مساحت مثلث را محاسبه کنید. نحوه محاسبه مساحت مثلث

دستورالعمل ها

1. برای دو پایه S = a * b/2، a، b – پاها،

گزینه دوم برای محاسبه مساحت از سینوس های زوایای شناخته شده به جای کوتانژانت استفاده می کند. در این نسخه مربعبرابر است با مجذور طول ضلع معلوم، ضرب در سینوس هر یک از زوایا و تقسیم بر سینوس مضاعف این زوایا: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2) *sin(α + β)). مثلاً برای همان مثلث با ضلع معلوم 15 سانتی متر و مجاور آن گوشه هادر 40 درجه و 60 درجه، محاسبه مساحت به این صورت خواهد بود: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0.506365641)) = -51.1016411/-1.01273128 = 50.4592305 سانتی متر مربع.

نسخه محاسبه مساحت یک مثلث شامل زاویه است. مساحت برابر است با مربع طول ضلع شناخته شده، ضرب در مماس هر یک از زوایا و تقسیم بر دو برابر مجموع مماس های این زوایا: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β)). به عنوان مثال برای مثلث استفاده شده در مراحل قبل با ضلع 15 سانتی متر و مجاور گوشه هادر 40 درجه و 60 درجه، محاسبه مساحت به این صورت خواهد بود: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1.11721493 )*0.320040389)/(2*(-1.11721493+0.320040389)) = -80.4496277/-1.59434908 = 50.4592305 سانتی متر مربع.

مثلث ساده ترین چند ضلعی است که دارای سه رأس و سه ضلع است. مثلثی که یکی از زوایای آن قائم الزاویه است را مثلث قائم الزاویه می گویند. برای مثلث های قائم الزاویه، تمام فرمول های مثلث های عمومی قابل اجرا هستند. با این حال، آنها را می توان با در نظر گرفتن ویژگی ها تغییر داد زاویه راست.

دستورالعمل ها

اساسی برای یافتن منطقه مثلثاز طریق پایه به شرح زیر است: S = 1/2 * b * h، که در آن b طرف است مثلثو h – مثلث. ارتفاع مثلثعمودی است که از راس کشیده شده است مثلثبه خط حاوی مخالف. برای مستطیل مثلثارتفاع k b با پای a منطبق است. به این ترتیب فرمول محاسبه مساحت را دریافت خواهید کرد مثلثبا زاویه: S = 1/2 * a * b.

در نظر گرفتن. بگذارید یک مستطیل a = 3، b = 4. سپس S = 1/2 * 3 * 4 = 6. محاسبه کنید مربعهمان مثلث، اما اکنون بگذارید فقط یک ضلع شناخته شود، b = 4. و زاویه α، tan α = 3/4 نیز مشخص است. سپس، از عبارت تابع مثلثاتی مماس α، پایه a را بیان کنید: tg α = a/b => a = b * tan α. این مقدار را در فرمول برای محاسبه مساحت یک مستطیل جایگزین کنید مثلثو دریافت می کنیم: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​= 6.

به عنوان یک مورد خاص محاسبه مساحت یک مستطیل متساوی الساقین را در نظر بگیرید مثلث. مثلث متساوی الساقین مثلثی است که دو ضلع آن با هم برابر باشند. در مورد یک مستطیل مثلثمعلوم می شود a = b. قضیه فیثاغورث را برای این مورد بنویسید: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. سپس، این مقدار را در فرمول محاسبه مساحت به صورت زیر جایگزین کنید: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

اگر شعاع دایره محاطی r و دایره R مشخص باشد، پس مربعمستطیل شکل مثلثبا فرمول S = r^2 + 2 * r * R محاسبه می شود. بگذارید شعاع دایره محاط شده در مثلث r = 1 باشد، شعاع دایره محدود شده مثلثدایره R = 5/2. سپس S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.

ویدیو در مورد موضوع

مشاوره مفید

شعاع دایره ای که به دور مثلث قائم الزاویه احاطه شده است برابر است با نصف هیپوتانوس: R = c / 2. شعاع دایره محاط شده در یک مثلث قائم الزاویه با فرمول r = (a + b - c) / 2 پیدا می شود.

این یکی از ساده ترین شکل های هندسی است که در آن سه بخش که سه نقطه را به صورت جفت به هم متصل می کنند، بخشی از صفحه را محدود می کنند. دانستن برخی از پارامترهای یک مثلث (طول اضلاع، زوایا، شعاع دایره محاطی یا محصور، ارتفاع و غیره) در ترکیب های مختلف به فرد امکان می دهد مساحت این مقطع محدود از هواپیما را محاسبه کند.

دستورالعمل ها

اگر طول دو ضلع یک مثلث (A و B) و بزرگی زاویه آنها (γ) مشخص باشد، مساحت (S) مثلث برابر با نصف حاصلضرب طول اضلاع خواهد بود. سینوس زاویه شناخته شده: S=A∗B∗sin(γ)/2.

اگر طول هر سه ضلع (A، B و C) در یک مثلث دلخواه مشخص باشد، برای محاسبه مساحت آن (S) راحت تر است که یک متغیر اضافی - نیم محیط (p) معرفی کنیم. این متغیر به نصف مجموع طول همه ضلع ها محاسبه می شود: p=(A+B+C)/2. با استفاده از این متغیر می توان جذر حاصلضرب نیم محیط روی این متغیر و طول اضلاع را تعریف کرد: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

اگر علاوه بر طول همه اضلاع (A، B و C)، طول شعاع (R) یک دایره که در نزدیکی یک مثلث دلخواه محصور شده است نیز مشخص باشد، می توانید بدون نیم محیط - مساحت انجام دهید. (S) برابر با نسبت حاصلضرب طول همه اضلاع به شعاع چهارگانه دایره خواهد بود: S=A ∗B∗C/(4∗R).

اگر مقادیر تمام زوایای مثلث (α، β و γ) و طول یکی از ضلع های آن (A) مشخص باشد، مساحت (S) برابر با نسبت حاصلضرب مربع خواهد بود. از طول ضلع شناخته شده توسط سینوس های دو زاویه مجاور آن به سینوس دوگانه یک زاویه مقابل: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

اگر مقادیر تمام زوایای یک مثلث دلخواه (α، β و γ) و شعاع (R) دایره محدود شده مشخص باشد، مساحت (S) برابر با دو برابر مربع شعاع و سینوس های تمام زوایا: S=2∗R2∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

ویدیو در مورد موضوع

یافتن حجم یک مثلث واقعاً یک کار بی اهمیت است. واقعیت این است که یک مثلث یک شکل دو بعدی است، یعنی. به طور کامل در یک صفحه قرار دارد، به این معنی که به سادگی حجم ندارد. البته شما نمی توانید چیزی را پیدا کنید که وجود نداشته باشد. اما بیایید تسلیم نشویم! می توانیم فرض زیر را بپذیریم: حجم یک شکل دو بعدی مساحت آن است. ما به دنبال مساحت مثلث خواهیم بود.

شما نیاز خواهید داشت

• ورق کاغذ، مداد، خط کش، ماشین حساب

دستورالعمل ها

با استفاده از خط کش و مداد روی یک تکه کاغذ بکشید. با بررسی دقیق مثلث، می توانید مطمئن شوید که واقعاً مثلث ندارد، زیرا روی یک صفحه کشیده شده است. اضلاع مثلث را علامت بزنید: بگذارید یک ضلع ضلع "الف"، ضلع دیگر "ب" و ضلع سوم "ج" باشد. رئوس مثلث را با حروف "A" "B" و "C" برچسب بزنید.

هر ضلع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه را یادداشت کنید. پس از این، یک عمود بر ضلع اندازه گیری شده را از راس مقابل آن بازگردانید، چنین عمودی ارتفاع مثلث خواهد بود. در حالتی که در شکل نشان داده شده است، عمود «h» به ضلع «c» از راس «A» بازگردانده شده است. ارتفاع حاصل را با خط کش اندازه بگیرید و نتیجه اندازه گیری را یادداشت کنید.

ممکن است بازیابی عمود دقیق برای شما دشوار باشد. در این مورد، شما باید از فرمول متفاوتی استفاده کنید. تمام اضلاع مثلث را با خط کش اندازه بگیرید. پس از این، نیم محیط مثلث "p" را با جمع کردن طول های حاصل از اضلاع و تقسیم مجموع آنها به نصف محاسبه کنید. با در اختیار داشتن مقدار نیم محیط، می توانید از فرمول هرون استفاده کنید. برای این کار باید جذر عبارات زیر را بگیرید: p(p-a)(p-b)(p-c).

شما مساحت مورد نیاز مثلث را به دست آورده اید. مشکل یافتن حجم مثلث حل نشده است، اما همانطور که در بالا ذکر شد، حجم حل نشده است. شما می توانید حجمی را پیدا کنید که اساساً یک مثلث است در دنیای سه بعدی. اگر تصور کنیم که مثلث اصلی ما تبدیل به یک هرم سه بعدی شده است، حجم چنین هرمی حاصل ضرب طول قاعده آن بر مساحت مثلثی است که به دست آورده ایم.

توجه داشته باشید

هرچه با دقت بیشتری اندازه گیری کنید، محاسبات شما دقیق تر خواهد بود.

منابع:

• ماشین حساب "همه چیز برای همه چیز" - یک پورتال برای مقادیر مرجع
• حجم مثلث

مثلث یکی از رایج ترین اشکال هندسی است که در دوره ابتدایی با آن آشنا می شویم. هر دانش آموزی با این سوال مواجه است که چگونه مساحت مثلث را در درس هندسه پیدا کند. بنابراین، چه ویژگی هایی برای یافتن مساحت یک شکل مشخص می توان شناسایی کرد؟ در این مقاله به فرمول های اساسی لازم برای انجام چنین کاری و همچنین تجزیه و تحلیل انواع مثلث ها خواهیم پرداخت.

انواع مثلث

شما می توانید مساحت یک مثلث را به روش های کاملاً متفاوتی پیدا کنید، زیرا در هندسه بیش از یک نوع شکل شامل سه زاویه وجود دارد. این انواع عبارتند از:

• دیر فهم.
• متساوی الاضلاع (صحیح).
• راست گوشه.
• متساوی الساقین.

بیایید نگاهی دقیق تر به هر یک از انواع مثلث های موجود بیندازیم.

این شکل هندسی در هنگام حل مسائل هندسی رایج ترین در نظر گرفته می شود. هنگامی که نیاز به ترسیم یک مثلث دلخواه باشد، این گزینه به کمک می آید.

در مثلث حاد، همانطور که از نامش پیداست، تمام زوایا تند هستند و مجموع آن ها تا 180 درجه می رسد.

این نوع مثلث نیز بسیار رایج است، اما تا حدودی کمتر از یک مثلث حاد رایج است. به عنوان مثال، هنگام حل مثلث (یعنی چندین ضلع و زاویه آن مشخص است و باید عناصر باقی مانده را پیدا کنید)، گاهی اوقات باید تعیین کنید که آیا زاویه مزاحم است یا خیر. کسینوس یک عدد منفی است.

ب، مقدار یکی از زاویه ها از 90 درجه بیشتر می شود، بنابراین دو زاویه باقی مانده می توانند مقادیر کوچکی داشته باشند (مثلاً 15 درجه یا حتی 3 درجه).

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث از این نوع، باید نکات ظریفی را بدانید که بعداً در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مثلث های منتظم و متساوی الساقین

چند ضلعی منتظم شکلی است که شامل n زاویه است و اضلاع و زوایای آن همگی برابر هستند. مثلث منظم این است. از آنجایی که مجموع تمام زوایای یک مثلث 180 درجه است، پس هر یک از سه زاویه 60 درجه است.

به یک مثلث منتظم به دلیل خاصیتش، شکل متساوی الاضلاع نیز گفته می شود.

همچنین شایان ذکر است که فقط یک دایره را می توان در یک مثلث منظم حک کرد و فقط یک دایره را می توان در اطراف آن توصیف کرد و مراکز آنها در یک نقطه قرار دارند.

علاوه بر نوع متساوی الاضلاع، می توان یک مثلث متساوی الساقین را نیز تشخیص داد که کمی با آن متفاوت است. در چنین مثلثی دو ضلع و دو زاویه با هم برابرند و ضلع سوم (که زوایای مساوی با هم مجاورند) قاعده است.

شکل یک مثلث متساوی الساقین DEF را نشان می دهد که زوایای آن D و F مساوی و DF قاعده است.

راست گوشه

یک مثلث قائم الزاویه به این دلیل نامیده می شود که یکی از زوایای آن قائم الزاویه است، یعنی برابر با 90 درجه. مجموع دو زاویه دیگر به 90 درجه می رسد.

بزرگترین ضلع چنین مثلثی که در مقابل زاویه 90 درجه قرار دارد، هیپوتنوس است، در حالی که دو ضلع باقیمانده پاها هستند. برای این نوع مثلث، قضیه فیثاغورث اعمال می شود:

مجموع مجذورهای طول پاها برابر است با مجذور طول هیپوتنوز.

شکل یک مثلث قائم الزاویه BAC با هیپوتنوز AC و پاهای AB و BC را نشان می دهد.

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث با زاویه قائمه، باید مقادیر عددی پاهای آن را بدانید.

بیایید به فرمول های پیدا کردن مساحت یک شکل داده شده برویم.

فرمول های اساسی برای یافتن مساحت

در هندسه، دو فرمول برای یافتن مساحت اکثر مثلث ها مناسب است، یعنی برای مثلث های حاد، منفرد، منظم و متساوی الساقین. بیایید به هر یک از آنها نگاه کنیم.

کنار و ارتفاع

این فرمول برای یافتن مساحت شکل مورد نظر ما جهانی است. برای این کار کافی است طول ضلع و طول ارتفاع کشیده شده به آن را بدانید. خود فرمول (نصف حاصلضرب پایه و ارتفاع) به صورت زیر است:

که در آن A ضلع یک مثلث معین و H ارتفاع مثلث است.

به عنوان مثال، برای پیدا کردن مساحت یک مثلث حاد ACB، باید ضلع AB آن را در ارتفاع CD ضرب کنید و مقدار حاصل را بر دو تقسیم کنید.

با این حال، پیدا کردن مساحت یک مثلث همیشه آسان نیست. به عنوان مثال، برای استفاده از این فرمول برای یک مثلث منفرد، باید یکی از اضلاع آن را گسترش دهید و تنها پس از آن ارتفاع را به سمت آن بکشید.

در عمل، این فرمول بیشتر از سایرین استفاده می شود.

در دو طرف و گوشه

این فرمول مانند فرمول قبلی برای اکثر مثلث ها مناسب است و در معنای خود نتیجه فرمول یافتن مساحت و ارتفاع یک مثلث است. یعنی فرمول مورد بحث را می توان به راحتی از فرمول قبلی استخراج کرد. فرمول آن به این شکل است:

S = ½*sinO*A*B،

که در آن A و B اضلاع مثلث و O زاویه بین ضلع A و B است.

به یاد بیاوریم که سینوس یک زاویه را می توان در جدول ویژه ای به نام ریاضیدان برجسته شوروی V. M. Bradis مشاهده کرد.

حالا بیایید به سراغ فرمول های دیگری برویم که فقط برای انواع استثنایی مثلث ها مناسب هستند.

مساحت مثلث قائم الزاویه

علاوه بر فرمول جهانی، که شامل نیاز به یافتن ارتفاع در یک مثلث است، مساحت یک مثلث حاوی زاویه قائمه را می توان از پاهای آن پیدا کرد.

بنابراین، مساحت مثلثی که دارای زاویه قائمه است، نصف حاصلضرب پاهای آن است، یا:

که در آن a و b پاهای یک مثلث قائم الزاویه هستند.

مثلث منظم

این نوع شکل هندسی از این جهت متفاوت است که مساحت آن را فقط با مقدار مشخص شده یکی از ضلع های آن می توان یافت (زیرا همه اضلاع یک مثلث منظم برابر هستند). بنابراین، هنگامی که با وظیفه "یافتن مساحت یک مثلث زمانی که اضلاع برابر هستند" روبرو می شوید، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

S = A 2 *√3 / 4،

که در آن A ضلع مثلث متساوی الاضلاع است.

فرمول هرون

آخرین گزینه برای یافتن مساحت مثلث، فرمول هرون است. برای استفاده از آن باید طول سه ضلع شکل را بدانید. فرمول هرون به شکل زیر است:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c)،

که در آن a، b و c اضلاع یک مثلث معین هستند.

گاهی اوقات این مشکل مطرح می شود: "مساحت یک مثلث منظم، یافتن طول ضلع آن است." در این مورد، باید از فرمولی که قبلاً می‌دانیم برای یافتن مساحت یک مثلث منظم استفاده کنیم و مقدار ضلع (یا مربع آن) را از آن استخراج کنیم:

A 2 = 4S / √3.

وظایف امتحانی

فرمول های زیادی در مسائل GIA در ریاضیات وجود دارد. علاوه بر این، اغلب لازم است که مساحت یک مثلث را روی کاغذ شطرنجی پیدا کنید.

در این مورد، راحت‌تر است که ارتفاع را به یکی از دو طرف شکل بکشید، طول آن را از سلول‌ها تعیین کنید و از فرمول جهانی برای پیدا کردن مساحت استفاده کنید:

بنابراین، پس از مطالعه فرمول های ارائه شده در مقاله، برای یافتن مساحت یک مثلث از هر نوع مشکلی نخواهید داشت.

شما می توانید بیش از 10 فرمول برای محاسبه مساحت یک مثلث در اینترنت پیدا کنید که بسیاری از آنها در مسائل مربوط به اضلاع و زوایای شناخته شده یک مثلث استفاده می شوند. با این حال، تعدادی مثال پیچیده وجود دارد که با توجه به شرایط انتساب، فقط یک ضلع و زوایای یک مثلث مشخص است، یا شعاع یک دایره محصور یا محاط و یک مشخصه دیگر. در چنین مواردی نمی توان یک فرمول ساده را اعمال کرد.

فرمول های ارائه شده در زیر به شما امکان می دهد 95 درصد مسائلی را که در آنها باید مساحت یک مثلث را پیدا کنید، حل کنید.
بیایید به بررسی فرمول های منطقه مشترک بپردازیم.
مثلثی که در شکل زیر نشان داده شده است را در نظر بگیرید

در شکل و زیر در فرمول ها، عناوین کلاسیک تمام ویژگی های آن معرفی شده است.
a,b,c – اضلاع مثلث
R - شعاع دایره محدود شده،
r - شعاع دایره محاط شده،
h[b],h[a],h[c] – ارتفاعات ترسیم شده مطابق با اضلاع a,b,c.
آلفا، بتا، هاما - زوایای نزدیک به رئوس.

فرمول های اصلی برای مساحت مثلث

1. مساحت برابر است با نصف حاصلضرب ضلع مثلث و ارتفاع پایین آمده به این ضلع. در زبان فرمول ها این تعریف را می توان به صورت زیر نوشت

بنابراین، اگر ضلع و ارتفاع مشخص باشد، هر دانش آموز منطقه را پیدا می کند.
به هر حال، از این فرمول می توان یک رابطه مفید بین ارتفاعات بدست آورد

2. اگر در نظر بگیریم که ارتفاع مثلث از ضلع مجاور با وابستگی بیان می شود.

سپس فرمول منطقه اول با فرمول دوم از همان نوع دنبال می شود

با دقت به فرمول ها نگاه کنید - به خاطر سپردن آنها آسان است، زیرا کار شامل دو طرف و زاویه بین آنها است. اگر اضلاع و زوایای مثلث را به درستی تعیین کنیم (مانند شکل بالا) دو عدد بدست می آید. اضلاع a،b و زاویه به سوم متصل استبا (هاما).

3. برای زوایای مثلث، رابطه صادق است

وابستگی به شما امکان می دهد از فرمول های زیر برای مساحت یک مثلث در محاسبات استفاده کنید:

نمونه هایی از این وابستگی بسیار نادر هستند، اما باید به یاد داشته باشید که چنین فرمولی وجود دارد.

4. اگر ضلع و دو زاویه مجاور شناخته شده باشند، مساحت با فرمول پیدا می شود

5. فرمول مساحت بر حسب ضلع و کتانژانت زوایای مجاور به شرح زیر است

با مرتب کردن مجدد ایندکس ها می توانید وابستگی هایی برای طرف های دیگر دریافت کنید.

6. از فرمول مساحت زیر در مسائلی استفاده می شود که رئوس یک مثلث بر روی صفحه با مختصات مشخص شده باشند. در این حالت، مساحت برابر با نصف مدول تعیین کننده گرفته شده است.

7. فرمول هروندر مثال هایی با اضلاع شناخته شده مثلث استفاده می شود.
ابتدا نیم محیط مثلث را پیدا کنید

و سپس با استفاده از فرمول مساحت را تعیین کنید

یا

اغلب در کد برنامه های ماشین حساب استفاده می شود.

8. اگر تمام ارتفاعات مثلث مشخص باشد، مساحت با فرمول تعیین می شود

محاسبه بر روی ماشین حساب دشوار است، اما در بسته های MathCad، Mathematica، Maple مساحت "زمان دو" است.

9. فرمول های زیر از شعاع شناخته شده دایره های محاطی و محاطی استفاده می کنند.

به ویژه، اگر شعاع و اضلاع مثلث یا محیط آن مشخص باشد، مساحت طبق فرمول محاسبه می شود.

10. در مثال هایی که اضلاع و شعاع یا قطر دایره محدود شده آورده شده است، مساحت با استفاده از فرمول پیدا می شود.

11. فرمول زیر مساحت یک مثلث را بر حسب ضلع و زوایای مثلث تعیین می کند.

و در نهایت - موارد خاص:
مساحت مثلث قائم الزاویهبا پاهای a و b برابر با نصف حاصلضرب آنها

فرمول مساحت مثلث متساوی الاضلاع (منظم).=

= یک چهارم حاصل ضرب مربع ضلع و ریشه سه.

مفهوم منطقه

مفهوم مساحت هر شکل هندسی، به ویژه یک مثلث، با شکلی مانند مربع همراه خواهد بود. برای واحد مساحت هر شکل هندسی مساحت مربعی را می گیریم که ضلع آن برابر با یک است. برای کامل بودن، اجازه دهید دو ویژگی اساسی را برای مفهوم مساحت اشکال هندسی یادآوری کنیم.

خاصیت 1:اگر اشکال هندسیمساوی هستند، سپس مساحت آنها نیز برابر است.

خاصیت 2:هر شکلی را می توان به چند شکل تقسیم کرد. علاوه بر این، مساحت شکل اصلی برابر است با مجموع مساحت تمام ارقام تشکیل دهنده آن.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.

مثال 1

بدیهی است که یکی از اضلاع مثلث مورب مستطیل است که طول یک ضلع آن 5 دلار است (چون سلول های 5 دلاری وجود دارد) و ضلع دیگر آن 6 دلار است (از آنجایی که سلول های 6 دلاری وجود دارد). بنابراین مساحت این مثلث برابر با نصف چنین مستطیلی خواهد بود. مساحت مستطیل است

سپس مساحت مثلث برابر است با

پاسخ: 15 دلار

در ادامه چندین روش برای یافتن مساحت مثلث ها در نظر می گیریم، یعنی استفاده از ارتفاع و قاعده، با استفاده از فرمول هرون و مساحت مثلث متساوی الاضلاع.

چگونه مساحت یک مثلث را با استفاده از ارتفاع و قاعده آن پیدا کنیم

قضیه 1

مساحت یک مثلث را می توان نصف حاصلضرب طول یک ضلع و ارتفاع آن ضلع یافت.

از نظر ریاضی به این شکل است

$S=\frac(1)(2)αh$

که $a$ طول ضلع است، $h$ ارتفاع کشیده شده به آن است.

اثبات

مثلثی $ABC$ را در نظر بگیرید که در آن $AC=α$ است. ارتفاع $BH$ به این سمت کشیده شده است که برابر با $h$ است. بیایید آن را مانند شکل 2 تا مربع $AXYC$ بسازیم.

مساحت مستطیل $AXBH$ $h\cdot AH$ و مساحت مستطیل $HBYC$ $h\cdot HC$ است. سپس

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

بنابراین مساحت مورد نیاز مثلث با خاصیت 2 برابر است با

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

قضیه ثابت شده است.

مثال 2

اگر مساحت سلول برابر با یک باشد، مساحت مثلث را در شکل زیر بیابید

پایه این مثلث برابر با 9 دلار است (زیرا 9 دلار مربع 9 دلار است). ارتفاع آن نیز 9 دلار است. سپس، با قضیه 1، به دست می آوریم

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

پاسخ: 40.5 دلار.

فرمول هرون

قضیه 2

اگر سه ضلع مثلث $α$، $β$ و $γ$ به ما داده شود، مساحت آن را می توان به صورت زیر یافت.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

در اینجا $ρ$ به معنای نیم محیط این مثلث است.

اثبات

شکل زیر را در نظر بگیرید:

با قضیه فیثاغورث از مثلث $ABH$ بدست می آوریم

از مثلث $CBH$، طبق قضیه فیثاغورث، داریم

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

از این دو رابطه برابری را بدست می آوریم

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

از آنجایی که $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$، پس $α+β+γ=2ρ$، یعنی

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

با قضیه 1 دریافت می کنیم

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

برای تعیین مساحت یک مثلث، می توانید از فرمول های مختلفی استفاده کنید. از بین تمام روش ها، ساده ترین و پرکاربردترین روش ضرب ارتفاع در طول پایه و سپس تقسیم نتیجه بر دو است. با این حال، این روش به دور از تنها روش است. در زیر می توانید نحوه پیدا کردن مساحت مثلث را با استفاده از فرمول های مختلف بخوانید.

به طور جداگانه، ما به روش هایی برای محاسبه مساحت انواع خاص مثلث - مستطیل، متساوی الساقین و متساوی الاضلاع نگاه خواهیم کرد. ما هر فرمول را با توضیح کوتاهی همراه می کنیم که به شما در درک ماهیت آن کمک می کند.

روش های جهانی برای یافتن مساحت یک مثلث

فرمول های زیر از نشانه گذاری ویژه استفاده می کنند. ما هر یک از آنها را رمزگشایی می کنیم:

• a, b, c - طول سه ضلع شکل مورد نظر ما.
• r شعاع دایره ای است که می تواند در مثلث ما حک شود.
• R شعاع دایره ای است که می توان در اطراف آن توصیف کرد.
• α بزرگی زاویه تشکیل شده توسط اضلاع b و c است.
• β قدر زاویه بین a و c است.
• γ بزرگی زاویه ای است که توسط اضلاع a و b تشکیل شده است.
• h ارتفاع مثلث ما است که از زاویه α به ضلع a پایین آمده است.
• p – نصف مجموع اضلاع a، b و c.

منطقاً واضح است که چرا می توانید مساحت یک مثلث را به این ترتیب پیدا کنید. مثلث را می توان به راحتی به یک متوازی الاضلاع کامل کرد که در آن یک ضلع مثلث به عنوان یک مورب عمل می کند. مساحت متوازی الاضلاع با ضرب طول یکی از اضلاع آن در مقدار ارتفاع کشیده شده به سمت آن به دست می آید. قطر این متوازی الاضلاع شرطی را به 2 مثلث یکسان تقسیم می کند. بنابراین، کاملاً واضح است که مساحت مثلث اصلی ما باید برابر با نصف مساحت این متوازی الاضلاع کمکی باشد.

S=½ a b sin γ

طبق این فرمول، مساحت یک مثلث با ضرب طول دو ضلع آن یعنی a و b در سینوس زاویه تشکیل شده توسط آنها به دست می آید. این فرمول به طور منطقی از فرمول قبلی گرفته شده است. اگر ارتفاع را از زاویه β به ضلع b کم کنیم، با توجه به ویژگی های مثلث قائم الزاویه، وقتی طول ضلع a را در سینوس زاویه γ ضرب کنیم، ارتفاع مثلث یعنی h را به دست می آوریم. .

مساحت شکل مورد نظر با ضرب نصف شعاع دایره ای که می توان در آن حک کرد در محیط آن به دست می آید. به عبارت دیگر حاصل ضرب نیم محیط و شعاع دایره مذکور را می یابیم.

S= a b c/4R

با توجه به این فرمول، مقدار مورد نیاز ما را می توان با تقسیم حاصلضرب اضلاع شکل بر 4 شعاع دایره ای که در اطراف آن شرح داده شده است، پیدا کرد.

این فرمول ها جهانی هستند، زیرا تعیین مساحت هر مثلث (مقیاس، متساوی الساقین، متساوی الاضلاع، مستطیل) را ممکن می سازند. این را می توان با استفاده از محاسبات پیچیده تری انجام داد، که ما به جزئیات آن نمی پردازیم.

مساحت مثلث ها با ویژگی های خاص

چگونه مساحت مثلث قائم الزاویه را پیدا کنیم؟ ویژگی این شکل این است که دو ضلع آن به طور همزمان ارتفاعات آن است. اگر a و b پاها باشند و c تبدیل به هیپوتانوس شود، ناحیه را مانند زیر پیدا می کنیم:

چگونه مساحت مثلث متساوی الساقین را پیدا کنیم؟ دارای دو ضلع به طول a و یک ضلع به طول b است. در نتیجه، مساحت آن را می توان با تقسیم بر 2 حاصل ضرب مجذور ضلع a بر سینوس زاویه γ تعیین کرد.

چگونه مساحت مثلث متساوی الاضلاع را پیدا کنیم؟ در آن طول همه اضلاع برابر a و قدر همه زوایا α است. ارتفاع آن برابر است با نصف حاصلضرب طول ضلع a و جذر 3. برای یافتن مساحت یک مثلث منظم باید مربع ضلع a را در جذر 3 ضرب کنید و بر آن تقسیم کنید. 4.