I srednjovjekovni latinski furcatus - račvast, od latinske furca - dvokrake vile), grananje, bifurkacija. U teoriji oscilacija i teoriji dinamičkih sustava, bifurkacija je restrukturiranje prirode kretanja stvarnog sustava (fizičkog, kemijskog, biološkog), njegov prijelaz u novo kvalitativno stanje s malom glatkom promjenom u jednom ili nekoliko parametri. Vrijednosti parametara pri kojima se promatra bifurkacija nazivaju se vrijednostima bifurkacije. Matematički, bifurkacija je promjena u strukturi podjele faznog prostora dinamičkog sustava na putanje s malom promjenom njegovih parametara.

Teorija bifurkacije omogućuje razumijevanje fizikalnih pojava u mehanici (ponašanje čestice u potencijalnoj jami), optici (uvjet za pojavu laserske generacije), teoriji oscilacija (autooscilacije) i nekim kemijski procesi (na primjer, oscilatorne reakcije kao što je reakcija Belousov-Zhabotinsky). Osim toga, teorija bifurkacije primjenjiva je za opisivanje niza pojava u ekologiji i populacijskoj dinamici, uvjetima suživota vrsta (predator - plijen), procesima evolucije i mutacija u biologiji, interakciji i razvoju društvenih sustava itd.

Najjednostavniji primjer bifurkacije je izvijanje okomito opterećene šipke u jednom ili drugom smjeru kada se prekorači kritično opterećenje, smatra L. Euler (slika 1). Teorija bifurkacije je univerzalna. Poznavanje glavnih tipova bifurkacije omogućuje značajno olakšanje proučavanja stvarnih sustava, predviđanje prirode novih pokreta koji nastaju u trenutku prijelaza sustava u kvalitativno drugačije stanje i procjenu njihove stabilnosti i područja postojanja.

Temelje teorije bifurkacije postavili su A. Poincaré i A. M. Ljapunov početkom 20. stoljeća. Najvažniji doprinos njegovu razvoju dali su A. A. Andronov i L. S. Pontrjagin, koji su uveli pojam hrapavosti (strukturne stabilnosti) dinamičkih sustava na ravnini. Grubi sustavi zadržavaju kvalitativnu strukturu podjele faznog prostora na putanje s malim promjenama parametara. Do kršenja uvjeta hrapavosti dolazi pri bifurkacijskim vrijednostima parametara, kada sustav postaje nehrapav. Najčešći tipovi ponašanja sustava različitog porijekla su stanja ravnoteže i periodičko gibanje. Matematička slika periodičkog gibanja je granični ciklus. Teoriju bifurkacije za sustave s ravnotežnim stanjima i graničnim ciklusima razvili su uglavnom A. A. Andronov i njegovi učenici.

Sustav je u stabilnom stanju (stanje stabilne ravnoteže) ako se uz malo odstupanje od njega ponovno vrati u to stanje (slika 2a). U tom smislu takvi ravnotežni položaji kao da privlače sami sebe, zbog čega se nazivaju atraktorima (od engl. attract – privlačiti). Svaki atraktor ima svoje područje privlačenja - skup početnih uvjeta (koordinata i brzina lopte, kao na slici 2a), nakon odstupanja od kojih se sustav vraća u isto stanje tijekom vremena. Sustav je u stanju nestabilne ravnoteže ako se uz malo odstupanje od njega ne vrati u to stanje (slika 2b).

Sustav u stabilnom stacionarnom stanju može doživjeti bifurkaciju kada izgubi stabilnost, na primjer, spoji se s nestabilnim (sl. 3a-c). U ovom slučaju, kako parametar prolazi kroz vrijednost bifurkacije (Slika 3b), sustav skače u drugu regiju, udaljenu od originalne (Slika 3c).

Bifurkaciju, u kojoj je stanje stabilne ravnoteže sustava, promatrano prije nego što parametar prođe kroz točku bifurkacije, zamijenjeno stabilnim periodičkim gibanjem, proučavali su A. A. Andronov i E. Hopf i nosi njihovo ime. Drugi tip Andronov-Hopfove bifurkacije je tvrda ekscitacija, kada se parametar sustava mijenja tako da se nestabilni granični ciklus steže u stacionarno stabilno stanje i stapa se s njim u trenutku bifurkacije. U tom slučaju, područje privlačenja stacionarnog stanja sustava i veličina graničnog ciklusa se smanjuju na nulu, tako da sustav gubi stabilnost i prelazi na drugi način gibanja.

Stabilno periodično gibanje također može doživjeti bifurkaciju, bilo da se spoji s nestabilnim periodičnim gibanjem ili izgubi svoju stabilnost. U potonjem slučaju, periodična gibanja dvostruke periode ili kvaziperiodičnih oscilacija (tzv. dvodimenzionalni invarijantni torus) mogu nastati iz periodičnih gibanja. Kvaziperiodičke oscilacije su gibanja s dvije ili više nesumjerljivih (racionalno neovisnih) frekvencija. Takve se oscilacije opažaju, na primjer, u sustavu dvaju spregnutih njihala s frekvencijama ω 1 i ω 2 za ω 1 /ω 2 ≠ k/m, gdje su k i m cijeli brojevi.

U nelinearnim sustavima, kada se parametri mijenjaju, moguć je konačan (ili čak beskonačan) niz bifurkacija, što dovodi do pojave dinamičkog kaosa (vidi također Čudni atraktor).

Lit.: Andronov A. A. i dr. Teorija bifurkacija dinamičkih sustava na ravnini. M., 1967.; Arnold V. I. i dr. Teorija bifurkacija // Moderni problemi matematike. Temeljni pravci. M., 1986. T. 5; Loskutov A.Yu., Mikhailov A.S. Uvod u sinergetiku. M., 1990.

Teorija bifurkacija pojavljuje se posvuda u prirodnoj znanosti. Diferencijalne jednadžbe koje opisuju stvarne fizičke sustave uvijek sadrže parametre čije točne vrijednosti nisu poznate. Ako se pokaže da je jednadžba koja modelira fizički sustav strukturno nestabilna, odnosno da se ponašanje njezina rješenja može kvalitativno promijeniti s proizvoljno malom promjenom desne strane, tada je potrebno utvrditi koje bifurkacije faznog portreta nastaju kada se parametri mijenjaju

Vrlo važan i produktivan koncept u prirodnoj znanosti je koncept dinamičkog sustava. Pod dinamičkim sustavom podrazumijeva se matematički model realnog procesa koji ima sljedeća svojstva. Prvo, mora biti poznat određeni skup veličina koji jedinstveno definira stanje sustava. Drugo, mora se poznavati zakon po kojemu se stanje sustava može jednoznačno odrediti u bilo kojem trenutku ako je poznato njegovo početno stanje. Ovaj koncept je vrlo širok i stoga se primjeri dinamičkih sustava mogu pronaći u gotovo svim područjima fizike, biologije, kemije itd.

Ponašanje dinamičkog sustava, posebno načini koji se uspostavljaju tijekom vremena, mogu ovisiti o određenim parametrima. Ispostavilo se da uz polaganu promjenu parametra može doći do kvalitativnog restrukturiranja režima stacionarnog stanja. Proučavanje takvih preraspodjela pri mijenjanju parametara u dinamičkim sustavima (i ne samo u preslikavanjima, već i u diferencijalnim jednadžbama) predmet je teorije bifurkacija. Identificira tipične bifurkacije, proučava ih i klasificira. Teorija bifurkacije je matematička znanost.

Riječ "bifurkacija" znači "bifurkacija" i koristi se kao naziv za svaku naglu promjenu koja se događa tijekom glatke promjene parametara u bilo kojem sustavu: dinamičkom, ekološkom itd. Članak je posvećen bifurkacijama nelinearnih dinamičkih sustava.

Često se pri modeliranju fizikalnih procesa kao konstante uzimaju neke varijable čije su promjene beznačajne u okviru modeliranih procesa. Rezultat je sustav nižeg reda od izvornog, ali postaje nemoguće uzeti u obzir utjecaj promjena u terminima koji se uzimaju kao konstantni. U ovom slučaju, termini se mogu smatrati perturbacijama, a model se može opisati pomoću teorije bifurkacija.

Bifurkacije dopuštaju određenu klasifikaciju. Prvo, prema minimalnoj vrijednosti dimenzije sustava za koju je ova bifurkacija moguća. I, drugo, prema minimalnom broju parametara potrebnih za ovu vrstu restrukturiranja.

1. Pojam bifurkacije

Bifurkacije su od temeljne važnosti u proučavanju ponašanja dinamičkih sustava. Često upravo bifurkacije određuju mehanizam nastanka mnogih složenih procesa. Zadržimo se na nekim osnovnim odredbama teorije bifurkacije.

Neka je nelinearni model autonomnog sustava predstavljen daljinskim upravljačem

\begin(jednadžba) (dx \over dt) = F(x,\lambda) \end(jednadžba)

karakteriziran promjenom parametra \(\lambda\). U realnom sustavu takav parametar može biti temperatura, tlak, koncentracija, stopa rasta stanovništva itd. Treba naglasiti da se ne proučava specifičan model s fiksnim parametrom, već obitelj dinamičkih modela čiji ponašanje ovisi o \(\lambda\).

Pri određenoj vrijednosti parametra, koja se naziva kritična vrijednost, dolazi do kvalitativne promjene procesa u sustavu. U tom se slučaju kvalitativno mijenja i struktura (topologija) podjele faznog prostora (fazne ravnine s dimenzijom 2) na trajektoriju. Ovo svojstvo nelinearnog sustava obično se naziva bifurkacija (od latinske riječi bifurcus - račvan), a promjenjivi parametar \(\lambda\), pri kojem se bifurkacija promatra, naziva se bifurkacijski parametar.

Strože, bifurkacijska (kritična) vrijednost parametra \(\lambda\) je njegova vrijednost pri kojoj dinamički sustav postaje negrub (strukturalno nestabilan).

Koncept hrapavosti dinamičkog sustava uveo je A.A. Andronov i L.S. Pontrjagin. Dinamički sustav predstavljen DE sljedećeg oblika

\[(dx_i \preko dt) = F(x), x = 1, …, n \]

naziva se grubim u domeni \(G \subset ((\bf(R))^n)\) ako se za bilo koji \(\varepsilon > 0\) može specificirati \(\delta > 0\) tako da za proizvoljne analitičke funkcije \((Q_i)((x_1),\; \ldots ,\;(x_n)) = (Q_i)((\bf(x)))\) modificiranog (drugim riječima, poremećenog) sustava

\[\frac((d(x_i)))((dt)) = (F_i)((\bf(x))) + (Q_i)((\bf(x))),i = 1,\; \ldots ,\;n\]

zadovoljavajući nejednakost

\[\suma\limits_(i = 1)^n (\lijevo[ (\lijevo| ((Q_i)((\bf(x)))) \desno| + \suma\limits_(j = 1)^n (\lijevo| (\frac((\djelomično (Q_i)((\bf(x)))))((\djelomično (x_j)))) \desno|) ) \desno]< \delta } \]

Postoji takvo jedno-na-jedan i međusobno kontinuirano preslikavanje domene u sebe, u kojem se svaka trajektorija izvornog (neporemećenog) sustava preslikava u odgovarajuću putanju sustava i natrag. U ovom slučaju, točke koje odgovaraju jedna drugoj nalaze se na udaljenosti manjoj od \(\varepsilon \). Drugim riječima, dinamički sustavi su oni u kojima se kvalitativna struktura faznih putanja ne mijenja proizvoljnom malom promjenom desnih strana izvorne diferencijalne jednadžbe.

Za grube dinamičke sustave drugog reda zadovoljeni su sljedeći uvjeti:

1. u području \(G \subset ((\bf(R))^2) \) mogu se nalaziti samo jednostavne singularne točke (ravnotežna stanja) tipa „čvor“, „žarište“, „sedlo“, tj. , za koje su realni dijelovi korijena karakteristične jednadžbe lineariziranog sustava različiti od nule. Takve singularne točke (ima ih konačan broj) nazivaju se grube;
2. domena \(G\) može sadržavati samo jednostavne granične cikluse, čiji je broj konačan;
3. u regiji \(G\) nema separatrisa koje idu od sedla do sedla. Moguće je da postoje separatrise sedla, koje teže u jednom smjeru prema čvoru, fokusu, graničnom ciklusu ili pri nekoj vrijednosti \(t\) napuštajući područje \(G\).

Ako su ti uvjeti prekršeni, dinamički sustav postaje negrub.

U skladu s teorijom bifurkacija u prostoru koordinata i parametara, iz točke bifurkacije može proizaći nekoliko grana rješenja jednadžbe ravnoteže

\[(\bf(0)) = (\bf(F))((\bf(x)),\;\lambda)\]

i stabilna i nestabilna. Grafovi ovisnosti koordinata ravnotežnih položaja o \(\lambda\) su bifurkacijski dijagrami.

Najjednostavniji primjer bifurkacije je sljedeći sustav

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x\]

koji ima rješenje \(x(t) = (x_0)(e^(\lambda t))\), koje određuje eksponencijalni rast (smanjenje) ako \(\lambda > 0(\lambda< 0)\) соответственно. Заметим, что приведенное выше уравнение определяет динамику цепной реакции \(\lambda >0\) i nuklearni raspad \(\lambda< 0\). Единственное состояние равновесия уравнения \(x = 0\) устойчиво при \(\lambda < 0\) и неустойчиво при \(\lambda > 0\).

Riža. 1.1 - Vremenske karakteristike sustava za različite vrijednosti parametra bifurkacije

2. Klasifikacija

Bifurkacije se obično klasificiraju prema broju kršenja uvjeta hiperboličnosti za svojstvene vrijednosti matrice

\[(\bf(J))((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = \lijevo\| (\frac((\partial (F_i)((\bf(x)),\;(\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m))))((\partial (x_j)) )) \desno\|\]

Fiksna točka naziva se hiperboličnom ako Jacobijeva matrica \((\bf(J))\), definirana u njoj, ne sadrži svojstvene vrijednosti \((s_k) \) s nultim realnim dijelom, tj. \((\rm ( Re))\,(s_k)\ne 0\).

Kada se razmatra višeparametarski prostor \(\Lambda \), točka tog prostora (\(\lambda \u \Lambda \)), u kojoj se događa kvalitativna promjena u ponašanju dinamičkog sustava, naziva se bifurkacijska točka. Prostor \(\Lambda \) karakterizira problem određivanja broja parametara \(\( (\lambda _q)\) \) koji moraju biti prisutni u modelu da bi se data bifurkacija smatrala tipičnom.

Svojstvene vrijednosti \((s_k) \) matrice \((\bf(J))\) su funkcije parametara, tj. \((s_k)((\lambda _1),\; \ldots ,\ ; (\lambda _m))\). Tada su uvjeti za kršenje hiperboličnosti oblika \((\rm(Re))\,(s_k) = 0\) određeni sustavom jednadžbi sastavljenim s obzirom na parametre. Na primjer, da bi dvije stvarne svojstvene vrijednosti istovremeno nestale, potrebno je pronaći rješenje sustava dviju jednadžbi za nepoznanice

\[\početak(niz)(l)
(s_1)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0\\
(s_2)((\lambda _1),\; \ldots ,\;(\lambda _m)) = 0
\end(niz)\]

Moguće su sljedeće tipične situacije:

• ako je \(m = 1\) , tada u općem slučaju nema rješenja; bifurkacija nije otkrivena;
• ako je \(m = 2\), tada je rješenje moguće; bifurkacija se može dogoditi u jednoj ili više točaka \(\Lambda\);
• ako je \(m > 2\), tada će se u tipičnim slučajevima nehiperboličke točke nalaziti na plohi dimenzija \(m - 2\) u \(\Lambda\), tj. mogu se formirati bifurkacijske plohe.

U općem slučaju, ako je potrebno zadovoljiti uvjete kršenja hiperboličnosti \(k\), tada će se moguće bifurkacijske točke nalaziti na \((m - k)\)-dimenzionalnoj plohi. Veličina \(k\), koja određuje broj uvjeta za narušavanje hiperboličnosti, naziva se kodimenzija bifurkacije. Razlika između dimenzije prostora i dimenzije bifurkacijske plohe je kodimenzija plohe.

Kodimenzija bifurkacije pokazuje koliko parametara treba definirati dinamički sustav da bi bifurkacija koja se u njemu promatra bila tipična. Drugim riječima, kodimenzija bifurkacije je najmanja dimenzija prostora \(\Lambda\) u kojoj je moguća bifurkacija odgovarajućeg tipa. U budućnosti, radi lakšeg razumijevanja glavnih odredbi teorije bifurkacija, preporučljivo je ograničiti se na razmatranje bifurkacija kodimenzije 1, koje se promatraju u sustavima s jednim parametrom. Bifurkacije višeg reda mogu se pronaći u stručnoj literaturi.

Proučavanje uobičajenih tipova bifurkacija provodi se pomoću modela prvog i drugog reda predstavljenih određenim diferencijalnim jednadžbama. U ovom slučaju, u lineariziranim modelima nastaju jedna nula ili dvije imaginarne svojstvene vrijednosti Jakobijeve matrice.

2.1 Bifurkacije u sustavima s jednostavnim gibanjem

Hrapavost sustava podrazumijeva hrapavost određenih putanja. Među takvim putanjama ističu se prije svega stabilna stanja ravnoteže i periodična gibanja, jer su matematička slika stacionarnih stanja i samooscilacija.

Stanje ravnoteže n-dimenzionalnog sustava \(\mathop x\limits^. = X(x)\) točka \(M((x^*))\), gdje je \((x^*)\) rješenje sustava \ (X(x) = 0\). Nije grubo ako su među \((\lambda _(1,))(\lambda _2), …(\lambda _n)\) korijeni karakteristične jednadžbe \(\det (\frac((\partial X((x^ *))))((\partial x)) - \lambda E) = 0\) postoje korijeni koji leže na imaginarnoj osi. U slučaju \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0,i = 1,…n \), состояние равновесия является устойчивым. Если имеются корни как с отрицательной, так и с положительной реальной частью, то состояние равновесия носит название седлового. К нему будут стремиться траектории как при \(t \to + \infty \), так и при \(t \to — \infty \) , в совокупности образуя устойчивое \({W^s}\) и неустойчивое \({W^u}\) многообразия. Периодическое решение \(x = \phi (t) \) этой системы будет негрубым, если среди мультипликаторов \({\rho _1},{\rho _2},…{\rho _{n — 1}}\) имеются равные по модулю 1. Если же \(\left| {{\rho _i}} \right| < 1\), периодическое движение устойчивое, и седловое, если среди мультипликаторов есть как лежащие внутри единичного круга, так и вне его.

Trenutno su detaljno proučene glavne (kodimenzija 1) lokalne i globalne bifurkacije takvih putanja.

Stabilno stanje ravnoteže može:

1. nestati, stapajući se s nestabilnim. U trenutku bifurkacije stanje ravnoteže, koje se naziva sedlasti čvor, ima samo jedan karakteristični korijen koji leži na zamišljenoj osi i jednak je nuli.
2. izgubiti stabilnost. U tom slučaju će se iz stanja ravnoteže roditi (zaglaviti) stabilno (nestabilno) periodično gibanje ako je u trenutku bifurkacije stanje ravnoteže stabilno (nestabilno). Ova bifurkacija, koja objašnjava generiranje oscilacija, naziva se Andronov-Hopf.

Održano periodično kretanje može:

• nestati, stapajući se s nestabilnim u trenutku bifurkacije. Za \(n > 2\), negrubo periodičko gibanje naziva se gibanje sedlastog čvora.
• izgubiti stabilnost rađanjem stabilnosti
  • periodično kretanje dvostruke periode, ako je množitelj jednak (-1),
  • dvodimenzionalni invarijantni torus ako \((\rho _(1,2)) = (e^( \pm i\phi ))\), gdje \(\phi \ne 0,\pi ,\frac(\pi ) (2),\frac((2\pi ))(3)\).

Stabilna periodična kretanja također se mogu roditi kao rezultat sljedećih globalnih bifurkacija:

1. od putanje koja dolazi od sedla s karakterističnim korijenima \((\mathop(\rm Re)\nolimits) (\lambda _i)< 0\), \(i=1, … ,n-1\), и седловой величиной \(\max {\mathop{\rm Re}\nolimits} {\lambda _i} + {\lambda _n} < 0\) в то же седло,
2. od putanje koja ide od sedlastog čvora do njega kada nestane stanje ravnoteže,
3. kada periodičko gibanje sedlo-čvora nestane, sve putanje nestabilnog razvodnika zajedno tvore snažno stisnutu cijev koja se vijuga oko periodičkog gibanja. Ova se bifurkacija naziva "katastrofa plavog neba", a njezina je osobitost da dok parametar teži vrijednosti bifurkacije, duljina periodičkih kretanja teži beskonačnosti.

U slučaju kodimenzije 1, periodična gibanja sedla mogu se roditi iz putanje koja ide 1) iz sedla u njega, 2) iz stanja negrube ravnoteže tipa sedlo-sedlo u njega kada ono nestane (takvo ravnotežno stanje nastaje spajanjem dva gruba sedla.)

Sve navedene bifurkacije ne izlaze iz klase sustava s jednostavnim ponašanjem putanje.

2.2. Bifurkacije u sustavima sa složenim gibanjem

Glavna značajka sustava sa složenim ponašanjem trajektorija je postojanje grubog graničnog skupa koji se sastoji od putanja sedlastog tipa, u kojima su stalna gibanja posvuda gusta i posvuda postoji gusta putanja. Takvi se skupovi nazivaju hiperboličnim. Najuniverzalniji kriterij za postojanje takvih skupova povezan je s homokliničkom Poincaréovom orbitom - dvostruko asimptotskom putanjom do sedlastog konstantnog gibanja duž koje se njegove stabilne i nestabilne mnogostrukosti sijeku bez dodirivanja. Prisutnost takve strukture jamči postojanje jednodimenzionalnog hiperboličkog skupa u bilo kojem njezinom malom susjedstvu, ali nestabilnog. Zbog toga se bifurkacije povezane s pojavom ili nestankom hiperboličkog skupa općenito nazivaju homokliničkim. Još jedan tipičan slučaj sustava sa složenim ponašanjem putanje su sustavi s homokliničkim petljama fokusa sedla s pozitivnom vrijednošću sedla. Homokliničke bifurkacije dijele se u dvije vrste: granične, koje objašnjavaju prijelaze iz jednostavne u složenu dinamiku, i unutarnje. Tipičan primjer bifurkacije tipa 1, koji pokazuje da se sustavi s jednostavnom i složenom dinamikom mogu razdvojiti bifurkacijskom plohom, je bifurkacija nestanka ravnotežnog stanja tipa sedlo-sedlo s najmanje dvije dvostruko asimptotske putanje, kao kao i niz bifurkacija sustava s negrubom homokliničkom Poincaréovom putanjom. Međutim, takvom prijelazu može prethoditi beskrajna kaskada bifurkacija koja udvostručuje razdoblje Sharkovsky-Feigenbaum. Spomenimo i problem destrukcije torusa u vezi s problemom sinkronizacije.

U slučaju unutarnjih bifurkacija, jedan od glavnih zadataka je identificirati područja negrubih sustava u prostoru dinamičkih sustava. Na ovu neobičnu pojavu prvi je ukazao Smale ranih 60-ih. Ali najpoznatija su Newhouseova područja, u kojima su sustavi s negrubim homokliničkim Poincaréovim putanjama posvuda gusti i imaju stalno kretanje bilo kojeg reda degeneracije. Iz ovoga slijedi zaključak - za nelinearnu dinamiku: potpuna kvalitativna analiza modela koji dopuštaju negrubu homokliničku Poincaréovu putanju nije realna.

Otkrićem dinamičkog kaosa otvoreno je novo poglavlje u teoriji bifurkacija, vezano uz teoriju čudnih atraktora - privlačnih graničnih skupova s ​​nestabilnim ponašanjem putanja. Za razliku od, na primjer, stalnih gibanja, čudni atraktori nemaju jedinstvenu prirodu: mogu biti različiti (glatki ili neglatki) ili skupovi s vrlo složenom skupovno-teorijskom strukturom. Na temelju interesa nelinearne dinamike, čudni atraktori moraju zadržati svoja svojstva pod malim poremećajima sustava. Naravno, to vrijedi za hiperboličke atraktore. Ali analiza niza modela pokazala je da i negrubi atraktori mogu biti takvi. Tipičan primjer je neobičan atraktor Lorentzovog modela \(\mathop x\limits^. = - \sigma (x - y),\mathop y\limits^. = - y + rx - xz,\mathop z\limits ^. = - bz + xy\), čija je nehrapavost posljedica činjenice da stanje ravnoteže sedlastog tipa pripada čudnom atraktoru. U dimenziji n>3 mogu postojati negrubi atraktori koji sadrže sedlasti fokus. Budući da potonji dopuštaju homokliničke tangente, oni se (zbog gore navedenih razloga) obično nazivaju "divljim". Jasno je da je proučavanje bifurkacija koje dovode do pojave čudnih atraktora postalo jedan od hitnih problema. Povijesno se ovaj problem pojavio u hidrodinamici u vezi s objašnjenjem nastanka turbulencije. U tom su smislu 40-ih Landau i Hopf predložili takvo objašnjenje na primjeru kaskade bifurkacija torusa s povećanjem njihove dimenzije. Lorentzov model također ima hidrodinamičko podrijetlo. Ovdje se prijelaz s jednostavne dinamike na čudni atraktor događa kao rezultat dviju homokliničkih bifurkacija: granične bifurkacije homokliničkog osmerog leptirnog sedla, uslijed koje se rađa nestabilni jednodimenzionalni hiperbolički skup, i unutarnje bifurkacije homokliničke konture u trenutku kada obje putanje koje napuštaju sedlo prvo hrle na sedlo stalno gibanje koje se pojavilo kao rezultat bifurkacije granice. Međutim, ovaj relativno jednostavan scenarij posljedica je činjenice da Lorentzov model ima simetriju \((- x, - y) \to (x,y)\). Zabilježimo i sljedeći rezultat, koji za sada ima čisto matematičko značenje: niz hiperboličkih atraktora (Smale-Williamsov solenoid, Anosov torus) može se roditi kao rezultat globalnih bifurkacija povezanih s nestankom stalnih gibanja sedlastih čvorova. i tori. Osim čudnih atraktora, u mnogim primijenjenim studijama postoje granični skupovi koji se mogu nazvati kvaziatraktorima, budući da osim hiperboličkih skupova sadrže stabilna konstantna gibanja, čak iu prebrojivom skupu. Slična situacija javlja se, primjerice, u trodimenzionalnim sustavima s negativnom divergencijom. U računalnim studijama, dinamika modela u Newhouseovim regijama može se povezati s kaotičnim ponašanjem putanja, budući da p.d. može imati vrlo duga razdoblja i uska područja privlačnosti.

3. Meko i tvrdo izvijanje

3.1 Pojam mekog i tvrdog izvijanja

Bifurkacije se mogu uvjetno podijeliti na meke i tvrde, što jasno pokazuje sljedeći primjer. Na sl. 3.1 i sl. Slika 3.2 prikazuje podesivi profil s kuglicom. Kao rezultat promjene bilo kojeg faktora (parametra), izvorni profil mijenja svoju konfiguraciju na takav način da se gubi stabilno ravnotežno stanje lopte. U tom slučaju se “rađaju” dva nova stabilna ravnotežna stanja, u jedno od kojih lopta pada. Novonastala ravnotežna stanja rekonstruiranog profila nalaze se u neposrednoj blizini početnog ravnotežnog stanja koje je izgubilo stabilnost. Bifurkacije ovog tipa nazivaju se mekim. Čini se da novi način rada postupno izranja iz režima koji je izgubio stabilnost i koegzistira uz njega.

Riža. 3.1 - podesivi profil s loptom

Priroda restrukturiranja profila prikazanog na sl. 3.2, ostalo. Za vrijednost parametra manju od kritične, lopta je u stabilnom stanju ravnoteže. U isto vrijeme, postoji još jedno potencijalno nestabilno stanje ravnoteže. Prilikom rekonstrukcije profila za kritičnu vrijednost parametra, stabilno i nestabilno stanje se spajaju u jedno. Tada oba nestaju, a sustav "skokovito" odabire novi mod, koji se značajno razlikuje od prethodnog i nije u neposrednoj blizini originalnog moda. Bifurkacije ovog tipa klasificiraju se kao krute. Upravo su krute (skokovite) bifurkacije prvenstveno predmet istraživanja teorije katastrofa.

Riža. 3.2 - podesivi profil s loptom

4. Vrste bifurkacija

Sljedeći odjeljak opisat će glavne vrste i primjere bifurkacija kontinuiranih i diskretnih (refleksija) funkcija.

4.1 Tangenta (sedlo-čvor) bifurkacija

Razmotrimo primjer bifurkacije sedlo-čvor koristeći primjer sustava opisanog diferencijalnom jednadžbom:

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda — (x^2)\]

gdje je \(\lambda \) varijabilni parametar. Rješenja ravnoteže \(x_((\rm(1))(\rm(,2)))^(\rm()) = \pm \sqrt \lambda \) jednadžbe su definirane samo za \(\lambda \ge 0 \ ); na \(\lambda< 0\) равновесные состояния отсутствуют. Значение \(\lambda = 0\) является бифуркационным. На рис. 4.2 изображена соответствующая бифуркационная диаграмма. Как видно из рисунка, из точки бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\) выходят две ветви равновесных состояний, одна из которых устойчивая, а вторая - неустойчивая. При варьировании параметра в сторону увеличения значений из «ничего» рождаются два состояния равновесия, одно из которых устойчиво. Бифуркации такого рода относят к типу «седло-узел».

Riža. 4.1 - Vremenska karakteristika sustava s tangentnom (sedlasto-čvornom) bifurkacijom

Slika 4.2 - Dijagram bifurkacije tangente (sedlasti čvor).

4.2 Transkritična bifurkacija (bifurkacija tipa "razmjena stabilnosti")

Demonstrirat ćemo bifurkaciju tipa "razmjene stabilnosti" na sustavu

\[\frac((dx))((dt)) = x\lambda — (x^2)\]

Jednadžba ima dva ravnotežna rješenja: \(x_1^(\rm()) = 0,\;x_2^(\rm()) = \lambda\). Prvo rješenje je stabilno za i nestabilno za; drugi je stabilan za \(\lambda< 0\) и неустойчиво при \(\lambda >0\). Uobičajeno je reći da oba rješenja “razmjenjuju stabilnost” u točki bifurkacije \((x = 0,\;\lambda = 0)\). Na sl. 4.3 prikazani su odgovarajući grafovi funkcija.

Riža. 4.3 - Vremenske karakteristike sustava s transkritičnom bifurkacijom

Riža. 4.4 - Dijagram transkritične bifurkacije

4.3 Bifurkacija vilice

Račvasta bifurkacija opisuje se diferencijalnom jednadžbom oblika

\[\frac((dx))((dt)) = \lambda x — (x^3)\]

Ova jednadžba ima jedno ravnotežno rješenje \(x_1^(\rm()) = 0 \) za \(\lambda< 0\) и три равновесных решения \(x_1^{\rm{}} = 0,\;x_{{\rm{2}}{\rm{,3}}}^{\rm{}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\). Odgovarajući grafikoni funkcija (slika 4.6) simetrični su oko osi \(x\). U tom slučaju iz točke bifurkacije izlaze tri grane stanja ravnoteže: dvije stabilne i jedna nestabilna.

Riža. 4.5 - Vremenske karakteristike sustava s bifurkacijom "Vilica".

Riža. 4.4 - Dijagram bifurkacije "Vilice".

Bifurkacija tipa račve naširoko se razmatra u teorijskoj fizici, budući da se neke teorije temelje na njoj kako bi objasnile spontani prekid simetrije (točka stabilne ravnoteže \(x_1^(\rm()) = 0\) na \(\lambda< 0\) отвечает симметричному состоянию, например, отсутствию намагниченности, а рождающиеся устойчивые точки равновесия \({x^{\rm{}}} = \pm \sqrt \lambda \) при \(\lambda >0\) – stanje s narušenom simetrijom). Konkretno, teorija prijelaza druge vrste, koju je predložio L. D. Landau, temelji se na ovoj bifurkaciji. U njemu najčešće ulogu parametra \(\lambda\) ima odstupanje temperature od kritične vrijednosti, a veličina \(x\) se naziva "parametar reda".
Razmotrene bifurkacije nazivaju se superkritične ili normalne. Njihova posebnost leži u činjenici da nelinearni članovi \((x^2)\) i \((x^3)\) odgovarajućih jednadžbi imaju utjecaj koji doprinosi dobivanju stabilnih ravnotežnih stanja sustava. Međutim, kada se predznaci ispred nelinearnih članova promijene, potonji će već imati destabilizirajući učinak na sustav. U tim slučajevima dolazi do subkritičnih ili reverznih bifurkacija.

4.4 Andronov–Hopfova bifurkacija

Osim bifurkacija ravnotežnih stanja u dinamičkim sustavima, pri promjeni parametra može doći do drugog restrukturiranja strukture faznog portreta. Ova vrsta bifurkacije uključuje rađanje graničnog ciklusa iz fiksne točke i složenija je od gore navedenih.
Neka je nelinearni model opisan sljedećom jednadžbom:

\[\frac((dz))((dt)) = (\mu + j\eta)z - z(\lijevo| z \desno|^2)\]

gdje je \(z\) kompleksna varijabla; \(\mu + j\eta \) je složeni parametar, a \(j \) je imaginarna jedinica, \(\mu \) je varijabilni bifurkacijski parametar.

Jednadžba je složeni analog bifurkacije tipa vilice. Za određivanje svih ravnotežnih rješenja potrebno je zamijeniti kompleksnu varijablu \(z\):

gdje su \((x_1)\) i \((x_2)\) nove realne varijable.

Kao rezultat zamjene \(z\) u izvorni DE, dobiva se sustav dviju jednadžbi prvog reda:

\[\početak(niz)(l)
((\točka x)_1) = [\mu - (x_1^2 + x_2^2)](x_1) - \eta (x_2)\\
((\točka x)_2) = [\mu — (x_1^2 + x_2^2)](x_2) + \eta (x_1)
\end(niz)\]

Dakle, ovdje smo napravili prijelaz na model drugog reda sa stvarnim parametrima. Rezultirajuće jednadžbe međusobno su povezane preko kompleksne varijable \(z\) i imaju sljedeća dva stacionarna rješenja:

\[(x_1) = (x_2) = 0 \ pri \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = (\lijevo| z \desno|^2) = \mu \at \z \ne 0\]

Prvo rješenje je nestabilno i podudara se s točkom bifurkacije, a drugo rješenje definira kružnicu radijusa \(\sqrt \mu\) u koordinatnom prostoru \(((x_1),\;(x_2),\;\mu )\). Na sl. Slika 4.5 prikazuje fazne putanje za fiksni \(\mu\).

Riža. 4.5 - Fazni portret sustava s Andronov–Hopfovom bifurkacijom

4.5 Bifurkacije ciklusa

Formiranje graničnih ciklusa u dinamičkim sustavima drugog reda odgovara Andronov–Hopfovoj bifurkaciji. Dakle, za model predstavljen sustavom daljinskog upravljanja

\[\početak(niz)(l)
\frac((d(x_1)))((dt)) = (x_2) - (x_1)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)\\
\frac((d(x_2)))((dt)) = - (x_1) - (x_2)(x_1^2 + x_2^2 - \lambda)
\end(niz)\]

točka \(\lambda = 0\) je točka bifurkacije. Kada se \(\lambda \) promijeni iz negativnih u pozitivne vrijednosti iz nultog stanja ravnoteže \(((x_1) = 0,(x_2) = 0)\) periodična orbita \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \) grana se), što odgovara stabilnom graničnom ciklusu. U tom se slučaju mijenja karakter singularne točke: od stabilne postaje nestabilna (sl. 4.6).

Riža. 4.6 - Fazni portret sustava s bifurkacijom ciklusa

4.6 Bifurkacija udvostručenja perioda

Sada razmotrite bifurkacije refleksija. Jednodimenzionalno preslikavanje je najjednostavniji model evolucijskog procesa, kada stanje sustava karakterizira jedna varijabla, a vrijeme je diskretno. Primjer bi bila dinamika biološke populacije ako se njezina populacija prati npr. jednom godišnje.

Najjednostavniji model koji opisuje bifurkaciju udvostručenja perioda može biti logističko preslikavanje

\[(x_(n + 1)) = 1 — \lambda x_n^2\]

Njegove fiksne točke nalaze se iz rješenja odgovarajuće kvadratne jednadžbe #\((x_0) = 1 - \lambda x_0^2\), tako da

\[(x_0) = \frac(( - 1 \pm \sqrt (1 + 4\lambda ) ))((2\lambda ))\]

Na \(\lambda = -0,25\) dolazi do bifurkacije tangente, uslijed koje se pojavljuju nestabilne i stabilne točke.

Izgradimo bifurkacijski dijagram (slika 4.7) pomoću naredbe matematičkog paketa Maxima.

Predgovor
Poglavlje 1. Bifurkacije ravnotežnih položaja
§ 1. Obitelji i deformacije
1.1. Obitelji vektorskih polja
1.2. Prostor mlaznica
1.3. Sardova lema i teoremi transverzalnosti
1.4. Najjednostavnije primjene: singularne točke tipičnih vektorskih polja
1.5. Topološki nerealne deformacije
1.6. Teorem redukcije
1.7. Tipične i glavne obitelji
§ 2. Bifurkacije singularnih točaka u tipičnim jednoparametarskim obiteljima
2.1. Tipične klice i glavne porodice
2.2. Meko i tvrdo savijanje
§ 3. Bifurkacije singularnih točaka u višeparametarskim obiteljima općeg položaja s jednom degeneracijom linearnog dijela
3.1. Glavne obitelji
3.2. Bifurkacijski dijagrami glavnih obitelji (3±)
3.3. Bifurkacijski dijagrami (u odnosu na slabu ekvivalenciju) i fazni portreti glavnih obitelji (4±)
§ 4. Bifurkacije singularnih točaka vektorskih polja s dvostrukom degeneracijom linearnog dijela
4.1. Popis degeneracija
4.2. Dvije Booleove svojstvene vrijednosti
4.3. Redukcije na dvodimenzionalne sustave
4.4. Nula i par čisto imaginarnih svojstvenih vrijednosti
4.5. Dva čisto izmišljena para
4.6. Glavne deformacije jednadžbi teškog tipa u problemu dva imaginarna para (prema Zholondeku)
§ 5. Pokazatelji mekog i tvrdog izvijanja
5.1. Definicije
5.2. Tablica indikatora
Poglavlje 2. Bifurkacije graničnih ciklusa
§ 1. Bifurkacije graničnih ciklusa u tipičnim jednoparametarskim obiteljima
1.1. Množitelj 1
1.2. Množitelj -1 i bifurkacija udvostručenja perioda
1.3. Par kompleksnih konjugiranih množitelja
1.4. Nelokalne bifurkacije u jednoparametarskim obiteljima difeomorfizama
1.5. Nelokalne bifurkacije periodičkih rješenja
1.6. Bifurkacije raspada invarijantnih torusa
§ 2. Bifurkacije ciklusa u tipičnim dvoparametarskim obiteljima s jednom dodatnom degeneracijom
2.1. Popis degeneracija
2.2. Množitelj 1 ili -1 s dodatnom degeneracijom u nelinearnim uvjetima
2.3. Par multiplikatora na jediničnoj kružnici s dodatnom degeneracijom u nelinearnim terminima
§ 3. Bifurkacije ciklusa u tipičnim dvoparametarskim obiteljima s jakim rezonancijama reda (?)
3.1. Normalan oblik u slučaju unipotentne Jordanove stanice
3.2. Homogenizacija u Seifertovoj i Möbiusovoj folijaciji
3.3. Glavna polja i deformacije
3.4. Verzalnost glavnih deformacija
3.5. Bifurkacije stacionarnih rješenja periodičkih diferencijalnih jednadžbi s jakim rezonancijama reda (?)
§ 4. Bifurkacije graničnih ciklusa kada par množitelja prolazi kroz (?)
4.1. Degenerirane obitelji
4.2. Analitički pronađene degenerirane obitelji
4.3. Brojčano pronađene degenerirane obitelji
4.4. Bifurkacije u nedegeneriranim obiteljima
4.5. Granični ciklusi sustava četvrtog reda simetrije
§ 5. Konačno glatke normalne forme lokalnih obitelji
5.1. Pregled rezultata
5.2. Definicije i primjeri
5.3. Opći teoremi i deformacije nerezonantnih klica
5.4. Redukcija na linearni normalni oblik
5.5. Deformacije klica difeomorfizama tipa Poincaré
5.6. Deformacije diorezojskih hiperboličkih klica
5.7. Deformacije klica, vektorska polja s jednom nultom svojstvenom vrijednošću u singularnoj točki
5.8. Funkcionalne invarijante difeomorfizama linija
5.9. Funkcionalne invarijante lokalnih obitelji difeomorfizama
5.10. Funkcionalne -invarijante obitelji vektorskih polja
5.11. Funkcionalne invarijante topološke klasifikacije lokalnih obitelji difeomorfizama linija (prema Russariju)
§ 6. Feigenbaumova univerzalnost za difeomorfizme i tokove
6.1. Kaskada udvostručenja
6.2. Preuređivanje fiksnih točaka
6.3. Kaskada (?) puta povećanja perioda
6.4. Udvostručenje u Hamiltonovim sustavima
6.5. Operator udvostručenja za jednodimenzionalna "preslikavanja"
6.6. Univerzalni mehanizam udvostručenja za difeomorfizme
Poglavlje 3. Nelokalne bifurkacije
§ 1. Degeneracija kodimenzije 1. Sažetak rezultata
1.1. Lokalne i nelokalne bifurkacije
1.2. Nehiperboličke singularne točke
1.3. Nehiperbolički ciklusi
1.4. Netransverzalna sjecišta mnogostrukosti
1.5. Obrisi
1.6. Bifurkacijske plohe
1.7. Obilježja bifurkacija
1.8. Sažetak rezultata
§ 2. Nelokalne bifurkacije tokova na dvodimenzionalnim plohama
2.1. Semilokalne bifurkacije tokova na plohama
2.2. Nelokalne bifurkacije na sferi; jednoparametarski slučaj
2.3. Tipične obitelji vektorskih polja
2.4. Uvjeti tipičnosti
2.5. Jednoparametarske obitelji na površinama koje nisu sfera
2.6. Globalne bifurkacije sustava, s globalnom sekantom na torusu
2.7. Neke globalne bifurkacije na Kleinovoj boci
2.8. Bifurkacije u dvodimenzionalnoj sferi. Višeparametarski slučaj
2.9. Neka otvorena pitanja
§ 3. Bifurkacije homokliničkih putanja nehiperboličke singularne točke
3.1. Čvor na hiperboličkim varijablama
3.2. Sedlo u hiperboličkim varijablama: jedna homoklinička putanja
3.3. Bernoullijev topološki dijagram
3.4. Sedlo u hiperboličkim varijablama: nekoliko homokliničkih trajektorija
3.5. Glavne obitelji
§ 4. Bifurkacije homokliničkih trajektorija4 i hiperbolički ciklus
4.1. Struktura obitelji homoklijskih trajektorija
4.2. Kritični i nekritični ciklusi
4.3. Rođenje glatkog dvodimenzionalnog atraktora
4.4. Rađanje složenih invarijantnih skupova (nekritičan slučaj)
4.5. Kritičan slučaj
4.6. Prijelaz u dva koraka od stabilnosti do turbulencije
4.7. Nekompaktni skup homokliničkih trajektorija
4.8. Isprekidanost
4.9. Dostižnost, nedostižnost
4.10. Stabilnost obitelji difeomorfizama
4.11. Neka otvorena pitanja
§ 5. Hiperboličke singularne točke s homoklinskom putanjom
5.1. Preliminarni koncepti: vodeći smjerovi i količine sedla
5.2. Bifurkacije putanja homoklijskog sedla koje se pojavljuju na granici skupa Morse-Smaleovih sustava
5.3. Općeniti zahtjevi
5.4. Glavne obitelji u R3 i njihova svojstva
5.5. Svestranost glavnih obitelji
5.6. Sedlo s integriranim vodećim smjerom u R3
5.7. Dodatak: bifurkacije homoklijskih petlji izvan "granice skupa Morse-Smaleovih sustava
§ 6. Bifurkacije povezane s nepoprečnim raskrižjima
6.1. Vektorska polja bez kontura i homokliničkih putanja
6.2. Teorem nedostižnosti
6.3. Moduli
6.4. Sustavi s petljama
6.5. Difeomorfizmi s netrivijalnim baznim skupovima
6.6. Vektorska polja u R3 s putanjom homoklijskog ciklusa
6.7. Simbolička dinamika
6.8. Bifurkacije "Smaleove potkove"
6.9. Vektorska polja na bifurkacijskoj plohi
6.10. Difeomorfizmi s beskonačnim skupom stabilnih periodičnih trajektorija
§ 7. Beskonačni nelutajući skupovi
7.1. Vektorska polja na dvodimenzionalnom torusu
7.2. Bifurkacije sustava s dvije homoklijske sedlaste krivulje
7.3. Sustavi s Feigenbaumovim atraktorima
7.4. Rađanje nelutajućih skupova
7.5. Očuvanje i glatkoća invarijantnih mnogostrukosti (prema Fenichelu)
7.6. Degenerirana obitelj i njezino susjedstvo u funkcijskom prostoru
7.7. Rođenje torusa u trodimenzionalnom faznom prostoru
§ 8. Atraktori i njihove bifurkacije
8.1. Probabilistički granični skupovi (prema Milnoru)
8.2. Statistički granični skupovi
8.3. Unutarnje bifurkacije i krize atraktora
8.4. Unutarnje bifurkacije i krize ravnotežnih položaja i ciklusa
8.5. Bifurkacije dvodimenzionalnog torusa
Poglavlje 4. Relaksacijske oscilacije
§ 1. Osnovni pojmovi
1.1. Primjer. Van der Polova jednadžba
1.2. Brzi i spori pokreti
1.3. Spora površina i spora jednadžba
1.4. Usporeno kretanje kao aproksimacija perturbiranog
1.5. Fenomen zastoja
§ 2. Značajke brzih i sporih pokreta
2.1. Osobitosti brzog kretanja na mjestima kvara sustava s jednom brzom varijablom
2.2. Značajke sporog dizajna površine
2.3. Usporeno kretanje sustava s jednom sporom varijablom
2.4. Usporeno kretanje sustava s dvije spore varijable
2.5. Normalni oblici usporenih faznih krivulja
2.6. Veza s teorijom jednadžbi nerazriješenih s obzirom na derivaciju
2.7. Degeneracija kontaktne strukture
§ 3. Asimptotsko ponašanje relaksacijskih oscilacija
3.1. Degenerirani sustavi
3.2. Sustavi prve aproksimacije
3.3. Normalizacija brzo-sporih jednadžbi s dvije spore varijable za (?)>0
3.4. Derivacija sustava prve aproksimacije
3.5. Proučavanje sustava prve aproksimacije
3.6. Lijevci
3.7. Periodične relaksacijske oscilacije na ravnini
§ 4. Produljenje gubitka stabilnosti kada par svojstvenih vrijednosti prolazi kroz imaginarnu os
4.1. Tipični sustavi
4.2. Produljenje izvijanja
4.3. Ozbiljnost izvijanja u analitičkim sustavima tipa 2
4.4. Histereza
4.5. Mehanizam za zatezanje
4.6. Proračun momenta kvara u analitičkim sustavima
4.7. Zatezanje kod ciklusa izvijanja
4.8. Zatezanje gubitka stabilnosti i "patki"
§ 5. Patka rješenja
5.1. Primjer: singularna točka na pregibu spore plohe
5.2. Postojanje pačjih rješenja
5.3. Evolucija jednostavnih degeneriranih pataka
5.4. Polulokalni fenomen: patke s opuštanjem
5.5. Patke i (?) i (?)
Preporučena literatura
Književnost

Pregled

Bifurkacija je stjecanje nove kvalitete u kretnjama dinamičkog sustava s malom promjenom njegovih parametara.

Središnji koncept teorije bifurkacije je koncept (ne)grubog sustava (vidi dolje). Uzimamo bilo koji dinamički sustav i razmatramo takvu (više)parametarsku obitelj dinamičkih sustava da se izvorni sustav dobije kao poseban slučaj - za bilo koju vrijednost parametra (parametara). Ako je uz vrijednosti parametara dovoljno blizu zadanoj sačuvana kvalitativna slika podjele faznog prostora na putanje, tada se takav sustav naziva hrapav. Inače, ako takvo susjedstvo ne postoji, tada se sustav poziva nije grubo.

Tako u prostoru parametara nastaju područja hrapavih sustava, koja su odvojena površinama koje se sastoje od nehrapavih sustava. Teorija bifurkacija proučava ovisnost kvalitativne slike o kontinuiranoj promjeni parametra duž određene krivulje. Shema po kojoj se mijenja kvalitativna slika naziva se bifurkacijski dijagram.

Glavne metode teorije bifurkacija su metode teorije perturbacija. Konkretno, primjenjuje se metoda malih parametara(Pontryagina).

Bifurkacija ravnoteže

U mehaničkim sustavima, u pravilu, ustaljena gibanja (ravnotežni položaji ili relativna ravnoteža) ovise o parametrima. Vrijednosti parametara pri kojima se promatra promjena broja ravnoteža nazivaju se njihovim bifurkacijske vrijednosti. Krivulje ili plohe koje prikazuju skupove ravnoteža u prostoru stanja i parametara nazivaju se bifurkacijske krivulje ili bifurkacijske plohe. Prolaz parametra kroz bifurkacijsku vrijednost u pravilu prati promjena svojstava stabilnosti ravnoteže. Bifurkacije ravnoteže mogu biti popraćene rađanjem periodičnih i drugih, složenijih kretanja.

Osnovni koncepti

vidi također

Književnost

1. Andronov A. A., Leontovich E. A., Gordon I. M., Mayer A. G. Teorija bifurkacija dinamičkih sustava na ravnini. M.: Nauka, 1967.
2. Bautin N. N., Leontovich E. A. Metode i tehnike kvalitativnog istraživanja dinamičkih sustava na ravnini. M.: Znanost. CH. izd. fizike i matematike lit., 1990. 488 str. (Matematička referentna biblioteka.)
3. Chetaev N. G. Stabilnost gibanja. M.: Znanost. 1955. godine.

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "Teorija bifurkacije" u drugim rječnicima:

Teorija katastrofa je grana matematike koja uključuje teoriju bifurkacija diferencijalnih jednadžbi (dinamičkih sustava) i teoriju singulariteta glatkih preslikavanja. Pojmove “katastrofa” i “teorija katastrofe” uveli su René Thom i... ... Wikipedia

Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Teorija katastrofe (značenja). Teorija katastrofa je grana matematike koja uključuje teoriju bifurkacija diferencijalnih jednadžbi (dinamičkih sustava) i teoriju singulariteta glatkih... ... Wikipedia

Teorija katastrofe: Teorija katastrofe je grana matematike koja uključuje teoriju bifurkacija diferencijalnih jednadžbi (dinamičkih sustava) i teoriju singulariteta glatkih preslikavanja. Sustav katastrofizma (teorije katastrofe)... ... Wikipedia

Glavni članak: Teorija bifurkacija Kaskada bifurkacija (Feigenbaum slijed ili scenarij udvostručenja perioda) jedan je od tipičnih scenarija prijelaza iz reda u kaos, iz jednostavnog periodičkog režima u složeni aperiodički s ... ... Wikipedia

Skup primjena teorije singulariteta diferencijabilnih (glatkih) preslikavanja H. Whitneya i teorije bifurkacija A. Poincarea i A. A. Andronova. Ime uveo R. Thorn 1972. K. t. primijenjen na geom. i fizički..... Fizička enciklopedija

BIFURKACIJA (engl. bifurcation), stjecanje nove kakvoće u gibanjima dinamičkog sustava s malom promjenom njegovih parametara. Temelje teorije bifurkacije postavili su A. Poincaré i A. M. Ljapunov u početku. 20. stoljeća, potom je ovu teoriju razvio A. A. Andronov i njegovi učenici... enciklopedijski rječnik

- (od grčke katastrofe obrat, revolucija), 1) skup primjena teorije singulariteta glatkih (diferencijabilnih) preslikavanja i teorije bifurkacija. Budući da su glatke mape sveprisutne, njihove singularnosti su sveprisutne... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

Wikipedia ima članke o drugim osobama s ovim prezimenom, pogledajte Yudovich. Victor Iosifovich Yudovich Datum rođenja: 4. listopada 1934. (1934. 10 04) Mjesto rođenja: Tbilisi, SSSR Datum smrti ... Wikipedia

Ovaj izraz ima i druga značenja, vidi Lastin rep. Lastin rep je nepravilna površina u trodimenzionalnom prostoru, koja se može definirati na nekoliko ekvivalentnih načina. Razmotrimo... ... Wikipediju

Glavni članak: Teorija bifurkacija Feigenbaumova konstanta je univerzalna konstanta koja karakterizira beskonačnu kaskadu bifurkacija udvostručenja perioda tijekom prijelaza u deterministički kaos (Feigenbaumov scenarij). Otkrio Mitchell... ... Wikipedia

U mnogim područjima znanja (biologija, geografija, pedagogija) pojam "bifurkacija" znači "bifurkacija", "razdvajanje". U nelinearnoj dinamici pojam "bifurkacija" tumači se šire - to je kvalitativna promjena stanja sustava s malom promjenom kontrolnih parametara. Definicija iz Univerzalne enciklopedije" Ćirila i Metoda: Bifurkacija, stjecanje nove kvalitete u gibanjima dinamičkog sustava s malom promjenom njegovih parametara. Temelje teorije bifurkacije postavili su A. Poincaré i A. M. Ljapunov u početku. XX. stoljeća, tada je ovu teoriju razvio A.A. Andronov i studenti. Poznavanje glavnih bifurkacija omogućuje značajno olakšavanje proučavanja stvarnih sustava (fizičkih, kemijskih, bioloških itd.), Posebno predviđanje prirode novih kretanja koja nastaju u trenutku prijelaza sustava na kvalitativno različite države, kako bi se procijenila njihova stabilnost i regija postojanja.

Kao primjer, razmotrimo jednostavan mehanički sustav: kuglu koja se kotrlja po žlijebu, čiji se profil određuje korištenjem relacije:

(8.1) y(x) = x 4 + ax 2 + bx

Odgovarajući graf koji objašnjava sustav koji se razmatra prikazan je na slici. 8.1. Ovdje x- varijabla koja jednoznačno određuje lokaciju lopte (i, posljedično, stanje sustava u razmatranom trenutku vremena), A I b- kontrolni parametri koji određuju profil predmetnog oluka. Prilikom promjene vrijednosti kontrolnih parametara A I b mijenja se profil žlijeba, što za sobom povlači promjenu stanja sustava - mijenja se položaj ravnotežnog stanja, kuglica se pomiče u novi ravnotežni položaj (mijenja se vrijednost varijable x). Dakle, mijenjanje kontrolnih parametara A I b, možemo promijeniti stanje sustava.

Riža. 8.1. Lopta u potencijalnoj jažici ( A = –0,8; b= 1). Koordinirati x 0 određuje mjesto lopte, parametre A I b- olučni profil

Sve moguće vrijednosti parametara upravljanja mogu se zamisliti kao ravnina ( a, b), koja se naziva ravnina kontrolnih parametara. Bilo koja točka na ovoj ravnini jedinstveno odgovara jednom, vrlo specifičnom tipu profila utora po kojem se lopta kotrlja. I obrnuto, bilo koji jarak oblika (8.1) može se staviti u korespondenciju s točkom na ravnini ( a, b). Da nema dva nego više kontrolnih parametara (npr. tri), tada bismo govorili o prostoru parametara. Vratimo se, međutim, konceptu "bifurkacije". Stvar je u tome da s malim promjenama vrijednosti kontrolnih parametara dolazi do kvalitativne promjene stanja sustava. Istaknimo dvije važne točke: male promjene u vrijednostima kontrolnih parametara i kvalitativnu promjenu stanja sustava. Drugim riječima, svaka (mala) promjena parametara upravljanja, naravno, dovodi do promjene stanja sustava, ali ako se razlike između početnog i konačnog stanja kvalitativno ne razlikuju, tada se ne može govoriti o bifurkaciji.

Objasnimo to na primjeru loptice u potencijalnoj rupi. Na sl. 8.2 prikazuje ravninu kontrolnih parametara ( a, b), a na nekim točkama prikazan je profil utora po kojem se lopta može kotrljati. Sa slike je jasno, na primjer, da se u točkama 3 i 4 ravnine parametara profili oluka, naravno, međusobno razlikuju, ali je ta razlika kvantitativna, a ne kvalitativna. Kvalitativno su oba ova profila slična: imaju jedan minimum, a time i jedno stanje stabilne ravnoteže. Istodobno, na ravnini parametara postoji područje (ograničeno točkastim linijama) u kojem jarak ima tri ravnotežna stanja. Utor ima tri točke u kojima kuglica može biti u ravnoteži; dva od ovih stanja su stabilna, a jedno je nestabilno.

Riža. 8.2. Ravnina upravljačkih parametara ( a, b) i izgled potencijalne jame u nekim točkama u ravnini parametara

Ako je lopta u stanju nestabilne ravnoteže (sl. 8.3), tada će svi, koliko god mali utjecaji na nju (a takvi će se utjecaji prije ili kasnije ostvariti) izbaciti loptu iz tog stanja ravnoteže, i ona će uvaljati u jednu od rupa - bilo lijevu, bilo desnu. I u lijevoj i u desnoj rupi, loptica će biti u stanju stabilne ravnoteže onoliko dugo koliko želite. U koju će od te dvije rupe loptica upasti, određuje slučaj. Takvi sustavi, u kojima je moguće više stabilnih stanja (od kojih se, naravno, ostvaruje samo jedno), nazivaju se multistabilnim, a sama pojava multistabilnošću.

Riža. 8.3. Sustav u stanju nestabilne ravnoteže. Manji vanjski utjecaji na sustav neizbježno će dovesti do toga da sustav prijeđe u stabilno stanje ravnoteže

Jasno je da se korito s dvije jame (i tri ravnotežna stanja) kvalitativno razlikuje od korita s jednim ravnotežnim stanjem. Prijelaz iz jednog stanja u drugo, kvalitativno drugačije, kao što možete pretpostaviti, provodi se na isprekidanim linijama (vidi sl. 8.2). Ako se dovoljno približite točkastoj liniji na ravnini kontrolnih parametara, tada laganom promjenom kontrolnog parametra možete prijeći ovu liniju, što će dovesti do kvalitativnog restrukturiranja cijelog sustava. Dogodit će se ono što se zove bifurkacija: kvalitativna promjena stanja sustava s malom promjenom kontrolnih parametara. Pravac na čijem sjecištu dolazi do bifurkacije naziva se bifurkacijski pravac, a vrijednosti parametara na kojima se uočava bifurkacija nazivaju se bifurkacijski parametri.

Razmotrimo sada bit fenomena koji se javljaju s gledišta lopte, koja se nalazi u oluku. Neka kontroliraju parametre A I b polako mijenjati kao što je prikazano strelicom na sl. 8.4. U skladu s promjenama kontrolnih parametara profil oluka se kontinuirano mijenja. U točki 1 ravnine parametara korito ima jedno stabilno ravnotežno stanje u kojem se nalazi kuglica. Prelaskom isprekidane crte u točki 2 pojavljuje se još jedan minimum i jedan maksimum na dnu, tj. pojavljuju se još dva ravnotežna stanja od kojih je jedno stabilno (minimalno), a drugo nije. Kako se dalje pomičemo ravninom parametra po naznačenoj trasi, drugi minimum postaje sve dublji (točka 3), a kada se dostigne točka 4, dubina obje jame rova ​​postaje ista. U ovom slučaju, oba stanja ravnoteže su "jednaka". Napomenimo, međutim, da lopta još uvijek nije niti “primijetila” pojavu drugog stanja ravnoteže, u kojem bi se itekako mogla nalaziti. Za loptu se gotovo ništa nije promijenilo: bila je u rupi i tamo ostaje. Da, promjena kontrolnih parametara mijenja koordinatu x 0 stanje ravnoteže, a time i koordinata položaja lopte, ali je ta promjena toliko beznačajna da joj lopta ne pridaje veliku važnost. Glatke, male promjene su neprimjetne i čine se nevažnima.

Riža. 8.4. Promjena stanja sustava pri kretanju duž ravnine parametara u smjeru strelice

Mislimo li stvarno svako jutro da smo dan stariji? Obraćamo li pozornost na to da je 15. siječnja dan trajao 7 sati i 39 minuta, a 16. siječnja 7 sati i 42 minute? Primjećujemo li jednog jesenskog dana da je lišće malo više požutjelo nego prethodnog dana? Tako se neprimjetno gomilaju male promjene na koje ne obraćamo pažnju. Mala promjena koordinate stanja ravnoteže od točke do točke pri kretanju po ravnini upravljačkih parametara stvar je toliko beznačajna i nevažna da lopta na nju uopće ne obraća pažnju. Vjerojatno bi lopta mogla pronaći pojavu drugog mogućeg stanja u kojem bi mogla biti zanimljiva i važna, ali to drugo stanje ostaje za loptu nevidljivo, skriveno od nje visokim zidovima rova, a lopta jednostavno ne zna za njegovo postojanje.

Nastavimo kretanje duž ravnine kontrolnih parametara. U točki 5 dubina drugog, “alternativnog” minimuma premašuje dubinu minimuma u kojem se nalazi kuglica, a širina drugog minimuma također je veća od širine prvog. Jasno je da je drugo stabilno stanje ravnoteže sada poželjnije od prvog. Međutim, lopta i dalje “živi” u prvom stanju ravnoteže i za nju se, uglavnom, ništa nije promijenilo. Drugo stanje ravnoteže za njega je još nevidljivo. Iako sada lopta može, ako obrati pažnju, posrednim znakovima utvrditi da se nešto promijenilo u sustavu: stijenke rupe u kojoj se nalazi postale su manje strme, a dubina rupe kao da je postala manja. No, hoće li lopta moći vidjeti iza tih minornih promjena (koje su vjesnici daljnjih događaja) nešto ozbiljnije od neke promjene u svojoj okolini, hoće li moći shvatiti da je njezino trenutno stanje ravnoteže ugroženo, ovisi o tome. njegov, lopticin, “uvid” . U tako jednostavnom mehaničkom sustavu to vjerojatno nije teško, pogotovo ako lopta ima neko iskustvo, tj. ako je već nekoliko puta bio u sličnim situacijama. Uostalom, mali pomak, mala promjena kontrolnih parametara i stanje ravnoteže u kojem je lopta bila jako dugo će nestati (točka 6), a lopta će biti bačena u sasvim drugo stanje.

Navedimo još jedan klasičan primjer bifurkacije, koji je razmatrao veliki Euler. Trebat će nam mjerno ravnalo, tanki stolni nož, oštrica pile za metal, dugi plastični češalj itd. Postavite ga okomito na čvrstu podlogu i, zaštitivši ruku od ozljeda, počnite je pritiskati (Sl. 8.5). Sve veći napor F, naći ćete da kada F b O veći od neke vrijednosti Fb traka ne zadržava svoj izvorni ravni oblik (slika 8.5a) - ovo stanje gubi stabilnost, a umjesto toga moguće je jedno od dva druga stanja (1 ili 2 na slici 8.5b) kada je traka zakrivljena. Štoviše, kakvo će se stanje uspostaviti ovisi o različitim manjim čimbenicima (početna deformacija trake, odstupanje od okomice primijenjene sile, vibracije itd.). Ovdje F- kontrolni parametar, Fb- njegova bifurkacijska vrijednost.

Riža. 8.5. Pokus s ravnalom: a) stanje ravnala prije bifurkacije (vrijed F manje od vrijednosti bifurkacije); b) dva moguća stabilna stanja u koja sustav prelazi kada je sila prekoračena F bifurkacijska vrijednost Fb; c) odgovarajući bifurkacijski dijagram

Prikladno je ilustrirati što se događa u sustavu koji se razmatra pomoću grafova (Sl. 8.5c, gdje x- odstupanje sredine trake od okomice) - bifurkacijski dijagrami. Na slici su vrijednosti parametara iscrtane vodoravno, a odgovarajuće vrijednosti varijabli koje su uspostavljene u sustavu iscrtane su okomito (tj. ovo nije fazna ravnina ili ravnina parametara, već nešto kombinirano). Dijagram pokazuje da umjesto jednog stanja, označenog brojem 0, nakon bifurkacije postoje stanja 1 i 2 koja se mogu implementirati u praksi. Što se tiče stanja 0, ono u načelu nastavlja postojati na vrijednostima F, b O veća bifurkacija, ali se ne može praktično provesti zbog svoje nestabilnosti.

Jasno je da se događaji koji potpadaju pod definiciju “bifurkacije” (kvalitativna promjena stanja sustava s malim promjenama kontrolnih parametara) lako mogu pronaći u društvenim sustavima. Primjer je revolucija koja radikalno restrukturira uobičajeni život ljudskog društva. Mogući su i manje “globalni” primjeri. Čovjek negdje radi i radi, i odjednom, iz vedra neba, naizgled zbog sitnice, kaže: “Gori ognjem, sva ova šaraga” i napiše otkaz. Sustav prelazi u drugo, kvalitativno drugačije stanje.

Međutim, treba napomenuti sljedeći aspekt: ​​društveni sustavi su izuzetno složeni, i stoga treba imati na umu da se koncepti koji postoje u nelinearnoj dinamici na takve sustave (uključujući koncepte "bifurkacije", "multistabilnosti") trebaju raditi s oprezom. , imajući na umu da jednostavan mehanički prijenos može dovesti do pogrešaka, a ponekad čak i krivotvorina. Kada govorimo o lopti u potencijalnoj jažici, potpuno je jasno o kojim je mogućim stanjima sustava riječ, koja su od njih stabilna, koja nisu i na kraju koje se stanje ostvaruje u trenutnom trenutku . Ali što se podrazumijeva pod mogućim stanjima društvenog sustava? Stanje koje se ostvaruje u određenom trenutku je jedino, a o ostalim stanjima, da li “postoje” (točnije, da li su se mogla ostvariti umjesto sadašnjeg) ili ne, možemo samo nagađati, a naša će nagađanja ostati nagađanja, o čijoj pouzdanosti također možemo zaključiti sami, ali ne više. Koncept "multistabilnosti", očito, može se primijeniti na društvene sustave, ali je vjerojatno nemoguće "eksperimentalno" provjeriti postojanje multistabilnosti u društvenim sustavima. Nemoguće je pokazati da za bilo koji fiksni trenutak u vremenu (npr. danas), osim stanja koje se ostvaruje, "postoji" još jedno (ili više) alternativnih stanja, od kojih bi svako moglo s jednom vjerojatnošću ili drugo, biti ostvareno. To se može pretpostaviti, ali se ne može eksperimentalno potvrditi. I naravno, mnogo je teže “vidjeti”, “osjetiti” da se društveni sustav približava točki bifurkacije, iza koje će nastati kvalitativno drugačije stanje. A ako smo vidjeli da loptica koja se nalazi u potencijalnoj rupi, gotovo do zadnjeg trenutka, ne “vidi” nadolazeću bifurkaciju (i prijelaz sustava u drugo stanje), što tek reći o ljudima i društvenim sustavima . N.S. Hruščov, na primjer, nije primijetio približavanje sustava točki bifurkacije, odlazeći s odmora na plenum Centralnog komiteta u listopadu 1964., zbog čega je razriješen dužnosti prvog sekretara Centralnog komiteta. i uklonjen iz predsjedništva, a sljedeći dan - s mjesta predsjednika Vijeća ministara SSSR-a. I Gaj Julije Cezar 44. pr. Također nije primijetio nadolazeću bifurkaciju, za koju je platio životom.

Obratimo pozornost na još jedan važan aspekt vezan uz koncept "bifurkacije". U trenutku kada je sustav (u smislu parametara) blizu točke bifurkacije, mali poremećaji počinju igrati vrlo važnu ulogu. Ovi poremećaji mogu biti slučajni ili namjerni, ali njihova uloga značajno raste. Vratimo se lopti u potencijalnoj jami i razmotrimo dva stanja sustava: daleko i blizu točke bifurkacije (sl. 8.6). Može se vidjeti da kada se sustav nalazi daleko od točke bifurkacije, mali udari na njega ne dovode do značajnih promjena u njegovom stanju: kuglica ostaje u istom položaju kao prije. Da bi se sustav “bacio” u drugo moguće stanje, potrebno je primijeniti puno više O Veći napori. U isto vrijeme, kada je sustav blizu točke bifurkacije, dovoljan je čak i mali udar (koji sustav prije jednostavno ne bi primijetio) da se sustav prebaci iz jednog stanja u drugo.

Riža. 8.6. Sustav "lopta u potencijalnoj jažici" daleko i blizu točke bifurkacije

Dakle, blizu točke bifurkacije, mali utjecaji na sustav mogu dovesti do neproporcionalno velikih "odgovora". Drugi faktor koji može dovesti do promjene stanja sustava je mala promjena kontrolnih parametara. Ako je sustav blizu točke bifurkacije, tada lagano "miješanje" kontrolnih parametara može dovesti do činjenice da je sustav već izvan granice bifurkacije (kako kažu, u superkritičnom području), a sam sustav, bez ikakvih vanjskih utjecaja, prijeći će u novo stanje. Na primjeru lopte u žlijebu, nakon prelaska bifurkacijske crte u točki 6 (vidi sl. 8.4), stabilno stanje ravnoteže, u kojem je lopta bila do tog trenutka, spaja se s nestabilnim i nestaje, i , dakle, lopti ne preostaje ništa drugo nego se "pomaknuti" u drugo stanje ravnoteže.

Mnogo je primjera sličnog ponašanja sustava u blizini bifurkacijske linije. Očigledno se kao primjer može poslužiti i niz transakcija na financijskim i burzovnim tržištima. Organizirane akcije skupine ljudi zainteresiranih za provedbu određene financijske transakcije, izvedene u pravom trenutku, dovode do toga da ili sustav koji se nalazi u blizini bifurkacijskog stanja bude pogođen udarom koji ga izbacuje iz ravnoteže, ili dolazi do laganog pomicanja kontrolnih parametara i sustav se nalazi u superkritičnom području. Kao rezultat toga, sustav prelazi u novo stanje, na primjer, kontrolni paket završi u rukama zainteresirane strane. Ali ako se takva operacija izvede u trenutku kada je sustav daleko od stanja bifurkacije, može se potrošiti mnogo novca, ali se ne može postići željeni rezultat.

Dakle, utjecajem na sustav koji se nalazi u blizini bifurkacijskog stanja, moguće je postići dramatične promjene. Druga stvar je da društveni sustavi nisu lopta u oluku. Težak je zadatak odrediti kada se sustav približava točki bifurkacije. Ali jednako težak i jednako važan zadatak, ako se želi upravljati društvenim sustavima na ovaj način, jest odrediti u kakvo će stanje sustav doći nakon što izađe iz stanja ravnoteže.

Međutim, ne biste trebali misliti da je bifurkacija uvijek neka vrsta iznenadne promjene, kada se sustav mijenja do neprepoznatljivosti. Gore opisani primjer bifurkacije s koegzistirajućim ravnotežnim položajima jedan je od najjednostavnijih. Općenito, u teoriji bifurkacija postoji prilično velik broj različitih vrsta bifurkacijskih situacija. Na primjer, pravi se razlika između bifurkacija i katastrofa; Postoji čak i teorija o katastrofama. Treba naglasiti da se bifurkacije mogu dogoditi glatko, ponekad neprimjetno. Sjecište isprekidane linije u točki 2 na Sl. 8.4 dovodi do činjenice da se sustav kvalitativno mijenja (broj mogućih stabilnih ravnotežnih stanja u sustavu se mijenja), stoga dolazi do bifurkacije. Međutim, kao što je već spomenuto, lopta koja se nalazi u drugoj rupi ne primjećuje bifurkaciju koja se dogodila. Drugi primjer s istim sustavom prikazan je na sl. 8.7. Pri kretanju duž ravnine kontrolnih parametara duž linije b= 0 u točki a= 0 dolazi do bifurkacije, stanje sustava se kvalitativno mijenja, ali se ta promjena odvija glatko, bez "kataklizmi". Lopta može primijetiti da se nešto promijenilo u sustavu, od njegove koordinate x 0 isprva (prije bifurkacije) bila je jednaka nuli, a zatim je postala različita od nule. Međutim, ova se promjena dogodila vrlo postupno i možda joj se ne pridaje nikakav značaj.

Riža. 8.7. Promjena stanja sustava pri kretanju duž ravnine parametara duž pravca b= 0 u smjeru označenom strelicom

Ali čak iu ovom slučaju, u blizini točke bifurkacije, mali utjecaji na sustav igraju značajnu ulogu. Upravo ti utjecaji određuju u koju će rupu (lijevu ili desnu) loptica upasti. Ti beznačajni utjecaji uglavnom određuju buduću sudbinu sustava. U situaciji prikazanoj na Sl. 8.7, mali udarci doveli su do toga da je lopta završila u desnoj rupi. Ako je, nakon što sustav napusti točku bifurkacije, potrebno promijeniti stanje sustava, potrebno je ubaciti lopticu u drugu rupu, tada će se morati uložiti napor nemjerljivo veći od onog koji je u točki bifurkacije određen izbor daljnje evolucije sustava. Primjer takve “meke”, ali uočljive bifurkacije mogu biti demokratski izbori. Dok se ne održi glasovanje, na sudbinu daljnjeg razvoja zemlje mogu utjecati najbeznačajniji faktori (možda čak i do frizure kandidata). Kad su izbori, puno je teže bilo što promijeniti.

Nedavno je objavljen članak I. Prigožina Kost još nije izlivena. Poruka budućim generacijama. Konkretno, on piše sljedeće. “Budućnost nam nije unaprijed dana. Veliki francuski povjesničar Fernand Braudel jednom je primijetio: „Događaji su prašina." Je li to točno? Što je događaj? Odmah dolazi analogija s „bifurkacijama", koje se prvenstveno proučavaju u fizici neravnoteže. Te se bifurkacije pojavljuju u posebnim točkama gdje je putanja po kojoj se sustav kreće podijeljena na „grane". Sve su grane jednako moguće, ali će se ostvariti samo jedna od njih. Obično se ne promatra samo jedna bifurkacija, već cijeli niz bifurkacije... S ove točke Iz perspektive, ispada da je povijest slijed bifurkacija.”

Nadalje, I. Prigogine naglašava da su fluktuacije na mikroskopskoj razini odgovorne za izbor grane koja nastaje nakon točke bifurkacije (one određuju događaj koji će se dogoditi). Kada se primijeni na društvo (prema Prigožinu, takva je primjena metafora), događaj predstavlja nastanak nove društvene strukture nakon prolaska kroz bifurkaciju, a fluktuacije su posljedica individualnih postupaka. Dakle, događaj ima mikrostrukturu. Kao primjer I. Prigožin razmatra revoluciju 1917. u Rusiji, ističući da bi kraj carskog režima mogao poprimiti različite oblike. On vjeruje da je grana duž koje se odvijao razvoj bila rezultat djelovanja "fluktuacije" povezane s nedostatkom predviđanja cara, nepopularnošću njegove žene, slabošću Kerenskog i Lenjinovim nasiljem. Ta je mikrostruktura odredila sve kasnije događaje.

“Moja poruka budućim generacijama je, dakle, da kocka još nije bačena, da još nije odabrana grana na kojoj će teći razvoj nakon bifurkacije. Živimo u eri fluktuacija u kojima individualno djelovanje ostaje bitno... Vjerujem u pojavu nužnih fluktuacija kroz koje bi se opasnosti koje danas osjećamo mogle uspješno prevladati.”