Ko'rsatmalar
1. Ikki oyoq uchun S = a * b/2, a, b – oyoqlar,
Maydonni hisoblashning ikkinchi variantida kotangentlar o'rniga ma'lum burchaklarning sinuslari qo'llaniladi. Ushbu versiyada kvadrat ma'lum tomon uzunligining kvadratiga teng bo'lib, har bir burchakning sinusiga ko'paytiriladi va bu burchaklarning qo'sh sinusiga bo'linadi: S = A*A*sin(a)*sin(b)/(2) *sin(a + b)). Masalan, ma'lum tomoni 15 sm bo'lgan va unga ulashgan bir xil uchburchak uchun burchaklar 40 ° va 60 ° da maydonni hisoblash quyidagicha bo'ladi: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0.74511316*(-0.304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 kvadrat santimetr.
Uchburchakning maydonini hisoblash versiyasi burchaklarni o'z ichiga oladi. Maydoni ma'lum tomonning uzunligi kvadratiga teng bo'ladi, har bir burchakning tangenslariga ko'paytiriladi va bu burchaklarning tangenslari yig'indisining ikki barobariga bo'linadi: S = A*A*tg(a)*tg (b)/2(tg(a)+tg(b) ). Misol uchun, 15 sm va qo'shni tomoni bilan oldingi bosqichlarda ishlatiladigan uchburchak uchun burchaklar 40° va 60° da maydonni hisoblash quyidagicha koʻrinadi: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 kvadrat santimetr.
Uchburchak - bu uchta uchi va uch tomoni bo'lgan eng oddiy ko'pburchak. Burchaklaridan biri to'g'ri bo'lgan uchburchak to'g'ri burchakli uchburchak deyiladi. To'g'ri uchburchaklar uchun umumiy uchburchaklar uchun barcha formulalar qo'llaniladi. Biroq, ular xususiyatlarni hisobga olgan holda o'zgartirilishi mumkin to'g'ri burchak.
Ko'rsatmalar
Hududni topish uchun asosiy uchburchak tayanch orqali quyidagicha: S = 1/2 * b * h, bu erda b - tomon uchburchak, va h - uchburchak. Balandligi uchburchak tepadan chizilgan perpendikulyardir uchburchak teskarisini o'z ichiga olgan qatorga. To'rtburchaklar uchun uchburchak balandligi k b oyoq a bilan mos keladi. Shu tarzda siz maydonni hisoblash formulasini olasiz uchburchak burchak bilan: S = 1/2 * a * b.
O'ylab ko'ring. To'rtburchakda a = 3, b = 4 bo'lsin. Keyin S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Hisoblang kvadrat xuddi shu uchburchak, lekin endi faqat bir tomoni ma'lum bo'lsin, b = 4. Va burchak a, tan a = 3/4 ham ma'lum. Keyin a trigonometrik funksiyaning tangensi ifodasidan a oyog'ini ifodalang: tg a = a/b => a = b * tan a. To'rtburchakning maydonini hisoblash uchun ushbu qiymatni formulaga almashtiring uchburchak va biz olamiz: S = 1/2 * a * b = 1/2 *b^2 * tan a = 1/2 * 16 * 3/4 = 6.
To'rtburchaklar teng yon tomonning maydonini hisoblashni alohida holat sifatida ko'rib chiqing uchburchak. Teng yonli uchburchak - bu ikki tomoni bir-biriga teng bo'lgan uchburchak. To'rtburchaklar holatida uchburchak a = b chiqadi. Bu holat uchun Pifagor teoremasini yozing: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Keyinchalik, ushbu qiymatni maydonni hisoblash formulasiga quyidagicha almashtiring: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a ^ 2 = 1/2 * (c ^ 2 / 2) = c ^ 2 / 4 .
Agar chizilgan aylana r va aylana R radiuslari ma'lum bo'lsa, u holda kvadrat to'rtburchaklar uchburchak S = r^2 + 2 * r * R formulasi bilan hisoblanadi. Uchburchakda chizilgan aylana radiusi r = 1, aylana radiusi bo'lsin. uchburchak doira R = 5/2. Keyin S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.
Mavzu bo'yicha video
To'g'ri burchakli uchburchak atrofida aylana radiusi gipotenuzaning yarmiga teng: R = c / 2. To'g'ri burchakli uchburchak ichiga chizilgan aylananing radiusi r = (a + b – c) / 2 formulasi bilan topiladi.
Bu eng oddiy geometrik raqamlardan biri bo'lib, unda uchta nuqtani juftlik bilan bog'laydigan uchta segment tekislikning bir qismini cheklaydi. Har xil kombinatsiyalarda uchburchakning ba'zi parametrlarini (tomonlarning uzunligi, burchaklari, chizilgan yoki chegaralangan doira radiusi, balandligi va boshqalar) bilish tekislikning ushbu cheklangan qismining maydonini hisoblash imkonini beradi.
Ko'rsatmalar
Agar uchburchakning ikki tomonining uzunliklari (A va B) va ularning burchagi kattaligi (g) ma’lum bo‘lsa, uchburchakning maydoni (S) tomonlari uzunliklari ko‘paytmasining yarmiga teng bo‘ladi. ma’lum burchakning sinusi: S=A∗B∗sin(g)/2.
Agar ixtiyoriy uchburchakda barcha uch tomonning (A, B va C) uzunligi ma'lum bo'lsa, uning maydonini (S) hisoblash uchun qo'shimcha o'zgaruvchini - yarim perimetrni (p) kiritish qulayroqdir. Bu o'zgaruvchi barcha tomonlarning uzunliklari yig'indisining yarmida hisoblanadi: p=(A+B+C)/2. Ushbu o'zgaruvchidan foydalanib, ushbu o'zgaruvchidagi yarim perimetr mahsulotining kvadrat ildizi va tomonlarning uzunligi sifatida aniqlanishi mumkin: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).
Agar barcha tomonlarning uzunligiga qo'shimcha ravishda (A, B va C), ixtiyoriy uchburchak yaqinida chegaralangan aylananing radiusi (R) uzunligi ham ma'lum bo'lsa, unda siz yarim perimetrsiz qilishingiz mumkin - maydon. (S) barcha tomonlar uzunliklari ko‘paytmasining aylananing to‘rt karra radiusiga nisbatiga teng bo‘ladi: S=A ∗B∗C/(4∗R).
Agar uchburchakning barcha burchaklarining qiymatlari (a, b va g) va uning tomonlaridan birining uzunligi (A) ma'lum bo'lsa, u holda maydon (S) kvadrat mahsulotining nisbatiga teng bo'ladi. ma'lum tomonning uzunligini unga tutash ikki burchakning sinuslari bilan qarama-qarshi bir burchakning qo'sh sinusiga: S=A²∗sin(b)∗sin(g)/(2∗sin(a)).
Agar ixtiyoriy uchburchakning barcha burchaklarining qiymatlari (a, b va g) va aylananing radiusi (R) ma'lum bo'lsa, u holda maydon (S) radius va kvadratning ikki barobariga teng bo'ladi. barcha burchaklarning sinuslari: S=2∗R²∗sin(a)∗ sin(b)∗sin(g).
Mavzu bo'yicha video
Uchburchakning hajmini topish haqiqatan ham ahamiyatsiz ishdir. Gap shundaki, uchburchak ikki o'lchovli figuradir, ya'ni. u butunlay bitta tekislikda yotadi, demak u shunchaki hajmga ega emas. Albatta, mavjud bo'lmagan narsani topa olmaysiz. Ammo taslim bo'lmaylik! Biz quyidagi taxminni qabul qilishimiz mumkin: ikki o'lchovli figuraning hajmi uning maydoni. Biz uchburchakning maydonini qidiramiz.
Sizga kerak bo'ladi
- qog'oz varag'i, qalam, o'lchagich, kalkulyator
Ko'rsatmalar
O'lchagich va qalam yordamida qog'oz varag'iga chizing. Uchburchakni diqqat bilan o'rganib chiqib, unda haqiqatan ham uchburchak yo'qligiga ishonch hosil qilishingiz mumkin, chunki u tekislikda chizilgan. Uchburchakning tomonlarini belgilang: bir tomoni "a", ikkinchi tomoni "b", uchinchi tomoni "c" bo'lsin. Uchburchakning uchlarini "A", "B" va "C" harflari bilan belgilang.
Uchburchakning istalgan tomonini o'lchagich bilan o'lchab, natijani yozing. Shundan so'ng, o'lchangan tomonga perpendikulyarni unga qarama-qarshi tomondan tiklang, bunday perpendikulyar uchburchakning balandligi bo'ladi. Rasmda ko'rsatilgan holatda, perpendikulyar "h" "A" cho'qqisidan "c" tomoniga tiklanadi. Olingan balandlikni o'lchagich bilan o'lchang va o'lchov natijasini yozing.
Siz uchun aniq perpendikulyarni tiklash qiyin bo'lishi mumkin. Bunday holda, siz boshqa formuladan foydalanishingiz kerak. Uchburchakning barcha tomonlarini o'lchagich bilan o'lchang. Shundan so'ng, tomonlarning hosil bo'lgan uzunliklarini qo'shib, ularning yig'indisini yarmiga bo'lish orqali "p" uchburchakning yarim perimetrini hisoblang. Yarim perimetrning qiymati sizning ixtiyoringizda bo'lsa, siz Heron formulasidan foydalanishingiz mumkin. Buning uchun siz quyidagi kvadrat ildizni olishingiz kerak: p (p-a) (p-b) (p-c).
Siz uchburchakning kerakli maydonini oldingiz. Uchburchakning hajmini topish masalasi hal etilmagan, lekin yuqorida aytib o'tilganidek, hajm yo'q. Siz uch o'lchovli dunyoda asosan uchburchak bo'lgan hajmni topishingiz mumkin. Agar biz asl uchburchakmiz uch o'lchamli piramidaga aylangan deb tasavvur qilsak, bunday piramidaning hajmi uning poydevori uzunligining biz olgan uchburchakning maydoniga ko'paytirilishi bo'ladi.
Eslatma
Qanchalik ehtiyotkorlik bilan o'lchasangiz, hisob-kitoblaringiz shunchalik aniq bo'ladi.
Manbalar:
- "Hammasi hamma narsaga" kalkulyatori - mos yozuvlar qiymatlari portali
- uchburchak hajmi
Uchburchak eng keng tarqalgan geometrik shakllardan biri bo'lib, biz boshlang'ich maktabda tanishamiz. Har bir talaba geometriya darslarida uchburchakning maydonini qanday topish mumkin degan savolga duch keladi. Xo'sh, berilgan raqamning maydonini topishning qanday xususiyatlarini aniqlash mumkin? Ushbu maqolada biz bunday vazifani bajarish uchun zarur bo'lgan asosiy formulalarni ko'rib chiqamiz, shuningdek, uchburchak turlarini tahlil qilamiz.
Uchburchaklar turlari
Siz uchburchakning maydonini butunlay boshqacha yo'llar bilan topishingiz mumkin, chunki geometriyada uchta burchakni o'z ichiga olgan bir nechta shakl mavjud. Bu turlarga quyidagilar kiradi:
- O'tkir.
- Teng tomonli (to'g'ri).
- To'g'ri uchburchak.
- Izossellar.
Keling, mavjud uchburchak turlarining har birini batafsil ko'rib chiqaylik.
Ushbu geometrik raqam geometrik muammolarni hal qilishda eng keng tarqalgan hisoblanadi. O'zboshimchalik bilan uchburchakni chizish zarurati tug'ilganda, bu variant yordamga keladi.
O'tkir uchburchakda, nomidan ko'rinib turibdiki, barcha burchaklar o'tkir va 180 ° ga teng.
Ushbu turdagi uchburchak ham juda keng tarqalgan, ammo o'tkir uchburchakdan ko'ra kamroq tarqalgan. Misol uchun, uchburchaklarni yechishda (ya'ni, uning bir nechta tomonlari va burchaklari ma'lum va qolgan elementlarini topish kerak), ba'zan burchakning o'tmas yoki yo'qligini aniqlash kerak. Kosinus manfiy sondir.
B, burchaklardan birining qiymati 90 ° dan oshadi, shuning uchun qolgan ikkita burchak kichik qiymatlarni olishi mumkin (masalan, 15 ° yoki hatto 3 °).
Ushbu turdagi uchburchakning maydonini topish uchun siz ba'zi nuanslarni bilishingiz kerak, ular haqida keyinroq gaplashamiz.
Muntazam va teng yonli uchburchaklar
Muntazam ko'pburchak - bu n ta burchakni o'z ichiga olgan va tomonlari va burchaklari teng bo'lgan figura. Bu oddiy uchburchak nima. Uchburchakning barcha burchaklarining yig'indisi 180 ° bo'lganligi sababli, uchta burchakning har biri 60 ° ga teng.
Muntazam uchburchak o'z xususiyatiga ko'ra teng tomonli figura deb ham ataladi.
Shuni ham ta'kidlash joizki, muntazam uchburchakda faqat bitta doira chizilgan bo'lishi mumkin va uning atrofida faqat bitta doira tasvirlanishi mumkin va ularning markazlari bir xil nuqtada joylashgan.
Teng tomonli turga qo'shimcha ravishda, undan bir oz farq qiladigan teng yonli uchburchakni ham ajratish mumkin. Bunday uchburchakda ikki tomon va ikkita burchak bir-biriga teng, uchinchi tomon (teng burchaklar qo'shni bo'lgan) asosdir.
Rasmda D va F burchaklari teng va DF asosi boʻlgan DEF teng yonli uchburchagi koʻrsatilgan.
To'g'ri uchburchak
To'g'ri burchakli uchburchakning bir burchagi to'g'ri, ya'ni 90° ga teng bo'lgani uchun shunday nomlangan. Qolgan ikkita burchakning qo'shilishi 90 ° ga etadi.
Bunday uchburchakning 90° burchakka qarama-qarshi yotgan eng katta tomoni gipotenuza, qolgan ikki tomoni esa oyoqlaridir. Ushbu turdagi uchburchaklar uchun Pifagor teoremasi qo'llaniladi:
Oyoqlarning uzunliklari kvadratlarining yig'indisi gipotenuzaning uzunligi kvadratiga teng.
Rasmda AC gipotenuzasi va oyoqlari AB va BC bo'lgan BAC to'g'ri burchakli uchburchak ko'rsatilgan.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini topish uchun siz uning oyoqlarining raqamli qiymatlarini bilishingiz kerak.
Keling, berilgan figuraning maydonini topish formulalariga o'tamiz.
Hududni topish uchun asosiy formulalar
Geometriyada uchburchaklarning ko'p turlarining maydonini topish uchun mos bo'lgan ikkita formula mavjud, xususan o'tkir, o'tmas, muntazam va teng yonli uchburchaklar uchun. Keling, ularning har birini ko'rib chiqaylik.
Yon va balandlikda
Ushbu formula biz ko'rib chiqayotgan raqamning maydonini topish uchun universaldir. Buning uchun yon tomonning uzunligini va unga chizilgan balandlikning uzunligini bilish kifoya. Formulaning o'zi (tayanch va balandlikning yarmi mahsuloti) quyidagicha:
Bu erda A - berilgan uchburchakning tomoni, H - uchburchakning balandligi.
Masalan, ACB o'tkir uchburchakning maydonini topish uchun uning AB tomonini CD balandligiga ko'paytirish va olingan qiymatni ikkiga bo'lish kerak.
Biroq, bu tarzda uchburchakning maydonini topish har doim ham oson emas. Misol uchun, bu formulani to'g'ri uchburchak uchun ishlatish uchun siz uning tomonlaridan birini kengaytirishingiz kerak va shundan keyingina unga balandlikni chizishingiz kerak.
Amalda, bu formula boshqalarga qaraganda tez-tez ishlatiladi.
Ikkala tomonda va burchakda
Ushbu formula, oldingi kabi, ko'pgina uchburchaklar uchun mos keladi va o'z ma'nosida uchburchakning yonma-yon maydoni va balandligini topish formulasining natijasidir. Ya'ni, ko'rib chiqilayotgan formulani avvalgisidan osongina olish mumkin. Uning formulasi quyidagicha ko'rinadi:
S = ½*sinO*A*B,
Bu erda A va B uchburchakning tomonlari, O esa A va B tomonlari orasidagi burchak.
Eslatib o'tamiz, burchak sinusini taniqli sovet matematigi V. M. Bradis nomi bilan atalgan maxsus jadvalda ko'rish mumkin.
Endi uchburchaklarning faqat istisno turlari uchun mos bo'lgan boshqa formulalarga o'tamiz.
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni
Uchburchakdagi balandlikni topish zaruriyatini o'z ichiga olgan universal formulaga qo'shimcha ravishda, to'g'ri burchakli uchburchak maydonini uning oyoqlaridan topish mumkin.
Shunday qilib, to'g'ri burchakli uchburchakning maydoni uning oyoqlari mahsulotining yarmiga teng yoki:
Bu erda a va b - to'g'ri burchakli uchburchakning oyoqlari.
Oddiy uchburchak
Geometrik shaklning bu turi uning maydonini faqat bitta tomonning ko'rsatilgan qiymati bilan topish mumkinligi bilan farq qiladi (chunki muntazam uchburchakning barcha tomonlari teng). Shunday qilib, "tomonlari teng bo'lgan uchburchakning maydonini topish" vazifasiga duch kelganingizda, siz quyidagi formuladan foydalanishingiz kerak:
S = A 2 *√3 / 4,
Bu erda A - teng yonli uchburchakning tomoni.
Heron formulasi
Uchburchakning maydonini topishning oxirgi varianti Heron formulasidir. Uni ishlatish uchun siz rasmning uch tomonining uzunligini bilishingiz kerak. Heron formulasi quyidagicha ko'rinadi:
S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),
Bu erda a, b va c - berilgan uchburchakning tomonlari.
Ba'zan muammo beriladi: "muntazam uchburchakning maydoni uning tomonining uzunligini topishdir". Bunday holda, muntazam uchburchakning maydonini topish uchun biz allaqachon bilgan formuladan foydalanishimiz va undan tomonning (yoki uning kvadratining) qiymatini olishimiz kerak:
A 2 = 4S / √3.
Imtihon topshiriqlari
Matematikadan GIA masalalarida ko'plab formulalar mavjud. Bundan tashqari, ko'pincha katakli qog'ozda uchburchakning maydonini topish kerak bo'ladi.
Bunday holda, balandlikni raqamning bir tomoniga chizish, uning uzunligini hujayralardan aniqlash va maydonni topish uchun universal formuladan foydalanish eng qulaydir:
Shunday qilib, maqolada keltirilgan formulalarni o'rganib chiqqandan so'ng, siz har qanday turdagi uchburchakning maydonini topishda hech qanday muammoga duch kelmaysiz.
Internetda uchburchakning maydonini hisoblash uchun 10 dan ortiq formulalarni topishingiz mumkin.Ularning ko'pchiligi uchburchakning ma'lum tomonlari va burchaklari bilan bog'liq masalalarda qo'llaniladi. Biroq, bir qator murakkab misollar mavjud, ularda topshiriq shartlariga ko'ra, uchburchakning faqat bir tomoni va burchaklari yoki chegaralangan yoki chizilgan doira radiusi va yana bir xarakteristikasi ma'lum. Bunday hollarda oddiy formulani qo'llash mumkin emas.
Quyida keltirilgan formulalar sizga uchburchakning maydonini topish kerak bo'lgan masalalarning 95 foizini hal qilishga imkon beradi.
Keling, umumiy maydon formulalarini ko'rib chiqishga o'tamiz.
Quyidagi rasmda ko'rsatilgan uchburchakni ko'rib chiqing
Rasmda va quyidagi formulalarda uning barcha xususiyatlarining klassik belgilari keltirilgan.
a, b, c - uchburchakning tomonlari,
R - aylana radiusi,
r - chizilgan doira radiusi,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c tomonlarga mos ravishda chizilgan balandliklar.
alfa, beta, xamma - cho'qqilar yaqinidagi burchaklar.
Uchburchak maydoni uchun asosiy formulalar
1. Maydoni uchburchak tomoni va bu tomonga tushirilgan balandlikning mahsulotining yarmiga teng. Formulalar tilida bu ta'rifni quyidagicha yozish mumkin
Shunday qilib, agar tomon va balandlik ma'lum bo'lsa, unda har bir talaba maydonni topadi.
Aytgancha, ushbu formuladan balandliklar orasidagi bitta foydali munosabatni olish mumkin
2. Agar uchburchakning qo‘shni tomondan o‘tgan balandligi bog‘liqlik bilan ifodalanishini hisobga olsak.
Keyin birinchi maydon formulasidan keyin bir xil turdagi ikkinchisi keladi
Formulalarga diqqat bilan qarang - ularni eslab qolish oson, chunki ish ikki tomonni va ular orasidagi burchakni o'z ichiga oladi. Agar biz uchburchakning tomonlari va burchaklarini to'g'ri belgilasak (yuqoridagi rasmda bo'lgani kabi), ikkitasini olamiz. tomonlari a, b va burchak uchinchi bilan bog'langan Bilan (hamma).
3. Uchburchakning burchaklari uchun munosabat rost
Bog'liqlik hisob-kitoblarda uchburchakning maydoni uchun quyidagi formulalardan foydalanishga imkon beradi:
Ushbu qaramlikning misollari juda kam uchraydi, ammo bunday formula mavjudligini yodda tutish kerak.
4. Agar yon va ikkita qo'shni burchak ma'lum bo'lsa, u holda maydon formula bo'yicha topiladi
5. Qo‘shni burchaklarning tomoni va kotangensi bo‘yicha maydon formulasi quyidagicha
Indekslarni qayta tartibga solish orqali siz boshqa tomonlarga bog'liqlikni olishingiz mumkin.
6. Uchburchakning uchlari tekislikda koordinatalar orqali aniqlangan masalalarda quyidagi maydon formulasidan foydalaniladi. Bunday holda, maydon olingan modulning determinantining yarmiga teng.
7. Geron formulasi uchburchakning tomonlari ma'lum bo'lgan misollarda qo'llaniladi.
Avval uchburchakning yarim perimetrini toping
Va keyin formuladan foydalanib, maydonni aniqlang
yoki
U juda tez-tez kalkulyator dasturlari kodida qo'llaniladi.
8. Agar uchburchakning barcha balandliklari ma'lum bo'lsa, u holda maydon formula bilan aniqlanadi
Kalkulyatorda hisoblash qiyin, lekin MathCad, Mathematica, Maple paketlarida maydon "ikkinchi vaqt" dir.
9. Quyidagi formulalarda chizilgan va chegaralangan doiralarning ma’lum radiuslaridan foydalaniladi. 
Xususan, agar uchburchakning radiusi va tomonlari yoki uning perimetri ma'lum bo'lsa, u holda maydon formula bo'yicha hisoblanadi.
10. Cheklangan doiraning tomonlari va radiusi yoki diametri berilgan misollarda maydon formula yordamida topiladi.
11. Quyidagi formula uchburchakning yon tomoni va burchaklari nuqtai nazaridan uchburchakning maydonini aniqlaydi.
Va nihoyat - maxsus holatlar:
To'g'ri burchakli uchburchakning maydoni oyoqlari bilan a va b ularning mahsulotining yarmiga teng
Teng tomonli (muntazam) uchburchakning maydoni uchun formula=
= tomonning kvadrati va uchning ildizi ko'paytmasining to'rtdan bir qismi.
Hudud tushunchasi
Har qanday geometrik figuraning, xususan, uchburchakning maydoni tushunchasi kvadrat kabi raqam bilan bog'liq bo'ladi. Har qanday geometrik shaklning birlik maydoni uchun tomoni bir ga teng bo'lgan kvadratning maydonini olamiz. To'liqlik uchun geometrik shakllarning maydonlari tushunchasi uchun ikkita asosiy xususiyatni eslaylik.
Mulk 1: Agar geometrik raqamlar teng bo'lsa, ularning maydonlari ham teng bo'ladi.
Mulk 2: Har qanday raqamni bir nechta raqamlarga bo'lish mumkin. Bundan tashqari, asl rasmning maydoni uning barcha tarkibiy qismlarining maydonlari yig'indisiga teng.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
1-misol
Shubhasiz, uchburchakning tomonlaridan biri to'rtburchakning diagonali bo'lib, uning bir tomoni uzunligi $5$ (chunki $5$ katakchalar mavjud), ikkinchisi $6$ (chunki $6$ hujayralar mavjud). Shunday qilib, bu uchburchakning maydoni bunday to'rtburchakning yarmiga teng bo'ladi. To'rtburchakning maydoni
Keyin uchburchakning maydoni teng bo'ladi
Javob: $15$.
Keyinchalik, uchburchaklar maydonlarini topishning bir necha usullarini ko'rib chiqamiz, ya'ni balandlik va asosdan foydalanib, Heron formulasi va teng qirrali uchburchakning maydoni.
Uchburchakning balandligi va poydevoridan foydalanib, uning maydonini qanday topish mumkin
Teorema 1
Uchburchakning maydonini tomonning uzunligi va uning balandligining yarmi ko'paytmasi sifatida topish mumkin.
Matematik jihatdan bu shunday ko'rinadi
$S=\frac(1)(2)ah$
bu yerda $a$ - tomonning uzunligi, $h$ - unga chizilgan balandlik.
Isbot.
$AC=a$ bo'lgan $ABC$ uchburchagini ko'rib chiqaylik. Bu tomonga $BH$ balandligi chiziladi, bu $h$ ga teng. Keling, uni $AXYC$ kvadratiga 2-rasmdagidek quramiz.
$AXBH$ toʻrtburchakning maydoni $h\cdot AH$, toʻrtburchakning maydoni $HBYC$ $h\cdot HC$. Keyin
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Shunday qilib, 2-xususiyat bo'yicha uchburchakning talab qilinadigan maydoni ga teng
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)ah$
Teorema isbotlangan.
2-misol
Agar hujayraning maydoni birga teng bo'lsa, quyidagi rasmda uchburchakning maydonini toping
Bu uchburchakning asosi $9$ ga teng (chunki $9$ $9$ kvadratlari). Balandligi ham $9$. Keyin 1-teorema bo'yicha biz olamiz
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Javob: $40,5$.
Heron formulasi
Teorema 2
Agar bizga $a$, $b$ va $g$ uchburchakning uchta tomoni berilsa, uning maydonini quyidagicha topish mumkin.
$S=\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$
bu yerda $r$ bu uchburchakning yarim perimetrini bildiradi.
Isbot.
Quyidagi rasmni ko'rib chiqing:
Pifagor teoremasi bo'yicha $ABH$ uchburchagidan olamiz
$CBH$ uchburchagidan Pifagor teoremasiga ko'ra bizda bor
$h^2=a^2-(b-x)^2$
$h^2=a^2-b^2+2bx-x^2$
Bu ikki munosabatdan biz tenglikni olamiz
$g^2-x^2=a^2-b^2+2bx-x^2$
$x=\frac(g^2-a^2+b^2)(2b)$
$h^2=g^2-(\frac(g^2-a^2+b^2)(2b))^2$
$h^2=\frac((a^2-(g-b)^2)((g+b)^2-a^2))(4b^2)$
$h^2=\frac((a-g+b)(a+g-b)(g+b-a)(g+b+a))(4b^2)$
$r=\frac(a+b+g)(2)$ bo'lgani uchun $a+b+g=2r$, ya'ni
$h^2=\frac(2r(2r-2g)(2r-2b)(2r-2a))(4b^2)$
$h^2=\frac(4r(r-a)(r-b)(r-g))(b^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4r(r-a)(r-b)(r-g))(b^2))$
$h=\frac(2)(b)\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$
1-teorema bo'yicha biz olamiz
$S=\frac(1)(2) bh=\frac(b)(2)\cdot \frac(2)(b) \sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g) )=\sqrt(r(r-a)(r-b)(r-g))$
Uchburchakning maydonini aniqlash uchun siz turli formulalardan foydalanishingiz mumkin. Barcha usullardan eng oson va tez-tez ishlatiladigan balandlikni taglikning uzunligiga ko'paytirish va keyin natijani ikkiga bo'lishdir. Biroq, bu usul yagona usuldan uzoqdir. Quyida turli formulalar yordamida uchburchakning maydonini qanday topish mumkinligini o'qishingiz mumkin.
Biz alohida uchburchak turlarining maydonini hisoblash usullarini ko'rib chiqamiz - to'rtburchaklar, teng yonli va teng tomonli. Biz har bir formulaga uning mohiyatini tushunishga yordam beradigan qisqa tushuntirish bilan birga beramiz.
Uchburchak maydonini topishning universal usullari
Quyidagi formulalarda maxsus belgilar qo'llaniladi. Biz ularning har birini hal qilamiz:
- a, b, c - biz ko'rib chiqayotgan rasmning uch tomonining uzunliklari;
- r - aylana radiusi, bu bizning uchburchakka yozilishi mumkin;
- R - uning atrofida tasvirlanishi mumkin bo'lgan aylananing radiusi;
- a - b va c tomonlar hosil qilgan burchakning kattaligi;
- b - a va c orasidagi burchakning kattaligi;
- g - a va b tomonlar hosil qilgan burchak kattaligi;
- h - a burchakdan a tomoniga tushirilgan uchburchakmizning balandligi;
- p - a, b va c tomonlari yig'indisining yarmi.
Nima uchun uchburchakning maydonini shu tarzda topishingiz mumkinligi mantiqan aniq. Uchburchakni osongina parallelogrammga aylantirish mumkin, unda uchburchakning bir tomoni diagonal vazifasini bajaradi. Parallelogrammaning maydoni uning tomonlaridan birining uzunligini unga chizilgan balandlik qiymatiga ko'paytirish yo'li bilan topiladi. Diagonal bu shartli parallelogrammani 2 ta bir xil uchburchakka ajratadi. Shuning uchun, bizning asl uchburchakning maydoni ushbu yordamchi parallelogramm maydonining yarmiga teng bo'lishi aniq.
S=½ a b sin g
Ushbu formulaga ko'ra, uchburchakning maydoni uning ikki tomonining uzunligini, ya'ni a va b ni ular hosil qilgan burchakning sinusiga ko'paytirish orqali topiladi. Bu formula avvalgisidan mantiqiy ravishda olingan. Agar balandlikni b burchakdan b tomoniga tushirsak, u holda to'g'ri burchakli uchburchakning xossalariga ko'ra, a tomonning uzunligini g burchak sinusiga ko'paytirganda uchburchakning balandligini, ya'ni h ni olamiz. .
Ko'rib chiqilayotgan shaklning maydoni aylana radiusining yarmini uning perimetriga ko'paytirish orqali topiladi. Boshqacha qilib aytganda, biz ko'rsatilgan aylananing yarim perimetri va radiusining mahsulotini topamiz.
S= a b c/4R
Ushbu formulaga ko'ra, bizga kerak bo'lgan qiymatni rasmning tomonlari mahsulotini uning atrofida tasvirlangan doiraning 4 radiusiga bo'lish orqali topish mumkin.
Ushbu formulalar universaldir, chunki ular har qanday uchburchakning (shkala, teng yonli, teng qirrali, to'rtburchaklar) maydonini aniqlashga imkon beradi. Buni yanada murakkab hisob-kitoblar yordamida amalga oshirish mumkin, biz bu haqda batafsil to'xtalmaymiz.
O'ziga xos xususiyatlarga ega uchburchaklar sohalari
To'g'ri burchakli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Bu raqamning o'ziga xosligi shundaki, uning ikki tomoni bir vaqtning o'zida uning balandligidir. Agar a va b oyoq bo'lsa va c gipotenuzaga aylansa, u holda maydonni quyidagicha topamiz:
Teng yonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Uning uzunligi a bo'lgan ikki tomoni va uzunligi b bo'lgan bir tomoni bor. Demak, uning maydonini a tomon kvadratining ko'paytmasini g burchak sinusiga 2 ga bo'lish yo'li bilan aniqlash mumkin.
Teng tomonli uchburchakning maydonini qanday topish mumkin? Unda barcha tomonlarning uzunligi a ga, barcha burchaklarning kattaligi a ga teng. Uning balandligi a tomoni uzunligi va 3 kvadrat ildizining yarmiga teng. Muntazam uchburchakning maydonini topish uchun a tomonning kvadratini 3 ning kvadrat ildiziga ko'paytirish va 3 ga bo'lish kerak. 4.