Përcaktimi i masës së shkallës së një këndi: i mprehtë, i drejtë, i mpirë. Këndi i mpirë. Llojet e këndeve dhe gjeometria

Në këtë artikull do të analizojmë në mënyrë gjithëpërfshirëse një nga format themelore gjeometrike - një kënd. Le të fillojmë me koncepte dhe përkufizime ndihmëse që do të na çojnë në përcaktimin e një këndi. Pas kësaj, ne paraqesim mënyrat e pranuara të përcaktimit të këndeve. Më pas, ne do të shikojmë në detaje procesin e matjes së këndeve. Si përfundim, ne do të tregojmë se si mund të shënoni qoshet në vizatim. Të gjithë teorinë e kemi siguruar me vizatimet dhe ilustrimet grafike të nevojshme për memorizimin më të mirë të materialit.

Navigimi i faqes.

Përkufizimi i këndit.

Këndi është një nga figurat më të rëndësishme në gjeometri. Përkufizimi i një këndi jepet përmes përkufizimit të një rrezeje. Nga ana tjetër, një ide e një rrezeje nuk mund të merret pa njohuri për figura të tilla gjeometrike si një pikë, një vijë e drejtë dhe një plan. Prandaj, përpara se të njiheni me përkufizimin e një këndi, ju rekomandojmë të freskoni teorinë nga seksionet dhe.

Pra, do të nisemi nga konceptet e një pike, një vijë në një rrafsh dhe një plan.

Le të japim fillimisht përkufizimin e një rrezeje.

Le të na jepet një vijë e drejtë në aeroplan. Le ta shënojmë me shkronjën a. Le të jetë O një pikë e drejtëzës a. Pika O e ndan vijën a në dy pjesë. Secila nga këto pjesë, së bashku me pikën O, quhet rreze, dhe pika O quhet fillimi i rrezes. Ju gjithashtu mund të dëgjoni se si quhet rreze gjysmë i drejtpërdrejtë.

Për shkurtësi dhe lehtësi, u prezantua shënimi i mëposhtëm për rrezet: një rreze shënohet ose me një shkronjë të vogël latine (për shembull, rreze p ose rreze k), ose me dy shkronja të mëdha latine, e para prej të cilave korrespondon me fillimin e rrezja, dhe e dyta tregon një pikë të kësaj rreze (për shembull, rreze OA ose rreze CD). Le të tregojmë imazhin dhe përcaktimin e rrezeve në vizatim.

Tani mund të japim përkufizimin e parë të një këndi.

Përkufizimi.

Këndi- kjo është një figurë gjeometrike e sheshtë (d.m.th., e shtrirë tërësisht në një plan të caktuar), e cila përbëhet nga dy rreze divergjente me një origjinë të përbashkët. Secila prej rrezeve quhet anën e këndit, quhet origjina e përbashkët e brinjëve të një këndi kulmi i këndit.

Është e mundur që anët e një këndi të formojnë një vijë të drejtë. Ky kënd ka emrin e vet.

Përkufizimi.

Nëse të dyja anët e një këndi shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë një kënd i tillë quhet zgjeruar.

Ne paraqesim në vëmendjen tuaj një ilustrim grafik të një këndi të rrotulluar.

Për të treguar një kënd, përdorni ikonën e këndit "". Nëse anët e një këndi përcaktohen me shkronja të vogla latine (për shembull, njëra anë e këndit është k, dhe tjetra është h), atëherë për të përcaktuar këtë kënd, pas ikonës së këndit, shkronjat që korrespondojnë me anët shkruhen në një rresht, dhe rendi i shkrimit nuk ka rëndësi (domethënë ose). Nëse anët e një këndi përcaktohen me dy shkronja të mëdha latine (për shembull, njëra anë e këndit është OA, dhe ana e dytë e këndit është OB), atëherë këndi caktohet si më poshtë: pas ikonës së këndit, tre shkruhen shkronja që janë të përfshira në përcaktimin e anëve të këndit, dhe shkronja që korrespondon me kulmin e këndit ndodhet në mes (në rastin tonë, këndi do të caktohet si ose ). Nëse kulmi i një këndi nuk është kulmi i një këndi tjetër, atëherë një kënd i tillë mund të shënohet me një shkronjë që korrespondon me kulmin e këndit (për shembull, ). Ndonjëherë mund të shihni se këndet në vizatime janë shënuar me numra (1, 2, etj.), Këto kënde janë caktuar si dhe kështu me radhë. Për qartësi, ne paraqesim një vizatim në të cilin këndet përshkruhen dhe tregohen.

Çdo kënd e ndan rrafshin në dy pjesë. Për më tepër, nëse këndi nuk është i kthyer, atëherë quhet një pjesë e aeroplanit zona e këndit të brendshëm, dhe tjetra - zona e këndit të jashtëm. Imazhi i mëposhtëm shpjegon se cila pjesë e aeroplanit korrespondon me zonën e brendshme të këndit dhe cila me atë të jashtme.

Secila nga dy pjesët në të cilat këndi i shpalosur ndan rrafshin mund të konsiderohet rajoni i brendshëm i këndit të shpalosur.

Përcaktimi i rajonit të brendshëm të një këndi na sjell në përkufizimin e dytë të një këndi.

Përkufizimi.

Këndiështë një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze divergjente me origjinë të përbashkët dhe zonën e brendshme përkatëse të këndit.

Duhet të theksohet se përkufizimi i dytë i këndit është më i rreptë se i pari, pasi përmban më shumë kushte. Megjithatë, përkufizimi i parë i këndit nuk duhet të hidhet poshtë dhe as përkufizimi i parë dhe i dytë i këndit nuk duhet të konsiderohen veçmas. Le ta sqarojmë këtë pikë. Kur flasim për një kënd si figurë gjeometrike, atëherë një kënd kuptohet si një figurë e përbërë nga dy rreze me origjinë të përbashkët. Nëse ka nevojë për të kryer ndonjë veprim me këtë kënd (për shembull, matja e një këndi), atëherë këndi duhet kuptuar tashmë si dy rreze me një fillim të përbashkët dhe një zonë të brendshme (përndryshe do të lindte një situatë e dyfishtë për shkak të prania e zonave të brendshme dhe të jashtme të këndit).

Le të japim edhe përkufizime të këndeve ngjitur dhe vertikale.

Përkufizimi.

Kënde ngjitur- këto janë dy kënde në të cilat njëra anë është e përbashkët, dhe dy të tjerat formojnë një kënd të shpalosur.

Nga përkufizimi del se këndet ngjitur plotësojnë njëri-tjetrin derisa këndi të kthehet.

Përkufizimi.

Kënde vertikale- këto janë dy kënde në të cilat brinjët e njërit kënd janë vazhdimësi e brinjëve të tjetrit.

Figura tregon kënde vertikale.

Natyrisht, dy vija të kryqëzuara formojnë katër palë kënde ngjitur dhe dy palë kënde vertikale.

Krahasimi i këndeve.

Në këtë paragraf të artikullit do të kuptojmë përkufizimet e këndeve të barabarta dhe të pabarabarta dhe gjithashtu në rastin e këndeve të pabarabarta do të shpjegojmë se cili kënd konsiderohet më i madh dhe cili më i vogël.

Kujtojmë se dy figura gjeometrike quhen të barabarta nëse mund të kombinohen me mbivendosje.

Le të na jepen dy kënde. Le të japim disa arsyetime që do të na ndihmojnë të marrim një përgjigje për pyetjen: "A janë këto dy kënde të barabarta apo jo?"

Natyrisht, ne gjithmonë mund të përputhim kulmet e dy qosheve, si dhe njërën anë të këndit të parë me secilën anë të këndit të dytë. Le të rreshtojmë anën e këndit të parë me atë anë të këndit të dytë në mënyrë që anët e mbetura të këndeve të jenë në të njëjtën anë të vijës së drejtë në të cilën shtrihen anët e kombinuara të këndeve. Pastaj, nëse dy anët e tjera të këndeve përkojnë, atëherë quhen këndet të barabartë.

Nëse dy anët e tjera të këndeve nuk përkojnë, atëherë quhen këndet të pabarabartë, dhe më të vogla konsiderohet këndi që është pjesë e një tjetri ( i madhështë këndi që përmban plotësisht një kënd tjetër).

Natyrisht, dy këndet e drejta janë të barabarta. Është gjithashtu e qartë se një kënd i zhvilluar është më i madh se çdo kënd i pazhvilluar.

Matja e këndeve.

Matja e këndeve bazohet në krahasimin e këndit që matet me këndin e marrë si njësi matëse. Procesi i matjes së këndeve duket kështu: duke filluar nga njëra nga anët e këndit që matet, zona e brendshme e tij mbushet në mënyrë sekuenciale me kënde të vetme, duke i vendosur ato fort pranë njëri-tjetrit. Në të njëjtën kohë, mbahet mend numri i këndeve të vendosura, i cili jep masën e këndit të matur.

Në fakt, çdo kënd mund të adoptohet si njësi matëse për këndet. Sidoqoftë, ka shumë njësi të pranuara përgjithësisht të këndeve matëse që lidhen me fusha të ndryshme të shkencës dhe teknologjisë, ato kanë marrë emra të veçantë.

Një nga njësitë për matjen e këndeve është shkallë.

Përkufizimi.

Një shkallë- ky është një kënd i barabartë me njëqind e tetëdhjetën e këndit të kthyer.

Një shkallë shënohet me simbolin "", prandaj një shkallë shënohet si .

Kështu, në një kënd të rrotulluar mund të vendosim 180 kënde në një shkallë. Do të duket si një gjysmë byreku e rrumbullakët e prerë në 180 pjesë të barabarta. Shumë e rëndësishme: "copat e byrekut" përshtaten fort së bashku (d.m.th., anët e qosheve janë të rreshtuara), me anën e këndit të parë të lidhur me njërën anë të këndit të shpalosur dhe anën e këndit të fundit të njësisë. përkon me anën tjetër të këndit të shpalosur.

Kur matni këndet, zbuloni se sa herë është vendosur një shkallë (ose njësi tjetër matëse e këndeve) në këndin që matet derisa zona e brendshme e këndit që matet të mbulohet plotësisht. Siç e kemi parë tashmë, në një kënd të rrotulluar shkalla është saktësisht 180 herë. Më poshtë janë shembuj të këndeve në të cilët një kënd prej një gradë përshtatet saktësisht 30 herë (një kënd i tillë është një e gjashta e këndit të shpalosur) dhe saktësisht 90 herë (gjysma e këndit të shpalosur).

Për të matur këndet më të vogla se një shkallë (ose njësi tjetër matëse të këndeve) dhe në rastet kur këndi nuk mund të matet me një numër të plotë gradësh (njësi matëse të marra), është e nevojshme të përdoren pjesë të një shkalle (pjesë të njësitë e marra matëse). Disa pjesë të një diplome u jepen emra të veçantë. Më të zakonshmet janë të ashtuquajturat minuta dhe sekonda.

Përkufizimi.

Minutaështë një e gjashtëdhjeta e shkallës.

Përkufizimi.

Së dytiështë një e gjashtëdhjetë e minutës.

Me fjalë të tjera, ka gjashtëdhjetë sekonda në një minutë, dhe gjashtëdhjetë minuta në një shkallë (3600 sekonda). Simboli "" përdoret për të treguar minutat, dhe simboli "" përdoret për të treguar sekondat (mos e ngatërroni me shenjat e derivatit dhe të derivatit të dytë). Pastaj, me përkufizimet dhe shënimet e prezantuara, kemi , dhe këndi në të cilin përshtaten 17 gradë 3 minuta dhe 59 sekonda mund të shënohet si .

Përkufizimi.

Masa e shkallës së kënditështë një numër pozitiv që tregon sa herë një shkallë dhe pjesët e saj përshtaten në një kënd të caktuar.

Për shembull, masa e shkallës së një këndi të zhvilluar është njëqind e tetëdhjetë, dhe masa e shkallës së një këndi është e barabartë me .

Ekzistojnë instrumente të veçanta matëse për matjen e këndeve, më i famshmi prej të cilëve është raportori.

Nëse dihen edhe përcaktimi i këndit (për shembull, ) dhe masa e shkallës së tij (le të jetë 110), atëherë përdorni një shënim të shkurtër të formës dhe thonë: “Këndi AOB është i barabartë me njëqind e dhjetë gradë”.

Nga përkufizimet e një këndi dhe masa e shkallës së një këndi, rezulton se në gjeometri, masa e një këndi në gradë shprehet me një numër real nga intervali (0, 180] (në trigonometri, kënde me një shkallë arbitrare masë konsiderohen, quhen).Këndi nëntëdhjetë gradë ka një emër të veçantë, quhet kënd i drejtë. Një kënd më i vogël se 90 gradë quhet kënd akut. Një kënd më i madh se nëntëdhjetë gradë quhet kënd i mpirë. Pra, masa e një këndi akut në gradë shprehet me një numër nga intervali (0, 90), masa e një këndi të mpirë shprehet me një numër nga intervali (90, 180), një kënd i drejtë është i barabartë me nëntëdhjetë gradë. Këtu janë ilustrimet e një këndi akut, një këndi i mpirë dhe kënd i drejtë.

Nga parimi i matjes së këndeve rezulton se masat e shkallës së këndeve të barabarta janë të njëjta, masa e shkallës së një këndi më të madh është më e madhe se masa e shkallës së një këndi më të vogël dhe masa e shkallës së një këndi që përbëhet nga disa këndet është e barabartë me shumën e masave të shkallës së këndeve përbërëse. Figura më poshtë tregon këndin AOB, i cili përbëhet nga këndet AOC, COD dhe DOB, në këtë rast.

Kështu, shuma e këndeve ngjitur është njëqind e tetëdhjetë gradë, pasi ato formojnë një kënd të drejtë.

Nga kjo deklaratë del se. Në të vërtetë, nëse këndet AOB dhe COD janë vertikale, atëherë këndet AOB dhe BOC janë fqinjë dhe këndet COD dhe BOC janë gjithashtu fqinjë, pra, barazitë dhe janë të vlefshme, që nënkupton barazinë.

Së bashku me shkallën, quhet një njësi matëse e përshtatshme për këndet radian. Masa e radianit përdoret gjerësisht në trigonometri. Le të përcaktojmë një radian.

Përkufizimi.

Këndi një radian- Kjo kënd qendror, e cila korrespondon me një gjatësi harku të barabartë me gjatësinë e rrezes së rrethit përkatës.

Le të japim një ilustrim grafik të një këndi prej një radian. Në vizatim, gjatësia e rrezes OA (si dhe rrezes OB) është e barabartë me gjatësinë e harkut AB, prandaj, sipas përkufizimit, këndi AOB është i barabartë me një radian.

Shkurtesa "rad" përdoret për të treguar radianet. Për shembull, hyrja 5 rad do të thotë 5 radianë. Megjithatë, në shkrim emërtimi "rad" shpesh hiqet. Për shembull, kur shkruhet se këndi është i barabartë me pi, do të thotë pi rad.

Vlen të përmendet veçmas se madhësia e këndit, e shprehur në radianë, nuk varet nga gjatësia e rrezes së rrethit. Kjo për faktin se figurat e kufizuara nga një kënd i caktuar dhe një hark rrethi me qendër në kulmin e një këndi të caktuar janë të ngjashme me njëra-tjetrën.

Matja e këndeve në radiane mund të bëhet në të njëjtën mënyrë si matja e këndeve në gradë: zbuloni sa herë një kënd i një radiani (dhe pjesëve të tij) përshtatet në një kënd të caktuar. Ose mund të llogarisni gjatësinë e harkut të këndit qendror përkatës dhe më pas ta ndani atë me gjatësinë e rrezes.

Për qëllime praktike, është e dobishme të dihet se si matjet e shkallës dhe radianit lidhen me njëra-tjetrën, pasi mjaft prej tyre duhet të kryhen. Ky artikull vendos një lidhje midis shkallës dhe masës radian të këndit dhe jep shembuj të konvertimit të shkallëve në radiane dhe anasjelltas.

Përcaktimi i këndeve në vizatim.

Në vizatime, për lehtësi dhe qartësi, qoshet mund të shënohen me harqe, të cilat zakonisht vizatohen në zonën e brendshme të qoshes nga njëra anë e këndit në tjetrën. Këndet e barabarta shënohen me të njëjtin numër harqesh, këndet e pabarabarta me numër të ndryshëm harqesh. Këndet e drejta në vizatim tregohen nga një simbol i formës "", i cili përshkruhet në zonën e brendshme të këndit të duhur nga njëra anë e këndit në tjetrën.

Nëse duhet të shënoni shumë kënde të ndryshme në një vizatim (zakonisht më shumë se tre), atëherë kur shënoni kënde, përveç harqeve të zakonshëm, lejohet të përdorni harqe të një lloji të veçantë. Për shembull, ju mund të përshkruani harqe të dhëmbëzuara ose diçka të ngjashme.

Duhet të theksohet se nuk duhet të tërhiqeni me përcaktimin e këndeve në vizatime dhe të mos i ngatërroni vizatimet. Ne rekomandojmë të shënoni vetëm ato kënde që janë të nevojshme në procesin e zgjidhjes ose provës.

Bibliografi.

Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Gjeometria. Klasat 7 – 9: tekst shkollor për institucionet e arsimit të përgjithshëm.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Gjeometria. Libër mësuesi për klasat 10-11 të shkollës së mesme.
Pogorelov A.V., Gjeometri. Libër mësuesi për klasat 7-11 në institucionet e arsimit të përgjithshëm.

26 qershor 2013

Le të fillojmë duke përcaktuar se çfarë është një kënd. Së pari, është një figurë gjeometrike. Së dyti, ajo formohet nga dy rreze, të cilat quhen anët e këndit. Së treti, këto të fundit dalin nga një pikë, e cila quhet kulm i këndit. Bazuar në këto veçori, ne mund të krijojmë një përkufizim: një kënd është një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze (anët) që dalin nga një pikë (kulmi).

Ato klasifikohen sipas vlerës së shkallës, sipas vendndodhjes në lidhje me njëri-tjetrin dhe në lidhje me rrethin. Le të fillojmë me llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre.

Ka disa lloje të tyre. Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin lloj.

Ekzistojnë vetëm katër lloje kryesore të këndeve - kënde të drejta, të mpirë, akute dhe të drejta.

Drejt

Duket kështu:

Masa e shkallës së saj është gjithmonë 90 o, me fjalë të tjera, një kënd i drejtë është një kënd prej 90 gradë. Vetëm katërkëndësha të tillë si katrori dhe drejtkëndëshi i kanë ato.

E paqartë

Duket kështu:

Masa e shkallës së një këndi të mpirë është gjithmonë më e madhe se 90°, por më e vogël se 180°. Mund të gjendet në katërkëndësha të tillë si një romb, një paralelogram arbitrar dhe në shumëkëndësha.

pikante

Duket kështu:

Masa e shkallës së një këndi akut është gjithmonë më pak se 90°. Gjendet në të gjithë katërkëndëshat përveç katrorit dhe çdo paralelogrami.

Zgjeruar

Këndi i shpalosur duket si ky:

Nuk ndodh në poligone, por nuk është më pak i rëndësishëm se të gjithë të tjerët. Një kënd i drejtë është një figurë gjeometrike, masa e shkallës së së cilës është gjithmonë 180º. Mund të ndërtoni kënde ngjitur mbi të duke tërhequr një ose më shumë rreze nga kulmi i saj në çdo drejtim.

Ekzistojnë disa lloje të tjera të vogla këndesh. Ata nuk studiohen në shkolla, por është e nevojshme të paktën të dihet për ekzistencën e tyre. Ekzistojnë vetëm pesë lloje dytësore të këndeve:

1. Zero

Duket kështu:

Vetë emri i këndit tashmë tregon madhësinë e tij. Zona e saj e brendshme është 0°, dhe anët shtrihen njëra mbi tjetrën siç tregohet në figurë.

2. I zhdrejtë

Një kënd i zhdrejtë mund të jetë një kënd i drejtë, një kënd i mpirë, një kënd i mprehtë ose një kënd i drejtë. Kushti kryesor i tij është që të mos jetë i barabartë me 0 o, 90 o, 180 o, 270 o.

3. Konveks

Këndet konveks janë zero, të drejtë, të mpirë, akute dhe të drejta. Siç e keni kuptuar tashmë, masa e shkallës së një këndi konveks është nga 0° në 180°.

4. Jo konveks

Këndet me masa të shkallës nga 181° deri në 359° përfshirëse janë jokonveks.

5. Plot

Një kënd i plotë është 360 gradë.

Këto janë të gjitha llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre. Tani le të shohim llojet e tyre sipas vendndodhjes së tyre në aeroplan në lidhje me njëri-tjetrin.

1. Shtesë

Këto janë dy kënde akute që formojnë një vijë të drejtë, d.m.th. shuma e tyre është 90 o.

2. Ngjitur

Këndet fqinje formohen nëse një rreze kalon nëpër këndin e shpalosur, ose më mirë përmes kulmit të saj, në çdo drejtim. Shuma e tyre është 180 o.

3. Vertikale

Këndet vertikale formohen kur kryqëzohen dy drejtëza. Masat e tyre të shkallës janë të barabarta.

Tani le të kalojmë te llojet e këndeve të vendosura në lidhje me rrethin. Janë vetëm dy prej tyre: qendrore dhe të gdhendura.

1. Qendrore

Një kënd qendror është një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. Masa e shkallës së saj është e barabartë me masën e shkallës së harkut më të vogël të shtrirë nga anët.

2. I mbishkruar

Një kënd i brendashkruar është një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe anët e të cilit e kryqëzojnë atë. Masa e shkallës së tij është e barabartë me gjysmën e harkut mbi të cilin mbështetet.

Kaq për këndet. Tani e dini se përveç atyre më të famshmeve - akute, të mpirë, të drejtë dhe të vendosur - ka shumë lloje të tjera të tyre në gjeometri.

Burimi: fb.ru

Aktuale

Të ndryshme
Të ndryshme

Një kënd është një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze të ndryshme që dalin nga një pikë. Në këtë rast, këto rreze quhen anët e këndit. Pika që është fillimi i rrezeve quhet kulm i këndit. Në foto mund të shihni këndin me kulmin në pikë RRETH, dhe palët k Dhe m.

Në faqet e këndit janë shënuar pikat A dhe C. Ky kënd mund të caktohet si kënd AOC. Në mes duhet të jetë emri i pikës në të cilën ndodhet kulmi i këndit. Ka edhe emërtime të tjera, këndi O ose këndi km. Në gjeometri, në vend të fjalës kënd, shpesh shkruhet një simbol i veçantë.

Këndi i zhvilluar dhe jo i zgjeruar

Nëse të dyja anët e një këndi shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë një kënd i tillë quhet zgjeruar këndi. Kjo do të thotë, njëra anë e këndit është vazhdimësi e anës tjetër të këndit. Figura më poshtë tregon këndin e zgjeruar O.

Duhet të theksohet se çdo kënd e ndan rrafshin në dy pjesë. Nëse këndi nuk shpaloset, atëherë njëra nga pjesët quhet rajoni i brendshëm i këndit, dhe tjetri quhet rajoni i jashtëm i këtij këndi. Figura më poshtë tregon një kënd të pazhvilluar dhe shënon rajonet e jashtme dhe të brendshme të këtij këndi.

Në rastin e një këndi të zhvilluar, secila nga dy pjesët në të cilat ndan rrafshin mund të konsiderohet rajoni i jashtëm i këndit. Mund të flasim për pozicionin e një pike në lidhje me një kënd. Një pikë mund të shtrihet jashtë qoshes (në rajonin e jashtëm), mund të vendoset në njërën nga anët e saj ose mund të shtrihet brenda qoshes (në rajonin e brendshëm).

Në figurën më poshtë, pika A ndodhet jashtë këndit O, pika B ndodhet në njërën anë të këndit dhe pika C ndodhet brenda këndit.

Matja e këndeve

Për të matur këndet ekziston një pajisje e quajtur raportor. Njësia e këndit është shkallë. Duhet të theksohet se çdo kënd ka një masë shkallë të caktuar, e cila është më e madhe se zero.

Në varësi të masës së shkallës, këndet ndahen në disa grupe.

Le të fillojmë duke përcaktuar se çfarë është një kënd. Së pari, është Së dyti, formohet nga dy rreze, të cilat quhen anët e këndit. Së treti, këto të fundit dalin nga një pikë, e cila quhet kulm i këndit. Bazuar në këto veçori, ne mund të krijojmë një përkufizim: një kënd është një figurë gjeometrike që përbëhet nga dy rreze (anët) që dalin nga një pikë (kulmi).

Ato klasifikohen sipas vlerës së shkallës, sipas vendndodhjes në lidhje me njëri-tjetrin dhe në lidhje me rrethin. Le të fillojmë me llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre.

Ka disa lloje të tyre. Le të hedhim një vështrim më të afërt në secilin lloj.

Ekzistojnë vetëm katër lloje kryesore të këndeve - kënde të drejta, të mpirë, akute dhe të drejta.

Drejt

Duket kështu:

E paqartë

Duket kështu:

Masa e shkallës është gjithmonë më shumë se 90 o, por më pak se 180 o. Mund të gjendet në katërkëndësha të tillë si një romb, një paralelogram arbitrar dhe në shumëkëndësha.

pikante

Duket kështu:

Masa e shkallës së një këndi akut është gjithmonë më pak se 90°. Gjendet në të gjithë katërkëndëshat përveç katrorit dhe çdo paralelogrami.

Zgjeruar

Këndi i shpalosur duket si ky:

Nuk ndodh në poligone, por nuk është më pak i rëndësishëm se të gjithë të tjerët. Një kënd i drejtë është një figurë gjeometrike, masa e shkallës së së cilës është gjithmonë 180º. Mund të ndërtoni mbi të duke tërhequr një ose më shumë rreze nga maja e saj në çdo drejtim.

1. Zero

Duket kështu:

Vetë emri i këndit tashmë tregon madhësinë e tij. Zona e saj e brendshme është 0°, dhe anët shtrihen njëra mbi tjetrën siç tregohet në figurë.

2. I zhdrejtë

3. Konveks

Këndet konveks janë zero, të drejtë, të mpirë, akute dhe të drejta. Siç e keni kuptuar tashmë, masa e shkallës së një këndi konveks është nga 0° në 180°.

4. Jo konveks

Këndet me masa të shkallës nga 181° deri në 359° përfshirëse janë jokonveks.

5. Plot

Një kënd i plotë është 360 gradë.

Këto janë të gjitha llojet e këndeve sipas madhësisë së tyre. Tani le të shohim llojet e tyre sipas vendndodhjes së tyre në aeroplan në lidhje me njëri-tjetrin.

1. Shtesë

Këto janë dy kënde akute që formojnë një vijë të drejtë, d.m.th. shuma e tyre është 90 o.

2. Ngjitur

Këndet fqinje formohen nëse një rreze kalon nëpër këndin e shpalosur, ose më mirë përmes kulmit të saj, në çdo drejtim. Shuma e tyre është 180 o.

3. Vertikale

Këndet vertikale formohen kur kryqëzohen dy drejtëza. Masat e tyre të shkallës janë të barabarta.

Tani le të kalojmë te llojet e këndeve të vendosura në lidhje me rrethin. Janë vetëm dy prej tyre: qendrore dhe të gdhendura.

1. Qendrore

Një kënd qendror është një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit. Masa e shkallës së saj është e barabartë me masën e shkallës së harkut më të vogël të shtrirë nga anët.

2. I mbishkruar

Kaq për këndet. Tani e dini se përveç atyre më të famshmeve - akute, të mpirë, të drejtë dhe të vendosur - ka shumë lloje të tjera të tyre në gjeometri.

Çdo kënd, në varësi të madhësisë së tij, ka emrin e vet:

Lloji i këndit	Madhësia në gradë	Shembull
pikante	Më pak se 90°
Drejt	E barabartë me 90°. Në një vizatim, një kënd i drejtë zakonisht shënohet me një simbol të tërhequr nga njëra anë e këndit në tjetrën.
E paqartë	Më shumë se 90° por më pak se 180°
Zgjeruar	E barabartë me 180° Një kënd i drejtë është i barabartë me shumën e dy këndeve të drejta, dhe një kënd i drejtë është gjysma e një këndi të drejtë.
Konveks	Më shumë se 180° por më pak se 360°
Plot	E barabartë me 360°

Të dy këndet quhen ngjitur, nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe dy anët e tjera formojnë një vijë të drejtë:

Kënde MOP Dhe PON ngjitur, që nga rreze OP- ana e përbashkët dhe dy anët e tjera - OM Dhe AKTIV përbëjnë një vijë të drejtë.

Brinja e përbashkët e këndeve fqinjë quhet i zhdrejtë në të drejtë, në të cilën shtrihen dy anët e tjera, vetëm në rastin kur këndet ngjitur nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin. Nëse këndet ngjitur janë të barabartë, atëherë ana e tyre e përbashkët do të jetë pingul.

Shuma e këndeve ngjitur është 180°.

Të dy këndet quhen vertikale, nëse anët e njërit kënd plotësojnë anët e këndit tjetër me vija të drejta:

Këndet 1 dhe 3, si dhe këndet 2 dhe 4, janë vertikale.

Këndet vertikale janë të barabarta.

Le të vërtetojmë se këndet vertikale janë të barabarta:

Shuma e ∠1 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Dhe shuma e ∠3 dhe ∠2 është një kënd i drejtë. Pra këto dy shuma janë të barabarta:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Në këtë barazi, ka një term identik majtas dhe djathtas - ∠2. Barazia nuk do të cenohet nëse ky term majtas dhe djathtas hiqet. Pastaj e marrim.