3x,

(cos3x)′′=(−3sin3x)′=−9cos3x,

(cos3x)′′′=(−9cos3x)′=27sin3x,

(x2)′=2x,

(x2)′′=2,

(x2)′′′=0.

Prin urmare, derivata a treia a funcției date este egală cu

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2+3 ⋅ (−9cos3x) ⋅ 2x+3 ⋅ (−3sin3x) ⋅ 2+1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2sin3x−54xcos3x−18sin3x=(27x2−18)sin3x−54xcos3x.

Exemplul 7.

Găsiți derivata n funcția de ordine y=x 2 cosx.

Să folosim formula lui Leibniz, presupunându=cosx, v=x 2 . Apoi

Termenii rămași ai seriei sunt egali cu zero, deoarece(x2)(i)=0 pentru i>2.

Derivat n ordinul al-lea al funcției cosinus:

Prin urmare, derivata funcției noastre este egală cu

CONCLUZIE

La școală se studiază și se folosesc așa-numitele formule de înmulțire prescurtate: pătrate și cuburi ale sumei și diferenței a două expresii și formule de factorizare a diferenței de pătrate, suma și diferența de cuburi a două expresii. O generalizare a acestor formule este formula numită formula binomială a lui Newton și formula de factorizare a sumei și diferenței de puteri. Aceste formule sunt adesea folosite în rezolvarea diferitelor probleme: demonstrarea divizibilității, reducerea fracțiilor, calcule aproximative. Sunt luate în considerare proprietăți interesante ale triunghiului lui Pascal, care sunt strâns legate de binomul lui Newton.

Lucrarea sistematizează informațiile despre subiect, oferă exemple de probleme folosind binomul lui Newton și formule pentru suma și diferența de puteri. Lucrarea poate fi folosită în munca unui cerc matematic, precum și pentru auto-studiu cei care sunt interesați de matematică.

LISTA SURSELOR UTILIZATE

1.Vilenkin N.Ya. Combinatorică.- ed. "Știința". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebra și începutul analizei matematice. Clasa a X-a: manual. pentru învăţământul general organizații niveluri de bază și avansate - M.: Prosveshchenie, 2014. - 431 p.

3. Rezolvarea problemelor de statistică, combinatorică și teoria probabilităților. 7-9 clase / autor - compilator V.N. Studenetskaya. - ed. 2, revizuit, - Volgograd: Profesor, 2009.

4. Savushkina I.A., Khugaev K.D., Tishkin S.B. Ecuații algebrice grade superioare/manual metodologic pentru studenții catedrei pregătitoare interuniversitare. - Sankt Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Curs opțional de matematică: Rezolvarea problemelor. Manual pentru clasa a X-a. liceu. - M.: Educaţie, 1989.

6.Știință și viață, binomul lui Newton și triunghiul lui Pascal[Resursă electronică]. - Mod de acces: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/

Formula lui Leibniz este dată pentru al n-lea calcul derivată a produsului a două funcții. Dovada sa este dată în două moduri. Este luat în considerare un exemplu de calcul al derivatei de ordinul n-lea.

Conţinut

Vezi si: Derivată a produsului a două funcții

formula Leibniz

Folosind formula lui Leibniz, puteți calcula derivata de ordinul n-a a produsului a două funcții. Arata cam asa:
(1) ,
Unde
- coeficienţi binomiali.

Coeficienții binomi sunt coeficienții expansiunii unui binom în puteri și:
.
De asemenea, numărul este numărul de combinații de la n la k.

Dovada formulei lui Leibniz

Aplicabil formula pentru derivata produsului a două funcții :
(2) .
Să rescriem formula (2) în următoarea formă:
.
Adică considerăm că o funcție depinde de variabila x, iar cealaltă de variabila y. La finalul calculului presupunem . Apoi formula anterioară poate fi scrisă după cum urmează:
(3) .
Deoarece derivata este egală cu suma termenilor și fiecare termen este produsul a două funcții, atunci pentru a calcula derivate de ordin superior, regula (3) poate fi aplicată în mod consecvent.

Atunci pentru derivata de ordinul n-a avem:

.
Având în vedere că și , obținem formula lui Leibniz:
(1) .

Dovada prin inducție

Să prezentăm o demonstrație a formulei lui Leibniz folosind metoda inducției matematice.

Să scriem încă o dată formula lui Leibniz:
(4) .
Pentru n = 1 avem:
.
Aceasta este formula pentru derivata produsului a două funcții. E corectă.

Să presupunem că formula (4) este valabilă pentru derivata de ordinul n-lea. Să demonstrăm că este valabil pentru derivata n + 1 -a ordine.

Să facem diferența (4):
;



.
Așa că am găsit:
(5) .

Să înlocuim în (5) și să luăm în considerare faptul că:

.
Aceasta arată că formula (4) are aceeași formă pentru derivata n + 1 -a ordine.

Deci, formula (4) este valabilă pentru n = 1 . Din ipoteza că este valabil pentru un număr n = m rezultă că este valabil pentru n = m + 1 .
Formula lui Leibniz a fost dovedită.

Exemplu

Calculați derivata a n-a a unei funcții
.

Să aplicăm formula lui Leibniz
(2) .
În cazul nostru
;
.

De tabel de derivate avem:
.
Aplicam proprietățile funcțiilor trigonometrice :
.
Apoi
.
Aceasta arată că diferențierea funcției sinus duce la deplasarea acesteia cu . Apoi
.

Găsirea derivatelor funcției.
;
;
;
, .

Deoarece pentru , atunci în formula lui Leibniz numai primii trei termeni sunt nenuli. Găsirea coeficienților binomi.
;
.

Conform formulei lui Leibniz avem:

.

Vezi si:

Rezolvarea problemelor aplicate se rezumă la calcularea integralei, dar nu este întotdeauna posibil să se facă acest lucru cu precizie. Uneori este necesar să se cunoască valoarea unei anumite integrale cu un anumit grad de precizie, de exemplu, până la miimea.

Există probleme când ar fi necesar să se găsească valoarea aproximativă a unei anumite integrale cu acuratețea necesară, apoi se utilizează integrarea numerică precum metoda Simposny, trapezele și dreptunghiurile. Nu toate cazurile ne permit să o calculăm cu o anumită precizie.

Acest articol examinează aplicarea formulei Newton-Leibniz. Acest lucru este necesar pentru calculul precis al integralei definite. Vom da exemple detaliate, vom lua în considerare modificările variabilei în integrala definită și vom găsi valorile integralei definite atunci când integrăm pe părți.

formula Newton-Leibniz

Definiția 1

Când funcţia y = y (x) este continuă din intervalul [ a ; b ] , iar F (x) este una dintre antiderivatele funcției acestui segment, atunci formula Newton-Leibniz considerat corect. Să o scriem astfel: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Această formulă este luată în considerare formula de bază a calculului integral.

Pentru a produce o demonstrație a acestei formule, este necesar să se utilizeze conceptul de integrală cu o limită superioară variabilă disponibilă.

Când funcţia y = f (x) este continuă din intervalul [ a ; b ], atunci valoarea argumentului x ∈ a; b , iar integrala are forma ∫ a x f (t) d t și este considerată o funcție a limitei superioare. Este necesar să luăm notația funcției va lua forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , este continuă, iar o inegalitate de forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) este valabil pentru aceasta.

Să fixăm că incrementul funcției Φ (x) corespunde incrementului argumentului ∆ x , este necesar să folosim a cincea proprietate principală a integralei definite și obținem

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f (c) ∆ x

unde valoarea c ∈ x; x + ∆ x .

Să fixăm egalitatea sub forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Prin definiția derivatei unei funcții, este necesar să mergem la limita ca ∆ x → 0, apoi obținem o formulă de forma Φ " (x) = f (x). Constatăm că Φ (x) este una dintre antiderivatele pentru o functie de forma y = f (x), situata pe [a;b].In caz contrar expresia se poate scrie

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, unde valoarea lui C este constantă.

Să calculăm F (a) folosind prima proprietate a integralei definite. Atunci obținem asta

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, deci obținem că C = F (a). Rezultatul este aplicabil la calcularea F (b) și obținem:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), cu alte cuvinte, F (b) = ∫ a b f (t) d t + F (a). Egalitatea este demonstrată prin formula Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Luăm incrementul funcției ca F x a b = F (b) - F (a) . Folosind notația, formula Newton-Leibniz ia forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Pentru aplicarea formulei, este necesar să se cunoască una dintre antiderivatele y = F (x) ale funcției integrand y = f (x) din segmentul [ a ; b ], se calculează incrementul antiderivatei din acest segment. Să ne uităm la câteva exemple de calcule folosind formula Newton-Leibniz.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 1 3 x 2 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Se consideră că integrandul de forma y = x 2 este continuu din intervalul [ 1 ; 3 ], atunci este integrabil pe acest interval. Din tabelul de integrale nedefinite vedem că funcția y = x 2 are un set de antiderivate pentru toate valorile reale ale lui x, ceea ce înseamnă x ∈ 1; 3 se va scrie ca F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Este necesar să luăm antiderivată cu C = 0, atunci obținem că F (x) = x 3 3.

Folosim formula Newton-Leibniz și aflăm că calculul integralei definite ia forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Răspuns:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Exemplul 2

Calculați integrala definită ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x folosind formula Newton-Leibniz.

Soluţie

Funcția dată este continuă din intervalul [-1; 2 ], ceea ce înseamnă că este integrabil pe el. Este necesar să găsim valoarea integralei nedefinite ∫ x · e x 2 + 1 d x folosind metoda de subsumare sub semnul diferențial, apoi obținem ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Avem deci o mulțime de antiderivate ale funcției y = x · e x 2 + 1, care sunt valabile pentru tot x, x ∈ - 1; 2.

Este necesar să se ia antiderivată la C = 0 și să se aplice formula Newton-Leibniz. Apoi obținem o expresie a formei

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Răspuns:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Exemplul 3

Calculați integralele ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x și ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluţie

Segment - 4; - 1 2 spune că funcția sub semnul integral este continuă, ceea ce înseamnă că este integrabilă. De aici găsim mulțimea de antiderivate ale funcției y = 4 x 3 + 2 x 2. Înțelegem asta

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

Este necesar să luăm antiderivată F (x) = 2 x 2 - 2 x, apoi, aplicând formula Newton-Leibniz, obținem integrala, pe care o calculăm:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Se trece la calculul integralei a doua.

Din segmentul [ - 1 ; 1 ] avem că integrandul este considerat nemărginit, deoarece lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , atunci rezultă că o condiție necesară pentru integrabilitatea din segment. Atunci F (x) = 2 x 2 - 2 x nu este antiderivată pentru y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ], întrucât punctul O aparține segmentului, dar nu este inclus în domeniul definiției. Aceasta înseamnă că există o integrală definită Riemann și Newton-Leibniz pentru funcția y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ] .

Răspuns: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , există o integrală definită Riemann şi Newton-Leibniz pentru funcţia y = 4 x 3 + 2 x 2 din intervalul [ - 1 ; 1 ] .

Înainte de a utiliza formula Newton-Leibniz, trebuie să știți exact despre existența unei integrale definite.

Schimbarea unei variabile într-o integrală definită

Când funcţia y = f (x) este definită şi continuă din intervalul [ a ; b], apoi setul disponibil [a; b] este considerat a fi domeniul de valori al funcției x = g (z), definit pe segmentul α; β cu derivata continuă existentă, unde g (α) = a și g β = b, obținem din aceasta că ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Această formulă este folosită atunci când trebuie să calculați integrala ∫ a b f (x) d x, unde integrala nedefinită are forma ∫ f (x) d x, o calculăm folosind metoda substituției.

Exemplul 4

Calculați o integrală definită de forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluţie

Funcția integrand este considerată continuă pe intervalul de integrare, ceea ce înseamnă că există o integrală definită. Să dăm notația că 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Valoarea x = 9 înseamnă că z = 2 9 - 9 = 9 = 3, iar pentru x = 18 obținem că z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, atunci g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Când înlocuim valorile obținute în formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z obținem că

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Conform tabelului de integrale nedefinite, avem că una dintre antiderivatele funcției 2 z 2 + 9 ia valoarea 2 3 a r c t g z 3 . Apoi, la aplicarea formulei Newton-Leibniz, obținem că

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 - a r c t g 3 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1 = - 2 π 1 π 1

Constatarea ar putea fi făcută fără a folosi formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Dacă folosind metoda înlocuirii folosim o integrală de forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, atunci putem ajunge la rezultatul ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

De aici vom efectua calcule folosind formula Newton-Leibniz și vom calcula integrala definită. Înțelegem asta

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 3 - a π 3 - a π 3 = π 18

Rezultatele au fost aceleași.

Răspuns: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrarea pe părți la calcularea unei integrale definite

Dacă pe segmentul [ a ; b ] funcțiile u (x) și v (x) sunt definite și continue, atunci derivatele lor de ordinul întâi v " (x) · u (x) sunt integrabile, deci din acest segment pentru funcția integrabilă u " (x) · v ( x) egalitatea ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x este adevărată.

Formula poate fi folosită atunci, este necesar să se calculeze integrala ∫ a b f (x) d x, iar ∫ f (x) d x a fost necesar să se caute folosind integrarea pe părți.

Exemplul 5

Calculați integrala definită ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluţie

Funcția x · sin x 3 + π 6 este integrabilă pe intervalul - π 2 ; 3 π 2, ceea ce înseamnă că este continuă.

Fie u (x) = x, apoi d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x și d (u (x)) = u " (x) d x = d x, și v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Din formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x obținem că

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 - sin - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

Exemplul poate fi rezolvat în alt mod.

Găsiți mulțimea de antiderivate ale funcției x · sin x 3 + π 6 folosind integrarea prin părți folosind formula Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3 π 4 + 9 3 2

Răspuns: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter