Ja keskaegne ladinakeelne furcatus - hargnev, ladina keelest furca - kaheharuline hark), hargnemine, hargnemine. Võnkumisteoorias ja dünaamiliste süsteemide teoorias on bifurkatsioon reaalse süsteemi (füüsikaline, keemiline, bioloogiline) liikumise olemuse ümberstruktureerimine, selle üleminek uude kvalitatiivsesse olekusse väikese sujuva muutusega ühes või mitmes. parameetrid. Parameetrite väärtusi, mille juures bifurkatsiooni täheldatakse, nimetatakse bifurkatsiooniväärtusteks. Matemaatiliselt on bifurkatsioon dünaamilise süsteemi faasiruumi jaotuse struktuuri muutus trajektoorideks koos selle parameetrite väikese muutusega.

Bifurkatsiooniteooria võimaldab mõista nii füüsikalisi nähtusi mehaanikas (osakese käitumine potentsiaalikaevus), optikast (laseri genereerimise toimumise tingimus), võnketeooriast (isevõnkumised) kui ka mõningatest. keemilised protsessid (näiteks võnkereaktsioonid nagu Belousovi-Žabotinski reaktsioon). Lisaks on bifurkatsiooniteooria rakendatav mitmete ökoloogia ja populatsioonidünaamika nähtuste, liikide (kiskja - saakloomade) kooseksisteerimise tingimuste, bioloogia evolutsiooni- ja mutatsioonide, sotsiaalsete süsteemide interaktsiooni ja arengu jne kirjeldamiseks.

Lihtsaim bifurkatsiooni näide on L. Euleri poolt vaadeldud vertikaalselt koormatud varda paindumine ühes või teises suunas kriitilise koormuse ületamisel (joonis 1). Bifurkatsiooni teooria on universaalne. Peamiste bifurkatsioonitüüpide tundmine võimaldab oluliselt hõlbustada reaalsete süsteemide uurimist, ennustada uute liikumiste olemust, mis tekivad süsteemi ülemineku hetkel kvalitatiivselt erinevasse olekusse, ning hinnata nende stabiilsust ja olemasolu piirkonda.

Bifurkatsiooniteooria aluse panid 20. sajandi alguses A. Poincaré ja A. M. Ljapunov. Oluliseima panuse selle arendamisse andsid A. A. Andronov ja L. S. Pontrjagin, kes võtsid kasutusele dünaamiliste süsteemide kareduse (struktuuri stabiilsuse) mõiste tasapinnal. Karedad süsteemid säilitavad kvalitatiivse struktuuri, jagades faasiruumi trajektoorideks väikeste parameetrite muutustega. Karedustingimuste rikkumine toimub parameetrite hargnemisväärtuste korral, kui süsteem muutub ebakaredaks. Erinevat päritolu süsteemide kõige levinumad käitumistüübid on tasakaaluseisundid ja perioodiline liikumine. Perioodilise liikumise matemaatiline kujutis on piirtsükkel. Tasakaaluseisundite ja piirtsüklitega süsteemide hargnemise teooria töötasid välja peamiselt A. A. Andronov ja tema õpilased.

Süsteem on stabiilses olekus (stabiilse tasakaaluseisund), kui ta väikese kõrvalekaldega sellest naaseb uuesti sellesse olekusse (joonis 2a). Selles mõttes paistavad sellised tasakaalupositsioonid enda poole tõmbavat, mistõttu neid nimetatakse attraktoriteks (inglise keelest attract – meelitama). Igal atraktoril on oma tõmbeala - algtingimuste kogum (palli koordinaadid ja kiirused, nagu joonisel 2a), millest kõrvalekaldumisel naaseb süsteem aja jooksul samasse olekusse. Süsteem on ebastabiilses tasakaaluseisundis, kui ta väikese kõrvalekaldega sellest ei naase (joonis 2b).

Stabiilses statsionaarses olekus süsteemis võib tekkida bifurkatsioon, kui see kaotab stabiilsuse, näiteks ühineb ebastabiilse süsteemiga (joonis 3a-c). Sel juhul, kui parameeter läbib bifurkatsiooniväärtust (joonis 3b), hüppab süsteem teise piirkonda, mis on algsest kaugel (joonis 3c).

Bifurkatsiooni, mille puhul süsteemi stabiilse tasakaalu seisund, mida täheldati enne parameetri läbimist bifurkatsioonipunkti, asendatakse stabiilse perioodilise liikumisega, uurisid A. A. Andronov ja E. Hopf ning see kannab nende nime. Teine Andronov-Hopfi bifurkatsiooni tüüp on kõva ergutus, kui süsteemi parameeter muutub nii, et ebastabiilne piirtsükkel tõmbub kokku statsionaarsesse stabiilsesse olekusse ja ühineb sellega bifurkatsiooni hetkel. Sel juhul vähendatakse süsteemi statsionaarse oleku tõmbeala ja piirtsükli suurust nullini, nii et süsteem kaotab stabiilsuse ja hüppab teisele liikumisviisile.

Stabiilne perioodiline liikumine võib samuti läbi viia bifurkatsiooni, kas ühinedes ebastabiilse perioodilise liikumisega või kaotades oma stabiilsuse. Viimasel juhul võivad perioodilistest liikumistest tekkida topeltperioodi ehk kvaasiperioodilisi võnkumisi (nn kahemõõtmeline muutumatu torus) perioodilised liikumised. Kvasiperioodilised võnkumised on kahe või enama ebaproportsionaalse (ratsionaalselt sõltumatu) sagedusega liikumised. Selliseid võnkumisi täheldatakse näiteks kahe sidestatud pendli süsteemis sagedustega ω 1 ja ω 2 ω 1 /ω 2 ≠ k/m korral, kus k ja m on täisarvud.

Mittelineaarsetes süsteemides on parameetrite muutumisel võimalik lõplik (või isegi lõpmatu) bifurkatsioonide jada, mis viib dünaamilise kaose ilmnemiseni (vt ka Kummaline atraktor).

Lit.: Andronov A. A. jt Dünaamiliste süsteemide bifurkatsioonide teooria tasapinnal. M., 1967; Arnold V. I. jt. Bifurkatsioonide teooria // Kaasaegsed matemaatika probleemid. Põhilised suunad. M., 1986. T. 5; Loskutov A.Yu., Mihhailov A.S. Sissejuhatus sünergiasse. M., 1990.

Bifurkatsioonide teooria esineb loodusteadustes kõikjal. Reaalseid füüsilisi süsteeme kirjeldavad diferentsiaalvõrrandid sisaldavad alati parameetreid, mille täpsed väärtused on teadmata. Kui füüsilist süsteemi modelleeriv võrrand osutub struktuurselt ebastabiilseks, st selle lahenduse käitumine võib suvaliselt väikese muutusega paremas servas kvalitatiivselt muutuda, siis tuleb kindlaks teha, millised faasiportree hargnemised tekivad. kui parameetrid muutuvad

Loodusteaduses on väga oluline ja produktiivne mõiste dünaamilise süsteemi mõiste. Dünaamilise süsteemi all mõistetakse reaalse protsessi matemaatilist mudelit, millel on järgmised omadused. Esiteks tuleb teada teatud suuruste kogum, mis üheselt määratleb süsteemi oleku. Teiseks tuleb teada seadust, mille abil saab süsteemi oleku igal ajahetkel üheselt määrata, kui selle algseisund on teada. See mõiste on väga lai ja seetõttu võib dünaamiliste süsteemide näiteid leida peaaegu kõigist füüsika, bioloogia, keemia jne valdkondadest.

Dünaamilise süsteemi käitumine, eriti aja jooksul kehtestatud režiimid, võivad sõltuda teatud parameetritest. Selgub, et parameetri aeglase muutumisega võib toimuda püsiseisundi režiimide kvalitatiivne ümberstruktureerimine. Selliste ümberkorralduste uurimine parameetrite muutmisel dünaamilistes süsteemides (ja mitte ainult kaardistamises, vaid ka diferentsiaalvõrrandites) on bifurkatsioonide teooria teema. See tuvastab tüüpilised bifurkatsioonid, uurib ja klassifitseerib need. Bifurkatsiooniteooria on matemaatiline teadus.

Sõna "bifurkatsioon" tähendab "hargnemist" ja seda kasutatakse mis tahes järsu muutuse nimetusena, mis toimub parameetrite sujuval muutumisel mis tahes süsteemis: dünaamiline, ökoloogiline jne. Artikkel on pühendatud mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide bifurkatsioonidele.

Sageli võetakse füüsikaliste protsesside modelleerimisel konstantidena mõned muutujad, mille muutused on modelleeritavate protsesside raames ebaolulised. Tulemuseks on algsest madalamat järku süsteem, kuid konstantseks võetavate terminite muutuste mõju arvessevõtmine muutub võimatuks. Sel juhul võib termineid pidada häireteks ja mudelit kirjeldada bifurkatsioonide teooria abil.

Bifurkatsioonid võimaldavad teatud klassifikatsiooni. Esiteks, vastavalt süsteemi mõõtmete minimaalsele väärtusele, mille jaoks see hargnemine on võimalik. Ja teiseks, seda tüüpi ümberkorraldamiseks vajalike parameetrite minimaalse arvu järgi.

1. Bifurkatsiooni mõiste

Bifurkatsioonid on dünaamiliste süsteemide käitumise uurimisel fundamentaalse tähtsusega. Sageli on bifurkatsioonid need, mis määravad paljude keerukate protsesside toimumise mehhanismi. Peatugem bifurkatsiooniteooria mõnel põhisättel.

Olgu kaugjuhtimispuldiga esindatud autonoomse süsteemi mittelineaarne mudel

\begin(võrrand) (dx \üle dt) = F(x,\lambda) \end(võrrand)

mida iseloomustab parameetri \(\lambda\) muutus. Reaalses süsteemis võib selliseks parameetriks olla temperatuur, rõhk, kontsentratsioon, rahvastiku kasvukiirus jne. Tuleb rõhutada, et uurida ei tule mitte kindlat kindla parameetriga mudelit, vaid dünaamiliste mudelite perekonda, käitumine sõltub \(\lambda\).

Parameetri teatud väärtusel, mida nimetatakse kriitiliseks väärtuseks, toimuvad süsteemi protsessid kvalitatiivselt. Sellisel juhul muutub kvalitatiivselt ka faasiruumi (mõõtmega 2 faasitasand) trajektoori jaotuse struktuur (topoloogia). Seda mittelineaarse süsteemi omadust nimetatakse tavaliselt bifurkatsiooniks (ladinakeelsest sõnast bifurcus - kaheharuline) ja muutujaparameetrit \(\lambda\), mille juures hargnemist täheldatakse, nimetatakse bifurkatsiooniparameetriks.

Täpsemalt öeldes on parameetri \(\lambda\) bifurkatsiooni (kriitiline) väärtus selle väärtus, mille juures dünaamiline süsteem muutub ebakonarlikuks (struktuuriliselt ebastabiilseks).

Dünaamilise süsteemi kareduse mõiste võttis kasutusele A.A. Andronov ja L.S. Pontrjagin. Dünaamiline süsteem, mida esindab järgmise kujuga DE

\[(dx_i \üle dt) = F(x), x = 1, …, n \]

nimetatakse töötlemata domeenis \(G \subset ((\bf(R))^n)\), kui mis tahes \(\varepsilon > 0\) jaoks saab määrata \(\delta > 0\) nii, et suvalised analüütilised funktsioonid \((Q_i)((x_1),\; \ldots ,\;(x_n)) = (Q_i)((\bf(x)))\) muudetud (teisisõnu häiritud) süsteemis

\[\frac((d(x_i)))((dt)) = (F_i)((\bf(x))) + (Q_i)((\bf(x))),i = 1,\; \ldots ,\;n\]

ebavõrdsuse rahuldamine

\[\sum\limits_(i = 1)^n (\left[ (\left| ((Q_i)((\bf(x)))) \right| + \sum\limits_(j = 1)^n (\left| (\frac((\partial (Q_i)((\bf(x)))))((\partial (x_j)))) \right|) ) \right]< \delta } \]

Toimub selline üks-ühele ja vastastikku pidev domeeni endasse kaardistamine, milles iga algse (häiritamata) süsteemi trajektoor kaardistatakse süsteemi vastavasse trajektoori ja tagasi. Sel juhul asuvad üksteisele vastavad punktid kaugusel, mis on väiksem kui \(\varepsilon \). Teisisõnu, dünaamilised süsteemid on sellised, milles faasitrajektooride kvalitatiivne struktuur ei muutu algse diferentsiaalvõrrandi parempoolsete külgede suvalise väikese muutusega.

Ligikaudsete teist järku dünaamiliste süsteemide puhul on täidetud järgmised tingimused:

1. piirkonnas \(G \alamhulk ((\bf(R))^2) \) saab paigutada ainult lihtsaid ainsuse punkte (tasakaaluolekuid) tüüpi "sõlm", "fookus", "sadul", st. , mille puhul lineariseeritud süsteemi tunnusvõrrandi juurte reaalosad erinevad nullist. Selliseid ainsuse punkte (neid on lõplik arv) nimetatakse töötlemata;
2. domeen \(G\) võib sisaldada ainult lihttsükleid, mille arv on lõplik;
3. piirkonnas \(G\) sadulast sadulasse eraldusjooni ei ole. Võimalik, et seal on sadulate eraldajad, mis kalduvad ühes suunas sõlme, fookuse, piirtsüklini või mingil väärtusel \(t\) lahkuvad piirkonnast \(G\).

Kui neid tingimusi rikutakse, muutub dünaamiline süsteem ebatasaseks.

Kooskõlas koordinaatide ja parameetrite ruumi hargnemisteooriaga võib bifurkatsioonipunktist lähtuda mitu tasakaaluvõrrandi lahendi haru

\[(\bf(0)) = (\bf(F))((\bf(x)),\;\lambda)\]

nii stabiilne kui ka ebastabiilne. Tasakaalupositsioonide koordinaatide \(\lambda\) sõltuvuse graafikud on bifurkatsioonidiagrammid.

Lihtsaim näide bifurkatsioonist on järgmine süsteem

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x\]

millel on lahend \(x(t) = (x_0)(e^(\lambda t))\), mis määrab eksponentsiaalse kasvu (vähenemise), kui \(\lambda > 0(\lambda< 0)\) соответственно. Заметим, что приведенное выше уравнение определяет динамику цепной реакции \(\lambda >0\) ja tuuma lagunemine \(\lambda< 0\). Единственное состояние равновесия уравнения \(x = 0\) устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\).

Riis. 1.1 - süsteemi ajalised omadused bifurkatsiooniparameetri erinevate väärtuste jaoks

2. Klassifikatsioon

Bifurkatsioonid klassifitseeritakse tavaliselt maatriksi omaväärtuste hüperboolsuse tingimuste rikkumiste arvu järgi

\[(\bf(J))((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = \left\| (\frac((\partial (F_i)((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m))))((\partial (x_j)) )) \right\|\]

Püsipunkti nimetatakse hüperboolseks, kui selles defineeritud Jacobi maatriks \((\bf(J))\ ei sisalda omaväärtusi \((s_k) \), mille reaalosa on null, st \((\rm). ( Re))\,(s_k)\ne 0\).

Kui vaadelda mitmeparameetrilist ruumi \(\Lambda \), siis selle ruumi punkti (\(\lambda \in \Lambda \)), milles dünaamilise süsteemi käitumises toimub kvalitatiivne muutus, nimetatakse bifurkatsioonipunktiks. Ruumi \(\Lambda \) iseloomustab parameetrite \(\( (\lambda _q)\) \) arvu määramise probleem, mis peavad mudelis esinema, et antud bifurkatsiooni saaks pidada tüüpiliseks.

Maatriksi \((s_k) \) omaväärtused \((\bf(J))\) on parameetrite funktsioonid, st \((s_k)((\lambda _1),\; \ldots ,\ ; (\lambda _m))\). Seejärel määratakse vormi \((\rm(Re))\,(s_k) = 0\) hüperboolsuse rikkumise tingimused parameetrite alusel koostatud võrrandisüsteemiga. Näiteks selleks, et kaks reaalset omaväärtust kaoksid korraga, on vaja leida lahendus kahest tundmatute võrrandist koosnevale süsteemile.

\[\begin(massiiv)(l)
(s_1)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0\\
(s_2)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0
\end(massiiv)\]

Võimalikud on järgmised tüüpilised olukorrad:

• kui \(m = 1\) , siis üldjuhul lahendus puudub; bifurkatsiooni ei tuvastata;
• kui \(m = 2\), siis on lahendus võimalik; bifurkatsioon võib toimuda ühes või mitmes punktis \(\Lambda\);
• kui \(m > 2\), siis tüüpilistel juhtudel asuvad mittehüperboolsed punktid pinnal, mille mõõtmed on \(m - 2\) \(\Lambda\), st võib moodustada bifurkatsioonipindu.

Üldjuhul, kui on vaja täita \(k\) hüperboolsuse rikkumise tingimusi, siis võimalikud bifurkatsioonipunktid paiknevad \((m - k)\)-mõõtmelisel pinnal. Suurust \(k\), mis määrab hüperboolsuse rikkumise tingimuste arvu, nimetatakse bifurkatsiooni kodimensiooniks. Erinevus ruumi mõõtme ja hargnemispinna mõõtme vahel on pinna kodimensioon.

Bifurkatsiooni kodimensioon näitab, mitu parameetrit peab dünaamiline süsteem defineerima, et selles vaadeldav bifurkatsioon oleks tüüpiline. Teisisõnu on bifurkatsiooni kodimensioon ruumi \(\Lambda\) väikseim mõõde, milles on võimalik vastavat tüüpi bifurkatsioon. Tulevikus on bifurkatsioonide teooria põhisätete mõistmise hõlbustamiseks soovitatav piirduda 1. kodimensioni bifurkatsioonide käsitlemisega, mida täheldatakse üheparameetrilistes süsteemides. Kõrgemat järku bifurkatsioone võib leida erialakirjandusest.

Levinud bifurkatsioonide tüüpide uurimine viiakse läbi esimese ja teise järgu mudelite abil, mida esindavad teatud diferentsiaalvõrrandid. Sel juhul tekib lineariseeritud mudelites Jacobi maatriksi üks null või kaks imaginaarset omaväärtust.

2.1 Bifurkatsioonid lihtsa liikumisega süsteemides

Süsteemi karedus tähendab teatud trajektooride karedust. Selliste trajektooride hulgast paistavad eelkõige silma stabiilsed tasakaaluseisundid ja perioodilised liikumised, kuna tegemist on statsionaarsete olekute ja isevõnkumiste matemaatilise kujutisega.

N-mõõtmelise süsteemi tasakaaluseisund \(\mathop x\limits^. = X(x)\) punkt \(M((x^*))\), kus \((x^*)\) on süsteemi \ lahend (X(x) = 0\). See ei ole konarlik, kui \((\lambda _(1,))(\lambda _2), …(\lambda _n)\) hulgas on iseloomuliku võrrandi \(\det (\frac((\partial)) juured X((x^ *))))((\partial x)) - \lambda E) = 0\) kujuteldaval teljel asuvad juured. Juhul \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

Praegu on selliste trajektooride peamisi (koodimensioon 1) lokaalseid ja globaalseid bifurkatsioone üksikasjalikult uuritud.

Stabiilne tasakaaluseisund võib:

1. kaovad, sulanduvad ebastabiilsega. Bifurkatsiooni hetkel on tasakaaluseisundil, mida nimetatakse sadulasõlmeks, ainult üks iseloomulik juur, mis asub kujuteldaval teljel ja on võrdne nulliga.
2. kaotada stabiilsus. Sel juhul sünnib (sellesse kinni) stabiilne (ebastabiilne) perioodiline liikumine tasakaaluolekust, kui bifurkatsiooni hetkel on tasakaaluolek stabiilne (ebastabiilne). Seda bifurkatsiooni, mis selgitab võnkumiste teket, nimetatakse Andronov-Hopf.

Pidev perioodiline liikumine võib:

• kaovad, ühinedes bifurkatsiooni hetkel ebastabiilsusega. \(n > 2\) korral nimetatakse mittejämedat perioodilist liikumist sadula-sõlme liikumiseks.
• stabiilsuse sünniga kaotavad stabiilsuse
  • topeltperioodi perioodiline liikumine, kui kordaja on võrdne (-1),
  • kahemõõtmeline muutumatu torus, kui \((\rho _(1,2)) = (e^( \pm i\phi ))\), kus \(\phi \ne 0,\pi ,\frac(\pi) ) (2),\frac((2\pi ))(3)\).

Stabiilsed perioodilised liikumised võivad sündida ka järgmiste globaalsete bifurkatsioonide tagajärjel:

1. trajektoorist, mis tuleb sadulast iseloomulike juurtega \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \(\max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
2. trajektoorist, mis kulgeb sadulasõlmest sinna, kui tasakaaluseisund kaob,
3. kui kaob sadula-sõlme perioodiline liikumine, mille kõik ebastabiilse kollektori trajektoorid moodustavad kokku tugevalt kokkusurutud toru, mis keerdub perioodilise liikumise ümber. Seda hargnemist nimetatakse "sinise taeva katastroofiks" ja selle eripära on see, et kuna parameeter kaldub bifurkatsiooni väärtusele, kipub perioodiliste liikumiste pikkus lõpmatuseni.

Koodimensioni 1 korral võivad sadula perioodilised liikumised sündida trajektoorist, mis läheb 1) sadulast sinna, 2) sadul-sadula tüüpi mittekaredast tasakaaluseisundist sellesse, kui see kaob (selline tasakaaluseisund). moodustub kahe kareda sadula ühinemisel.)

Kõik loetletud bifurkatsioonid ei jäta lihtsa trajektoori käitumisega süsteemide klassi.

2.2 Bifurkatsioonid keeruka liikumisega süsteemides

Trajektooride keeruka käitumisega süsteemi peamiseks tunnuseks on sadulatüüpi trajektooridest koosneva umbkaudse piiri olemasolu, milles pidevad liikumised on kõikjal tihedad ja igal pool tihe trajektoor. Selliseid komplekte nimetatakse hüperboolseteks. Selliste komplektide olemasolu universaalseim kriteerium on seotud homokliiniku Poincaré orbiidiga - kahekordselt asümptootiline trajektoor sadula pideva liikumiseni, mida mööda selle stabiilsed ja ebastabiilsed kollektorid ristuvad ilma puudutamata. Sellise struktuuri olemasolu tagab ühemõõtmelise, kuid ebastabiilse hüperboolse hulga olemasolu selle mis tahes väikeses naabruses. Sel põhjusel nimetatakse hüperboolse komplekti ilmnemise või kadumisega seotud bifurkatsioone üldiselt homokliinikuks. Teine tüüpiline keeruka trajektoori käitumisega süsteemide juhtum on positiivse sadulaväärtusega homokliiniliste sadulafookussilmustega süsteemid. Homokliinilised bifurkatsioonid jagunevad kahte tüüpi: piir, mis selgitab üleminekuid lihtsast dünaamikast keerulisele ja sisemine. Tüüpiline näide 1. tüüpi bifurkatsioonist, mis näitab, et lihtsa ja keerulise dünaamikaga süsteeme saab eraldada hargnemispinnaga, on sadul-sadul tüüpi tasakaaluseisundi kadumise bifurkatsioon vähemalt kahe topeltasümptootilise trajektooriga, nagu samuti mitmed süsteemide bifurkatsioonid, mille homokliiniline Poincaré trajektoor ei ole konarlik. Kuid sellisele üleminekule võib eelneda lõputu hargnemiste kaskaad, mis kahekordistab Sharkovsky-Feigenbaumi perioodi. Märkigem ka toruse hävimise probleemi seoses sünkroniseerimisprobleemiga.

Sisemiste bifurkatsioonide puhul on üheks peamiseks ülesandeks dünaamiliste süsteemide ruumis mittekaredate süsteemide alade tuvastamine. Sellele ebatavalisele nähtusele juhtis esimest korda tähelepanu Smale 60ndate alguses. Kuid kõige kuulsamad on Newhouse'i piirkonnad, kus mittekarmide homokliiniku Poincaré trajektooridega süsteemid on kõikjal tihedad ja neil on pidev liikumine mis tahes degeneratsiooniastmega. Sellest järeldub järeldus – mittelineaarse dünaamika puhul: mittekonkreetset homokliinilist Poincaré trajektoori lubavate mudelite täielik kvalitatiivne analüüs ei ole realistlik.

Dünaamilise kaose avastamisega avanes bifurkatsioonide teoorias uus peatükk, mis on seotud kummaliste atraktorite teooriaga – trajektooride ebastabiilse käitumisega piirkogumite ligimeelitamine. Erinevalt näiteks pidevast liikumisest ei ole kummalistel atraktoritel ühtset olemust: need võivad olla kas varieeruvad (siledad või mittesiledad) või väga keerulise hulgateoreetilise struktuuriga komplektid. Mittelineaarse dünaamika huvidest lähtuvalt peavad kummalised atraktorid säilitama oma omadused süsteemi väikeste häirete korral. Loomulikult kehtib see hüperboolsete atraktorite kohta. Kuid paljude mudelite analüüs on näidanud, et sellised võivad olla ka mittekaredad atraktorid. Tüüpiline näide on Lorentzi mudeli kummaline atraktor \(\mathop x\limits^. = - \sigma (x - y),\mathop y\limits^. = - y + rx - xz,\mathop z\limits ^. = - bz + xy\), mille mittekaredus on tingitud asjaolust, et sadula-tüüpi tasakaaluseisund kuulub kummalisele atraktorile. Mõõtmes n>3 võivad olla mittekaredad atraktorid, mis sisaldavad sadulafookust. Kuna viimased võimaldavad homokliinilisi puutujaid, nimetatakse neid (ülaltoodud põhjustel) tavaliselt "metsikuteks". On selge, et kummaliste atraktorite tekkeni viivate bifurkatsioonide uurimine on muutunud üheks pakilisemaks probleemiks. Ajalooliselt tekkis see probleem hüdrodünaamikas seoses turbulentsi tekkimise seletamisega. Sellega seoses pakkusid Landau ja Hopf 40ndatel välja sellise seletuse, kasutades näidet tori hargnemiste kaskaadist, suurendades nende mõõtmeid. Lorentzi mudelil on ka hüdrodünaamiline päritolu. Siin toimub üleminek lihtsast dünaamikast kummalisele atraktorile kahe homokliiniku bifurkatsiooni tulemusena: homokliiniku kaheksaliblika sadula piirbifurkatsioon, mille tulemusena sünnib ebastabiilne ühemõõtmeline hüperboolne komplekt, ja sisemine bifurkatsioon. homokliinilisest kontuurist hetkel, mil mõlemad sadulast väljuvad trajektoorid sööstavad esmakordselt sadula konstantsele liikumisele, mis ilmnes piirihargnemise tagajärjel. See suhteliselt lihtne stsenaarium on aga tingitud asjaolust, et Lorentzi mudelil on sümmeetria \((- x, - y) \to (x,y)\). Märkigem ka järgmist tulemust, millel on praegu puhtmatemaatiline tähendus: sadula-sõlme konstantsete liikumiste kadumisega seotud globaalsete hargnemiste tulemusena võib sündida mitmeid hüperboolseid atraktoreid (Smale-Williamsi solenoid, Anosovi torus). ja tori. Lisaks veidratele atraktoritele on paljudes rakendusuuringutes olemas piirhulgad, mida võib nimetada kvaasiattraktoriteks, kuna need sisaldavad lisaks hüperboolsetele kogumitele stabiilseid konstantseid liikumisi, isegi loendatava hulga korral. Sarnane olukord tekib näiteks negatiivse lahknemisega kolmemõõtmelistes süsteemides. Arvutiuuringutes võib mudeli dünaamikat Newhouse'i piirkondades seostada trajektooride kaootilise käitumisega, kuna p.d. võivad olla väga pikad perioodid ja kitsad tõmbepiirkonnad.

3. Pehme ja kõva paindumine

3.1 Pehme ja kõva paindumise kontseptsioon

Bifurkatsioonid võib tinglikult jagada pehmeteks ja kõvadeks, mida näitab selgelt järgmine näide. Joonisel fig. 3.1 ja joon. Joonisel 3.2 on näha kuuliga häälestatav profiil. Mis tahes teguri (parameetri) muutumise tulemusena muudab esialgne profiil oma konfiguratsiooni selliselt, et palli stabiilne tasakaaluseisund kaob. Sel juhul “sündib” kaks uut stabiilset tasakaaluseisundit, millest ühte pall kukub. Rekonstrueeritud profiili äsja tekkinud tasakaaluseisundid asuvad stabiilsuse kaotanud esialgse tasakaaluseisundi vahetus läheduses. Seda tüüpi bifurkatsioone nimetatakse pehmeteks. Stabiilsuse kaotanud ja selle kõrval kõrvuti eksisteerivast režiimist näib järk-järgult tekkivat uus töörežiim.

Riis. 3.1 - kuuliga häälestatav profiil

Joonisel fig. kujutatud profiili ümberkorraldamise olemus. 3.2, muu. Kriitilisest väärtusest väiksema parameetri väärtuse korral on kuul stabiilses tasakaaluolekus. Samal ajal on veel üks potentsiaalne ebastabiilne tasakaaluseisund. Profiili ümberehitamisel parameetri kriitilise väärtuse jaoks liidetakse stabiilne ja ebastabiilne olek üheks. Seejärel kaovad nad mõlemad ja süsteem valib hüppeliselt uue režiimi, mis erineb oluliselt eelmisest ega asu algse režiimi vahetus läheduses. Seda tüüpi bifurkatsioonid klassifitseeritakse jäikadeks. Just jäigad (hüppelaadsed) bifurkatsioonid on eelkõige katastroofiteooria uurimisobjektiks.

Riis. 3.2 - kuuliga häälestatav profiil

4. Bifurkatsioonide tüübid

Järgmises osas kirjeldatakse nii pidevate kui ka diskreetsete (peegelduste) funktsioonide hargnemiste põhitüüpe ja näiteid.

4.1 Tangentne (sadul-sõlme) hargnemine

Vaatleme sadula-sõlme bifurkatsiooni näidet, kasutades diferentsiaalvõrrandiga kirjeldatud süsteemi näidet:

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda — (x^2)\]

kus \(\lambda \) on muutuja parameeter. Tasakaalulahendused \(x_((\rm(1))(\rm(,2)))^(\rm()) = \pm \sqrt \lambda \) võrrandid on defineeritud ainult \(\lambda \ge 0 jaoks \ ); aadressil \(\lambda< 0\) равновесные состояния отсутствуют. Значение \(\lambda = 0\) является бифуркационным. На рис. 4.2 изображена соответствующая бифуркационная диаграмма. Как видно из рисунка, из точки бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\) выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая - неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».

Riis. 4.1 – puutuja (sadul-sõlme) bifurkatsiooniga süsteemi ajakarakteristik

Joonis 4.2 – puutuja (sadul-sõlme) bifurkatsiooni skeem

4.2 Transkriitiline bifurkatsioon ("stabiilsuse vahetuse" tüüpi bifurkatsioon)

Näitame süsteemis "stabiilsuse vahetuse" tüüpi hargnemist

\[\frac((dx))((dt)) = x\lambda — (x^2)\]

Võrrandil on kaks tasakaalulahendit: \(x_1^(\rm()) = 0,\;x_2^(\rm()) = \lambda\). Esimene lahendus on stabiilne ja ebastabiilne; teine ​​on stabiilne \(\lambda< 0\) и неустойчиво при \(\lambda >0\). On tavaks öelda, et mõlemad lahendused “vahetavad stabiilsust” bifurkatsioonipunktis \((x = 0,\;\lambda = 0)\). Joonisel fig. 4.3, esitatakse vastavad funktsioonigraafikud.

Riis. 4.3 – Transkriitilise bifurkatsiooniga süsteemi ajalised karakteristikud

Riis. 4.4 - Transkriitilise bifurkatsiooni skeem

4.3 Hargi hargnemine

Kahvli tüüpi hargnemist kirjeldatakse vormi diferentsiaalvõrrandiga

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x — (x^3)\]

Sellel võrrandil on üks tasakaalulahend \(x_1^(\rm()) = 0 \) \(\lambda jaoks< 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\). Vastavad funktsioonigraafikud (joonis 4.6) on sümmeetrilised telje \(x\) suhtes. Sel juhul tekib bifurkatsioonipunktist kolm tasakaaluseisundi haru: kaks stabiilset ja üks ebastabiilne.

Riis. 4.5 - "Kahvli" bifurkatsiooniga süsteemi ajalised omadused

Riis. 4.4 - "Kahvli" bifurkatsiooniskeem

Kahvli tüüpi bifurkatsiooni käsitletakse laialdaselt teoreetilises füüsikas, kuna mõned teooriad põhinevad sellel, et selgitada spontaanset sümmeetria katkemist (stabiilne tasakaalupunkt \(x_1^(\rm()) = 0\) juures \(\lambda< 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\) – murtud sümmeetriaga olek). Eelkõige põhineb L. D. Landau välja pakutud teist tüüpi üleminekute teooria sellel bifurkatsioonil. Selles mängib parameetri \(\lambda\) rolli enamasti temperatuuri kõrvalekalle kriitilisest väärtusest ja suurust \(x\) nimetatakse "tellimuse parameetriks".
Vaadeldavaid bifurkatsioone nimetatakse ülekriitilisteks või normaalseteks. Nende eripära seisneb selles, et vastavate võrrandite mittelineaarsetel liikmetel \((x^2)\) ja \((x^3)\) on mõju, mis aitab kaasa süsteemi stabiilsete tasakaaluseisundite saavutamisele. Kui aga mittelineaarsete terminite ees olevad märgid muutuvad, mõjub viimane juba süsteemi destabiliseerivalt. Nendel juhtudel tekivad subkriitilised või vastupidised bifurkatsioonid.

4.4 Andronovi-Hopfi bifurkatsioon

Lisaks tasakaaluolekute bifurkatsioonidele dünaamilistes süsteemides võib parameetri muutumisel toimuda veel üks faasiportree struktuuri ümberstruktureerimine. Seda tüüpi bifurkatsioon hõlmab piirtsükli sündi fikseeritud punktist ja on keerulisem kui ülaltoodud.
Kirjeldagem mittelineaarset mudelit järgmise võrrandiga:

\[\frac((dz))((dt)) = (\mu + j\eta)z - z(\left| z \right|^2)\]

kus \(z\) on kompleksmuutuja; \(\mu + j\eta \) on kompleksparameeter ja \(j \) on kujuteldav ühik, \(\mu \) on muutuv bifurkatsiooniparameeter.

Võrrand on kahvli tüüpi bifurkatsiooni kompleksne analoog. Kõigi tasakaalulahenduste määramiseks on vaja asendada kompleksmuutuja \(z\):

kus \((x_1)\) ja \((x_2)\) on uued reaalmuutujad.

Asendades \(z\) algsesse DE-sse, saadakse kahest esimest järku võrrandist koosnev süsteem:

\[\begin(massiiv)(l)
((\punkt x)_1) = [\mu - (x_1^2 + x_2^2)](x_1) - \eta (x_2)\\
((\punkt x)_2) = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)](x_2) + \eta (x_1)
\end(massiiv)\]

Seega oleme siin teinud ülemineku reaalsete parameetritega teist järku mudelile. Saadud võrrandid on omavahel seotud kompleksmuutuja \(z\) kaudu ja neil on järgmised kaks statsionaarset lahendit:

\[(x_1) = (x_2) = 0 \ at \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = (\left| z \right|^2) = \mu \at \z \ne 0\]

Esimene lahendus on ebastabiilne ja ühtib hargnemispunktiga ning teine ​​lahendus määrab raadiusega ringi \(\sqrt \mu\) koordinaadiruumis \(((x_1),\;(x_2),\;\mu )\). Joonisel fig. Joonis 4.5 näitab fikseeritud \(\mu\) faasitrajektoore.

Riis. 4.5 - Andronovi-Hopfi bifurkatsiooniga süsteemi faasiportree

4.5 Tsükli bifurkatsioonid

Piirtsüklite moodustumine teist järku dünaamilistes süsteemides vastab Andronovi-Hopfi bifurkatsioonile. Niisiis, mudeli jaoks, mida esindab kaugjuhtimissüsteem

\[\begin(massiiv)(l)
\frac((d(x_1)))((dt)) = (x_2) - (x_1)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)\\
\frac((d(x_2)))((dt)) = - (x_1) - (x_2)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)
\end(massiiv)\]

punkt \(\lambda = 0\) on bifurkatsioonipunkt. Kui \(\lambda \) muutub null-tasakaaluolekust negatiivsetest positiivseteks \(((x_1) = 0, (x_2) = 0)\) perioodiline orbiit \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \) hargneb ära ), mis vastab stabiilsele piirtsüklile. Sel juhul muutub ainsuse punkti iseloom: stabiilsest muutub see ebastabiilseks (joon. 4.6).

Riis. 4.6 – tsükli bifurkatsiooniga süsteemi faasiportree

4.6 Perioodi kahekordistus bifurkatsioon

Mõelge nüüd peegelduste hargnemistele. Ühemõõtmeline kaardistamine on evolutsiooniprotsessi lihtsaim mudel, kui süsteemi olekut iseloomustab üks muutuja ja aeg on diskreetne. Näiteks võiks tuua bioloogilise populatsiooni dünaamika, kui selle populatsiooni jälgitakse näiteks kord aastas.

Lihtsaim mudel, mis kirjeldab perioodi kahekordistamist, võib olla logistiline kaardistamine

\[(x_(n + 1)) = 1 — \lambda x_n^2\]

Selle fikseeritud punktid leitakse vastava ruutvõrrandi #\((x_0) = 1 - \lambda x_0^2\ lahendist, nii et

\[(x_0) = \frac(( - 1 \pm \sqrt (1 + 4\lambda ) ))((2\lambda ))\]

Punktis \(\lambda = -0,25\) tekib puutuja bifurkatsioon, mille tulemusena tekivad ebastabiilsed ja stabiilsed punktid.

Koostame Maxima matemaatilise paketi käsu abil bifurkatsioonidiagrammi (joonis 4.7).

Eessõna
Peatükk 1. Tasakaalupositsioonide hargnemised
§ 1. Pered ja deformatsioonid
1.1. Vektorvälja perekonnad
1.2. Joadide ruum
1.3. Sardi lemma ja transversaalsuse teoreemid
1.4. Lihtsamad rakendused: tüüpiliste vektorväljade ainsuse punktid
1.5. Topoloogiliselt ebareaalsed deformatsioonid
1.6. Reduktsiooni teoreem
1.7. Tüüpilised ja põhipered
§ 2. Ainsuse punktide hargnemised tüüpilistes üheparameetrilistes perekondades
2.1. Tüüpilised võrsed ja põhipered
2.2. Pehme ja kõva paindumine
§ 3. Ainsuse punktide hargnemised üldasendi mitmeparameetrilistes perekondades lineaarosa ühe degeneratsiooniga
3.1. Peamised perekonnad
3.2. Põhiperekondade hargnemisdiagrammid (3±)
3.3. Bifurkatsioonidiagrammid (nõrga samaväärsuse suhtes) ja põhiperekondade faasiportreed (4±)
§ 4. Vektorväljade ainsuse punktide hargnemised lineaarosa kahekordse degeneratsiooniga
4.1. Degeneratsioonide loetelu
4.2. Kaks Boole'i ​​omaväärtust
4.3. Taandused kahemõõtmelisteks süsteemideks
4.4. Null ja puhtalt imaginaarsete omaväärtuste paar
4.5. Kaks puhtalt väljamõeldud paari
4.6. Keerulist tüüpi võrrandite peamised deformatsioonid kahe kujuteldava paari ülesandes (Zholondeki järgi)
§ 5. Pehme ja kõva paindumise näitajad
5.1. Definitsioonid
5.2. Näitajate tabel
Peatükk 2. Piirtsüklite hargnemised
§ 1. Piirtsüklite hargnemised tüüpilistes üheparameetrilistes perekondades
1.1. kordaja 1
1.2. Kordaja -1 ja perioodi kahekordistus bifurkatsioon
1.3. Komplekssete konjugeeritud kordajate paar
1.4. Mittelokaalsed bifurkatsioonid üheparameetrilistes difeomorfismide perekondades
1.5. Perioodiliste lahenduste mittelokaalsed bifurkatsioonid
1.6. Invariantsete tori lagunemise bifurkatsioonid
§ 2. Tsüklite hargnemised tüüpilistes kaheparameetrilistes perekondades koos ühe lisadegeneratsiooniga
2.1. Degeneratsioonide loetelu
2.2. Kordaja 1 või -1 koos täiendava degeneratsiooniga mittelineaarselt
2.3. Kordajate paar ühikringil koos täiendava degeneratsiooniga mittelineaarses mõttes
§ 3. Tsüklite hargnemised tüüpilistes kaheparameetrilistes perekondades, millel on tugev järjestuse resonants (?)
3.1. Normaalne vorm unipotentse Jordaania raku puhul
3.2. Homogeniseerimine Seiferti ja Möbiuse lehtedes
3.3. Peamised väljad ja deformatsioonid
3.4. Peamiste deformatsioonide mitmekülgsus
3.5. Tugeva järjestusega resonantsidega perioodiliste diferentsiaalvõrrandite statsionaarsete lahendite hargnemised (?)
§ 4. Piirtsüklite hargnemised, kui kordajate paar läbib (?)
4.1. Degenereerunud perekonnad
4.2. Analüütiliselt leitud degenereerunud perekonnad
4.3. Numbriliselt leitud degenereerunud perekonnad
4.4. Bifurkatsioonid mittedegenereerunud perekondades
4.5. Neljandat järku sümmeetriaga süsteemide piirtsüklid
§ 5. Kohalike perekondade lõplikult siledad normaalvormid
5.1. Tulemuste ülevaade
5.2. Definitsioonid ja näited
5.3. Üldteoreemid ja mitteresonantssete mikroobide deformatsioonid
5.4. Redutseerimine lineaarsele normaalvormile
5.5. Poincaré tüüpi difeomorfismide mikroobide deformatsioonid
5.6. Dioresoia hüperboolsete mikroobide deformatsioonid
5.7. Idude deformatsioonid, vektorväljad ühe null-omaväärtusega ainsuse punktis
5.8. Joondifeomorfismide funktsionaalsed invariandid
5.9. Kohalike difeomorfismide perekondade funktsionaalsed invariandid
5.10. Funktsionaalsed -vektoriväljade perekondade invariandid
5.11. Kohalike joondifeomorfismide perekondade topoloogilise klassifikatsiooni funktsionaalsed invariandid (Russari järgi)
§ 6. Feigenbaumi universaalsus difeomorfismide ja voolude jaoks
6.1. Kahekordistuste kaskaad
6.2. Püsipunktide ümberkorraldused
6.3. Kaskaad (?) korda suureneb perioodi jooksul
6.4. Kahekordistumine Hamiltoni süsteemides
6.5. Kahekordne operaator ühemõõtmeliste vastenduste jaoks
6.6. Universaalne kahekordistusmehhanism difeomorfismide jaoks
Peatükk 3. Mittelokaalsed bifurkatsioonid
§ 1. Koodimensiooni degeneratsioon 1. Tulemuste kokkuvõte
1.1. Lokaalsed ja mittelokaalsed bifurkatsioonid
1.2. Mittehüperboolsed ainsuse punktid
1.3. Mittehüperboolsed tsüklid
1.4. Jaoturite mitte-ristsuunalised ristumiskohad
1.5. Kontuurid
1.6. Bifurkatsioonipinnad
1.7. Bifurkatsioonide omadused
1.8. Tulemuste kokkuvõte
§ 2. Voolude mittelokaalsed hargnemised kahemõõtmelistel pindadel
2.1. Voolude poollokaalsed bifurkatsioonid pindadel
2.2. Mittelokaalsed bifurkatsioonid sfääril; ühe parameetriga juhtum
2.3. Tüüpilised vektorväljade perekonnad
2.4. Tüüpilisuse tingimused
2.5. Üheparameetrilised perekonnad muudel pindadel kui kera
2.6. Süsteemide globaalsed bifurkatsioonid globaalse sekantiga torusel
2.7. Mõned globaalsed hargnemised Kleini pudelil
2.8. Bifurkatsioonid kahemõõtmelises sfääris. Mitmeparameetriline juhtum
2.9. Mõned lahtised küsimused
§ 3. Mittehüperboolse ainsuse punkti homokliiniku trajektooride hargnemised
3.1. Hüperboolsete muutujate sõlm
3.2. Sadul hüperboolsetes muutujates: üks homokliiniline trajektoor
3.3. Bernoulli topoloogiline diagramm
3.4. Sadulpunkt hüperboolsetes muutujates: mitmed homokliiniku trajektoorid
3.5. Peamised perekonnad
§ 4. Homokliiniku trajektooride bifurkatsioonid4 ja hüperboolne tsükkel
4.1. Homokliansete trajektooride perekonna struktuur
4.2. Kriitilised ja mittekriitilised tsüklid
4.3. Sujuva kahemõõtmelise atraktori sünd
4.4. Keeruliste muutumatute hulkade sünd (mittekriitiline juhtum)
4.5. Kriitiline juhtum
4.6. Kaheastmeline üleminek stabiilsuselt turbulentsile
4.7. Homokliiniku trajektooride mittekompaktne kogum
4.8. Katkendlikkus
4.9. Kättesaamatus, kättesaamatus
4.10. Difeomorfismide perekondade stabiilsus
4.11. Mõned lahtised küsimused
§ 5. Hüperboolsed ainsuse punktid homokliiniku trajektooriga
5.1. Eelkontseptsioonid: juhtsuunad ja sadulakogused
5.2. Morse-Smale süsteemide piiril esinevad homoklianse sadula trajektooride bifurkatsioonid
5.3. Üldised nõuded
5.4. R3 peamised perekonnad ja nende omadused
5.5. Peamiste perekondade mitmekülgsus
5.6. Integreeritud juhtsuunaga sadul R3-s
5.7. Lisa: homokliansete silmuste hargnemised väljaspool Morse-Smale süsteemide piiri
§ 6. Mitteristsete ristumiskohtadega seotud hargnemised
6.1. Vektorväljad ilma kontuuride ja homokliiniku trajektoorideta
6.2. Kättesaamatuse teoreem
6.3. Moodulid
6.4. Silmustega süsteemid
6.5. Difeomorfismid mittetriviaalsete baashulkadega
6.6. Vektorväljad R3-s homoklianse tsükli trajektooriga
6.7. Sümboolne dünaamika
6.8. "Smale hobuseraudade" hargnemised
6.9. Vektorväljad bifurkatsioonipinnal
6.10. Difeomorfismid, millel on lõpmatu hulk stabiilseid perioodilisi trajektoore
§ 7. Lõpmatu hulk mitterändavat hulka
7.1. Vektorväljad kahemõõtmelisel torusel
7.2. Kahe homoklianse sadulakõveraga süsteemide hargnemised
7.3. Feigenbaumi atraktoritega süsteemid
7.4. Mitterändavate komplektide sünd
7.5. Invariantsete kollektorite säilivus ja sujuvus (Fenicheli järgi)
7.6. Degenereerunud perekond ja selle naabruskond funktsiooniruumis
7.7. Tori sünd kolmemõõtmelises faasiruumis
§ 8. Atraktorid ja nende hargnemiskohad
8.1. Tõenäosuslikud piirid (Milnori järgi)
8.2. Statistiliselt piiride komplektid
8.3. Atraktorite sisemised bifurkatsioonid ja kriisid
8.4. Tasakaalupositsioonide ja tsüklite sisemised bifurkatsioonid ja kriisid
8.5. Kahemõõtmelise toru hargnemised
Peatükk 4. Lõõgastusvõnkumised
§ 1. Põhimõisted
1.1. Näide. Van der Poli võrrand
1.2. Kiired ja aeglased liigutused
1.3. Aeglane pind ja aeglane võrrand
1.4. Aeglane liikumine häiritud väärtuse ligikaudsusena
1.5. Talli fenomen
§ 2. Kiirete ja aeglaste liigutuste tunnused
2.1. Ühe kiire muutujaga süsteemide rikkekohtades kiire liikumise iseärasused
2.2. Aeglase pinnakujunduse omadused
2.3. Süsteemide aeglustumine ühe aeglase muutujaga
2.4. Kahe aeglase muutujaga süsteemide aeglustumine
2.5. Aegluubis faasikõverate normaalkujud
2.6. Seos võrranditeooriaga on tuletise suhtes lahendamata
2.7. Kontaktstruktuuri degeneratsioon
§ 3. Relaksatsioonivõnkumiste asümptootiline käitumine
3.1. Degenereerunud süsteemid
3.2. Esimesed lähendussüsteemid
3.3. Kiire-aeglase võrrandite normaliseerimine kahe aeglase muutujaga korral (?)>0
3.4. Esimeste lähendussüsteemide tuletamine
3.5. Esimeste lähendussüsteemide uurimine
3.6. Lehtrid
3.7. Perioodilised lõõgastusvõnked tasapinnal
§ 4. Stabiilsuse kaotuse pikenemine, kui omaväärtuste paar läbib mõttelist telge
4.1. Tüüpilised süsteemid
4.2. Kujunemise pikenemine
4.3. Kujunemise raskus 2. tüüpi analüüsisüsteemides
4.4. Hüsterees
4.5. Pingutusmehhanism
4.6. Rikkemomendi arvutamine analüütilistes süsteemides
4.7. Pingutamine pöördetsükli ajal
4.8. Stabiilsuse kaotuse ja "partide" karmistamine
§ 5. Pardi lahendused
5.1. Näide: ainsuse punkt aeglase pinna voldil
5.2. Pardi lahenduste olemasolu
5.3. Lihtsate degenereerunud partide evolutsioon
5.4. Poollokaalne nähtus: pardid lõõgastumisega
5.5. Pardid ja (?) ja (?)
Soovitatav lugemine
Kirjandus

Ülevaade

Bifurkatsioon on uue kvaliteedi omandamine dünaamilise süsteemi liikumistes koos selle parameetrite väikese muutusega.

Bifurkatsiooniteooria keskne mõiste on (mitte)jämeda süsteemi mõiste (vt allpool). Võtame suvalise dünaamilise süsteemi ja vaatleme sellist (mitme)parameetrilist dünaamiliste süsteemide perekonda, et algne süsteem saadakse erijuhuna - parameetri (parameetrite) mis tahes väärtuse korral. Kui antud väärtusele piisavalt lähedaste parameetriväärtuste korral säilib kvalitatiivne pilt faasiruumi jagunemisest trajektoorideks, siis nimetatakse sellist süsteemi. karm. Vastasel juhul, kui sellist naabruskonda pole, kutsutakse süsteem välja mitte karm.

Seega tekivad parameetriruumis krobeliste süsteemide piirkonnad, mida eraldavad mittekaredatest süsteemidest koosnevad pinnad. Bifurkatsioonide teooria uurib kvalitatiivse pildi sõltuvust parameetri pidevast muutumisest mööda teatud kõverat. Nimetatakse skeemi, mille järgi kvalitatiivne pilt muutub bifurkatsiooni diagramm.

Bifurkatsiooniteooria peamised meetodid on häirete teooria meetodid. Eelkõige kehtib see väikeste parameetritega meetod(Pontryagina).

Tasakaalu hargnemine

Mehaanilistes süsteemides sõltuvad püsiseisundi liikumised (tasakaaluasendid või suhteline tasakaal) reeglina parameetritest. Parameetrite väärtusi, mille juures täheldatakse tasakaalude arvu muutust, nimetatakse nendeks bifurkatsiooni väärtused. Nimetatakse kõveraid või pindu, mis kujutavad tasakaalukogumeid olekute ja parameetrite ruumis bifurkatsioonikõverad või bifurkatsioonipinnad. Parameetri läbimine läbi bifurkatsiooniväärtuse kaasneb reeglina tasakaaluseisundite stabiilsusomaduste muutumisega. Tasakaalu bifurkatsioonidega võib kaasneda perioodiliste ja muude, keerulisemate liigutuste sünd.

Põhimõisted

Vaata ka

Kirjandus

1. Andronov A. A., Leontovitš E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Dünaamiliste süsteemide bifurkatsioonide teooria tasapinnal. M.: Nauka, 1967.
2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Meetodid ja tehnikad dünaamiliste süsteemide kvalitatiivseks uurimiseks tasapinnal. M.: Teadus. Ch. toim. füüsika ja matemaatika lit., 1990. 488 lk. (Matemaatika teatmeteek.)
3. Chetaev N. G. Liikumise stabiilsus. M.: Teadus. 1955. aastal.

Wikimedia sihtasutus. 2010. aasta.

Vaadake, mis on "Bifurkatsiooniteooria" teistes sõnaraamatutes:

Katastroofiteooria on matemaatika haru, mis hõlmab diferentsiaalvõrrandite (dünaamiliste süsteemide) bifurkatsioonide teooriat ja sujuvate kaardistuste singulaarsuste teooriat. Mõisted “katastroof” ja “katastroofiteooria” võtsid kasutusele René Thom ja... ... Wikipedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Katastroofi teooria (tähendused). Katastroofiteooria on matemaatika haru, mis hõlmab diferentsiaalvõrrandite (dünaamiliste süsteemide) bifurkatsioonide teooriat ja sujuvate... ... Wikipedia singulaarsuste teooriat

Katastroofiteooria: Katastroofiteooria on matemaatika haru, mis hõlmab diferentsiaalvõrrandite (dünaamiliste süsteemide) bifurkatsioonide teooriat ja sujuvate kaardistuste singulaarsuste teooriat. Katastroofide (katastroofiteooria) süsteem... ... Wikipedia

Põhiartikkel: Bifurkatsioonide teooria Bifurkatsioonide kaskaad (Feigenbaumi jada või perioodi kahekordistumise stsenaarium) on üks tüüpilisi stsenaariume üleminekul korrast kaosele, lihtsast perioodilisest režiimist keerulisele aperioodilisele ... ... Wikipedia

H. Whitney diferentseeritavate (sujuvate) kaardistuste singulaarsuste teooria ning A. Poincare'i ja A. A. Andronovi bifurkatsioonide teooria rakenduste kogum. Nimi tutvustas R. Thorn 1972. K. t rakendas geom. ja füüsiline...... Füüsiline entsüklopeedia

BIFURKATSIOON, uue kvaliteedi omandamine dünaamilise süsteemi liikumistes koos selle parameetrite väikese muutusega. Bifurkatsiooniteooria aluse panid alguses A. Poincaré ja A. M. Ljapunov. 20. sajandil, siis töötasid selle teooria välja A. A. Andronov ja tema õpilased... entsüklopeediline sõnaraamat

- (kreeka katastroofi pööre, revolutsioon), 1) sujuvate (diferentseeruvate) kaardistuste singulaarsuste teooria ja bifurkatsioonide teooria rakenduste kogum. Kuna siledad kaardid on üldlevinud, on nende singulaarsused üldlevinud... Loodusteadus. entsüklopeediline sõnaraamat

Vikipeedias on artikleid teiste selle perekonnanimega inimeste kohta, vt Yudovitš. Victor Iosifovich Yudovich Sünniaeg: 4. oktoober 1934 (1934 10 04) Sünnikoht: Thbilisi, NSVL Surmaaeg ... Wikipedia

Sellel terminil on ka teisi tähendusi, vt Dovetail. Pääsukesaba on ebakorrapärane pind kolmemõõtmelises ruumis, mida saab defineerida mitmel samaväärsel viisil. Mõelgem... ... Wikipediale

Põhiartikkel: Bifurkatsioonide teooria Feigenbaumi konstant on universaalne konstant, mis iseloomustab perioodiliste kahekordistuste lõpmatut kaskaadi üleminekul deterministlikule kaosele (Feigenbaumi stsenaarium). Avastas Mitchell... ... Wikipedia

Paljudes teadmiste valdkondades (bioloogia, geograafia, pedagoogika) tähendab mõiste “bifurkatsioon” “hargnemist”, “eraldumist”. Mittelineaarses dünaamikas tõlgendatakse terminit "bifurkatsioon" laiemalt - see on süsteemi oleku kvalitatiivne muutus koos juhtimisparameetrite väikese muutusega. Määratlus Cyrili ja Methodiuse universaalsest entsüklopeediast": Bifurkatsioon, uue kvaliteedi omandamine dünaamilise süsteemi liikumistes koos selle parameetrite väikese muutusega. Bifurkatsiooniteooria aluse panid alguses A. Poincaré ja A. M. Ljapunov. XX sajandil töötas selle teooria välja A.A. Andronov ja õpilased. Peamiste bifurkatsioonide tundmine võimaldab oluliselt hõlbustada reaalsete süsteemide (füüsikaliste, keemiliste, bioloogiliste jne) uurimist, eelkõige ennustada uute liikumiste olemust, mis tekivad süsteemi kvalitatiivsele ülemineku hetkel. erinevat seisundit, et hinnata nende stabiilsust ja olemasolu piirkonda.

Vaatleme näiteks lihtsat mehaanilist süsteemi: mööda renni veerevat kuuli, mille profiil määratakse seose abil:

(8.1) y(x) = x 4 + ax 2 + bx

Vaadeldavat süsteemi selgitav vastav graafik on toodud joonisel fig. 8.1. Siin X- muutuja, mis määrab üheselt palli asukoha (ja sellest tulenevalt ka süsteemi oleku vaadeldaval ajahetkel), A Ja b- juhtimisparameetrid, mis määravad kõnealuse renni profiili. Juhtparameetrite väärtuste muutmisel A Ja b renni profiil muutub, millega kaasneb süsteemi oleku muutus - tasakaaluseisundi asukoht muutub, pall liigub uude tasakaaluasendisse (muutuja väärtus muutub X). Seega juhtimisparameetrite muutmine A Ja b, saame muuta süsteemi olekut.

Riis. 8.1. Pall potentsiaalikaevus ( A = –0,8; b= 1). Koordineerida x 0 määrab palli asukoha, parameetrid A Ja b- renni profiil

Juhtparameetrite kõiki võimalikke väärtusi saab ette kujutada tasapinnana ( a, b), mida nimetatakse juhtimisparameetrite tasapinnaks. Iga punkt sellel tasapinnal vastab ainulaadselt ühele väga spetsiifilisele soone profiilitüübile, mida mööda pall veereb. Ja vastupidi, mis tahes vormi (8.1) kaeviku saab viia vastavusse tasapinna punktiga ( a, b). Kui juhtimisparameetreid poleks kaks, vaid rohkem (näiteks kolm), siis räägiksime parameetriruumist. Pöördugem siiski tagasi mõiste “hargnemine” juurde. Asi on selles, et juhtimisparameetrite väärtuste väikeste muutustega toimub süsteemi olekus kvalitatiivne muutus. Rõhutame kahte olulist punkti: väikesed muutused juhtimisparameetrite väärtustes ja kvalitatiivne muutus süsteemi seisundis. Ehk siis igasugune (väike) muudatus juhtimisparameetrites toob loomulikult kaasa süsteemi oleku muutumise, aga kui alg- ja lõppseisundi erinevused ei ole kvalitatiivselt erinevad, siis bifurkatsioonist rääkida ei saa.

Selgitame seda potentsiaalses augus oleva palli näitel. Joonisel fig. 8.2 näitab juhtimisparameetrite tasapinda ( a, b) ja mõnes kohas on näidatud soone profiil, mida mööda pall saab veereda. Jooniselt on näiteks selgelt näha, et parameetritasandi punktides 3 ja 4 on renniprofiilid loomulikult üksteisest erinevad, kuid see erinevus on kvantitatiivne, mitte kvalitatiivne. Kvalitatiivselt on mõlemad profiilid sarnased: neil on üks miinimum ja seega ka üks stabiilse tasakaalu seisund. Samal ajal on parameetritasandil piirkond (piiratud punktiirjoontega), milles kaevikul on kolm tasakaaluolekut. Soonel on kolm punkti, kus pall võib olla tasakaalus; kaks neist olekutest on stabiilsed ja üks on ebastabiilne.

Riis. 8.2. Juhtparameetri tasapind ( a, b) ja potentsiaalikaevu ilmumine parameetritasandi mõnes punktis

Kui pall on ebastabiilses tasakaaluseisundis (joonis 8.3), siis kõik väikesed mõjud sellele (ja sellised mõjud kindlasti varem või hiljem realiseeruvad) viivad palli sellest tasakaaluseisundist välja ja see rullige ühte auku - kas vasakpoolsesse või paremasse. Nii vasak- kui ka paremas augus on pall stabiilses tasakaalus nii kaua, kui soovitakse. Kumba neist kahest august pall kukub, määrab juhus. Selliseid süsteeme, milles on võimalikud mitmed stabiilsed seisundid (millest realiseerub loomulikult ainult üks), nimetatakse multistabiilseks ja nähtust ennast nimetatakse multistabiilsuseks.

Riis. 8.3. Ebastabiilses tasakaalus olev süsteem. Väiksed välismõjud süsteemile viivad paratamatult selleni, et süsteem liigub stabiilsesse tasakaaluolekusse

On selge, et kahe süvendiga (ja kolme tasakaaluolekuga) küna erineb kvalitatiivselt ühe tasakaaluseisundiga künast. Üleminek ühest olekust teise, kvalitatiivselt erinevalt, nagu võite arvata, toimub punktiirjoontega (vt joonis 8.2). Kui "tulete" juhtimisparameetrite tasapinna punktiirjoonele piisavalt lähedale, saate juhtimisparameetrit veidi muutes selle joone ületada, mis toob kaasa kogu süsteemi kvalitatiivse ümberkorraldamise. Toimub see, mida nimetatakse bifurkatsiooniks: süsteemi oleku kvalitatiivne muutus koos juhtimisparameetrite väikese muutusega. Sirget, mille ristumiskohas toimub bifurkatsioon, nimetatakse hargnemisjooneks ja parameetrite väärtusi, mille juures hargnemist täheldatakse, nimetatakse bifurkatsiooniparameetriteks.

Vaatleme nüüd toimuvate nähtuste olemust rennis paikneva kuuli vaatenurgast. Laske juhtimisparameetrid A Ja b muutke aeglaselt, nagu on näidatud noolega joonisel fig. 8.4. Vastavalt juhtimisparameetrite muutustele muutub renni profiil pidevalt. Parameetritasandi punktis 1 on künal üks stabiilne tasakaaluseisund, milles pall asub. Punktis 2 punktiirjoone ületamisel tekib küna juurde veel üks miinimum ja üks maksimum, s.t. ilmub veel kaks tasakaaluseisundit, millest üks on stabiilne (minimaalne), teine ​​mitte. Kui liigume mööda parameetritasandit näidatud marsruudil edasi, muutub teine ​​miinimum aina sügavamaks (punkt 3) ja punkti 4 saavutamisel osutub kaeviku mõlema süvendi sügavus samaks. Sel juhul on mõlemad tasakaaluseisundid "võrdsed". Pangem aga tähele, et pall pole ikka veel isegi “märkanud” teise tasakaaluseisundi tekkimist, milles ta võiks olla. Palli puhul pole peaaegu midagi muutunud: see oli augus ja jääb sinna ka edaspidi. Jah, juhtimisparameetrite muutmine muudab koordinaati x 0 tasakaaluseisund ja sellest tulenevalt ka palli asukoha koordinaat, kuid see muutus on nii tühine, et pall ei omista sellele erilist tähtsust. Sujuvad, väikesed muutused on märkamatud ja tunduvad tähtsusetud.

Riis. 8.4. Süsteemi oleku muutmine liikudes piki parameetritasandit noolega näidatud suunas

Kas me tõesti mõtleme igal hommikul, et oleme päeva vanemad? Kas pöörame tähelepanu sellele, et 15. jaanuaril oli päeva pikkus 7 tundi 39 minutit ja 16. jaanuaril 7 tundi 42 minutit? Kas märkame sügispäeval, et lehed on muutunud veidi kollasemaks kui eelmisel päeval? Nii kogunevad märkamatult väikesed muutused, millele me tähelepanu ei pööra. Tasakaaluseisundi koordinaadi väike muutus punktist punkti piki juhtimisparameetrite tasandit liikudes on nii ebaoluline ja tähtsusetu asi, et pall ei pööra sellele üldse tähelepanu. Tõenäoliselt võib pall leida teise võimaliku oleku, milles ta võiks olla huvitav ja oluline, kuid see teine ​​olek jääb pallile nähtamatuks, seda varjavad selle eest kaeviku kõrged seinad ja pall lihtsalt ei tea selle olemasolust.

Jätkame liikumist mööda juhtimisparameetrite tasandit. Punktis 5 ületab teise, “alternatiivse” miinimumi sügavus miinimumi sügavuse, milles pall asub, ja teise miinimumi laius on samuti suurem kui esimese laius. On selge, et teine ​​stabiilne tasakaaluseisund on nüüd eelistatavam kui esimene. Kuid pall “elab” endiselt esimeses tasakaaluseisundis ja selle jaoks pole üldiselt midagi muutunud. Teine tasakaaluseisund on talle endiselt nähtamatu. Kuigi nüüd saab pall, kui ta tähelepanu pöörab, kaudsete märkide järgi kindlaks teha, et süsteemis on midagi muutunud: selle augu seinad, milles see asub, on muutunud vähem järsemaks ja augu sügavus näib olevat muutunud väiksemaks. Kuid see, kas pall suudab näha nende väikeste muutuste taga (mis on edasiste sündmuste kuulutajad) midagi tõsisemat kui mõni muutus oma keskkonnas, kas ta suudab mõista, et tema praegune tasakaaluseisund on ohus, sõltub selle, palli, "ülevaade" . Sellises lihtsas mehaanilises süsteemis pole see ilmselt väga keeruline, eriti kui pallil on mingi kogemus, st. kui ta on juba mitu korda sarnastes olukordades olnud. Kaob ju väike liigutus, kontrollparameetrite kerge muutus ja tasakaaluseisund, milles pall oli olnud väga pikka aega (punkt 6) ja pall visatakse hoopis teise olekusse.

Toome veel ühe klassikalise näite hargnemisest, mida pidas suur Euler. Vajame mõõtejoonlauda, ​​õhukest lauanuga, saetera, pikka plastikkammi jne. Asetage see vertikaalselt tugevale alusele ja kaitstes oma kätt vigastuste eest, hakake seda alla suruma (joonis 8.5). Suurenev pingutus F, leiate selle siis, kui F b O suurem kui mingi väärtus Fb riba ei säilita oma algset sirget kuju (joonis 8.5a) - see olek kaotab stabiilsuse ja selle asemel on võimalik üks kahest teisest olekust (1 või 2 joonisel 8.5b), kui riba on kõver. Veelgi enam, see, milline olek kehtestatakse, sõltub erinevatest väiksematest teguritest (riba esialgne deformatsioon, rakendatud jõu kõrvalekalle vertikaalist, vibratsioonid jne). Siin F- juhtimisparameeter, Fb- selle bifurkatsiooniväärtus.

Riis. 8.5. Katse joonlauaga: a) joonlaua olek enne bifurkatsiooni (väärtus F väiksem kui bifurkatsiooni väärtus); b) kaks võimalikku stabiilset seisundit, millesse süsteem jõu ületamisel läheb F bifurkatsiooni väärtus Fb; c) vastav bifurkatsiooniskeem

Vaadeldavas süsteemis toimuvat on mugav illustreerida graafikute abil (joonis 8.5c, kus X- riba keskpunkti kõrvalekalle vertikaalist) - bifurkatsioonidiagrammid. Joonisel on parameetrite väärtused joonistatud horisontaalselt ja süsteemis kehtestatud vastavad muutujate väärtused vertikaalselt (st see ei ole faasitasand ega parameetritasand, vaid midagi kombineeritud). Diagramm näitab, et ühe oleku asemel, mis on tähistatud numbriga 0, on pärast hargnemist olemas ja praktikas rakendatavad olekud 1 ja 2. Mis puutub olekusse 0, siis see eksisteerib põhimõtteliselt jätkuvalt väärtustel F, b O suurem bifurkatsioon, kuid seda ei saa selle ebastabiilsuse tõttu praktiliselt rakendada.

On selge, et sündmusi, mis kuuluvad "bifurkatsiooni" (süsteemi seisundi kvalitatiivne muutus koos väikeste muutustega juhtimisparameetrites) definitsiooni alla, võib sotsiaalsetes süsteemides hõlpsasti leida. Näitena võib tuua revolutsiooni, mis kujundab radikaalselt ümber inimühiskonna tavaelu. Võimalikud on ka vähem "globaalsed" näited. Inimene töötab ja töötab kuskil ning järsku, tühjast hoovist, näiliselt tühiasi, ütleb: “Põletage tulega, kogu see tšaraga” ja kirjutab lahkumisavalduse. Süsteem läheb teise, kvalitatiivselt erinevasse olekusse.

Siiski tuleb märkida järgmist aspekti: sotsiaalsed süsteemid on äärmiselt keerulised ja seetõttu tuleb meeles pidada, et mittelineaarses dünaamikas eksisteerivate mõistete (sealhulgas mõistete "hargnemine", "multistabiilsus") rakendamisel sellistele süsteemidele tuleks olla ettevaatlik. , pidades meeles, et lihtne mehaaniline ülekanne võib põhjustada vigu ja mõnikord isegi võltsimist. Kui me räägime pallist potentsiaalses kaevus, on täiesti selge, millistest süsteemi võimalikest olekutest me räägime, millised neist on stabiilsed, millised mitte ja lõpuks, milline olek realiseerub praegusel ajahetkel. . Mida aga mõeldakse sotsiaalse süsteemi võimalike seisundite all? Antud ajahetkel realiseeritav olek on ainuke, teiste olekute kohta, kas need "olemas" (täpsemalt, kas need oleksid võinud praeguse asemel teoks saada) või mitte, võib vaid oletada, ja meie oletused jäävad oletusteks, mille usaldusväärsuse kohta saame ka omad järeldused teha, kuid mitte rohkem. Mõistet "multistabiilsus" saab ilmselt rakendada sotsiaalsete süsteemide puhul, kuid tõenäoliselt on võimatu "eksperimentaalselt" testida multistabiilsuse olemasolu sotsiaalsetes süsteemides. On võimatu näidata, et igal kindlal ajahetkel (näiteks täna) on lisaks realiseeritavale olekule veel üks (või mitu) alternatiivset seisundit, millest igaüks võiks ühe tõenäosusega või muu, realiseerida. Seda võib oletada, kuid seda ei saa katseliselt kontrollida. Ja muidugi on palju keerulisem “näha”, “tunnetada”, et sotsiaalsüsteem läheneb hargnemispunktile, millest edasi tekib kvalitatiivselt erinev seisund. Ja kui me nägime, et potentsiaalses augus asuv pall peaaegu viimase hetkeni ei "näe" eelseisvat hargnemist (ja süsteemi üleminekut teise olekusse), siis mida me saame öelda inimeste ja sotsiaalsete süsteemide kohta . N.S. Näiteks Hruštšov ei märganud süsteemi lähenemist hargnemispunktile, lahkudes 1964. aasta oktoobris puhkuselt Keskkomitee pleenumile, mille tulemusena ta vabastati keskkomitee esimese sekretäri kohalt. ja eemaldati presiidiumist ning järgmisel päeval - NSV Liidu Ministrite Nõukogu esimehe kohalt. Ja Gaius Julius Caesar aastal 44 eKr. Samuti ei märganud ta eelseisvat hargnemist, mille eest ta oma eluga maksis.

Pöörakem tähelepanu veel ühele olulisele aspektile, mis on seotud mõistega "bifurkatsioon". Sel hetkel, kui süsteem (parameetrite poolest) on bifurkatsioonipunkti lähedal, hakkavad väikesed häired mängima väga olulist rolli. Need häired võivad olla juhuslikud või sihipärased, kuid nende roll suureneb oluliselt. Pöördume tagasi potentsiaalikaevu palli juurde ja vaatleme süsteemi kahte olekut: bifurkatsioonipunkti kaugel ja lähedal (joonis 8.6). On näha, et kui süsteem asub hargnemispunktist kaugel, ei too väikesed löögid sellele kaasa olulisi muutusi selle olekus: pall jääb samasse asendisse, mis varem. Süsteemi "viskamiseks" teise võimalikku olekusse on vaja rakendada palju rohkem O Suuremad pingutused. Samas, kui süsteem on bifurkatsioonipunkti lähedal, piisab isegi väikesest mõjust (mida süsteem lihtsalt poleks varem märganud), et süsteem ühest olekust teise viia.

Riis. 8.6. Süsteem "pall potentsiaalses kaevus" bifurkatsioonipunkti lähedal ja kaugel

Seega võivad bifurkatsioonipunkti lähedal väikesed mõjud süsteemile kaasa tuua ebaproportsionaalselt suuri “vastuseid”. Teine tegur, mis võib viia süsteemi oleku muutumiseni, on väike muutus juhtimisparameetrites. Kui süsteem on bifurkatsioonipunkti lähedal, võib juhtparameetrite kerge "segamine" viia selleni, et süsteem on juba bifurkatsioonipiirist väljaspool (nagu öeldakse, superkriitilises piirkonnas) ja süsteem ise, ilma välismõjudeta läheb üle uude olekusse. Kasutades rennis oleva palli näidet, sulandub pärast hargnemisjoone ületamist punktis 6 (vt joonis 8.4) stabiilne tasakaaluseisund, milles pall oli selle hetkeni olnud, ebastabiilsega ja kaob ning , seega ei jää pallil muud üle kui "liikuda" teise tasakaaluolekusse.

Bifurkatsioonijoone lähedal asuvate süsteemide sarnase käitumise kohta on palju näiteid. Ilmselt võib eeskujuks võtta ka mitmeid tehinguid finants- ja aktsiaturgudel. Konkreetse finantstehingu tegemisest huvitatud inimeste rühma õigel hetkel tehtud organiseeritud toimingud viivad selleni, et kas bifurkatsiooni oleku lähedal asuvat süsteemi mõjutab mõju, mis viib selle tasakaalust välja või toimub kontrollparameetrite kerge liikumine ja süsteem satub ülekriitilisse piirkonda. Selle tulemusena läheb süsteem üle uude olekusse, näiteks satub kontrollpakk huvitatud poole kätte. Kuid kui selline operatsioon tehakse hetkel, mil süsteem on bifurkatsiooniseisundist kaugel, võib kulutada palju raha, kuid soovitud tulemust ei saavutata.

Seega on bifurkatsiooniseisundi lähedal asuva süsteemi mõjutamisel võimalik saavutada dramaatilisi muutusi. Teine asi on see, et sotsiaalsed süsteemid ei ole pall rennis. Süsteemi bifurkatsioonipunktile lähenemise kindlaksmääramine on keeruline ülesanne. Kuid sama raske ja sama oluline ülesanne, kui on soov sotsiaalseid süsteeme sel viisil juhtida, on kindlaks teha, millisesse olekusse süsteem pärast tasakaaluseisundist väljumist läheb.

Siiski ei tasu arvata, et bifurkatsioon on alati mingi äkiline muutus, kui süsteem tundmatuseni muutub. Ülalkirjeldatud bifurkatsiooni näide koos eksisteerivate tasakaaluasenditega on üks lihtsamaid. Üldiselt on bifurkatsiooniteoorias üsna palju erinevat tüüpi bifurkatsiooni olukordi. Näiteks eristatakse hargnemisi ja katastroofe; On isegi katastroofide teooria. Tuleb rõhutada, et bifurkatsioonid võivad tekkida sujuvalt, mõnikord märkamatult. Punkti 2 punktis 2 joonisel fig. 8.4 viib selleni, et süsteem muutub kvalitatiivselt (muutub võimalike stabiilsete tasakaaluseisundite arv süsteemis), mistõttu toimub hargnemine. Kuid nagu juba mainitud, siis teises augus paiknev pall ei märka tekkinud hargnemist. Teine sama süsteemi näide on näidatud joonisel fig. 8.7. Liikudes piki juhtparameetrite tasapinda piki joont b= 0 punktis a= 0 toimub bifurkatsioon, süsteemi olek muutub kvalitatiivselt, kuid see muutus toimub sujuvalt, ilma "kataklüsmideta". Pall võib märgata, et süsteemis on midagi muutunud alates selle koordinaadist x 0 algul (enne bifurkatsiooni) oli see võrdne nulliga ja siis muutus nullist erinevaks. See muutus toimus aga väga järk-järgult ja sellele ei pruugita anda mingit tähtsust.

Riis. 8.7. Süsteemi oleku muutmine piki parameetritasandit mööda joont liikudes b= 0 noolega näidatud suunas

Kuid isegi sel juhul, bifurkatsioonipunkti lähedal, mängivad süsteemi väikesed mõjud olulist rolli. Just need mõjud määravad, millisesse auku (vasakule või paremale) pall kukub. Just need tähtsusetud mõjud määravad suures plaanis süsteemi edasise saatuse. Joonisel fig näidatud olukorras. 8.7, viisid väikesed löögid selleni, et pall sattus õigesse auku. Kui pärast süsteemi lahkumist hargnemispunktist on vaja muuta süsteemi olekut, on vaja pall teise auku visata, siis tuleb teha võrreldamatult suuremaid jõupingutusi kui määratud hargnemispunktis. süsteemi edasise arengu valik. Sellise "pehme", kuid märgatava hargnemise näiteks võivad olla demokraatlikud valimised. Kuni hääletuse toimumiseni võivad riigi edasise arengu saatust mõjutada kõige tähtsusetumad tegurid (võib-olla kuni kandidaadi soenguni välja). Kui valimised on toimunud, on palju keerulisem midagi muuta.

Hiljuti ilmus I. Prigožini artikkel Luu pole veel valatud. Sõnum tulevastele põlvedele. Eelkõige kirjutab ta järgmist. “Tulevik pole meile ette antud. Suur prantsuse ajaloolane Fernand Braudel märkis kord: "Sündmused on tolm." Kas see on õige? Mis on sündmus? Analoogia on kohe ka "hargnemistega", mida uuritakse peamiselt mittetasakaalu füüsikas. Need hargnemised tekivad spetsiaalsetes punktides, kus trajektoor, mida mööda süsteem liigub, on jagatud “harudeks”. Kõik harud on võrdselt võimalikud, kuid realiseerub neist ainult üks. Tavaliselt ei täheldata mitte üht hargnemist, vaid tervet harude jada. bifurkatsioonid... Sellest punktist vaadates osutub ajalugu bifurkatsioonide jadaks.

Edasi rõhutab I. Prigogine, et mikroskoopilisel tasemel kõikumised vastutavad haru valiku eest, mis tekib pärast bifurkatsioonipunkti (need määravad toimuva sündmuse). Ühiskonnale rakendatuna (Prigogine'i järgi on selline rakendus metafoor) kujutab sündmus uue sotsiaalse struktuuri tekkimist pärast hargnemise läbimist ja kõikumised on individuaalse tegevuse tagajärg. Seega on sündmusel mikrostruktuur. Näitena toob I. Prigogine 1917. aasta revolutsiooni Venemaal, tuues välja, et tsaarirežiimi lõpp võib võtta erinevaid vorme. Ta usub, et haru, mida mööda areng toimus, oli tsaari ettenägelikkuse puudumise, tema naise ebapopulaarsuse, Kerenski nõrkuse ja Lenini vägivallaga seotud “kõikumiste” tagajärg. See mikrostruktuur määras kõik järgnevad sündmused.

"Minu sõnum tulevastele põlvedele on seega, et stantsi pole veel visatud, et haru, mida mööda areng pärast hargnemist kulgeb, pole veel valitud. Me elame kõikumiste ajastul, kus individuaalne tegutsemine jääb hädavajalikuks... Usun vajalike kõikumiste tekkimisse, mille kaudu saaks edukalt ületada ohud, mida täna tunneme.