Kursi video “Merr A” përfshin të gjitha temat e nevojshme për të kaluar me sukses Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë me 60-65 pikë. Plotësisht të gjitha detyrat 1-13 të Profilit të Provimit të Shtetit të Unifikuar në matematikë. I përshtatshëm edhe për kalimin e Provimit Bazë të Shtetit të Unifikuar në matematikë. Nëse doni të kaloni Provimin e Unifikuar të Shtetit me 90-100 pikë, duhet ta zgjidhni pjesën 1 në 30 minuta dhe pa gabime!
Kurs përgatitor për Provimin e Unifikuar të Shtetit për klasat 10-11, si dhe për mësuesit. Gjithçka që ju nevojitet për të zgjidhur Pjesën 1 të Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë (12 detyrat e para) dhe Problemin 13 (trigonometri). Dhe kjo është më shumë se 70 pikë në Provimin e Unifikuar të Shtetit, dhe as një student me 100 pikë dhe as një student i shkencave humane nuk mund të bëjë pa to.
E gjithë teoria e nevojshme. Mënyra të shpejta zgjidhjet, kurthet dhe sekretet e Provimit të Unifikuar të Shtetit. Të gjitha detyrat aktuale të pjesës 1 nga Banka e Detyrave FIPI janë analizuar. Kursi përputhet plotësisht me kërkesat e Provimit të Unifikuar të Shtetit 2018.
Kursi përmban 5 tema të mëdha, 2.5 orë secila. Çdo temë jepet nga e para, thjeshtë dhe qartë.
Qindra detyra të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Problemet e fjalëve dhe teoria e probabilitetit. Algoritme të thjeshta dhe të lehta për t'u mbajtur mend për zgjidhjen e problemeve. Gjeometria. Teori, material referues, analiza e të gjitha llojeve të detyrave të Provimit të Unifikuar të Shtetit. Stereometria. Zgjidhje të ndërlikuara, fletë të dobishme mashtrimi, zhvillimi i imagjinatës hapësinore. Trigonometria nga e para te problemi 13. Të kuptuarit në vend të grumbullimit. Shpjegime të qarta të koncepteve komplekse. Algjebër. Rrënjët, fuqitë dhe logaritmet, funksioni dhe derivati. Një bazë për zgjidhjen e problemeve komplekse të Pjesës 2 të Provimit të Unifikuar të Shtetit.
Ndër shumëllojshmërinë e formave gjeometrike, bie në sy një katërkëndësh si romb. Edhe vetë emri i tij nuk është tipik për përcaktimin e katërkëndëshave. Dhe megjithëse në gjeometri gjendet shumë më rrallë se figura të tilla të thjeshta si një rreth, trekëndësh, katror ose drejtkëndësh, ai gjithashtu nuk mund të injorohet.
Më poshtë janë përkufizimi, vetitë dhe karakteristikat e rombit.
Përkufizimi
Rombi është një paralelogram me brinjë të barabarta. Një romb quhet katror nëse të gjitha këndet e tij janë kënde të drejta. Shumica një shembull i ndritshëm Diamanti është imazhi i kostumit të diamantit në një kartë loje. Për më tepër, rombi shpesh përshkruhej në stema të ndryshme. Një shembull i një diamanti në jetën e përditshme është një fushë basketbolli.
Vetitë
- Anët e kundërta të një rombi shtrihen në vija paralele dhe kanë të njëjtën gjatësi.
- Kryqëzimi i diagonaleve të një rombi ndodh në një kënd prej 90° në një pikë, që është mesi i tyre.
- Diagonalet e një rombi përgjysmojnë këndin nga e kanë origjinën.
- Bazuar në vetitë e një paralelogrami, mund të nxjerrim shumën e katrorëve të diagonaleve. Sipas formulës, është e barabartë me anën e ngritur në një fuqi kuadratike dhe shumëzuar me katër.
Shenjat
Duhet të kuptojmë qartë se çdo romb është një paralelogram, por në të njëjtën kohë, jo çdo paralelogram i ka të gjithë treguesit e një rombi. Për të dalluar këto dy forma gjeometrike, duhet të dini karakteristikat e një rombi. Më poshtë janë tiparet karakteristike të kësaj figure gjeometrike:
- Çdo dy anë me një kulm të përbashkët janë të barabarta.
- Diagonalet kryqëzohen në një kënd prej 90°C.
- Të paktën një diagonale ndan përgjysmë këndet nga pikat kulmore të të cilave del.
Formulat e zonës
Formula bazë:
- S = (AC*BD)/2
Bazuar në vetitë e një paralelogrami:
- S = (AB*H AB)
Bazuar në madhësinë e këndit midis dy anëve fqinje të rombit:
- S = AB2*sinα
Nëse e dimë gjatësinë e rrezes së një rrethi të gdhendur në një romb:
- S = 4r 2 /(sinα), ku:
- S - zona;
- AB, AC, BD - përcaktimi i anëve;
- H - lartësia;
- r - rrezja e rrethit;
- sinα - sine alfa.
Perimetër
Për të llogaritur perimetrin e një rombi, ju vetëm duhet të shumëzoni gjatësinë e cilësdo prej anëve të tij me katër.
Ndërtimi i vizatimit
Disa njerëz kanë vështirësi në ndërtimin e një modeli diamanti. Edhe nëse e keni kuptuar tashmë se çfarë është një romb, nuk është gjithmonë e qartë se si ta ndërtoni vizatimin e tij me saktësi dhe në përputhje me përmasat e nevojshme.
Ka dy mënyra për të ndërtuar një model diamanti:
- Së pari ndërtoni një diagonale, pastaj një diagonale të dytë pingul me të, dhe më pas lidhni skajet e segmenteve të çifteve ngjitur të anëve paralele të rombit.
- Së pari lini mënjanë njërën anë të rombit, më pas ndërtoni një segment të barabartë në gjatësi paralel me të dhe lidhni skajet e këtyre segmenteve gjithashtu në çifte paralelisht.
Kini kujdes kur ndërtoni - nëse në vizatim e bëni gjatësinë e të gjitha anëve të rombit të njëjtë, nuk do të merrni një romb, por një katror.
Në figurën 1, $ABCD$ është një romb, $A B=B C=C D=A D$. Meqenëse një romb është një paralelogram, ai ka të gjitha vetitë e një paralelogrami, por ka edhe veti të qenësishme vetëm për një romb.
Ju mund të vendosni një rreth në çdo romb. Qendra e një rrethi të gdhendur në një romb është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Rrezja e rrethit është e barabartë me gjysmën e lartësisë së rombit $r=\frac(A H)(2)$ (Fig. 1)
Vetitë e rombit
- Diagonalet e rombit janë pingul;
- Diagonalet e një rombi janë përgjysmuesit e këndeve të tij.
Shenjat e një diamanti
- Një paralelogram diagonalet e të cilit kryqëzohen në kënde të drejta është një romb;
- Një paralelogram diagonalet e të cilit janë përgjysmuesit e këndeve të tij është një romb.
Shembuj të zgjidhjes së problemeve
Shembull
Ushtrimi. Diagonalet e rombit $ABCD$ janë 6 dhe 8 cm Gjeni anën e rombit.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 1). Le të përcaktojmë $A C=6$ cm, $B D=8$ cm Nga vetia e rombit, diagonalet e tij priten në kënde të drejta. Në pikën e kryqëzimit, diagonalet ndahen në gjysmë (vetia e një paralelogrami, dhe një romb është një rast i veçantë i një paralelogrami).
Konsideroni trekëndëshin $A O B$. Është drejtkëndëshe ($\kënd O=90^(\circ)$), $A O=\frac(A C)(2)=\frac(6)(2)=3$ cm, $B O=\frac(B D ) (2)=\frac(8)(2)=4$ cm Le të shkruajmë teoremën e Pitagorës për këtë trekëndësh:
$$A B^(2)=A O^(2)+B O^(2)$$
Le të zëvendësojmë vlerat e gjetura të $AO$ dhe $BO$,
$A B^(2)=3^(2)+4^(2)$
Përgjigju. Ana e një rombi është 5 cm.
Shembull
Ushtrimi. Në një romb me brinjë 4 cm, njëri nga këndet është i barabartë me $60^(\circ)$. Gjeni diagonalet e rombit.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 2).
Le të $\kënd B=60^(\circ)$ për definicion. Pastaj, nga vetia e rombit, diagonalja $BD$ është përgjysmues i këndit $B$, $\këndi A B O=\këndi O B C=\frac(\këndi B)(2)=30^(\rreth) $. Konsideroni $\Delta O B C$, është drejtkëndëshe ($\kënd B O C=90^(\circ)$) sepse diagonalet e një rombi kryqëzohen në kënde të drejta. Meqenëse $\këndi O B C=30^(\circ), O C=\frac(B C)(2)=2$ dm është këmba e shtrirë përballë këndit prej $30^(\circ)$. Duke përdorur teoremën e Pitagorës ne gjejmë $B O$:
$$B O=\sqrt(B C^(2)-O C^(2))$$
$$B O=\sqrt(4^(2)-2^(2))$$
$$B O=\sqrt(12)$$
$$B O=2 \sqrt(3)$$
Diagonalet e rombit ndahen në gjysmë në pikën e kryqëzimit, pra
$B D=2 \cdot B O=2 \cdot 2 \sqrt(3)=4 \sqrt(3)$ (dm)
$A C=2 \cdot O C=2 \cdot 2=4$ (dm)
Përgjigju.$B D=4 \sqrt(3)$ dm, $A C=4$ dm
Shembull
Ushtrimi. Në një romb, këndi i formuar nga një nga diagonalet dhe nga ana e rombit është i barabartë me $27^(\circ)$. Gjeni këndet e rombit.
Zgjidhje. Le të bëjmë një vizatim (Fig. 3)
Për të qenë specifik, $\këndi K L O=27^(\circ)$. Diagonalet në një romb janë përgjysmuesit e këndeve të tij, pra $\këndi L=2 \cdot \këndi K L O=2 \cdot 27^(\circ)=54^(\circ)$. Meqenëse një romb është një paralelogram, për të zbatohen vetitë e mëposhtme: shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është e barabartë me $180^(\circ)$ dhe këndet e kundërta janë të barabarta. Prandaj,
$\këndi M=\këndi K=180^(\circ)-\këndi L=180^(\circ)-54^(\circ)=126^(\circ)$
Përgjigju.$\këndi N=\këndi L=54^(\circ)$
$\këndi M=\këndi K=126^(\circ)$
me anë të barabarta. Një romb me kënde të drejta është katrore .
Një romb konsiderohet si një lloj paralelogrami, me dy brinjë të barabarta ngjitur ose me diagonale pingule reciproke, ose me diagonale që ndajnë këndin në 2 pjesë të barabarta.
Vetitë e rombit.
1. Rombiështë një paralelogram, kështu që anët e kundërta kanë të njëjtën gjatësi dhe janë paralele në çifte, AB || CD, AD || dielli.
2. Këndi i prerjes së diagonaleve rombi është i drejtë (AC⊥ BD) dhe pika e kryqëzimit ndahen në dy pjesë identike. Domethënë, diagonalet e ndajnë rombin në 4 trekëndësha drejtkëndëshe.
3. Diagonalet e një rombi janë përgjysmuesit e këndeve të tij (∠ DCA =∠ B.C.A.∠ ABD =∠ CBD etj. ).
4. Shuma e katrorëve të diagonaleveështë e barabartë me katrorin e brinjës shumëzuar me katër (që rrjedh nga identiteti paralelogram).
Shenjat e një diamanti.
Paralelogrami ABCD do të quhet romb vetëm nëse plotësohet të paktën një nga kushtet:
1. 2 anët e tij ngjitur kanë të njëjtën gjatësi (d.m.th., të gjitha anët e një rombi janë të barabarta, AB=BC=CD=AD).
2. Këndi i prerjes së diagonaleve të një vije të drejtë ( A.C.⊥ BD).
3. 1 nga diagonalet i ndan këndet që e përmbajnë përgjysmë.
Mund të mos e dimë paraprakisht se katërkëndëshi rezulton të jetë paralelogram, por e dimë që të gjitha brinjët e tij janë të barabarta. Pra, ky katërkëndësh është një romb.
Simetria e një rombi.
Rombi është simetrik në krahasim me të gjitha diagonalet e tij, përdoret shpesh në zbukurime dhe dysheme me parket.
Perimetri i një rombi.
Perimetri i një figure gjeometrike- gjatësia totale e kufijve të një figure gjeometrike të sheshtë. Perimetri ka të njëjtin dimension me gjatësinë.
AB \paralel CD,\;BC \paralel AD
AB = CD,\;BC = AD
2. Diagonalet e rombit janë pingul.
AC\perp BD
Dëshmi
Meqenëse një romb është një paralelogram, diagonalet e tij ndahen në gjysmë.
Kjo do të thotë se \trekëndësh BOC = \trekëndësh DOC në tre anët (BO = OD, OC - bashkim, BC = CD). Marrim se \këndi BOC = \këndi COD dhe ato janë ngjitur.
\Shigjeta djathtas \këndi BOC = 90^(\circ) dhe \këndi COD = 90^(\circ) .
3. Pika e kryqëzimit të diagonaleve i ndan ato në gjysmë.
AC=2\cdot AO=2\cdot CO
BD=2\cdot BO=2\cdot DO
4. Diagonalet e rombit janë përgjysmuesit e këndeve të tij.
\këndi 1 = \këndi 2; \; \këndi 5 = \këndi 6;
\këndi 3 = \këndi 4; \; \këndi 7 = \këndi 8.
Dëshmi
Për shkak të faktit se diagonalet ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit, dhe të gjitha anët e rombit janë të barabarta me njëra-tjetrën, e gjithë figura ndahet nga diagonalet në 4 trekëndësha të barabartë:
\trekëndëshi BOC,\; \trekëndëshi BOA,\; \trekëndëshi AOD,\; \trekëndësh COD.
Kjo do të thotë që BD, AC janë përgjysmues.
5. Diagonalet formojnë 4 trekëndësha kënddrejtë nga një romb.
6. Çdo romb mund të përmbajë një rreth me qendër në pikën e prerjes së diagonaleve të tij.
7. Shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me katrorin e njërës prej anëve të rombit shumëzuar me katër
AC^2 + BD^2 = 4\cdot AB^2
Shenjat e një diamanti
1. Një paralelogram me diagonale pingule është një romb.
\fillimi (rastet) AC \perp BD \\ ABCD \fund (rastet)- paralelogram, \Rightarrow ABCD - romb.
Dëshmi
ABCD është një paralelogram \Rightarrow AO = CO; BO = OD. Gjithashtu thuhet se AC \perp BD \Dightarrow \trekëndësh AOB = \trekëndësh BOC = \trekëndësh COD = \trekëndësh AOD- në 2 këmbë.
Rezulton se AB = BC = CD = AD.
E provuar!
2. Kur në një paralelogram të paktën një nga diagonalet i ndan të dy këndet (nëpër të cilët kalon) përgjysmë, atëherë kjo figurë do të jetë një romb.
Dëshmi
Në një shënim: jo çdo figurë (katërkëndësh) me diagonale pingule do të jetë romb.
P.sh.
Ky nuk është më një romb, pavarësisht pingulitetit të diagonaleve.
Për të dalluar, vlen të kujtojmë se së pari katërkëndëshi duhet të jetë një paralelogram dhe të ketë