(de lat. rgorortio- « commensurabilité »).
Si le rapport UN: bégal au rapport Avec:d, alors l'identité UN:b= s :d appelé proportion.
Si , alors l'égalité restera dans les cas suivants :
(augmentation en proportion),
(diminution en proportion).
(composer des proportions par addition),
(composer des proportions par soustraction).
Veuillez noter que l'établissement de proportions est une autre façon de résoudre des problèmes impliquant des pourcentages.
Par exemple:
L'étain est fabriqué à partir d'un minéral appelé cassitérite. Combien de tonnes d'étain seront obtenues à partir de 25 tonnes de cassitérite si elle contient 78 % d'étain ?
Solution. Laissez-les chercher de l'étain. En prenant la masse du minéral à 100%, on écrit :
En résolvant 25,78 = 100x, nous trouvons que x = 19,5t.
La notion de proportion est étroitement liée à la proportionnalité. Proportionnalité- il s'agit d'un rapport constant de deux quantités l'une par rapport à l'autre. Par exemple, plus nous appuyons sur la pédale d’accélérateur dans une voiture, plus elle ira vite.
La proportionnalité peut être directe ou inverse.
Proportionnalité directe - la croissance d'une valeur entraîne la croissance d'une autre.
La proportionnalité inverse existe lorsqu'une augmentation d'une valeur plusieurs fois en diminue une autre du même montant. Dans la continuité du précédent exemple- proportionnalité inverse entre l'appui sur la pédale de frein et la vitesse de la voiture - plus on appuie sur le frein, plus la vitesse diminue.
3,6 : 1,2 et 6,3 : 2,1 sont égaux, puisque les valeurs des quotients sont égales à 3. On peut donc écrire l'égalité 3,6 : 1,2 = 6,3 : 2,1, ou
L'égalité de deux rapports s'appelle proportion.
En utilisant des lettres, la proportion s'écrit ainsi : a:b = c:d ou
Ces entrées se lisent comme suit : « Le rapport de a à b est égal au rapport de c à d >>
ou "a est à b comme c est à d >>
.
En proportion, ou a:b=c:d,
Les nombres a et d sont appelés termes extrêmes, et les nombres b et c sont appelés termes moyens. Dans ce qui suit nous supposerons que tous les termes de la proportion sont différents de zéro : .
Dans une proportion on trouve le produit de ses termes extrêmes et le produit de ses termes moyens.
On obtient 3,6 2,1 = 7,56 ; 1,2 6,3 = 7,56. Donc, 3,6 2,1 = 1,2 6,3.
Dans la bonne proportion, le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens. L'affirmation inverse est également vraie : si le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens de la proportion, alors la proportion est correcte.
Cette propriété est appelée propriété fondamentale de proportion.
La proportion 20:16 = 5:4 est correcte, puisque 20 4 = 16 5 = 80. Intervertissons les termes médians dans cette proportion.
Nous obtenons une nouvelle proportion : 20:5 = 16:4. C'est également correct, car avec un tel réarrangement, le produit des termes extrêmes et le produit des termes moyens n'ont pas changé. Ces produits ne changeront pas si les termes extrêmes dans la proportion 20:5 = 16:4 sont inversés.
Si les membres intermédiaires ou extrêmes sont intervertis dans la proportion correcte, alors les nouvelles proportions qui en résultent sont également correctes.
748. En réorganisant les termes moyens ou extrêmes de la proportion, créez trois nouvelles proportions correctes à partir de la proportion :
749. En utilisant l'égalité correcte 4 9 = 0,2 180, créez quatre proportions correctes.
P. 750. Calculer verbalement :
751. Quel signe d'action doit être substitué à la place de * pour obtenir l'égalité correcte :
752. Trouver le rapport des quantités :
a) 1,5 m et 30 cm ;
b) 1 kg et 250 g ;
c) 1 heure et 15 minutes ;
d) 50 cm 2 et 1 dm 2.
753. les nombres sont égaux à ce nombre. Qu'est-ce que c'est nombre?
754. Quel nombre faut-il ajouter au numérateur et au dénominateur d'une fraction pour obtenir une fraction ?
M 755. Lesquelles des figures (Fig. 33) sont des développements :
a) prisme quadrangulaire ; b) prisme triangulaire ; c) une pyramide triangulaire ?
756. 50 coups de feu ont été tirés avec une arme à feu, et 5 balles ont dépassé la cible. Définir.
757. L’angle A est de 30° et l’angle B est de 50°. Quelle partie de l’angle A part de l’angle B ? Combien de fois l’angle B est-il plus grand que l’angle A ?
758. La brigade fut chargée de collecter 280 centimes de raisin. Elle a récolté 350 quintaux. De quel pourcentage l’équipe a-t-elle dépassé la tâche ? À quel pourcentage l’équipe a-t-elle accompli la tâche ?
759.Des érables et des chênes ont été plantés dans le parc, à raison d'un chêne pour quatre érables. Quel pourcentage de tous les arbres plantés sont des érables ? Combien d’arbres aurait été planté dans le parc si 480 érables étaient plantés ?
D 760. La proportion est-elle correcte :
a) 2,04:0,6 = 2,72:0,8 ; b) 0,0112 : 0,28 = 0,204 : 0,51 ?
761. Résolvez l'équation :
762. À partir de 225 kg de minerai, 34,2 kg de cuivre ont été obtenus. Quel est le pourcentage de cuivre dans le minerai ?
763. 2 heures après avoir quitté la gare A, la locomotive diesel a augmenté sa vitesse de 12 km/h et 5 heures après le début du mouvement est arrivée à la destination B. Quelle était la vitesse de la locomotive diesel au début du trajet, si la la distance de A à B est de 261 km ?
764. Si vous ajoutez 0,8 à un nombre inconnu, vous obtenez 1,2. Trouvez le numéro inconnu.
765. Suivez ces étapes :
N.Ya.Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Shvartsburd, V.I. Jokhov, Mathématiques pour la 6ème année, Manuel pour le lycée
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Le mot « proportion » vient d’une racine latine et signifie « proportion ». Les gens l’utilisent souvent dans la vie quotidienne. Ils parlent par exemple de proportions corps humain ou sur les proportions en cuisine. Aujourd'hui, nous allons découvrir ce que les mathématiciens entendent par ce mot.
Considérons deux relations. On rappelle qu'un rapport est le quotient de deux nombres.
Notez que dans le premier et le deuxième cas, la valeur du quotient est trois. Devant nous se trouvent deux relations égales. Écrivons l'égalité.
Quinze égale cinq comme vingt-quatre égale huit. Cette égalité s'appelle proportion. Parfois, cette égalité s’écrit comme une égalité de fractions ordinaires.
Formulons une définition : L'égalité de deux rapports s'appelle proportion.
A l'aide de lettres, la proportion peut s'écrire :
Attitude unÀ bégal au rapport cÀ d. Parfois la proportion se lit différemment : « un Ceci s'applique à b, Comment c fait référence à d». Les nombres impliqués dans une proportion sont appelés termes de la proportion. Tous les termes sont supposés différents de zéro.
Nombres un Et d sont appelés les termes extrêmes de la proportion, et les nombres b Et c- membres moyens. En effet, dans la première variante d'écriture du nombre b Et c sont au milieu, et les chiffres un Et d sur le bord.
Dans la proportion évoquée plus haut 
Trouvons le produit de ses termes moyens et extrêmes.
Notez que les deux produits résultants sont égaux.
Formulons la propriété fondamentale de proportion sous forme générale.
Dans la bonne proportion, le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens.
L’inverse est également vrai.
Si le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens de la proportion, alors la proportionvrai.
Trouvons le terme inconnu de la proportion, c'est-à-dire résolvons la proportion.
Les nombres 0,5 et 13 sont des termes extrêmes ; Nombres un et 2 sont les termes moyens. Utilisons la propriété de base de proportion.
Résolvons la proportion.
En utilisant la propriété de base de proportion, on obtient :
Pour supprimer la décimale au dénominateur, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par 10. Réduisez la fraction obtenue par 4, puis à nouveau par 4.
Vérifiez si ces proportions sont correctes :
Dans cette tâche, vous devez vérifier si l’égalité entre les relations est réellement valable.
Trouvons le produit des moyennes et le produit des extrêmes pour chaque proportion. Si les produits obtenus sont égaux, alors la proportion est correcte. Sinon, la proportion est incorrecte.
la bonne proportion, car
proportion incorrecte, car .
Si les termes moyens ou extrêmes sont intervertis dans la bonne proportion, alors les nouvelles proportions qui en résultent sont également correctes..
En effet, avec un tel réarrangement, le produit des termes extrêmes et moyens ne change pas.
Regardons un exemple. A partir de cette proportion, obtenez-en deux nouvelles en réarrangeant les termes extrêmes et moyens. Tout d'abord, réorganisons les termes médians (Fig. 1).
Riz. 1. Réarrangement des termes moyens
En effet, le produit de la moyenne et de l'extrême n'a pas changé, ce qui signifie que la proportion résultante est correcte. Réorganisons les termes extrêmes (Fig. 2).
Riz. 2. Réarrangement des membres extrêmes
Et dans ce cas, le produit de la moyenne et de l’extrême n’a pas changé. Nous avons obtenu la bonne proportion.
Bibliographie
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012.
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- Mathématiques ().
- Portail Internet Math-portal.ru ().
Devoirs
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Mathématiques 6. - M. : Mnémosyne, 2012 : n° 762 (a, d, d), n° 765, n° 777.
- Autres tâches : n° 767, n° 775.