A base da prova é a definição do limite da função. Você pode usar outro método, usando as fórmulas de redução trigonométrica para o cosseno e o seno dos ângulos. Expresse uma função em termos de outra - cosseno em termos de seno e diferencie o seno com um argumento complexo.
Considere o primeiro exemplo da derivação da fórmula (Cos(x))"
Damos um incremento desprezível Δx ao argumento x da função y = Cos(x). Com um novo valor do argumento х+Δх, obtemos um novo valor da função Cos(х+Δх). Então o incremento da função Δy será igual a Cos(х+Δx)-Cos(x).
A razão do incremento da função para Δx será: (Cos(x+Δx)-Cos(x))/Δx. Vamos realizar transformações idênticas no numerador da fração resultante. Lembre-se da fórmula da diferença nos cossenos dos ângulos, o resultado será o produto -2Sin (Δx / 2) vezes Sin (x + Δx / 2). Encontramos o limite do quociente lim deste produto em Δx quando Δx tende a zero. Sabe-se que o primeiro (chamado notável) limite lim(Sin(Δх/2)/(Δх/2)) é igual a 1, e o limite -Sin(х+Δх/2) é igual a -Sin (x) quando Δx tende a zero.
Vamos anotar o resultado: a derivada (Cos(x))" é igual a - Sin(x).
Algumas pessoas preferem a segunda maneira de derivar a mesma fórmula
Sabe-se do curso de trigonometria: Cos (x) é igual a Sin (0,5 ∏-x), da mesma forma que Sin (x) é igual a Cos (0,5 ∏-x). Em seguida, diferenciamos uma função complexa - o seno do ângulo adicional (em vez do cosseno x).
Obtemos o produto Cos(0,5 ∏-x) (0,5 ∏-x)", porque a derivada do seno x é igual ao cosseno x. Passamos para a segunda fórmula Sin(x) = Cos(0,5 ∏- x ) substituindo cosseno por seno, levamos em conta que (0,5 ∏-x)" = -1. Agora obtemos -Sin(x).
Assim, a derivada do cosseno é encontrada, y" \u003d -Sin (x) para a função y \u003d Cos (x).
Um exemplo comumente usado em que a derivada do cosseno é usada. A função y = Cos 2 (x) é complicada. Primeiro encontramos o diferencial da função de potência com um expoente de 2, será 2 Cos (x), depois multiplicamos pela derivada (Cos (x)), que é igual a -Sin (x). Obtemos y "= -2 cos (x) sen(x). Quando aplicamos a fórmula Sen (2 x), o seno de um ângulo duplo, obtemos a simplificação final
resposta y" = -Sin(2 x)
funções hiperbólicas
Eles são usados no estudo de muitas disciplinas técnicas: em matemática, por exemplo, facilitam o cálculo de integrais, a solução Eles são expressos em termos de funções trigonométricas com um argumento imaginário, por exemplo, o cosseno hiperbólico ch(x) = Cos(i x), onde i é a unidade imaginária, o seno hiperbólico sh(x) = Sin(i x).
A derivada do cosseno hiperbólico é calculada de forma bastante simples.
Considere a função y \u003d (e x + e -x) / 2, este é o cosseno hiperbólico ch (x). Usamos a regra para encontrar a derivada da soma de duas expressões, a regra para tirar o fator constante (Const) do sinal da derivada. O segundo termo 0,5 e -x é uma função complexa (sua derivada é -0,5 e -x), 0,5 e x é o primeiro termo. (ch(x)) "=((e x +e - x)/2)" pode ser escrito de forma diferente: (0,5 e x +0,5 e - x)" = 0,5 e x -0,5 e - x, porque a derivada de (e - x)" é -1 vezes e - x. O resultado é uma diferença, e este é o seno hiperbólico sh(x).
Saída: (ch(x))" = sh(x).
Vamos dar um exemplo de como calcular a derivada da função y \u003d ch (x 3 +1).
De acordo com o cosseno hiperbólico com um argumento complexo y" \u003d sh (x 3 +1) (x 3 +1)", onde (x 3 +1)" \u003d 3 x 2 +0.
Resposta: a derivada desta função é igual a 3 x 2 sh (x 3 +1).
As derivadas das funções consideradas y \u003d ch (x) e y \u003d Cos (x) são tabulares
Ao resolver exemplos, não há necessidade de diferenciá-los a cada vez de acordo com o esquema proposto, basta usar a derivação.
Exemplo. Diferencie a função y \u003d Cos (x) + Cos 2 (-x) -Ch (5 x).
É fácil calcular (usaremos dados tabulares), y" \u003d -Sin (x) + Sin (2 x) -5 Sh (5 x).
Nesta lição, aprenderemos como aplicar fórmulas e regras de diferenciação.
Exemplos. Encontrar derivadas de funções.
1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Aplicando a Regra EU, fórmulas 4, 2 e 1. Nós temos:
y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.
2. y=3x6 -2x+5. Resolvemos de maneira semelhante, usando as mesmas fórmulas e a fórmula 3.
y'=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.
Aplicando a regra EU, fórmulas 3, 5
E 6
E 1.
Aplicando a regra 4, fórmulas 5
E 1
.
No quinto exemplo, de acordo com a regra EU a derivada da soma é igual a soma das derivadas, e acabamos de encontrar a derivada do 1º termo (exemplo 4 ), portanto, encontraremos derivadas 2º E 3º termos e para 1º termo, podemos escrever imediatamente o resultado.
Diferenciando 2º E 3º termos de acordo com a fórmula 4
. Para fazer isso, transformamos as raízes do terceiro e quarto graus em denominadores em potências com expoentes negativos e, então, de acordo com 4
fórmula, encontramos as derivadas das potências.
Veja este exemplo e o resultado. Você pegou o padrão? Multar. Isso significa que temos uma nova fórmula e podemos adicioná-la à nossa tabela de derivadas.
Vamos resolver o sexto exemplo e derivar mais uma fórmula.
Usamos a regra 4 e fórmula 4
. Reduzimos as frações resultantes.
Nós olhamos para esta função e sua derivada. Você, é claro, entendeu o padrão e está pronto para nomear a fórmula:
Aprendendo novas fórmulas!
Exemplos.
1. Encontre o incremento do argumento e o incremento da função y= x2 se o valor inicial do argumento for 4 , e o novo 4,01 .
Solução.
Novo valor de argumento x \u003d x 0 + Δx. Substitua os dados: 4,01=4+Δx, daí o incremento do argumento Δх=4,01-4=0,01. O incremento de uma função, por definição, é igual à diferença entre os valores novos e anteriores da função, ou seja, Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Como temos uma função y=x2, Que Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =
2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.
Responder: incremento de argumento Δх=0,01; incremento de função Δу=0,0801.
Foi possível encontrar o incremento da função de outra forma: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4,01) -y (4) \u003d 4,01 2 -4 2 \u003d 16,0801-16 \u003d 0,0801.
2. Encontre o ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função y=f(x) no ponto x 0, Se f "(x 0) \u003d 1.
Solução.
O valor da derivada no ponto de contato x 0 e é o valor da tangente da inclinação da tangente (o significado geométrico da derivada). Nós temos: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, porque tg45°=1.
Responder: a tangente ao gráfico desta função forma um ângulo com o sentido positivo do eixo Ox, igual a 45°.
3. Derivar a fórmula para a derivada de uma função y=xn.
Diferenciaçãoé o ato de encontrar a derivada de uma função.
Ao encontrar derivadas, são usadas fórmulas derivadas com base na definição da derivada, da mesma forma que derivamos a fórmula para o grau da derivada: (x n)" = nx n-1.
Aqui estão as fórmulas.
tabela de derivativos será mais fácil memorizar pronunciando formulações verbais:
1. A derivada de um valor constante é zero.
2. X linha é igual a um.
3. O fator constante pode ser retirado do sinal da derivada.
4. A derivada de um grau é igual ao produto do expoente deste grau pelo grau com a mesma base, mas o expoente é um a menos.
5. A derivada da raiz é igual a um dividido por duas das mesmas raízes.
6. A derivada da unidade dividida por x é menos um dividida por x ao quadrado.
7. A derivada do seno é igual ao cosseno.
8. A derivada do cosseno é igual a menos o seno.
9. A derivada da tangente é igual a um dividido pelo quadrado do cosseno.
10. A derivada da cotangente é menos um dividido pelo quadrado do seno.
Nós ensinamos regras de diferenciação.
1.
A derivada da soma algébrica é igual à soma algébrica dos termos derivados.
2. A derivada do produto é igual ao produto da derivada do primeiro fator pelo segundo mais o produto do primeiro fator pela derivada do segundo.
3. A derivada de “y” dividida por “ve” é igual a uma fração, no numerador da qual “y é um traço multiplicado por “ve” menos “y, multiplicado por um traço” e no denominador - “ve ao quadrado ”.
4. Um caso especial da fórmula 3.
Vamos aprender juntos!
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cálculo de derivativosé uma das operações mais importantes no cálculo diferencial. Abaixo está uma tabela para encontrar derivadas de funções simples. Para regras de diferenciação mais complexas, veja outras lições:- Tabela de derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
Derivadas de funções simples
1. A derivada de um número é zeroс´ = 0
Exemplo:
5' = 0
Explicação:
A derivada mostra a taxa na qual o valor da função muda quando o argumento muda. Como o número não muda de forma alguma sob nenhuma condição, a taxa de sua mudança é sempre zero.
2. Derivada de uma variável igual a um
x' = 1
Explicação:
A cada incremento do argumento (x) em um, o valor da função (resultado do cálculo) aumenta na mesma quantidade. Assim, a taxa de variação do valor da função y = x é exatamente igual à taxa de variação do valor do argumento.
3. A derivada de uma variável e um fator é igual a este fator
сx´ = с
Exemplo:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Explicação:
Nesse caso, cada vez que o argumento da função ( x) seu valor (y) cresce em Com uma vez. Assim, a taxa de variação do valor da função em relação à taxa de variação do argumento é exatamente igual ao valor Com.
De onde se segue que
(cx + b)" = c
ou seja, a diferencial da função linear y=kx+b é igual à inclinação da reta (k).
4. Derivada de módulo de uma variávelé igual ao quociente desta variável para o seu módulo
|x|"= x / |x| desde que x ≠ 0
Explicação:
Como a derivada da variável (ver fórmula 2) é igual a um, a derivada do módulo difere apenas porque o valor da taxa de variação da função muda para o oposto ao cruzar o ponto de origem (tente fazer um gráfico da função y = |x| e veja por si mesmo. Este é exatamente o valor e retorna a expressão x / |x| Quando x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - um. Ou seja, com valores negativos da variável x, a cada aumento na mudança do argumento, o valor da função diminui exatamente no mesmo valor, e com valores positivos, ao contrário, aumenta, mas exatamente o mesmo valor.
5. Derivada de potência de uma variávelé igual ao produto do número desta potência e a variável na potência, reduzida em um
(x c)"= cx c-1, desde que x c e cx c-1 sejam definidos e c ≠ 0
Exemplo:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Para memorizar a fórmula:
Pegue o expoente da variável "para baixo" como um multiplicador e, em seguida, diminua o próprio expoente em um. Por exemplo, para x 2 - dois estava à frente de x, e então a potência reduzida (2-1 = 1) nos deu apenas 2x. A mesma coisa aconteceu para x 3 - abaixamos o triplo, reduzimos em um, e em vez de um cubo temos um quadrado, ou seja, 3x 2 . Um pouco "não científico", mas muito fácil de lembrar.
6.Derivada de fração 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Exemplo:
Como uma fração pode ser representada como elevada a uma potência negativa
(1/x)" = (x -1)" , então você pode aplicar a fórmula da regra 5 da tabela de derivadas
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivada de fração com uma variável de grau arbitrário no denominador
(1/x c)" = - c / x c+1
Exemplo:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. raiz derivada(derivada da variável sob a raiz quadrada)
(√x)" = 1 / (2√x) ou 1/2 x -1/2
Exemplo:
(√x)" = (x 1/2)" então você pode aplicar a fórmula da regra 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Derivada de uma variável sob uma raiz de um grau arbitrário
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
O cálculo da derivada é frequentemente encontrado em atribuições de USE. Esta página contém uma lista de fórmulas para encontrar derivadas.
Regras de diferenciação
- (k⋅f(x))′=k⋅f′(x).
- (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
- (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
- Derivada de uma função complexa. Se y=F(u) e u=u(x), então a função y=f(x)=F(u(x)) é chamada de função complexa de x. É igual a y′(x)=Fu′⋅ ux′.
- Derivada de uma função implícita. A função y=f(x) é chamada de função implícita dada pela relação F(x,y)=0 se F(x,f(x))≡0.
- Derivada da função inversa. Se g(f(x))=x, então a função g(x) é chamada de função inversa para a função y=f(x).
- Derivada de uma função dada parametricamente. Sejam x e y dados como funções da variável t: x=x(t), y=y(t). Diz-se que y=y(x) é uma função definida parametricamente no intervalo x∈ (a;b) se neste intervalo a equação x=x(t) pode ser expressa como t=t(x) e a função y=y(t(x))=y(x).
- Derivada da função exponencial. É encontrado levando o logaritmo à base do logaritmo natural.
A demonstração e derivação da fórmula para a derivada do cosseno - cos(x) é apresentada. Exemplos de cálculo de derivadas de cos 2x, cos 3x, cos nx, cosseno ao quadrado, ao cubo e à potência de n. A fórmula para a derivada do cosseno da enésima ordem.
ContenteVeja também: Seno e cosseno - propriedades, gráficos, fórmulas
A derivada em relação à variável x do cosseno de x é igual a menos o seno de x:
(cos x)′ = - sen x.
Prova
Para derivar a fórmula para a derivada do cosseno, usamos a definição da derivada:
.
Vamos transformar essa expressão para reduzi-la a leis e regras matemáticas conhecidas. Para fazer isso, precisamos conhecer quatro propriedades.
1)
Fórmulas trigonométricas. Precisamos da seguinte fórmula:
(1)
;
2)
Propriedade de continuidade da função seno:
(2)
;
3)
O significado do primeiro limite notável:
(3)
;
4)
A propriedade limite do produto de duas funções:
Se e então
(4)
.
Aplicamos essas leis ao nosso limite. Primeiro transformamos a expressão algébrica
.
Para isso aplicamos a fórmula
(1)
;
No nosso caso
; . Então
;
;
;
.
Vamos fazer uma substituição. No , . Usamos a propriedade de continuidade (2):
.
Fazemos a mesma substituição e aplicamos o primeiro limite notável (3):
.
Como os limites calculados acima existem, aplicamos a propriedade (4):
.
Assim, obtivemos a fórmula da derivada do cosseno.
Exemplos
Considere exemplos simples de encontrar derivadas de funções contendo cosseno. Vamos encontrar as derivadas das seguintes funções:
y = cos2x; y = cos 3x; y = cosnx; y= cos 2 x; y= cos 3 x e y= cos n x.
Exemplo 1
Encontrar derivados de cos 2x, cos 3x E cos nx.
As funções originais têm uma forma semelhante. Portanto, vamos encontrar a derivada da função y = cos nx. Então, como uma derivada de cos nx, substitua n = 2 e n = 3 . E, assim, obtemos fórmulas para derivadas de cos 2x E cos 3x .
Assim, encontramos a derivada da função
y = cos nx
.
Vamos representar esta função da variável x como uma função complexa composta por duas funções:
1)
2)
Então a função original é uma função complexa (composta) composta pelas funções e :
.
Vamos encontrar a derivada da função em relação à variável x:
.
Vamos encontrar a derivada da função em relação à variável:
.
Nós aplicamos.
.
Substituto :
(P1) .
Agora, na fórmula (P1) substituímos e :
;
.
;
;
.
Exemplo 2
Encontre derivadas de cosseno ao quadrado, cosseno ao cubo e cosseno elevado à potência de n:
y= cos 2 x; y= cos 3 x; y= cos n x.
Neste exemplo, as funções também têm uma aparência semelhante. Portanto, encontraremos a derivada da função mais geral - o cosseno à potência de n:
y= cos n x.
Em seguida, substituímos n = 2 e n = 3 . E, assim, obtemos fórmulas para as derivadas de cosseno ao quadrado e cosseno ao cubo.
Então, precisamos encontrar a derivada da função
.
Vamos reescrever de uma forma mais compreensível:
.
Vamos representar esta função como uma função complexa composta por duas funções:
1)
Funções dependentes de variáveis: ;
2)
Funções dependentes de variáveis: .
Então a função original é uma função complexa composta por duas funções e:
.
Encontramos a derivada da função em relação à variável x:
.
Encontramos a derivada da função em relação à variável:
.
Aplicamos a regra de diferenciação de uma função complexa.
.
Substituto :
(P2) .
Agora vamos substituir e:
;
.
;
;
.
Derivadas de ordens superiores
Note que a derivada de cos x de primeira ordem pode ser expressa em termos de cosseno como segue:
.
Vamos encontrar a derivada de segunda ordem usando a fórmula da derivada de uma função complexa:
.
Aqui .
Observe que a diferenciação cos x faz com que seu argumento seja incrementado por . Então a derivada de enésima ordem tem a forma:
(5)
.
Esta fórmula pode ser provada mais estritamente usando o método de indução matemática. A prova para a n-ésima derivada do seno é dada na página “Derivada do seno”. Para a n-ésima derivada do cosseno, a prova é exatamente a mesma. Só é necessário substituir sen por cos em todas as fórmulas.
Veja também: